最大值与最小值及取值范围习题集

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导数--函数的最大值与最小值练习题【典型例题】例1：求下列各函数的最值:（1)()[]32362,1,1f x x x x x =-+-∈-;（2)()[]0,4f x x x =+∈.例2：设213a <<，函数()3232f x x ax b =-+在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式。

【当堂练习】1、函数()3223125f x x x x =--+在区间[]0,3上的最大值和最小值分别是（ )A 、5,15-B 、5,4-C 、4,15--D 、5,15-- 2、函数()[],0,4x f x x e x -=⋅∈的最大值为( ）A 、0B 、1eC 、44eD 、22e3、已知函数()223f x x x =--+在[],2a 上的最大值为154，则a =( ）A 、32-B 、12C 、12-D 、12-或32-4、若函数()1sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有最值，则a =（ ）A 、2B 、1 CD 、05、当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()sin f x tx x t R =-∈的值恒小于零，则t 的取值范围是（ ）A 、2t π≤B 、2t π≤C 、2t π≥D 、2t π<6、点P 是曲线2ln 2y x =-上任意一点，则点P 到直线y x =-的最小距离为（ ）A、4 B、4 CD7.下列说法正确的是A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值8.函数y =f (x )在区间［a ，b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x )A.等于0 B 。

第26讲最大值的最小值问题知识与方法求函数g(x)=|f(x)−(ax+b)|(a,b为参数,x∈[m,n])最大值中的最小值问题,在历年高考、自主招生、竞赛题中都有出现.由于含有两个参数,若分类讨论处理一般都异常复杂.此类问题的解决方法有:构造平口单峰函数、利用纵向距离、利用三点控制、三角换元等. 引理1:若f(x)为[m,n]上连续的单峰函数,且f(m)=f(n),x0为极值点,则当a,b变化时,g(x)=|f(x)−(ax+b)|的最大值中的最小值为|f(m)−f(x0)|,当且仅当a=0,b=2f(m)+f(x0)时取得.2这个引理的几何意义十分明显,如下图所示.引理2:拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在区间(a,b)内至少存成立.在一点x0(a<x0<b),使等式f′(x0)=f(b)−f(a)b−a的解x0,就是与曲线相切且与封口直线平行切线的横坐标. 【点睛】f′(x0)=f(b)−f(a)b−a定义1:平口单峰函数我们把满足引理1条件的函数称为平口单峰函数.定义2:纵向距离我们把|f(x0)−g(x0)|称为f(x)与g(x)在x=x0处的纵向距离.|f(x0)−g(x0)|的代数意义就是f(x)与g(x)在x=x0处的函数值之差的绝对值;|f(x0)−g(x0)|的几何意义就是直线x=x0与两函数f(x)与g(x)图象交点间的距离.【点睛】求函数g(x)=|f(x)−(ax+b)|(a,b∈R,x∈[m,n])最大值中的最小值时,用两条平行线去夹住曲线f(x),当两平行线间的纵向距离最小时,其距离的一半就是g(x)最大值的最小值.典型例题二次函数型【例1】设命题p:存在x0∈[1,2],使得|x02+ax0+b|⩾c,其中a,b,c∈R.若无论a,b取何值时,命题p都是真命题,则c的最大值为 .【例2】已知a,b∈R,f(x)=|2√x+ax+b|,若对于任意的x∈[0,4],f(x)⩽12恒成立,则a+ 2b= .对勾函数型【例3】已知函数f(x)=|x+1x −ax−b|(a,b∈R),当x∈[12,2]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .单调函数型【例4】设函数f(x)=|√x−ax−b|,a,b∈R,若对任意实数a,b,总存在实数x0∈[0,4],使得不等式f(x0)⩾m成立,则实数m的取值范围是 .三次函数型【例5】设函数f(x)=|x3+ax2+bx+c|,a,b,c∈R,若对任意实数a,b,c,总存在实数x0∈[0,4]使得不等式f(x0)⩾m成立,求实数m的取值范围.【例6】已知函数f(x)=8x3−ax2−bx,是否存在实数a,b,使得对任意x∈[−1,1],均有|f(x)|⩽2.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.【例7】已知函数f(x)=x3+ax+b的定义域为[−1,2],记|f(x)|的最大值为M,则M的最小值为（）A.4B.3C.2D.√3强化训练−ax−b|,若对于任意实数a,b,总存在x0∈[1,2],使得f(x0)⩾m成立,则1.设函数f(x)=|2x实数m的取值范围是 .+ax+b|,若对任意的实数a和实数b,总存在x0∈[1,3],使得f(x0)⩾m,则2.设函数f(x)=|2x实数m的最大值是 .x成立,则实数a的取值3.若对于任意的b∈R,都存在x∈[1,a],使得不等式|ax2+bx−1|⩾54范围是 .4.已知函数f(x)=|x3−6x2+ax+b|对于任意的实数a,b总存在x0∈[0,3]使得f(x0)⩾m 恒成立.则m取最大值时,a+b= .A.7B.4C.−4D.−75.已知函数f(x)=lnx−ax−b,对任意的a<0,b∈??,都存在x0∈[1,m],使得|f(x0)|⩾1成立,则实数m的取值范围为 .6.已知函数f(x)=|x3−ax−b|,当x∈[−1,1]时,f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .。

第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题【典型例题】题型一：三角形角的最值及范围问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（）A ．2π3B ．π6C ．π2D ．π3【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BCD【例3】锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是【例4】已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos BA B=+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.【题型专练】1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（）A ．2AB =B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc=+2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A ．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．433⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，6c =，60B =︒，则b 的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6【例2】设ABC 边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC 的面积为212c ，则以下结论中正确的是（）A ．b aa b+取不到最小值2B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为2π3D ．23b a ca b ab+-的最小值为-【例3】已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD = ，求：(1)求()cos A B +的值；(2)求2b a +的最大值.【例4】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A +cos2B +2sin A sin B ＝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值.【例5】ABC 三角形的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=(1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______2.在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．在条件：①2sin 30b A =，②3sin cos a b A a B =-，③22cos a b C c =+中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3b =，而且__________；(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的最大值．4.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.5.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos 3)a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．题型三：三角形边周长的最值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【例2】设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【例3】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a cC b-=.(1)求角B 的大小；(2)求ac的取值范围.【例4】平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，现欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内部种郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最少？【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①()()()sin sin sin 0a c A C b a B +-+-=；②2cos 12cos C C C =+；③2sin sin 2sin cos B A C A -=．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若．(1)求角C ；(2)若4c =，求△ABC 周长的取值范围．【例7】在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B 的值；(2)若b ，求2a c -的取值范围.【例8】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．【题型专练】1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B bC a c=-，则下列说法正确的有（）A ．3B π=B ．若sin 2sinC A =，且ABC 的面积为ABC 的最小边长为2C ．若b =时，ABC 是唯一的，则a ≤D ．若b =ABC 周长的范围为2．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是3．已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=．(1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．4．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.6．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =（百米），1BC =（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建行连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当DEF 为正三角形时，求DEF 的面积的最小值．7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则ba c +2的取值范围是（）A ．B ．(6,C ．D ．2)。

