八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除课件2 (新版)新人教版PPT

(5) 3 3 5
(6) 0.4 (7) 3 24
(8)
5x 12 y3
难点突破
例 5 化简 (aa1－ ) a11=1a =__．____
分析：含字母的二次根式的化简，通常要知道字母的符号,而字 母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏．因此，化简时要从 被开方数入手．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
a0,b0
二次根式相除，根号不变，把被开方数相除。
思考：
1、这里的字母a，b可以取任意实数吗？ 2、为了方便记忆，你能用一句话叙述这一规律吗？ 3、等式 m3 m3 成立的条件是__m__>_5___
m5 m5
实践应用
a b
a b
a 0 ,b 0
例1 计算 (1) 24 3
(2) 3 1 2 18
∴a －1a＝a
(－1 a)＝a
(－a) (－a) (－a)
＝a
(－－aa)2＝a
－a
－a
＝－aa －a＝－ －a．
巩固提升
1.计算 4 8 1 的结果是（ A ）
3
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
2.若使等式
42k k1
42k 成立，则实数k取值范围是_1_＜__k__≤_2__
k1
3.下列二次根式 4 5， y, x2y2, a 2+ 9, 2 x中属于最
课外作业
1.计算：
(1) 30 3 22221 23 2
(2) 7314 3 21 152 2
(3) a3b (3 b)(32a) ( 4 )7 ( 5 6 1 )2( 4 )2
2a
(5) 2 5 50

随堂检测
• 学习竞赛开始，请在8分钟内完成书本第10 页的练习。
必做题：当堂训练;(2) 2 1 2 0.5(3) 3 x 2 x
1.计算
(1)
120 30
2、下面二次根式中，为最简二次根式有哪些；若不是请将 其化为最简二次根式
45,
选做题： 3.计算
y , x
x y ,
2 2
2x , 3
课题：16.2 二次根式的乘除 (第二课时)
学习目标
1、掌握 应用。
a a a a (a 0, b 0); (a 0, b 0) b b b b
及其
2、最简二次根式的概念并利用概念和其 性质化简和运算
自学指导
• 请同学们默读课本第8页至第10页练习以上 的内容，熟看例4至例7，掌握二次根式的 除法法则及其逆运算并将结果化为最简二 次根式，并回答以下问题（请在8分钟内完 成） 1、二次根式的除法法则及其逆运算法则分 别怎样用数学语言表示？ 2、最简二次根式有何特点？
y 4
1 1 1 4 1 3 3 ( 1 ) 5 2 8 7 4 2

特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).

探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
知⑴ 识 点 一 （2）
二 次 根 （3） 式
2
4 3 ＝ _
_，
9
4
16 25
＝5
_，
6
36
7 ＝ _
，
49
2
3 4
＝
_；
9
4
5 16
＝_
_；
25
6
36 7 ＝ _ _ .
49
的 一般地，二次根式的除法法则是
除
法
aa
法
＝
bb
（a≥0， b >0___）.
问题5 化简： （1） 28 7 ；（2） 1 2 5 ；
5
7 （3） 1 2 1
；
36a （4） 2 5 b 2 （b＞0）．
四、强化训练
计算：
(1) 0.4 3.6
(2)
2 3
27 8
(3) 8 5
3 40
(4) 27 50Байду номын сангаас6
深入探究一
4 .11、 、等 等mmm m－ － 式 － － 式 5353＝＝mmm m－ －－ － 53m成 53成>立5立的的 _条 ___条 __件___件_是 。____是 。 ________
逆向思考
问题3
能否将二次根式
3 化简？ 64
三、研读课文
把
a b＝
a b 反过来就可以进行二次根式的化简.即，
知 识
aa
＝
b
b （a≥0，b >0）
点 例5 化简：
二 (1) 3
二
100
(2) 75 27

36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a

b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)

2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b

aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a

( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙

知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六
知识点四商的算术平方根
������ ������
=
������������(a≥0,b>0).
名师解读 (1)商的算术平方根,等于被除数的算术平方根与除数
的算术平方根的商.
(2)在应用商的算术平方根时,一定要注意根号下的字母,不管是
数还是代数式,都必须满足a≥0,b>0.
如 (-4)(-16)化成 -4 × -16就是错误的,而 (-4)(-16)化成 4 ×
16才是正确的. (3)如果给出的二次根式,被开方数的因式中有一些幂的指数不
小于 2,即含有完全平方的因式(或因数),通常可根据积的算术平方 根的性质,并利用 ������2=a(a≥0),将这个因式(或因数)“开方”出来.
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六
23
教材新知精讲
综合知识拓展
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四
拓展点一根据二次根式的隐含条件化简二次根式
例 1 把二次根式(x-1) 11-������中根号外的因式移到根号内,结果是 ()
A. 1-������ B.- 1-������ C.- ������-1 D. ������-1
10
教材新知精讲
综合知识拓展
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六
例3
计算:(1) 72 ÷
6;(2)
1
1 2
÷
16;
(3)4 1 13÷6 3 15;
(4)-23
������3������
(a>0,b>0).
2
������ ������

22
35
3 4
32 3 4 4
2
3
2
巩固练习
连接中考
（2019•株洲） 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
B．4
C．10
D．2 2
课堂检测
基础巩固题
1.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
人教版 数学 八年级 下册
16.2二次根式的乘除
第一课时 第二课时
第一课时
二次根式的乘法
返回
导入新知
如何计算 5 3？
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 5 cm， 宽为 3cm，则它的面积是多少呢？
素养目标
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平 方根的性质进行简单运算. 1. 掌握二次根式乘法法则.
不成立！
- 4、- 9 没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内， 当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式 都是正数时，平方大的二次根式大． (3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的 近似值，再进行比较．

求证： a b a b a 0,b 0.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.

。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 11:32:57 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
【例 1】计算： (1)( 8＋ 3)× 6； (2)(4 2－3 6)÷2 2. 分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运 算规律． 解：(1)( 8＋ 3)× 6＝ 8× 6＋ 3× 6 ＝ 48＋ 18＝4 3＋3 2； (2)(4 2－3 6)÷2 2 ＝4 2÷2 2－3 6÷2 2＝2－23 3.

灵活应用，能力提升
例3 （课本P1 h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系 ,其中R是地球半径,R≈6400km.”如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传
播半径之比r 是多2少Rh？
解：半径之比= 2Rh1 2R h1 h1 h1 h2 h1h2
=4 5 5
灵活应用，能力提升
例1 变式 计算：2 2 -5 0.2 3 5
切勿漏了符号
解：原式=-2 53 2 1 5
5 =- 6 2 5 5
5
小数化成分数
=-
6 5
5
2
=-6 2
灵活应用，能力提升
例2 计算：3 27 1 50 6 2
解：原式=
3
1 2
27 50 6
= 3 225 2
3.两部分结果相乘 可将根号前的系数对应乘除，再将被开方数对应乘除
二次根式乘除混合运算的解题策略
(1) 被开方数不含分母;
4.约分、化简
课后练习，拓展提升
练习1 计算：
1 8 5
3 40
22
12 -
3 4
5
2
3 1 2 2 1 1 2
3 35
解：1原式= 1 8 5
3 40
= 1 1 3
可将根号前的系数对应乘除，再将被开方数对应乘除 (1) 被开方数不含分母;
5 5
41 2
(2) 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
可将根号前的系数对应乘除，再将被开方数对应乘除
9 (2) 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
解：原式=23 5 2 5 (1) 被开方数不含分母;
(1) 被开方数不含分母;