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正态分布 课件

正态分布 课件
在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:

直方图和正态分布图

直方图和正态分布图

直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。

直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。

Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。

Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。

VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。

正态分布

正态分布

例3： 正态总体为 ： 正态总体为µ=0， ， x2 1 −2 σ=1时的概率密度函数是 f ( x) = 2π e , x∈R 时的概率密度函数是 (1)求证：f(x)是偶函数； 求证： 是偶函数 是偶函数； 求证 (2)求f(x)的最大值； 求 的最大值； 的最大值 (3)利用指数函数的性质说明 的增减性． 利用指数函数的性质说明f(x)的增减性 利用指数函数的性质说明 的增减性．
1 2 π
5 10 15 20 25 30 35 x
练习3: 练习
已知函数f ( x ) =
1
2p X轴上方 轴上方 a、它的图象在__________
1
e
x2 2
，则
b、它的最大值是________ 2p 直线x=0 直线x=0 ________对 c、它的图象关于________对称
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布： 从正态分布：
以及降雨量等，水文中的水位； 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、 总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质 、
①曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线的变化趋势如何？ ③ 曲线的变化趋势如何？
一般正态分布为一个分布族:N(µ,σ2) ；标准 µσ 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 • 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
S(-∞,-X)

正态分布

正态分布

频数分布图一（又称直方图）
30
20
从频数表及频数分布图上可得 知： 该数值变量资料频数分 布呈现中间频数多，左右两侧 基本对称的分布。所以我们通 俗地认为该资料服从正态分布。
频数
10 0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5
154.5
157.5
正态分布
正态分布的概念

正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率） 大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数分 布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一 个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的 分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似服 从数学上的正态分布。
其基本步骤如下： 已知 X～N（μ ，σ ） ， 求随机变量 X 出现在 区间（x1,x2）的概率 即求 服从 一般 正态 分 布 N（μ ，σ ）的随机 变量 X 在区间（x1,x2） 所对应的面积
2 2
进行标准化变换：
U
x

求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量
U 在区间（u1,u2）所对
侧的面积为α /2, 从- U
2
到-∞这
一侧的面积也为 α /2,两侧面积之 和为α 。 即在随机 变量 U 的所有取 值中，有 100α 的 值比 U 大， 有
100（1-α ）的值 比 U 小。
正态分布曲线及其面积分布： 在正态曲线下，μ ±1σ 、μ ±1.96σ 和μ ±2.58σ 所对应的面积分别为 0.6827、0.9500 和 0.9900。 图一：

用Excel制作直方图和正态分布曲线图

用Excel制作直方图和正态分布曲线图

用Excel2007制作直方图和正态分布曲线图••|•浏览：4284•|•更新：2014-04-15 02:39•|•标签：excel2007•••••••分步阅读在学习工作中总会有一些用到直方图、正态分布曲线图的地方，下面手把手教大家在Excel2007中制作直方图和正态分布曲线图工具/原料•Excel(2007)1. 1数据录入新建Excel文档，录入待分析数据（本例中将数据录入A列，则在后面引用中所有的数据记为A:A）；2. 2计算“最大值”、“最小值”、“极差”、“分组数”、“分组组距”，公式如图：3. 3分组“分组”就是确定直方图的横轴坐标起止范围和每个小组的起止位置。

选一个比最小值小的一个恰当的值作为第一个组的起始坐标，然后依次加上“分组组距”，直到最后一个数据值比“最大值”大为止。

这时的实际分组数量可能与计算的“分组数”有一点正常的差别。

类似如下图。

4. 4统计频率“频率”就是去统计每个分组中所包含的数据的个数。

最简单的方法就是直接在所有的数据中直接去统计，但当数据量很大的时候，这种方法不但费时，而且容易出错。

一般来说有两种方法来统计每个小组的数据个数：1.采用“FREQUENCY”函数；2.采用“COUNT IF”让后再去相减。

这里介绍的是“FREQUENCY”函数方法：“Date_array”：是选取要统计的数据源，就是选择原始数据的范围；“Bins_array”：是选取直方图分组的数据源，就是选择分组数据的范围；5. 5生成“FREQUENCY”函数公式组，步骤如下：1. 先选中将要统计直方图每个子组中数据数量的区域6. 62. 再按“F2”健，进入到“编辑”状态7.73. 再同时按住“Ctrl”和“Shift”两个键，再按“回车Enter”键，最后三键同时松开，大功告成！8.8制作直方图选中统计好的直方图每个小组的分布个数的数据源（就是“频率”），用“柱形图”来完成直方图：选中频率列下所有数据（G1:G21),插入→柱形图→二维柱形图9.9修整柱形图选中柱形图中的“柱子”→右键→设置数据系列格式：1、系列选项，分类间距设置为0%；2、边框颜色：实线，白色（你喜欢的就好）3、关闭“设置数据系列格式”窗口10.10直方图大功造成！END制作正态分布图1.获取正态分布概念密度正态分布概率密度正态分布函数“NORMDIST”获取。