函数的最大值和最小值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。

1()f x x=，[]1,3x ∈的最小值是 。

2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。

y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。

9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。

12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。

二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。

专题09 二次函数中的取值范围专题（一）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 如果二次函数y =x 2−6x +8在x 的一定取值范围内有最大值(或最小值)为3，满足条件的x 的取值范围可以是( )A. −1≤x ≤5B. 1≤x ≤6C. −2≤x ≤4D. −1≤x ≤1【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：∵y =x 2−6x +8=(x −3) 2−1， 当y =3时，得出x =1或5，∴在自变量−1≤x ≤1的取值范围内，当x =1时，有最小值3，2. 已知函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，最小值是，则m 的取值范围是( )A. m ≥−2B. 0≤m ⩽12C. −2≤m ⩽−12D. m ⩽−12【答案】C【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解答】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12，∴当x=−12−[1−(−12)]=−2时，y=1，∵函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤−12；∴−2≤m≤−12．3.已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是()A. −1≤t≤0B. −1≤tC. D. t≤−1或t≥0【答案】A【分析】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y=−(x−1)2+4，∴顶点坐标为(1,4)，当x=0时，y=3，∴A(0,3)，当x=4时，y=−5，∴C(4,−5)，∴当t=0时，D(4,5)，∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t=−1时，此时最小值为−1，最大值为4．综上所述：−1≤t≤0，m−1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是() 4.已知二次函数y=x2−x+14A. m≤5B. m≥2C. m<5D. m>2【答案】A【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．m−1的图象与x轴有交点，【解答】解：∵二次函数y=x2−x+14∴△=(−1)2−4×1×(1m−1)≥0，4解得：m≤5，5.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.20【答案】C【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．根据二次函数的增减性，可得答案．【解答】解：由表格中的数据，得在6.17<x<6.20范围内，y随x的增大而增大，当x=6.18时，y=−0.01，当x=6.19时，y=0.02，方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18<x<6.19，6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x−3−2−1012345y1250−3−4−30512当函数值y<0时，x的取值范围是()A. x<0或x>2B. 0<x<2C. x<−1或x>3D. −1<x<3【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围，同学们应熟练掌握．由表格给出的信息可看出，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，函数有最小值，抛物线开口向上a>0，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，根据二次函数的性质可得出y<0时，x的取值范围．【解答】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x=1，a>0，开口向上，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，则当函数值y<0时，x的取值范围是−1<x<3．7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c−m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≥3B. m≤3C. m≥−3D. m≤−3【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程ax2+bx+c−m=0有实数相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．【解答】解：方程ax2+bx+c−m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点y=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴m≤3，二、填空题8.我们把函数在m≤x≤n上的最大图值和最小值的差称为区间极差，比如一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的区间极差为3−1=2.若二次函数y=−x2+2x+3在−1≤x≤a 上的区间极差为4，则a的取值范围是____________．【答案】1⩽a⩽3【分析】本题考查二次函数的综合问题和其最值问题以及一元二次方程的求解，通过二次函数在−1≤x≤a的区间，求解a的范围。

三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． 解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+． 所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域． 解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值． 解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．答案解析A 组1．4 14或2，322．2216l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值． 4．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =．5．5y ≥- 6．当56x =时，min 36y =-23x =或1时，max 3y =． 7．当54t =-时，min 0y =． B 组1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．2．21m -≤≤-． 3．2,2a b ==-．4．14a=-或1a=-．5．当0t≤时，max22y t=-，此时1x=；当0t>时，max 22y t=+，此时1x=-．。

最大值和最小值习题及答案(苏教版)一、填空题。

1．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝________。

2．函数f (x )＝sin 2x 在[－π4，0]上的最大值是________，最小值是________。

3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值是________，最小值是________。

4．设y ＝|x |3，那么y 在区间[－3，－1]上的最小值是__________。

5．函数f (x )＝3x 2＋4x ＋3x 2＋1的值域为________。

6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________。

7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为________。

8．函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________。

9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋32x 2，x ≤0x 2－2x ＋12，x >0，有下列命题：①过该函数图象上一点(－2，f (－2))的切线的斜率为6；②函数f (x )的最小值等于－12；③该方程f (x )＝0有四个不同的实数根；④函数f (x )在(－1,0)以及(1，＋∞)上都是减函数．其中正确的命题有________。

