专题 探究型、探索型及开放型问题选讲2014新题赏析-讲义

2014年中考数学复习专题讲座四：探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

探究型、探索型及开放型问题选讲2014新题赏析课后练习题一：甲、乙、丙和丁是同班同学.甲说：“我班同学都是团员.”乙说：“丁不是团员.”丙说：“我班有人不是团员.”丁说：“乙也不是团员.”已知只有一个人说假话，则可推出以下判定肯定是真的一项为( ).A．说假话的是甲，乙不是团员B．说假活的是乙，丙不是团员C．说假话的是丁，乙不是团员D．说假话的是甲，丙不是团员题二：有人问甲、乙、丙三人的年龄，甲说：“我22岁，比乙小2岁，比丙大1岁.”乙说：“我不是年龄最小的，丙和我差3岁，丙25岁.”丙说：“我比甲年龄小，甲23岁，乙比甲大3岁.”以上每人所说的3句话中，都有一句是故意说错的，则3个人的年龄各是（）.A．甲22岁，乙25岁，丙21岁B．甲23岁，乙22岁，丙25岁C．甲22岁，乙23岁，丙21岁D．甲23岁，乙25岁，丙22岁题三：三棱锥A-BCD的各个面都是正三角形，棱长为2，点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动，则沿三棱锥外表面从P到Q的最短距离等于______.题四：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积( ).A.与x，y，z都有关B.与x有关，与y，z无关C.与y有关，与x，z无关D.与z有关，与x，y无关题五：已知函数f (x)＝ax－2x－3ln x，其中a为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤32，3上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围.题六：已知函数232()(0),3f x x ax a x =->∈R . (1)求()f x 的单调区间和极值；(2)若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围.题七：已知函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m > 0，对任意x ∈R ，有|f (x )| ≤ m |x |，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝sin x ＋cos x ；③f (x )＝xx 2＋x ＋1；④f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤ 2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号为( ). A ．②④ B ．①③ C ．③④ D ．①②题八：对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1，x 2∈D 且x 1< x 2时都有f (x 1) ≥ f (x 2)，则称函数f (x )为区间D 上的“非增函数”．若f (x )为区间[0,1]上的“非增函数”，且f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，又当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f (x ) ≤ －2x ＋1恒成立． 有下列命题：①∀x ∈[0,1]，f (x ) ≥ 0；②当x 1，x 2∈[0,1]且x 1 ≠ x 2时，f (x 1) ≠ f (x 2)； ③f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫511＋f ⎝⎛⎭⎫713＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2； ④当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f (f (x )) ≤ f (x )． 其中所有正确命题的序号为________．探究型、探索型及开放型问题选讲2014新题赏析课后练习参考答案题一： A.详解：互为矛盾的命题必有一真一假.题目中甲和丙互为矛盾命题，一真一假，既然只有一个人说假话，那么丁和乙就是说了真话，那么说明丁不是团员，乙也肯定不是团员；那么可以知道甲说了假话了，从而得出A 为正确选项. 题二： D.详解：将A 项代入，则甲只有一句错误，乙有两句错误，不符题意，所以A 项错误；将B 项代入，则甲有两句错误，不符题意，所以B 项错误；将C 项代入，则甲只有一句错误，而乙有两句错误，不符题意，所以C 项错误；将D 项代入，则甲乙丙三人各有一句错误，符合题意.所以，正确答案是D. 题三：详解：如图所示，将三棱锥A -BCD 沿侧棱AB 剪开，将各个侧面展开成为一个平面，由于三棱锥A -BCD 的各个面都是正三角形，所以展开的平面图中ABDC 1是一个菱形，边长为2，当点P 在棱AB 上移动，点Q 在棱CD 上移动时，沿三棱锥外表面从P 到Q 的最短距离应该是菱形ABDC 1的对边AB 和DC 1C 1B题四： D.详解：如图，连接EQ ，FQ ，A 1D ，作PN ⊥A 1D ，垂足为N .因为A 1B 1∥DC ，EF ＝1，所以S △EFQ 为定值.因为A 1B 1⊥平面ADD 1A 1且PN ⊂平面ADD 1A 1，所以A 1B 1⊥PN ，所以PN ⊥平面A 1B 1CD .因为PD＝z ，∠A 1DA ＝45°，所以PN ＝2z ，所以V PEFQ＝13S △EFQ ×PN ，与x ，y 无关，与z 有关，故选D.题五： (1) 1－3ln 2；(2) 0 < a < 98.详解：(1)由题意可知f ′()23＝1，解得a ＝1.故f (x )＝x － 2x －3ln x ，所以f ′(x )＝ (x －1)(x －2)x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝2(1不在区间[]32，3上). 于是可得下表：所以[f (x )]min ＝f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋ 2x 2 － 3x ＝ ax 2－3x ＋2x 2(x > 0)，由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1、x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a > 0，x 1＋x 2＝ 3a > 0，x 1x 2＝ 2a> 0，解得0 < a < 98.题六： (1)单调递增区间是()0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，()1a ，＋∞.极小值为0；极大值为 13a 2.(2)[]34，32.详解：(1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a > 0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝ 1a.