函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳
知识点精讲
函数奇偶性
定义
设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数. 性质
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；
函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；
偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([2
1)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；
奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.
（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
函数的单调性
定义
一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.
注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”.
单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.
设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2
121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x .
)(0)()(2
121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)
(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则x
x f y 1)(1==
为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立: 若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)
(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则
)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 函数的周期性
定义
设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+.
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
()()
()()
211();()2()()
()()
2()()
4()()2()()()
()()2()()()2()()()
(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）
周期为偶函数
)()2()()()4()()()
()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数
为奇函数
为偶函数
函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；
（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；
（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.
题型归纳及思路提示
题型1 函数的奇偶性
思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：
（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.
若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.
【例2.25】判断下列函数的奇偶性.
（1）3
|3|36)(2
-+-=x x x f ； （2）11)(22-+
-=x x x f ； （3）)1(log )(22++=x x x f ；
（4）2
|2|)1(log )(22---=x x x f ； （5）⎩
⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .
解析 （1）由3|3|36)(2
-+-=x x x f 可知⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒⎩⎨⎧≠-+≥-6
06603|3|0362x x x x x 且，故函数)(x f 的定义域为}6006|{≤<<<-x x x 或，定义域不关于原点对称，故)(x f 为非奇非偶函数.
(2)由110
101222±=⇒=⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x ，故函数)(x f 的定义域为}1,1{-，关于原点对称，故0)(=x f ，所以)()()(x f x f x f -==-，所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数.
(3)因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为
R.且)()1(log 11
(log )1(log )(222222x f x x x x x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.
(4)由10010
2|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，x
x x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数. (5)当0<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当0>x 时，
)()(,02
x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.
评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：
①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对
②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.
③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.
变式1：判断下列函数的奇偶性.
（1）x
x x x f -+-=11)1()(； （2）2
4|
3|3)(x x x f -+-=； （3）⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；
（4）|2||2|)(++-=x x x f .
变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.
【例2.26】已知函数),0()(2R x x x
a x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性. 分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.
解析 当0=a 时，2)(x x f =，满足)()(x f x f =-，故)(x f 为偶函数；
当0≠a 时，x
a x x f x a x x f -=-+=22)(,)(，假设)()(x f x f =-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时0=a ，与前提矛盾；
假设)()(x f x f -=-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时022=x ，即0=x ，与条件定义域
},0|{R x x x ∈≠矛盾.
综上所述，当0=a 时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，函数)(x f 为非奇非偶函数.
评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数
②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.
③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与
x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=
a x a y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.
变式1：函数)()1
221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.
分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(x f 与)(x f -的关系.
解析 由函数定义域为R 可知定义域关于原点对称.依题意可令0,0==y x ，得2
)]0([2)0(2f f =，因为
0)0(≠f ，
所以1)0(=f .令0=x ，可得)(2)()(y f y f y f =-+，即)()(y f y f -=，所以)()(x f x f -=，故函数)(x f 为偶函数.
评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.
变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.
变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（ ）
A.)(x f 是奇函数
B.)(x f 是偶函数
C.)(x f +1为奇函数
D.)(x f +1为偶函数
变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xy
y x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.
变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .
(1)求证：)(x f 为奇函数；
(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.
【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2
m m m --，则=+a m 2______________.
分析 定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件.
解析 因为)(x f 为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以0832=--m m ，且m m m <--832，解得4=m .由函数)(x f 为偶函数得3x 的系数为0，则01=-a ，即1=a ，故62=+a m .
变式1：若函数)
)(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （ ） 21.
A 32.
B 4
3.C 1.D 变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++
=是奇函数，则=a _____________.
变式3：若a x f x +-=
1
21)(是奇函数，则=a _____________.
变式4：函数k k k x f x
x
(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.
变式5：函数)1)(1
1(
log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.
【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.
解析 当0>x 时，则4
4)()()(,0x x x x x f x --=---=-<-，因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 4)(x x x f --=-=，故当),0(+∞∈x 时，4)(x x x f --=.