二、解答题。

10．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62。

求常数a ，b 。

11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值。

二次函数与最值 题集一、实际问题中的最值（1）（2）1.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米．苗圃园若苗圃园的面积为平方米，求的值．若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）．有，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）（2）由题意，得：平行于墙的一边长为，根据题意，得：，解得：或，∵，∴．∴．∵矩形的面积，且，即，∴当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【标注】【知识点】二次函数的几何问题2.（1）（2）某校在基地参加社会实践活动中，基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙的最大可用长度为米），另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口．如图所示，设米．若这个生物园地的面积为平方米，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为多少米时，这个生物园地的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）．为米时面积最大，最大为平方米．【解析】（1）（2）由题意可知∴∴．当时有最大值平方米．故当为米时，生物园地面积最大，最大面积为平方米．【标注】【知识点】二次函数的几何问题3.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为．（1）（2）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． 若要使两间饲养室占地总面积达到，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？【答案】（1）（2）总占地面积为，．占地总面积达到时，道墙长分别为米、米或米、米；占地面积不可能达到平方米．【解析】（1）（2）∵围墙的总长为米，间饲养室合计长米，∴饲养室的宽米，∴总占地面积为，．当两间饲养室占地总面积达到平方米时，则，解得：或．答：各道墙长分别为米、米或米、米．当占地面积达到平方米时，则，方程的，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到平方米．【标注】【知识点】根据条件列二次函数关系式（1）（2）4.某果园有颗橙子树，平均每颗树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子，假设果园多种了棵橙子树．直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系．果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）（2）（）．果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【解析】（1）（2）平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系为：（）．设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为，则，则果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【标注】【知识点】二次函数的利润问题（1）（2）（3）5.已知某商品每件的成本为元，第天的售价和销量分别为元/件和件，设第天该商品的销售利润为元，请根据所给图象解决下列问题：求出与的函数关系式．问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少．该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于元．【答案】（1）（2）（3）当时，，当时，．该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．共天每天销售利润不低于元．【解析】（1）当时，设与的函数关系式为，∵当时，，当，，∴，解得：∴，∴当时，；当时，．（2）（3），∴当时取得最大值元；∵；∴当时，随的增大而减小，当时，，综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天；当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天，所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．【标注】【知识点】函数图象与实际问题最大（1）（2）（3）6.某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）（2）（3）．每台冰箱应降价元．每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【解析】（1）（2）根据题意，得，即．由题意，得．整理，得．解这个方程，得，．（3）要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价元．对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【标注】【知识点】二次函数的利润问题最大值（1）（2）7.在新型城镇化型过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在元到元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：（年获利年销售收入生产成本投资成本）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为多少万件？求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【答案】（1）（2）投资第一年，公司亏损，最少亏损万【解析】（1）（2）把代入，得（万件）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为万件．①当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．②当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．综上，投资第一年，公司亏损，最少亏损万．【标注】【知识点】二次函数的利润问题二、几何问题中的最值（1）（2）1.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．xyOxyO备用图求抛物线的解析式；若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵∴∵∴∵过、∴解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：．过点作轴分别交线段和轴于点、yOx在中，令得方程解这个方程，得，∴设直线的解析式为∴解这个方程组，得∴的解析式为：∵==设，当时，有最大值．此时四边形面积有最大值．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形（1）（2）2.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．xyO求二次函数表达式．若点是第一象限内的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，用含有的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）（2）．当时，的面积最大，最大面积是．【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，，∴二次函数的解析式为．（2）如图，连接，易得的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，∴，，，当时，的面积最大，最大面积是．yO【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）3.如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点．求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）．在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由．（3）设的面积为，求关于的关系式．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为，是等腰三角形．存在，，．．【解析】（1）（2）（3）令，得，．∴点的坐标为．是等腰三角形．存在．，．如图，当时，作轴于，设，∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．如图，当时，作轴于，设∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．综上可得：．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）4.已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，点，点，为抛物线的顶点．求抛物线的解析式．在轴下方且在抛物线上有一动点，求四边形的面积最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由、关于对称轴对称，对称轴为，点，得．将、、点的坐标代入函数解析式，得，解得．（2）故抛物线的解析式为．如图，过作轴于点，交于点．设，点坐标为，．，当时，．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形最大（1）（2）（3）5.如图，二次函数（为非负整数）与轴交于、两点，与轴交于点．求抛物线的解析式．在直线上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标．点在抛物线上，且在第二象限内，设点的横坐标为，问为何值时，四边形的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）（3）时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【解析】（1）（2）（3）由题意得，，解得：，∵是非负整数，∴或，当时，二次函数的解析式为，当时，二次函数的解析式为，∵图象与轴交于点和点，点、分别在原点的左、右两边，∴当时，二次函数的解析式为不符合题意，∴二次函数的解析式为．如图，作点关于的对称点连接交对称轴于点，．由得点坐标为．当时，．解得，，∴，．设的解析式为，图象过点，，得，解得，∴的解析式为，当时，，点坐标为 时，的周长最小．如图，设点坐标为（），作轴于点，由图可知：四边形梯形．因此时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）6.如图，已知抛物线经过，两点．x24y–22O 求该抛物线的解析式．在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）．存在，，面积的最大值为．【解析】（1）（2）把，代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为．存在，理由如下：设的横坐标为，则点的纵坐标为，过作轴的平行线交于，连接，，如图所示，x24y–22O 由题意可求得直线的解析式为，∴点的坐标为，∴，∴的面积，当时，，∴此时，面积的最大值为．【标注】【知识点】二次函数与面积最大（1）（2）（3）7.已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，直线上方的抛物线上一动点，抛物线的顶点是点．图求直线的解析式．求面积的最大值及点的坐标．当的面积最大时，在直线上有一动点，使得的周长最小，求周长最小时点的坐标．图【答案】（1）（2）（3）．，．．【解析】（1）（2）（3）过抛物线上动点作轴的垂线，垂足是，线段交线段于，设，，，∵，∴当时，，此时．关于直线的对称点连接，∵，，∴，∴联立，解得，最大∴．【标注】【知识点】二次函数与动点问题（1）（2）（3）8.如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为，为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．xyO 求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标．在直线上是否存在一点，使周长最小，若存在，请求出最小周长和点的坐标；若不存在，请说明理由．若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）（2）（3）抛物线的解析式为，顶点的坐标为．存在；的周长最小值为，．时，的面积最大，最大面积为．【解析】（1）（2）由题意，得，解得，，所以抛物线的解析式为，顶点的坐标为．设抛物线的对称轴与轴交于点，（3）∵垂直平分，∴关于直线的对称点为，连结交于于一点，xyO∴这一点为所求点，使最小，即最小为．而，∴的周长最小值为．设直线的解析式为，则，解得，，所以直线的解析式为．由于，，，得，所以，，．同理可求得直线的解析式为，联立直线与的方程，解得使的周长最小的点．设，．过作轴的垂线交于，xyO则，所以，即当时，的面积最大，最大面积为，此时．【标注】【知识点】二次函数的几何问题（1）（2）（3）9.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴相交于点，其顶点为．求抛物线及直线的函数关系式．若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）（2）；．；．（3）在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．【解析】（1）（2）（3）将，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将，代入，得：，解得，∴直线的函数关系式为．过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示．图设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴，∵，∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．当时，，∴点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点的坐标为，∴点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示．图∵点，关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴此时周长取最小值，当时，，∴此时点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．10.如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点．（1）（2）（3）求抛物线的解析式．点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）（3）．点为，周长的最小值为．点的坐标为或或．【解析】（1）（2）（3）根据题意，将、代入抛物线，可得：，解得：，所以，抛物线为：．点为，周长的最小值为．∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，点、关于直线对称，当的周长最小时，则需要最小，根据利用轴对称且最小值的方法，可知点是与对称轴的交点，令，则，所以，点坐标为，设为直线，把，代入直线解析式，可得：，解得：，所以，直线为，将代入，可得：，∴点为，此时，，，∴周长的最小值为：．∵，，∴，∵，，∴点的纵坐标为或，令，解得：，，∴点的坐标为：或，令，解得：，∴点的坐标为：．综上所述：点的坐标为：或或．【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题。

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域(分类讨论）（一)正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形：（1)定轴定区间；（2）定轴动区间;(3)动轴定区间;（4)动轴动区间。

题型一：“定轴定区间”型例1、函数y x x =-+-242在区间［0,3]上的最大值是_________，最小值是_______.练习:已知232xx ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

题型二：“动轴定区间”型例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值.解:222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==-③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f④当4≤a 时,min (4)198f f a ==-,==max (0)3f f练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值题型三：“动区间定轴”型的二次函数最值例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

解：=-+2(x)(1)2f x 开口向上，对称轴x=1①当a ＞1，2minf(a)3f a ==-+；2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ②212a a a ++≤<,即0＜a≤1,min f(1)2f ==;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ③212a a a ++≤<即-1＜a≤0,min f(1)f =，max f(a)f = ④a+2≤1，即a≤-1时,,maxf(a)f =;min (a 2)f f =+练习:求函数=-+2()22f x x x 在x ∈［t,t+1］上的最值。