当x所以，f (x )的单调递增区间是)0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，(1a ，＋∞. 当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝ 1a 时，f (x )有极大值，且极大值f ()1a ＝ 13a2.(2)由f (0)＝f ()32a ＝0及(1)知，当x ∈()0，32a 时，f (x ) > 0；当x ∈()32a ，＋∞时，f (x )<0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合 B ＝1{()x f x ∈(1，＋∞)，f （x ）≠0}，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a >2，即0 < a < 34时，由f ()32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)．由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B ，所以A ⊆B .③当32a <1，即a >32时，有f (1)<0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[]34，32. 题七： C.详解：据F 函数的定义可知，由|f (x )| ≤ m |x |⇒|f (x )||x | ≤ m ，即只需函数|f (x )||x |存在最大值，函数即为F 函数．易知①②不符合条件；对于③，|f (x )||x | ＝ 1x 2＋x ＋1＝ 1()x ＋122＋34≤ 43，为F 函数；对于④，据题意令x 1＝x ，x 2＝0，由于函数为奇函数，故有f (0)＝0，则有|f (x )－f (0)| ≤ 2|x －0|⇔|f (x )| ≤ 2|x |，故为F 函数．综上可知③④符合条件． 题八： ①③④.详解：f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，令x ＝1得，f (1)＝0，即0＝f (1) ≤ f (x )≤ f (0)＝1.①正确；令x ＝12得，f()12＝ 12，令x ＝ 34，得f ()34＝1－f ()14 ≤ f ()14，得f ()14 ≥ 12，又f (x ) ≤ －2x ＋1在x ∈ []0，14上恒成立，所以f ()14≤－12＋1＝12，所以f ()14＝ 12，结合“非增函数”的定义可知，当x ∈ []14，12 时，f (x )＝ 12，即②错；对于③，显然f ()18＋f ()78＝1，又当x ∈ []14，12时，f (x )＝ 12，所以f ()511＝f ()613＝ 12，又f ()613＋f ()713＝1，所以f ()713＝ 12，即③正确；对于④，令f (x )＝t ，不等式左边为f (t )，右边为f (x )，当x ∈ []0，14时，t ＝f (x )∈ []12，1，f (t )∈ []0，12，f (t ) ≤ f (x )，即④正确．。

专题三 开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．中考题型以填空题、解答题为主．考点一 条件开放探索问题条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．【例1】 如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP ＝CP ，请增加一个条件：使△ABP ≌△CDP (不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．解析：要证明△ABP ≌△CDP ，已经给出了两个条件：AP ＝CP 、AC ⊥BD (即∠APB ＝∠CPD ＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，即ASA ，AAS ，SAS ，HL ，可以添加一个条件角或者边．答案：∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AB ∥CD ，BP ＝DP ，AB ＝CD ．(任选其中一个)解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．考点二 结论开放探索问题结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．【例2】 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，请你写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：__________，__________(对称轴方程，图象与x 轴正半轴、y 轴交点除外)．解析：观察题目给出的函数解析式及函数图象，结合所学过的二次函数知识，仔细分析，推断出函数的性质和结论．如，由函数解析式y ＝－x 2＋bx ＋c 可以知a ＝－1；由图象可知对称轴x ＝1，则－b2a＝－1，解得b ＝－2；由函数图象与y 轴的交点，得到c ＝3；由图象与x 轴的一个交点的横坐标为x ＝1，而函数图象的对称轴是x ＝－1，可得函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标为x ＝－3，所以方程－x 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为1，－3等．答案：答案不唯一．如：①c ＝3，②b ＋c ＝1，③c －3b ＝9，④b ＝－2，⑤抛物线的顶点为(－1,4)或二次函数的最大值为4，⑥方程－x 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为1，－3，⑦当－3＜x ＜1时，y ＞0或当x ＜－3或x ＞1时，y ＜0，⑧当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小，或当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大等．解答这类题目要求解题者充分利用已知条件，执因寻果，导出相应的结论． 考点三 条件、结论开放探索问题条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．【例3】 (1)如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边(不含端点B ，C )上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN ＝90°，求证：AM ＝MN .下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE ＝MC ，连ME .