正态分布

正态分布

[一点通]
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将
所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－
3σ<X<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概 率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面 积为1这一特殊性质．
6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于 交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)， 则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为______． 解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
3．正态分布的 3 原则
(1) P( X ) 68.3% (2) P( 2 X 2 ) 95.4%
(3) P( 3 X 3 ) 99.7%
正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就 是正态分布的3σ原则．
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm)
25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
复习
频率 组距
样本容量增大时 频率分布直方图
分布密度曲线
产品 尺寸 (mm)
这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，此曲线对应的函 数称为X的分布密度函数，记为f(x).
频率 组距
产品尺寸X的 分布密度曲线
产品 尺寸 (mm)
频率 组距
产品 尺寸 (mm) a b

用EXCEL制作直方图和正态分布图

制作直方图
1、数据录入
新建Excel文档，录入待分析数据（本例中将数据录入A列，则在后面引用中所有的数据记为A:A）；2
2、计算最大值、最小值、极差、分组数、分组组距
其中：极差=最大值-最小值，分组数=数据的平方根向上取整，分组组距=极差/分组数
3、分组
分组就是确定直方图的横轴坐标起止范围和每个小组的起止位置。

选一个比最小值小的一个恰当的值作为第一个组的起始坐标，然后依次加上“分组组距”，直到最后一个数据值比“最大值”大为止。

这时的实际分组数量可能与计算的“分组数”有一点正常的差别。

4、统计频率
5、制作直方图
选中统计好的直方图每个小组的分布个数的数据源（就是“频率”），用“柱形图”来完成直方图：选中频率列下所有数据（G1:G21),插入→柱形。

正态分布课件课件-2 PPT

正态分布
频率分布直方图
频率 100件产品尺寸的频率分布直方图
组距
8 6 4 2
产品内径尺寸/mm
o
样本容量增大时频率分布直方图
频率 组距
8
6
4
2
正态曲线
o
产品内径尺寸/mm
可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限
缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接
近于一条光滑曲线---正态曲线.
随 着 重 复 次 数,这 的个 增频 加率 直 方 图 的 形
f (x)
1
x2
e2
D.
2
例题探究
例3 关于正态曲线性质的叙述：
(1)曲线关于直线x =m 对称，整条曲线在x轴的上方；
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延
伸时，曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
会 越 来 越 像 一 条 线钟 图2.形 43曲.
y
O
图2.43
x
这条曲线 (或就 近是 似 )下地 列函数:的图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 22,x , ,
2π σ
其 中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ μ 们 ,σ 数 x 的 称
图正象 态分布密度为 曲线 ,简 正态称 曲线 .
y
正态曲线的特点
O x=m
x
曲线的位置、对称性、最高点、与x轴围成的面积
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. 正态曲线.gsp
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=m对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ

《数学正态分布》PPT课件


A.f (x)
1
( x )2
e 22
2
C.f (x)
1
( x 1)2
e4
2 2
B.f (x)
2
e
x2 2
2
D.f (x)
1
x2
e2
2
2.设随机变量 ~ N (2,2),则 D( 1 )的值为( C ).
2
A. 1 B. 2 C. 1 D. 4 2
2。正态分布的图像
当时 0, 1，正态总体称为标准正态总体，相应的函数
F( 2 ) F( 2 ) (2) (2) 0.954 正态总体 N(, 2 )在( 3 , 3 )内取值的概率是
F( 3 ) F( 3 ) (3) (3) 0.997
上述计算结果可用下表来表示:
区间
取值概率
( , )
( 2 , 2 )
图
( 3 , 3 )
解:(Ⅰ）设此次参加竞赛得人数为N，竞赛成绩为x， 则x服从N（70，100）
设
z
x70 10
，则z服从标准正态分布N（0，1）
∴P（x≥90）=1-P（x＜90）191 0700=1-Φ(2)
查正态分布表知Φ(2)=
∴P（x≥90）=
12 ∴N=526 N
（Ⅱ）设设奖的分数线约为a分
p(xa)1p(xa)1 (a1 70)0
5 52 0 60.095 1a1 7000.9049
查正态分布表知Φ
a17001.31
∴a=
∴设奖的分数线约为分
4。标准正态分布 ~ N(0,1) 在标准正态分布表中相应于x0的值 ( x0 )是
指总体取值小于x0的概率，即 ( x0 ) P( x x0 )
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