对数函数的 值域与最值练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A ={x|ln x <1}，B ={y|y =√x −20}，则A ∪B =（ ）A.(0, e)B.(0, +∞)C.[0, +∞)D.(0, e)∪[20, +∞)2. 定义域为R 的函数y ＝f(x)的值域为[a, b]，则函数y ＝f(x +a)的值域为（ ）A.[2a, a +b]B.[a, b]C.[0, b −a]D.[−a, a +b]3. 若函数f(x)=log a (x +1)的定义域和值域都为[0, 1]，则a 的值为（ ）A.2B.12C.3D.134. 已知函数f(x)={log 3x,x ＞0x 2,x ≤0，若f(−1)=2f(a) ，则a 的值为( ) A.−√22 B.√3 C.√3或−√22 D.±√225. 已知函数y =lg [(a 2−1)x 2−2(a −1)x +3]的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.[−2, −1]B.[−2, 1]C.(−2, 1)D.(−∞, −2)∪[1, +∞)6. 已知a ，b 为正实数，且a +2b =4，则log 2a +log 2b ( )A.当a =2，b =1时，取得最大值1B.当a =b =43时，取得最大值2log 243C.当a =2，b =1时，取得最小值1D.当a =b =43时，取得最小值2log 2437.已知函数f(x)=log 2(ax 2+2x +2)(a ∈R)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. [0，12]B. (0，12]C. [12，+∞)D.(12，+∞)8. 已知函数f(x)=log2x−4,x∈[1,4]，则函数y=f(x2)⋅log√2(2x)的值域是( )A.[−4,0]B.[−2,0]C.[−9,−8]D.[−94,−2]9. 若不等式log2x−m≥0(x≥4)恒成立，则实数m的取值范围是________．10. 函数的值域是________，的值域是________.11. 函数y=log12(x2+2)的最大值为________，单调递增区间是________．12. 函数y＝log12(x2−6x+11)的值域为________．13. 已知函数f(x)=log32x2+bx+cx2+1的值域为[0, 1]，则b2+c=________．14. 已知函数f(x)＝log a(2x−a)在区间[12,23]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．15. 给出下列四个命题：（1）函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；（2）函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)；（3）若函数f(x)＝1g(x2+ax−a)的值域是R，则a≤−4或a≥0；（4）若函数y＝f(x−1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称其中所有正确命题的序号是________．16. 己知函数f(x)=log12(2x−1);(1)求函数f(x)的定义域，及f(1);(2)若x ∈[1,92]，求函数f (x )的值域．17. 已知函数. （1）若的定义域，值域都是，求的值；（2）当时，讨论在区间上的值域.18. 设，且. （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的值域.19. 已知函数f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为−2，求a 的值．20. 已知函数f(x)=log a x−5x+5(a >0且a ≠1)．(1)当a =2，x ∈[10,15]时求f(x)的值域；(2)设g(x)=log a (x −3)，若方程f(x)−1=g(x)有实根，求a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1）．(1)若f (2a +2)≤f (5a )，求a 的取值范围；(2)若y =f (x 2+x +12)的最大值为2，求f (x )在区间[18,4]上的值域．22. 已知函数f(x)=1+log2x，x∈[1, 16]．(1)求函数f(x)的值域；(2)设g(x)=[f(x)]2−f(x4)，求g(x)的最值及相应的x的值．23. 已知f(x)=(log2x)2−2a log2x−3(a∈R).(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0；(2)若x∈[2,8]，求函数f(x)的最小值.24. 已知函数g(x)=a2x+ta x(a>0,a≠1)是奇函数．(1)求实数t的值；(2)若g(1)>0，求使不等式g(kx−x2)+g(x−1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；(3)设f(x)=logb [a2x+a−2x−bg(x)](b>0,b≠1)，若g(1)=32，问是否存在实数b使函数f(x)在[1,log23]上的最大值为0？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析对数函数的值域与最值练习题含答案一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】C【考点】对数函数的值域与最值函数的定义域及其求法并集及其运算【解析】化简集合A、B，再计算A∪B．【解答】解：集合A={x|ln x<1}={x|0<x<e}=(0, e)，B={y|y=√x−20}={y|y≥0}=[0, +∞)；则A∪B=[0, +∞)．故选C.2.【答案】B【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】考虑函数的三要素，只要2个函数的定义域和值域相同，函数的值域也就相同．【解答】∵定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a, b]，而函数y＝f(x+a)的定义域也是R，对应法则相同，故值域也一样，3.【答案】A【考点】对数函数的值域与最值【解析】分当a>1和0<a<1两种情况，分别利用函数的单调性和已知条件，求得a的值．【解答】(x+1)的定义域和值域都为[0, 1]，解：当a>1时，由函数y=loga2=1，解得a=2．可得当x=1时，函数取得最大值为loga2=0，a无解．当0<a<1时，由条件可得当x=1时，函数取得最小值为loga综上可得，a=2，4.【答案】C【考点】分段函数的应用对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(−1)=1，且f(−1)=2f(a)，所以f(a)=12.当a>0时，由log3a=12，得a=√3；当a≤0时，由a2=12，得a=−√22，所以a=√3或a=−√22.故选C.5.【答案】A【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系对数函数的值域与最值【解析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【解答】解；∵函数y=lg[(a2−1)x2−2(a−1)x+3]的值域为R，∴当a2−1=0时，a=1或a=−1，验证a=1时不成立；当a2−1≠0时，{a2−1>0，Δ=4(a−1)2−12(a2−1)≥0，解得−2≤a<−1.综上，−2≤a≤−1，∴实数a的取值范围是[−2, −1]．故选A．6.【答案】A【考点】基本不等式对数函数的值域与最值【解析】【解答】解：已知a>0，b>0，a+2b=4，∴a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab（当且仅当a=2b时取等号），∴2√2ab≤4，∴ab≤2，∴ab的最大值为2，∴当a=2，b=1时，log2a+log2b=log2ab取得最大值1.故选A.7.【答案】A【考点】对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意函数y=ax2+2x+2能取遍所有正数,分两种情况讨论：①当a=0时，y=2x+2显然满足题意；②当a≠0时，必须有{a>0，Δ≥0，即4−8a≥0，解得0<a≤12.综上，a的取值范围是[0，12].故选A.8.【答案】C【考点】对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：f(x)=log2x−4,x∈[1,4]，则f(x2)=log2(x2)−4，x2∈[1,4]，所以x∈[1,2].y=f(x2)⋅log√2(2x)=[log2(x2)−4]⋅log√2(2x)=(2log2x−4)⋅2(log22+log2x)=4(log2x−2)(1+log2x)=4[(log2x)2−log2x−2]log2x∈[0，1]，函数y=f(x2)⋅log√2(2x)的值域为[−9,−8] .故选C.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）9.【答案】m≤2【考点】对数函数的值域与最值【解析】问题转化为m≤log2x在[4, +∞)恒成立，结合对数函数的性质求出m的范围即可．【解答】若不等式log2x−m≥0(x≥4)恒成立，则m≤log2x在[4, +∞)恒成立，而y＝log2x在[4, +∞)递增，故y的最小值是y＝log24＝2，故m≤2，10.【答案】[0．+∞),(∼m．4]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值复合函数的单调性【解析】根据偶次方根为非负数求得f(x)的值域，根据g(x)的定义域和单调性求得g(x)的值域．【解答】对于f(x)=√1−x≥0对任意x≤1成立，故f(x)的值域是[0,+∞)对于g(x)=x−2√1−x+3，由于函数g(x)在(−∞,1]上为增函数，且g(1)=4，故g(x)∈(−∞,4]故填：（1）[0,+∞)；(2)(−∞,1)11.【答案】−1,(−∞, 0)【考点】对数函数的值域与最值函数的单调性及单调区间【解析】根据对数函数的性质结合函数的单调性，从而得出答案．【解答】解：当x=0时，函数y=log122=−1，函数y=x2+2在(−∞, 0)递减，∴函数y=log1(x2+2)在(−∞, 0)递增，故答案为：−1，(−∞, 0)．12.【答案】(−∞, −1]【考点】对数函数的值域与最值【解析】先求y ＝x 2−6x +11的取值范围，再根据对数函数单调性求值域．【解答】∵ x 2−6x +11＝(x −3)2+2≥2，∴ log 12(x 2−6x +11)≤log 122=−1， 13.