∵在正方形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ，∴∠NMC ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠MAB ＝∠MAE .(下面请你完成余下的证明过程)图1 图2(2)若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”(如图2)，N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN ＝60°时，结论AM ＝MN 是否还成立？请说明理由．(3)若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN ＝__________°时，结论AM ＝MN 仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)解：(1)∵AE ＝MC ，∴BE ＝BM ，∴∠BEM ＝∠EMB ＝45°，∴∠AEM ＝135°； ∵CN 平分∠DCP ，∴∠PCN ＝45°，∴∠AEM ＝∠MCN ＝135°. 在△AEM 和△MCN 中：∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AEM ＝∠MCN ，AE ＝MC ，∠EAM ＝∠CMN ，∴△AEM ≌△MCN . ∴AM ＝MN . (2)仍然成立．理由：在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME . ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠B ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACP ＝120°， ∵AE ＝MC ， ∴BE ＝BM ，∴∠BEM ＝∠EMB ＝60°， ∴∠AEM ＝120°. ∵CN 平分∠ACP ， ∴∠PCN ＝60°，∴∠AEM ＝∠MCN ＝120°，∵∠CMN ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠BAM (∠B ＝∠AMN ＝60°)， ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM ＝MN . (3)(n －2)180n(n 为大于2的整数)．条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．考点四 存在探索型问题存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．【例4】 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)与双曲线y ＝k x相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为(－2，－2)，点A 在第一象限内，且tan∠AOx ＝4.过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于点C ．(1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算△ABC 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点B (－2，－2)的坐标代入y ＝k x， 得－2＝k－2，∴k ＝4.即双曲线的解析式为：y ＝4x.设A 点的坐标为(m ，n )，∵A 点在双曲线上，∴mn ＝4，① 又∵tan∠AOx ＝4，∴m n＝4，即m ＝4n .② 由①，②得：n 2＝1，∴n ＝±1. ∵A 点在第一象限，∴n ＝1，m ＝4， ∴A 点的坐标为(1,4)． 把A ，B 点的坐标代入y ＝ax2＋bx ，得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋b ，－2＝4a －2b ，解得a ＝1，b ＝3.∴抛物线的解析式为：y ＝x 2＋3x ；(2)∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标为y ＝4，代入y ＝x 2＋3x ，得方程x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1(舍去)． ∴C 点的坐标为(－4,4)，AC ＝5，又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝12×5×6＝15；(3)存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积． 过点C 作CD ∥AB 交抛物线于点D ．∵直线AB 相应的一次函数是：y ＝2x ＋2，且C 点的坐标为(－4,4)，CD ∥AB ， ∴直线CD 相应的一次函数是：y ＝2x ＋12.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋3x ，y ＝2x ＋12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝18，∴点D 的坐标是(3,18)．解决此类问题的方法是：先对结论作出肯定的假设，然后结合已知条件进行演绎推理，若推出矛盾即可否定假设；若推出合理的结论，即假设正确．1．若直线x＋2y＝2m与直线2x＋y＝2m＋3(m为常数)的交点在第四象限，则整数m的值为( )．A．－3，－2，－1,0 B．－2，－1,0,1 C．－1,0,1,2 D．0,1,2,32．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是( )．A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE 交AB于点E，M为BE的中点，连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是__________(写出一个即可)．4．已知一次函数y＝kx＋b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：__________.5．已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(2,4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：__________.6．给出3个整式：x2,2x2＋1，x2－2x.(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？7．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC 于Q.(1)求证：OP＝OQ；(2)若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D 重合)．