评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.
变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.
【例2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.
分析 先设)(x f 能写成一个函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得.
解析 先假设存在)()()(x h x g x f +=……………①
其中)(x g 为奇函数，)(x h 是偶函数，则)()()()()(x h x g x h x g x f +-=-+-=-………②
由①+②得，2)()()(x f x f x h -+=，由①-②得，2
)()()(x f x f x g --=. 由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数)(x f ，都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.
变式1：已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（ ）
2.A 415.
B 4
17.C 2.a D
变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数
)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数
【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（ ）
3.A 0.B 1.-C 2.-D
分析 函数1sin )(3++=x x x f 中x x y sin 3+=为奇函数，借助奇函数的性质求解.
解析 令x x x g sin )(3+=，得1)()(+=x g x f ，依题意得，21)(=+a g ，所以1)(=a g .由)(x g y =为奇函数，故1)()(-=-=-a g a g ，所以01)()(=+-=-a g a f ，故选B.
评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(max min =+x f x f .
变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.1和2
变式2：已知函数),(4sin )(3
R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )
A.5-
B.5-
C.3
D.4
变式3：设函数1
sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M
题型2 函数的单调性（区间）
思路提示
判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.
【例2.32】求证：函数)0()(>+=a x
a x x f 在),[+∞a 上是增函数. 分析 利用函数单调性的定义来证明. 解析 设任意的两个实数),[,21+∞∈a x x 且21x x <，则有
)1)()()()(2
121212121x x a x x x a x a x x x f x f --=++-=-（.因为),[,21+∞∈a x x ，所以a x x >21，0,01212
1<->-x x x x a ，)()(0)()(2121x f x f x f x f <⇒<-，故)(x f 在),[+∞a 上是增函数. 评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.
变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.
变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+.
（1）求证：1)0(=f ；
（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；
（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；
（4）若1)2()(2
>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.
【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（ ） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D
分析 作出函数的图象，找出递减区间，从而确定a 的取值范围.
解析 由5||42+-=x x y 得，)()(x f x f =-，知)(x f y =为偶函数，其图象关于y 轴对称.只要画出当0≥x 时的图象，然后作出其关于y 轴对称的图形即可得到0<x 部分的图象，如图所示.可知，若),(a -∞为函数)(x f 的减区间，则2-≤a .故选B.
变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（ ） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )2
3,0.[C )2,1.[D
变式2：（2012上海理7）已知函数a e x f a x ()(|
|-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取
值范围是__________________.
变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （ ）
A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数
B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数
C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数
D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数
变式4：已知⎩
⎨
⎧≥<+-=)1(log )
1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）
)1,0.(A )3
1,0.(B )31,71.[C )1,7
1.[D
题型3 函数的周期性 思路提示
（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+； （2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ； )(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+；
)0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f . （3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f . 【例2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)
(1
)1(x f x f =
+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________. 解析 1)(1(,)
(1
)1(=⋅+=
+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以8
1)1(1)0()2014(===f f f .
变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)
(1
)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____.
【例 2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,4
1
)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==
，则=)2010(f _____________.
解析 令)1()1()()1()1()1()(4,1-++=⇒-++==x f x f x f x f x f f x f y
)1()()1(--=+⇒x f x f x f ，6=T ，所以)0()2010(f f =，又令0,1==y x ，有
)1()1()0()1(4f f f f +=，所以2
1)2010(,21)0(==
f f .
【例 2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)2
5
(f 的值是（ ）
A.0
B.21
C.1
D.2
5
分析 )(x f 为偶函数，有)()1()1(x f x x xf +=+，只能从x x =+1或者01=++x x 时入手. 解析
当
01=++x x 时，即21-
=x 时，)2
1
(21)21(21)21(21f f f =-=-，得0)2
5
(,0)23(,0)21(===f f f ，故选A. 评注 本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，x x f x x f )(1)1(=
++.令x
x f x g )
()(=，则
1
)
1()1(++=
+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，
1=T ，令2
1
-=x ，得
0)2
1(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =）
，即02
1)
21(25)25(==f f .故0)25
(=f .