【答案】6【考点】对数函数的值域与最值对数函数的定义域函数的值域及其求法【解析】根据f(x)的值域为[0, 1]，及对数函数的单调性便可得到1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3，可设y =2x 2+bx+cx 2+1，可整理成关于x 的一元二次方程的形式：(y −2)x 2−bx +y −c =0，方程有解，从而便有△≥0，从而得到4y 2−(4c +8)y +8c −b 2≤0，根据1≤y ≤3便知1，3为方程4y 2−(4c +8)y +8c −b 2=0的两实数根，由韦达定理即可求出b ，c ，从而可以得出b 与c 的和．【解答】解：由0≤f(x)≤1得：1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3， 即{2x 2+bx+cx 2+1≥1，2x 2+bx+cx 2+1≤3，解得：{x 2+bx +c −1≥0，x 2−bx +3−c ≥0，即{Δ1=b 2−4(c −1)≥0，Δ2=b 2−4(3−c)≥0，当{Δ1=0Δ2=0时，0≤log 32x 2+bx+c x 2+1≤1取等号. 解得{b =±2，c =2， ∴ b 2+c =6.14.【答案】(13,1)【考点】对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值【解析】先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f(x)＝loga(2x−a)在区间[12,23]上恒有f(x)>0问题转化为{a>12x−a>1在区间[12,23]上恒成立或{0<a<1 0<2x−a<1在区间[12,23]上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解【解答】由对数函数的图象性质，f(x)＝loga (2x−a)>0⇔{a>12x−a>1或{0<a<10<2x−a<1由{a>12x−a>1在区间[12,23]上恒成立，得{a>12×12−a>1即a∈⌀由{0<a<10<2x−a<1在区间[12,23]上恒成立，得{0<a<12×23−a<12×12−a>0即a∈(13,1)15.【答案】∵y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c ＝0，故成立；由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)，故①②③【考点】反函数对数函数的值域与最值命题的真假判断与应用【解析】①由y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，知函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c ＝0；②由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)；③根据对数函数的值域为R，则R+为y＝x2+ax−a值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断③的真假；④y＝f(x−1)是偶函数，它的图象关于y轴(x＝0)对称．y＝f(x)是由y＝f(x−1)向左平移1个单位得到，故可判断④的真假．∵y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0，故成立；由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)，故成立；（1）若函数f(x)＝lg(x2+ax−a)的值域是R，则y＝x2+ax−a的图象与x轴有交点，即a2+4a≥0，故a≤−4或a≥0，故（2）成立；（3）y＝f(x−1)是偶函数，它的图象关于y轴(x＝0)对称．y＝f(x)是由y＝f(x−1)向左平移1个单位得到．故：y＝f(x)关于x＝−1对称，故（4）不成立．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）16.【答案】解：(1)根据对数函数的定义可得:2x−1>0，解得x>12，所以函数f(x)的定义域是(12,+∞)，值域是R．(2)令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；因为函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，所以f(x)=log12u∈[−3,0]所以函数f(x)在x∈[1,92]上的值域为[−3,0]．【考点】函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】（1）根据对数函数的真数部分大于0，即可求出定义域，对于值域，直接根据对数函数的定义即可得到．（2）令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；接下来根据对数函数的性质，可知函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，据此可求出f(x)=log12u的值域，据此即可完成本题．【解答】解：(1)根据对数函数的定义可得:2x−1>0，解得x>12，所以函数f(x)的定义域是(12,+∞)，值域是R．(2)令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；因为函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，所以f(x)=log12u∈[−3,0]所以函数f(x)在x∈[1,92]上的值域为[−3,0]．17.【答案】（1）实数α不存在在；（2）当0<b<1时，值域为：[log2(b2−2b+1),0]当1<b≤2，值域为(−∞,0]当b>2时，值域为：(−3,log2(b2−2b+1)]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值对数函数的定义域【解析】（1）根据对数的真数大于零，结合已知和一元二次不等式解集的性质、对数函数的单调性进行求解即可；（2）根据复合函数的单调性，结合所给的区间，分类讨论进行求解即可．【解答】（1）因为f(x)的定义域是R，所以x2−ax+1>0在实数集上恒成立，故一元二次方程x2−ax+1=0的根的判别式Δ=a2−4<0⇒a2≤4f(x)的值域是R，说明y=x2−ax+1能取遍所有的正实数，因此一元二次方程x2−ax+1=0的根的判别式Δ=a2−4≥0⇒a2≥4，显然这与刚得到a2<4矛盾，故不存在这样的实数α；（2）因为a=2，所以f(x)=log2(x2−2x+1)=log2(x−1)2，函数的定义域为不等于1的全体实数，故区间[0,b]的右端点不能等于1，即b>0且b≠1，显然函数在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．当0<b<1时，函数在[0,b]上是减函数，故函数的最大值为f(0)=log21=0，函数的最小值为：f(b)=log2(b2−2b+1)，因此函数的值域为：[log2(b2−2b+1),0]当1<b≤2，函数没有单调性，故函数的最大值为f(0)=log21=0，而x≠1，所以函数的值域为(−∞,0]当b>2时，函数的最大值为：f(b)=log2(b2−2b+1)，而x≠1，所以函数的值域为：(−∞,log2(b2−2b+1)]18.【答案】（1）a=2,(−1,3)；（2）[log23,2]【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】（1）由f (1)=2代入可得α的值，列出不等式组{1+x >03−x >0可得定义域； （2）根据复合函数的单调性判断f (x )在区间[0,32]的单调性即可得结果【解答】（1）f (1)=2，∴ log a 4=2(a >0,a ≠1)，…a =2由{1+x >03−x >0，得x ∈(−1,3)，∴ 函数f (x )的定义域为(−1,3) （2）f (x )=log 2(1+x )+log 2(3−x )=log 2(1+x )(3−x )=log 2[−(x −1)2+4] ．当x ∈(−1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在[0,32]上的最大值是f (1)=log 24=2 函数f (x )在[0,32]上的最小值是f (0)=log 23．f (x )在区间[0,32]上的值域是[log 23,2]19.【答案】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.【考点】对数函数的定义域对数及其运算对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.20.【答案】解：(1)∵ x−5x+5=1−10x+5，x ∈[10,15]，∴ x−5x+5∈[13,12]． 当a =2时，f(x)=log 2x−5x+5，∴ f(x)∈[−log 23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：log ax−5x+5=1+log a (x −3)有实根． 由x−5x+5>0且x −3>0，得：x >5，即方程x−5x+5=a(x −3)有大于5的实根．∵ x >5，∴ a =x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10) =x −5(x −5)2+12(x −5)+20=1x −5+20x −5+12 ≤2√20+12=3−√516，∴ a ∈(0, 3−√516]．对数函数的值域与最值由函数零点求参数取值范围问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用导数法判断内函数的单调性，结合对数函数的单调性和复合函数单调性“同增异减”的原则，可判定f(x)在x∈(−∞, −5)上的单调性；（2）通过g(x)=1+loga(x−3)，求出方程f(x)=g(x)的表达式，利用方程有实根，求出函数的定义域；法一：求出方程中a的表达式，通过变形，利用基本不等式求出a的取值范围．法二：转化方程为二次函数，通过二次方程根的分布，求出a取值范围．【解答】解：(1)∵x−5x+5=1−10x+5，x∈[10,15]，∴x−5x+5∈[13,12]．当a=2时，f(x)=log2x−5x+5，∴f(x)∈[−log23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：loga x−5x+5=1+loga(x−3)有实根．由x−5x+5>0且x−3>0，得：x>5，即方程x−5x+5=a(x−3)有大于5的实根．∵x>5，∴a=x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10)=x−5(x−5)2+12(x−5)+20=1x−5+20x−5+12≤2√20+12=3−√516，∴a∈(0, 3−√516]．21.