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．8．一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2,0)，B(m＋2,0)两点，记抛物线的顶点为C，且AC⊥BC．(1)若m 为常数，求抛物线的解析式； (2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点； (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案专题提升演练1．B 2.C3．△BMD (答案不唯一)4．y ＝－2x ＋3(答案不唯一，k ＜0且b ＞0即可) 5．(0,4)(答案不唯一)6．解：(1)共有三种可能，第一种可能为：x 2＋2x 2＋1＝3x 2＋1；第二种可能为：x 2＋x 2－2x ＝2x 2－2x ，结果可以因式分解， 2x 2－2x ＝2x (x －1)；第三种可能为：2x 2＋1＋x 2－2x ＝3x 2－2x ＋1.(2)由第(1)知，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是13.7．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠PDO ＝∠QBO ，又OB ＝OD ，∠POD ＝∠QOB ， ∴△POD ≌△QOB ， ∴OP ＝OQ .(2)PD ＝(8－t )cm.当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(8－t )cm. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°，∵在Rt △ABP 中，AB ＝6 cm ，∴AP 2＋AB 2＝BP 2，∴t 2＋62＝(8－t )2，解得t ＝74，即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形．8．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a . ∵AC ⊥BC ，由抛物线的对称性可知，△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4，∴C 的坐标为(m ，－2)，代入解析式得a ＝12.∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x －m )2－2或y ＝12x 2－mx ＋12m 2－2.(2)∵m 为小于0的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝12(x －m )2－2的顶点在坐标原点．(3)存在实数m 使△BOD 为等腰三角形，理由：由(1)得D 点坐标为(0，12m 2－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形．∵△BOD 为直角三角形， ∴只能OD ＝OB . ∴12m 2－2＝|m ＋2|. 当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)． 当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)； 当m ＋2＝0，即m ＝－2时，B ，O ，D 三点重合(不合题意，舍)． 综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．。

专题三开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2013?盐城）写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：．（填上一个答案即可）思路分析：首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：y=kx+b（k≠0）．根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．解：设此一次函数关系式是：y=kx+b．把x=0，y=3代入得：b=3，又根据y随x的增大而减小，知：k＜0．故此题只要给定k一个负数，代入解出b值即可．如y=-x+3．（答案不唯一）故答案是：y=-x+3．点评：本题考查了一次函数的性质．掌握待定系数法，首先根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．对应训练1．（2013?达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数y kx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）1．-1考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2013?常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．思路分析：根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．解：∵图象在第二、四象限，∴y=-3x，故答案为：y=-3x．点评：此题主要考查了反比例函数y=kx（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．对应训练2．（2013?山西）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）2．该班有50 人参与了献爱心活动（答案不唯一）考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3 （2013?广东）如图，矩形ABCD 中，以对角线B D 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C．（1 ）设R t△CBD 的面积为S1，Rt△BFC 的面积为S2，Rt △DCE 的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=、”“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．思路分析：（1）根据S1=1 2 S 矩形BDEF ，S2+S3=12S 矩形BDEF ，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD ∽△CFB ∽△DEC ，选择一对进行证明即可．解答：（1）解：∵S1= 12BD×ED ，S 矩形BDEF =BD×ED，∴S1=12S矩形BDEF，∴S2+S3=12S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=9°0，∠CBD+∠BDC=9°0，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=9°0，∴△BCD∽△DEC．