变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=
+，试判断)(x f 的周期性.
题型4 函数性质的综合 思路提示
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.
)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.
如函数
)(x f 的图象关于直线
a x =和直线
b x =轴对称，可得
)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.
如函数
)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得
)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.
【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有
0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（ ）
)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B )1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+ 分析 偶函数关于y 轴对称，关于y 轴对称的两部分图象单调性相反.
解析 由]0,(,21-∞∈∀x x ，有0)]()()[(2121>--x f x f x x 可得]0,(-∞∈x 时，)(x f 单调递增，因为)(x f 为偶函数，所以当),0(+∞∈x 时，)(x f 单调递减，所以自变量绝对值越小，所对应的的函数值越大.因为
110+<<-≤n n n ，所以)1()()()1(+>-=>-n f n f n f n f ，故选C.
变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） )7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D >
变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)3
1()12(f x f <-的x 的取值范围是（ ） )32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )3
2,21.[D
变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若2
0π
θ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成
立，则实数m 的取值范围是（ ）
)1,0.(A )0,.(-∞B )2
1,.(-∞C )1,.(-∞D
变式4：设函数}{,1)3()(3
n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，
则=+++721...a a a （ ）
A. 0
B. 7
C. 14
D. 21
【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（ ） A.)(x f 是偶函数 B.)(x f 是奇函数 C.)2()(+=x f x f D.)2(+x f 是奇函数 分析 由奇偶性⇒对称性⇒周期性.
解析 因为)1(+x f 为奇函数，所以)1()1(+-=+-x f x f ，故)0,1(为函数)(x f 的对称中心，由)1(-x f 为奇函数，同理)0,1(-也为函数)(x f 的对称中心，利用结论知函数)(x f 的周期为4，则
)1()3(-=+x f x f ，所以)3(+x f 为奇函数.故选D.
变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，
)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（ ）
c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.
变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（ ） )80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B
)25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-
【例2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( ) 1.-A 0.B 1.C 4.D 解析 因为)(x f 的
T=2，且是定义在R
上的奇函数，所以0)0(=f ，则
0)1()0()1()7()4()1(=-++=++f f f f f f ，故选B.
变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3
)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
【例2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；
②)(21)3
(x f x f =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81
()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D
解析 21)1(21)31(==f f ，也可得41)31(21)91(==f f ，由)(1)1(x f x f -=-可得21
)21(=f ，所以
41)21(21)61(==f f .因为当1021≤<≤x x 时都有)()(21x f x f ≤，所以可由61
8191<<得，)61()81()91(f f f ≤≤，即41)81(=f ，所以4
3
)81()31(=+f f .故选A.
变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(2
1
)3(x f x f =
，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)2010
1
(
f ___________.
变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.
变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有
0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为
理想函数.
（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；
（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x
是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：
00)(x x f =.
最有效训练题
1.已知函数)32(log )(2
2--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（ ） )6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D
2.已知函数]3,2[,)(2
-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有
)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（ ）
A.0
B.2
C.3
D.5
3.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（ ）
]21,0.[A ),2
1[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D
4.已知函数⎩
⎨
⎧≥<-=)2()
2()4()(x a x x a x f x
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D
5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=x
x f ，则)12(log 2f 的值为（ ）
31.A 3
4
.
B 2.
C 11.
D 6.设2)(3
-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( ) 2.-A 0.B 1.C 2.D
7.设函数))(()(R x ae e x x f x
x
∈+=-是偶函数，则实数=a __________.
8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.
(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.
9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2
()()23f x g x x x +=++，则
()()f x g x -=_________.
10.已知函数||sin 1
()||1
x x f x x -+=
+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________.
11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时,
2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f +++
+.
12．已知定义域为R 的函数1
()41
x
f x a =+
+是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.。