【答案】解：(1)当0<a<1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的减函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≥5a,解得0<a≤23．当a>1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≤5a,解得a>1．故a的取值范围为(0,23]∪(1,+∞)．(2)因为x2+x+12=(x+12)2+14≥14，且loga (x2+x+12)有最大值2，所以0<a<1，且loga 14=2，解得a=12．因为f(x)=log12x是(0,+∞)上的减函数，且f(18)=3，f(4)=−2，所以f(x)在区间[18,4]上的值域为[−2,3]．【考点】对数函数的图象与性质对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当0<a<1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的减函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≥5a,解得0<a≤23．当a>1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≤5a,解得a>1．故a的取值范围为(0,23]∪(1,+∞)．(2)因为x2+x+12=(x+12)2+14≥14，且loga (x2+x+12)有最大值2，所以0<a<1，且loga 14=2，解得a=12．因为f(x)=log12x是(0,+∞)上的减函数，且f(18)=3，f(4)=−2，所以f(x)在区间[18,4]上的值域为[−2,3]．22.【答案】解：(1)∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]. (2)g(x)=[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]. g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x，设log2x=t，∴y=t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t=0即x=1时，g(x)有最大值0，当t=1即x=2时，g(x)有最小值−1.综上：当x=1时，g(x)有最大值0；当x=2时，g(x)有最小值−1．【考点】对数函数的值域与最值函数的值域及其求法【解析】（1）x∈[1, 16]，log2x∈[0, 4]，进而求解；（2）由题意x∈[1, 16]，所以1≤x4≤16，g(x)的定义域为[1, 2]，进而求解；【解答】解：(1)∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]. (2)g(x)=[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]. g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x，设log2x=t，∴y=t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t=0即x=1时，g(x)有最大值0，当t=1即x=2时，g(x)有最小值−1.综上：当x=1时，g(x)有最大值0；当x=2时，g(x)有最小值−1．23.【答案】解：(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0，得，(log2x)2+2log2x−3<0.即−3<log2x<1，故不等式的解集为{x|18<x<2}.(2)令t=log2x∵ x∈[2,8]:t∈[1,3]函数f(x)换元得：y=g(t)=t2−2at−3,t∈[1,3]此二次函数开口向上，对称轴为t轴=a.分类如下：①当a≤1时，y min=g(1)=1−2a−3=−2a−2，②当1<a≤3时，y min=g(a)=a2−2a2−3=−a2−3，③当a>3时，y min=g(3)=9−6a−3=6−6a.综上，当a≤1时，y min=−2a−2；当1<a≤3时，y min=−a2−3；当a>3时，y min=6−6a.【考点】其他不等式的解法对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0，得(log2x)2+2log2x−3<0，即−3<log2x<1，故不等式的解集为{x|18<x<2}.(2)令t=log2x∵ x∈[2,8],t∈[1,3]函数f(x)换元得：y=g(t)=t2−2at−3,t∈[1,3]此二次函数开口向上，对称轴为t轴=a.分类如下：①当a≤1时，y min=g(1)=1−2a−3=−2a−2，②当1<a ≤3时，y min =g(a)=a 2−2a 2−3=−a 2−3，③当a >3时，y min =g(3)=9−6a −3=6−6a .综上，当a ≤1时，y min =−2a −2；当1<a ≤3时，y min =−a 2−3；当a >3时，y min =6−6a .24.【答案】解：(1)函数g (x )=a 2x +ta x (a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数，所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．(2)由(1)得g (x )=a x −a −x ，由g (1)>0得a −1a >0，a >0，∴ a >1， 由g (kx −x 2)+g (x −1)<0得g (kx −x 2)<−g (x −1)，∴ g (x )为奇函数，∴ g (kx −x 2)<g (1−x )，∵ a >1，∴ g (x )=a x −a −x 为R 的增函数，∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ=(k +1)2−4<0，解得−3<k <1 .(3)假设存在正数b (b ≠1)符合题意，因为g (1)=32(a >0)，代入可得a −1a =32，解得a =2或a =−12（舍）， 则g (x )=2x −2−x ，f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]=log b [22x +2−2x −b (2x −2−x )]=log b [(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2]，设t =2x −2−x ，则(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2=t 2−bt +2，∵ x ∈[1,log 23]，∴ t ∈[32,83]， 记p (t )=t 2−mt +2，∵ 函数f(x)=log b [a 2x +a −2x −bg(x)]在[1,log 23]上的最大值为0， (i)若0<m <1，则函数p (t )=t 2−mt +2在[32,83]上有最小值为1， ∵ 对称轴t =m 2<12，∴ p min (t )=p (32)=174−32m =1⇒m =136， 不合题意；(ii)若m >1，则函数p (t )=t 2−mt +2>0在[32,83]上恒成立（最小值大于0）， 且最大值为1，① {12<m 2≤2512,p (t )max =p (83)=1,⇒{1<m ≤256,m =7324,⇒m =7324， 又此时m 2=7348∈[32,83]，又p (t )min =p (7348)<0，故g (x )无意义，所以m =7324应舍去． ② {m 2>2512,p(t)max =p (32)=1,⇒{m >256,m =136,⇒m 无解， 综上所述．不存在正数b (b ≠1)，使函数f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]在[1,log 23]的最大值为0 .【考点】奇函数奇偶性与单调性的综合对数函数的值域与最值【解析】（1）函数g (x )=a 2+ta 2(a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．【解答】解：(1)函数g (x )=a 2x +ta x (a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数，所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．(2)由(1)得g (x )=a x −a −x ，由g (1)>0得a −1a >0，a >0，∴ a >1， 由g (kx −x 2)+g (x −1)<0得g (kx −x 2)<−g (x −1)，∴ g (x )为奇函数，∴ g (kx −x 2)<g (1−x )，∵ a >1，∴ g (x )=a x −a −x 为R 的增函数，∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ=(k +1)2−4<0，解得−3<k <1 .(3)假设存在正数b (b ≠1)符合题意，因为g (1)=32(a >0)，代入可得a −1a =32，解得a =2或a =−12（舍）， 则g (x )=2x −2−x ，f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]=log b [22x +2−2x −b (2x −2−x )]=log b [(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2]，设t =2x −2−x ，则(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2=t 2−bt +2，∵ x ∈[1,log 23]，∴ t ∈[32,83]， 记p (t )=t 2−mt +2，∵ 函数f(x)=log b [a 2x +a −2x −bg(x)]在[1,log 23]上的最大值为0， (i)若0<m <1，则函数p (t )=t 2−mt +2在[32,83]上有最小值为1，试卷第21页，总21页 ∵ 对称轴t =m 2<12，∴ p min (t )=p (32)=174−32m =1⇒m =136， 不合题意；(ii)若m >1，则函数p (t )=t 2−mt +2>0在[32,83]上恒成立（最小值大于0）， 且最大值为1，① {12<m 2≤2512,p (t )max =p (83)=1,⇒{1<m ≤256,m =7324,⇒m =7324， 又此时m 2=7348∈[32,83]，又p (t )min =p (7348)<0，故g (x )无意义， 所以m =7324应舍去． ② {m 2>2512,p(t)max =p (32)=1,⇒{m >256,m =136,⇒m 无解， 综上所述．不存在正数b (b ≠1)，使函数f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]在[1,log 23]的最大值为0 .。