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．对应训练3．（2013?荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结B E．请找出一对全等三角形，并说明理由．3．解：△ACD≌△BCE．证明如下∵∠ACB=∠DCE=9°0，∴∠AC B-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE．∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=9°0，∴CA=CB，CD=CE，在△ACD和△BCE中，CE CDACD BCE，CA CB∴△ACD≌△BCE．四、中考真题演练一、填空题1．（2013?徐州）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．1．平行四边形2．（2013?钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式．2．y=x（答案不唯一）．3．（2013?连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k 的值可以是．（写出一个即可）3．-24．（2013?连云港）若正比例函数y=kx（k 为常数，且k≠0）的函数值y 随着x 的增大而减小，则k 的值可以是．（写出一个即可）4．-25．（2013?北京）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= ．5．x2+1（答案不唯一）6．（2013?莆田）如图，点B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE ，BE=CF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ．6．AB=DE7．（2013?绥化）如图，A，B，C 三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD ，请添加一个适当的条件，使得△EAB ≌△BCD ．7．AE=CB8．（2013?义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD ≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．8．AC=AB9．（2013?齐齐哈尔）如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）9．∠C=∠BAD10．（2013?邵阳）如图所示，弦AB 、CD 相交于点O，连结A D 、BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．10．∠A 与∠C（答案不唯一）11．（2013?吉林）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C，连接O A、OB．点P 是半径OB上任意一点，连接A P ．若OA=5cm ，OC=3cm ，则A P 的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）11．612．（2013?昭通）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=4cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若为t（s）（0≤t动点 E 以1cm/s 的速度从 A 点出发在AB 上沿着A→B→A运动，设运动时间．（填出一个正确的即E F，当△BEF 是直角三角形时，t（s）的值为＜16），连接可）12．4s三、解答题13．（2013?杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D 在射线AM 上，点C，E 在射线AN 上，且AB=BC=CD=DE ，已知∠EDM=8°4，求∠A 的度数；②如图②，在直角坐标系中，点 A 在y 轴正半轴上，AC∥x 轴，点B，C 的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数求k的值．ykx(x＞0)的图象经过点B，D，（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．13．解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=8°4，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵点B在反比例函数y=kx图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，∵BC=2，k3），∴点C（3，k3+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1，k3+2），∵点A也在反比例函数图象上，∴k3+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）14．（2013?盐城）市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：（1）本次共调查了多少名学生？（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；（3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）14．解：（1）调查的总人数是：55+30+15=100（人）；15（2）经常闯红灯的人数是：1500×=225（人）；100（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育．。

专题三 开放探究题专题解法探究特点：“探究开放型问题”是指问题的结论不唯一、或条件不完整、或推理确定需要解题者依据题意确定结论或补全条件、或选择不同的解题策略后再进行解答．由于题目的条件与结论不确定，使得解题方法与答案呈多样性．类型：开放探究题主要类型有条件开放型、结论开放型、策略开放型等．热点知识：考查的知识有三角形的全等、四边形的判定、数与式等，含盖面较广．解题策略：在解答时要根据题意，合理进行观察、分析、归纳、猜想、比较、推理，直到找出正确答案．对于条件探索问题，要执果索因根据现有的已知条件，从多种途径寻找结论成立．对于结论探索问题，要从条件出发经过探索，寻求隐含的结论或引申推广出一般性结论．知识归类探究1) 条件开放探索例1 如图，抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B .(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；(3)连接OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)如图，由题意，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋1，∵抛物线过原点，∴a (0－2)2＋1＝0，a ＝－14.