青海省西宁市第十四中学高二上学期期末考试数学试题
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青海省西宁市第十四中高二上学期期末考试数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.）1．已知集合{0,1}A =，{},1,2B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．0C ．0或2D ．12．抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）A ．18B ．18-C ．8D ．-83．己知向量()1,2OA =-uu r ，()3,OB m =uu u r .若OA ⊥u u u r AB u u u r，则m 的值为( )A ．32B ．4C ．-32D ．-44．已知，则的值是( ) A ． B ． C ． D ．5．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为 A ．4B ．5C ．6D ．76．已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为1），则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．己知函数()()log 1201a y x a a =-+>≠且恒过定点A ．若直线2mx ny +=过点A ，其中,m n 是正实数，则12m n+的最小值是 （ ） A ．32+ B ．322+C ．92D ．58．若k ∈R ，则“1k >”是方程“22112x y k k+=--”表示椭圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设变量x y ，满足约束条件1{4 2x y x y y -≥-+≤≥，则目标函数Z ＝2x +4y 的最大值为（ ）A ．10B ．12C ．13D ．1410．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线y x =-的最小距离为（ ）A．1 B． C． D ．111．将函数()sin 22f x x x =+的图像向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦12．设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点, 12,A A 为双曲线的左右顶点,其中1212F F A =,则双曲线的标准方程为（ ）A ．22136x y -=B ．22163x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二．填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．过1,0,()(,2)1A B -的直线的倾斜角为_________.14．已知函数()2ln f x x x =-，则()f x 在x=1处的切线方程为_________.15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．16．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，则 ①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上). 三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin 2cos a B b A C +=+。
（1）求角C 的大小；（2）若2a =，2222a b c +=，求ABC ∆的面积。
18．（12分）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，242,10a S == （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.19．（12分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形， AC BC ⊥，且AC BC ==M 是VA 的中点，O 是AB 的中点。
（1）求证：VB ∥平面MOC ； （2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （3）求三棱锥V ABC -的体积．20．（12分）设函数()f x a b =⋅r r ，其中向量()2cos ,1a x =r，()cos 2b x x m =+r .（1）求函数()f x 的最小正周期和在[]0,π上的单调增区间； （2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的最大值为4，求m 的值.21．（12分）已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222x y a b ＋＝1(a>b>0)的离心率e ＝2，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a ，0)．若|AB|＝5，求直线l 的倾斜角。
参考答案1．B2．B3．B4．B5．B6．C7．B8．B9．C10．A11．B12．A 13．4π14．0x y +=.15．1016．②④ 17．(1) 3C π= ；【详解】 解：（1）sin sin a bA B=Q， sin sin a B b A ∴=，2cos 1C ∴=，1cos 2C =。
又0C π<<，3C π∴=。
（2）由余弦定理得：222c a b ab =+-，()224242b b b ∴+=+-，解得2b =。
11sin 22sin 223ABC S ab C π∆∴==⨯⨯⨯=。
18．（1）n a n =（2）1n nS n =+【详解】（1）由题{}n a 是等差数列可得112434102a d a +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ 所以()111n a n n =+-⨯= （2）()1111111n n n b a a n n n n +===-++ 所以数列{}n b 的前n 项和1111111...1223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3. 解析：（1）∵O ，M 分别为AB ，VA 的中点， ∴OM VB P ，∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， ∴VB P 平面MOC ， 综上所述，命题得证．（2）∵AC BC =，O 为AB 的中点， ∴OC AB ⊥，∵平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面VAB ， ∵OC ⊂平面MOC ， ∴平面MOC ⊥平面VAB ， 综上所述：命题得证．（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==2AB =，1OC =，∴VAB S V = ∵OC ⊥平面VAB ，∴13C VAB VAB V OC S -=⋅=V∴V ABC C VAB V V --==． 20．（1）T π=，增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3轾犏犏臌；（2）1.【详解】（1）()22cos 22cos 21f x a b x x m x x m =⋅=+=+++r rQ2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==. 由()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，[]2,0,0,,3663x k x k k Z ππππππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤-+≤≤+∈⋂=⋃⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭Q ，因此，函数()y f x =在[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3轾犏犏臌；（2）06x π≤≤Q ，2662x πππ∴≤+≤，所以，当262x ππ+=时，函数()y f x =取最大值，即()max 2sin1342f x m m π=++=+=，因此，1m =. 21．（1）见解析（2）[32，+∞） 【详解】（1）a=2时，f （x ）=（﹣x 2+2x ）•e x的导数为 f ′（x ）=e x （2﹣x 2），由f ′（x ）＞0＜x ，由f ′（x ）＜0，解得x 或x即有函数f （x ，+∞），（2）函数f （x ）=（﹣x 2+ax ）•e x 的导数为 f ′（x ）=e x [a ﹣x 2+（a ﹣2）x]， 由函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， 则有f ′（x ）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a ﹣x 2+（a ﹣2）x ≥0，即有x 2﹣（a ﹣2）x ﹣a ≤0， 则有1+（a ﹣2）﹣a ≤0且1﹣（a ﹣2）﹣a ≤0， 解得a ≥32． 则有a 的取值范围为[32，+∞）．22．（1）24x ＋y 2＝1（2）4π或34π【解析】 (1)由e ＝c a＝2，解得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，解得a ＝2b. 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组2{20a b ab a b >>＝，＝，，得21a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为24x ＋y 2＝1.(2)由(1)可知点A(－2，0)，设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．于是A 、B 两点的坐标满足方程组222{ 1.4y k x x y ＝（＋），＋＝消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0，由－2x 1＝2216414k k －＋，得x 1＝222814k k-＋，从而y 1＝2414k k ＋， 故|AB|＝214k ＋. 由|AB|＝5，得214k ＋＝5.整理得32k 4－9k 2－23＝0，即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0，解得k ＝±1.所以直线l 的倾斜角为4π或34π。