平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合． 考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的+的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0))((≤--c b c a b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，βααβα≠≠01=，且α与αβ-的夹角为120°的取值范围是_____________ .变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是 ；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法． 考点2、向量夹角的范围例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD→的取值范围是 ；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a →·b →=(a →+b →2)2-(a →-b →2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（ ） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（ ） A.14,p p B.13,p p C.23,p p D.24,p p2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满 足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．523、(201宁波市期末)在ABC∆中，D 为B C 中点，若120=∠A ，，则AD 的最小值是 （ ）A.21 B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方 体内部及面上的两个动点，则PQ AM ⋅的最大值是（ ） A.21 B.1 C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，21-=⋅b a ，060,=--c b c a ，则c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．17、如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )O A BCEFxy A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则b a ⋅的最小值是_____；9、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 ；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为____ __；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形 内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅的最大值为 ；12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一 边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC •的范围是 .11题图 12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ ；。

对数函数的值域与最值（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2006•丰台区一模）已知全集U R =，集合0.5{|log A y y x ==，2}x >，{|2x B y y ==，2}x >，则()(UA B)A ．(-∞，4]B ．[1-，4]C ．(1,4)-D ．[1，)+∞2．（2006•西城区二模）函数12()log (1)([2,5])f x x x =-∈的最大值与最小值之和是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．13．（2004秋•丰台区期末）三个数0.10.431log ,3,34的大小关系是( )A ．0.40.131log 334<< B ．0.10.431log 334<< C ．0.40.1313log 34<< D ．0.10.43133log 4<< 4．（2018秋•海淀区校级期中）设2log 5a =，3log 5b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>5．（2015秋•北京校级期中）函数2log 3y x =+的值域是( ) A ．[2，)+∞B ．(3,)+∞C ．[3，)+∞D ．(,)-∞+∞6．（2010•海淀区校级模拟）下列函数中，值域是R +的函数是( ) A ．21y x x =++B ．12x y -= C ．23(1)y x =+D ．2|log |y x =7．（2010•丰台区二模）已知函数2()log f x x =，若|()|1f x ，则实数x 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]2B ．[2，)+∞C ．(0，1][22，)+∞D ．(-∞，1][22，)+∞二．填空题（共5小题）8．（2013秋•朝阳区期中）函数2log (1),01()2,10x x f x x x +⎧=⎨-<⎩的值域是 ．9．（2013•北京）函数12,1()2,1x log x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为 ．10．（2011秋•朝阳区期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[1x ∈，2]与函数2y x =，[2x ∈-，1]-即为“同族函数”．下面函数中，解析式能够被用来构造“同族函数”的有 （填入函数对应的序号）①223y x x =-+； ②3y x =； ③2log y x =； ④2x xe e y -+=； ⑤|21|x y =-11．（2008秋•西城区校级月考）若函数2(34)y lg ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．12．（2005•西城区校级一模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈使12()()(2f x f x C C +=为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C ．给出下列四个函数：（1）2y x =，（2）sin y x =，（3）y lgx =，（4）3x y =，则均值为2的函数为 ． 三．解答题对数函数的值域与最值（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2006•丰台区一模）已知全集U R =，集合0.5{|log A y y x ==，2}x >，{|2x B y y ==，2}x >，则()(UA B)A ．(-∞，4]B ．[1-，4]C ．(1,4)-D ．[1，)+∞【分析】先通过求对数函数和指数函数的值域，将集合A 、B 转化为数集，再利用集合运算性质运算即可 【解答】解：0.5{|log A y y x ==，2}{|1}x y y >=<-，{|2x B y y ==，2}{|4}x y y >=>，{|1A B y y ∴=<-或4}y > (){|14}[1UAB y y ∴=-=-，4]故选：B ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的值域，描述法表示集合，集合的运算性质 2．（2006•西城区二模）函数12()log (1)([2,5])f x x x =-∈的最大值与最小值之和是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【分析】因为对数函数的底数小于1，所以在定义域上是减函数，则2，5分别对应其最大值和最小值，然后再求解． 