∴抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1＝－14x 2＋x . (2)△AOB 和所求△MOB 同底不等高，且S △MOB ＝3S △ABO ，∴△MOB 的高是△AOB 高的3倍，即M 点的纵坐标是－3.∴－3＝－14x 2＋x ，即x 2－4x －12＝0.解之得x 1＝6，x 2＝－2.∴满足条件的点有两个：M 1(6，－3)，M 2(－2，－3)．(3)不存在．由抛物线的对称性，知AO ＝AB ，∠AOB ＝∠ABO .若△OBN 与△OAB 相似，必有∠BON ＝∠BOA ＝∠BNO .设ON 交抛物线的对称轴于A 1点，显然A 1(2，－1)．∴直线ON 的解析式为y ＝－12x .由－12x ＝－14x 2＋x ，得x 1＝0，x 2＝6.∴N (6，－3)．过N 作NE ⊥x 轴，垂足为E .在Rt △BEN 中，BE ＝2，NE ＝3，∴NB ＝22＋33＝13.又OB ＝4，∴NB ≠OB ，∠BON ≠∠BNO ，△OBN 与△OAB 不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．∴在该抛物线上不存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似．【思路点拨】 (1)待定系数法求解析式． (2)根据两三角形的位置关系→求出两三角形高的关系→M 点的纵坐标 →代入抛物线解析式求M 点坐标(3)根据相似的条件判断是否存在点N .2) 结论开放探索例2 如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD ＝BC ＝1，AB ＝CD ＝5，在矩形ABCD 的边AB上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿NM 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK .(1)若∠1＝70°，求∠MKN 的度数；(2)△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； (3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．【解】 (1)∵矩形ABCD ，∴AM ∥DN∴∠KNM ＝∠1. ∵∠KMN ＝∠1.∴∠KNM ＝∠KMN .∵∠1＝70°.∴∠KNM ＝∠KMN ＝70°.∴∠MKN ＝40°.(2)不能．过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME ＝AD ＝1.由(1)知：∠KNM ＝∠KMN .∴MK ＝NK又MK ≥ME ， ∴NK ≥1.∴S △MNK ＝12NK ·ME ≥12. ∴△MNK 的面积最小值为12.不可能小于12. (3)分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与D 重合．情况一设MK ＝MD ＝x ，则AM ＝5－x ，由勾股定理，得12＋(5－x )2＝x 2.解得，x ＝2.6. MD ＝ND ＝2.6.S △MNK ＝1×2.62＝1.3. 情况二：将矩形纸片沿对角接AC 对折，此时折痕即为AC .情况二设MK ＝AK ＝CK ＝x ，则DK ＝5－x .同理可得MK ＝NK ＝2.6，S △MNK ＝S △ACK ＝1×2.62＝1.3. △MNK 面积的最大值为1.3.【思路点拨】 (1)根据轴对称性质及平行线的性质求∠MKN 的度数．(2)根据MK ＝NK 得出NK 大于等于1，得出△MNK 的面积关系．(3)分两种情况将纸片对折，①B 与D 重合，②沿对角线AC 折叠．3) 条件与结论的双重开放探索例3 如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE .①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD＝CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)________；(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明)．【解】 (1)由等腰三角形的性质与判定，得①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(2)以①②⇒③为例，证明如下：因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，又因为AD ＝AE ，所以∠ADE ＝∠AED ，所以∠ADB ＝∠AEC ，所以△ABD ≌△ACE (AAS )，所以BD ＝CE .【思路点拨】从全等三角形的条件出发，结合图形的特征求解．4) 策略开放与探索例4 某县为鼓励失地农民自主创业，在2010年对60位自主创业的失地农民进行了奖励，共计奖励了10万元，奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1 000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2 000元奖励．问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【解】 方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x 人，则根据题意，得1 000x ＋(60－x )(1 000＋2 000)＝100 000，解得x ＝40.所以60－x ＝60－40＝20.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有x ，y 人，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60，1 000x ＋（1 000＋2 000）y ＝100 000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝20.答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人．【思路点拨】依题意，有两个等量关系：一是失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民人数之和为60；二是共计奖励了10万元，即100 000元．由此，既可以引进一个未知数，用一元一次方程求解，也可以引进两个未知数，用二元一次方程组求解．注意单位的统一．专题跟踪训练1. 如图，AB＝AD，要使△ABC≌△ADC，还需一个条件为()A. AB＝ACB. ∠B＝∠DC. BC＝CDD. AC平分∠BCD2. 用两张完全重合的等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形)；②矩形(不包含正方形)；③正方形；④等边三角形；⑤等腰直角三角形．其中一定能拼成的图形是()A. ①②③B. ②③⑤C. ①③⑤D. ①③④⑤3. 若无理数a满足不等式1<a<4，请写出两个符合条件的无理数________、________．4. 一个几何体的三视图完全相同，该几何体可以是__________．(写出一个即可)5. 写出一个当x>1时，y随x的增大而减小的二次函数解析式________．6. 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是______________．7. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是______．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD＝∠ACD；②∠BAD＝∠CAD；③AB＋BC＝AC＋CD；④AB－BD＝AC－CD.8. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，给出五个结论：①CD⊥AB；②BE⊥AC；③AE＝CE；④∠ABE＝30°；⑤CD＝BE.(1)如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：__________；(2)从论断①，②，③，④中选取三个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的三个论断是__________(只需填论断的序号)；(3)用(2)中你选的三个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明．9. 如图所示，图①是等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB＝DC.图②是与图①完全相同的图形．(1)请你在图①、图②的梯形ABCD中各画一个与△ABD全等但位置不同的三角形，使三角形的各顶点在梯形的边(含顶点)上；(2)选择(1)中所画的一个三角形说明它与△ABD全等的理由．10. 如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；(4)在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝23S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1. C2. C3. 2 π(答案不唯一)4. 正方体(或球)5. y ＝－x 2(答案不唯一)6. AB ＝BC (答案不唯一)7. ②③④8. 解：(1)一定成立 (2)①③④(3)已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上CD ⊥AB ，AE ＝CE ，∠ABE ＝30°.求证：CD ＝BE .证明：作EF ∥CD 交AB 于点F ，则△AEF ∽△ACD∵AE ＝CE ，∴AF ＝FD∴CD ＝2EF ∵CD ⊥AB ，∴EF ⊥AB在Rt △EFB 中，∠EFB ＝90°，∠EBF ＝30°，∴BE ＝2EF ，∴CD ＝BE .9. 解：(1)如下图(任选其中两个)；(2)如上图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，所以∠BAD ＝∠CDA在△ABD 和△DCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠BAD ＝∠CDA ，AD ＝DA所以△ABD ≌△DCA .10. 解：(1)设正比例函数的解析式为y ＝k 1x (k ≠0)，因为y ＝k 1x 的图象过点A (3，3)，所以3＝3k 1，解得k 1＝1 这个正比例函数的解析式为y ＝x .设反比例函数的解析式为y ＝k 2x(k ≠0)， 因为y ＝k 2x 的图象过点A (3，3)，所以3＝k 2x，解得k 2＝9， 这个反比例函数的解析式为y ＝9x. (2)因为点B (6，m )在y ＝9x的图象上， 所以m ＝96＝32，则点B (6，32)， 设一次函数解析式为y ＝k 3x ＋b (k 3≠0)，因为y ＝k 3x ＋b 的图象是由y ＝x 平移得到的，所以k 3＝1，即y ＝x ＋b .又因为y ＝x ＋b 的图象过点B (6，32)，所以32＝6＋b ， 解得b ＝－92，∴一次函数的解析式为y ＝x －92. (3)因为y ＝x －92的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为(0，－92)． 设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (3，3)、B (6，32)和D (0，－92)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝3，36a ＋6b ＋c ＝32，c ＝－92 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝4，c ＝－92.这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －92. (4)∵y ＝x －92交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是(92，0)， 如图所示，S ＝152×6－12×6×6－12×32×3－12×3×3＝45－18－94－92＝814. 假设存在点E (x 0，y 0)，使S 1＝23S ＝814×23＝272. ∵四边形CEOD 的顶点E 只能在x 轴上方，y 0＞0，∴S 1＝S △OCD ＋S △OCE ＝12×92×92＋12×92y 0， S 1＝818＋94y 0＝272，∴y 0＝32. ∵E (x 0，y 0)在二次函数图象上，∴－12x 20＋4x 0－92＝32， 解得x 0＝2或x 0＝6，∴存在点E (2，32)或(6，32)满足条件．。

开放性问题一、填空题1. （2014•江苏淮安，第11题3分）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为4（只需填一个整数）2. （4分）（2014•浙江金华，第11题，4分）写出一个解为x≥1的一元一次不等式x+1≥2．3.（2014•甘肃天水，第11题4分）写出一个图象经过点（﹣1，2）的一次函数的解析式．1. （2014•湘潭，第13题，3分）如图，直线a、b被直线c所截，若满足∠1=∠2，则a、b平行．2.（2014•滨州，第14题4分）写出一个运算结果是a6的算式a2•a4．4.（2014•北京，第11题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．（5.（2014•福建漳州，第12题4分）双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为．考点：反比例函数的性质．分析：首先根据反比例函数的性质可得k+1＞0，再解不等式即可．解答：解：∵双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴k+1＞0，解得：k＞﹣1，∴k可以等于3（答案不唯一）．故答案为：3（答案不唯一）．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．6．（2014•齐齐哈尔，13题3分）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD=CE．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．解答：解：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．7．（2014•连云港，第13题3分）若函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是0（写出一个即可）．二、解答题2.（2014•福建漳州，第19题8分）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）考点：全等三角形的判定．分析：先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：AC=DE．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．1. （2014•四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH 时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．1.（2014•内蒙古赤峰，第24题，12分）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，E D．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．考点：平行线的性质．专题：阅读型；分类讨论．分析：（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；②根据图形猜想得出所求角度数即可；③猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．解答：解：（1）①∠AED=70°；②∠AED=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，证明：延长AE交DC于点F，∵AB∥DC，∴∠EAB=∠EFD，∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；（2）根据题意得：点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PE B．点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．2. （2014•山东威海，第24题11分）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．3. （2014•山东枣庄，第22题8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．，4. （2014•山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．5. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．==1. (2014•陕西,第26题12分)问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．专题：压轴题；存在型．分析：（1）由于△P AD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．解答：解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，则P A=P D．∴△P AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵P A=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，．则DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=3，BC=4，∴DC=3，DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．综上所述：在等腰三角形△ADP中，若P A=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4﹣；若AP=AD，则BP=．（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF=B C．∵BC=12，∴EF=6．以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．∵AD⊥BC，AD=6，∴EF与BC之间的距离为3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O与BC相切，切点为Q．∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF=90°．过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．则⊙O是△ABG的外接圆，∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，∴AP=PB=A B．∵AB=270，∴AP=135．∵ED=285，∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，∴∠BAK=∠GAK=30°．∴OP=AP•tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜O A．∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，∴HM===30．∵AE=400，OP=45，∴DH=400﹣45．若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340，∴DM＞C D．∴点M不在线段CD上，应舍去．若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340，∴DM＜C D．∴点M在线段CD上．综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．点评：本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．。