【解答】解：对数函数的底数小于1∴函数12()log (1)([2,5])f x x x =-∈是减函数∴最大值与最小值之和即为：(21)(51)1122log log 2--+=- 故选：A ．【点评】本题主要考查对数函数的最值，解决最值问题要先研究单调性，同时还要注意定义域． 3．（2004秋•丰台区期末）三个数0.10.431log ,3,34的大小关系是( )A ．0.40.131log 334<< B ．0.10.431log 334<< C ．0.40.1313log 34<< D ．0.10.43133log 4<< 【分析】根据对数函数3log y x =是增函数，得到31log 4是负数，再根据指数函数3x y =是增函数，得到0.10.4133<<，从而得到正确选项．【解答】解：函数3log y x =是增函数∴331log log 104<= 又函数3x y =是增函数 00.10.4333∴<< 0310=>∴0.10.43101334log <<<< 故选：B ．【点评】本题着重考查了指数函数与对数函数的单调性、用函数的单调性比较实数的大小等知识点，属于基础题． 4．（2018秋•海淀区校级期中）设2log 5a =，3log 5b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【分析】a ，b 分别为log x a y =，log x b y =，在5x =时的函数值，借助图象比大小，b ，c 借助3log x y =的单调性比较大小． 【解答】解：由题意知a ，b 分别为2log x y =，3log x y =，在5x =时的函数值，由图象知a b >．因为3log x y =是增函数，所以b c >．故选：B ．【点评】本题考查对数函数图象，属于简单题．5．（2015秋•北京校级期中）函数2log 3y x =+的值域是( ) A ．[2，)+∞B ．(3,)+∞C ．[3，)+∞D ．(,)-∞+∞【分析】根据对数函数的图象和性质，得到2log 3(,)y x =+∈-∞+∞，可得答案． 【解答】解：2log (,)y x =∈-∞+∞，2log 3(,)y x ∴=+∈-∞+∞，即函数2log 3y x =+的值域是(,)-∞+∞， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键． 6．（2010•海淀区校级模拟）下列函数中，值域是R +的函数是( ) A ．21y x x =++B ．12x y -= C ．23(1)y x =+D ．2|log |y x =【分析】根据二次函数的图象和性质，可以求出A 答案中函数的值域；根据对数函数的图象和性质，可以求出B 答案中函数的值域；根据幂函数函数的图象和性质，可以求出C 答案中函数的值域；根据对数函数的图象和性质，可以求出D 答案中函数的值域，进而得到答案．【解答】解：由二次函数的性质可得，函数21y x x =++的值域为3[4，)+∞；由指数函数的性质及左右平移不改变函数的值域，可得函数12x y -=的值域为(0,)+∞；由幂函数23y x =的值域R ，函数23(1)y x =+的图象可由23y x =的向左平移一个单位得到，其值域与幂函数23y x =的值域相等均为[0，)+∞；由对数函数的性质及函数图象对折变换法则，可得函数2|log |y x =的值域为[0，)+∞； 故值域是R +的函数仅由12x y -=， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域，指数函数的值域，幂函数的值域及二次函数的值域，其中熟练掌握基本初等函数的图象和性质，及函数图象变换对函数性质的影响是解答本题的关键． 7．（2010•丰台区二模）已知函数2()log f x x =，若|()|1f x ，则实数x 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]2B ．[2，)+∞C ．(0，1][22，)+∞D ．(-∞，1][22，)+∞【分析】由函数2()log f x x =，将|()|1f x 转化为2|log |1x ，再去绝对值求解． 【解答】解：函数2()log f x x =， |()|1f x ∴，即：2|log |1x ， 2log 1x ∴或2log 1x -102x∴<或2x 故选：C ．【点评】本题主要考查绝对值不等式，对数不等式的解法，绝对值不等式一般有两种解法，一是利用绝对值的意义，二是等价转化；对数不等式求解，则多用对数函数的单调性． 二．填空题（共5小题）8．（2013秋•朝阳区期中）函数2log (1),01()2,10x x f x x x +⎧=⎨-<⎩的值域是 [2-，1] ．【分析】根据分段函数的解析式，分两段进行求解，当01x 时，利用复合函数的单调性的判断法则，可以得到函数()f x 为单调增函数，即可求得()f x 的取值范围即值域，当10x -<时，判断出()f x 为单调递增函数，利用单调性求出()f x 的取值范围，即可得()f x 的值域，最后取两个值域的并集，可以求得()f x 的值域． 【解答】解：函数2log (1),01()2,10x x f x x x +⎧=⎨-<⎩，①当01x 时，2()log (1)f x x =+，1y x =+在[0，1]上单调递增，而2log y x =在其定义域上为单调递增函数， 2()log (1)f x x ∴=+在[0，1]上单调递增，(0)()f f x f ∴（1）， 即22log (01)()log (11)f x ++， 22log 1()log 2f x ∴，0()1f x ∴，()f x ∴的值域为[0，1]；②当10x -<时，()2f x x =是[1-，0)上的单调递增函数， (1)()(0)f f x f ∴-<，即2()0f x -<，()f x ∴的值域为[2-，0)．综合①②可得，()f x 的值域为[2-，1]．【点评】本题考查了对数函数的值域与最值，求函数的值域要注意考虑定义域的取值，再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．属于中档题． 9．（2013•北京）函数12,1()2,1x log x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为 (,2)-∞ ．【分析】通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域． 【解答】解：当1x 时，1122()10f x log x log ==；当1x <时，10()222x f x <=<=．所以函数12,1()2,1x log x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为(,2)-∞．故答案为(,2)-∞．【点评】本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．10．（2011秋•朝阳区期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[1x ∈，2]与函数2y x =，[2x ∈-，1]-即为“同族函数”．下面函数中，解析式能够被用来构造“同族函数”的有 ①④⑤ （填入函数对应的序号）①223y x x =-+； ②3y x =； ③2log y x =； ④2x xe e y -+=； ⑤|21|x y =-【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．由此判断各个函数在其定义域上的单调性，即可得到①④⑤中的函数是符合题意的，而②③中的两个函数在其定义域上是增函数，不符合题意．【解答】解：根据题意，“同族函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应． 因此，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调． 函数223y x x =-+在(,1)-∞上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，223y x x ∴=-+能够被用来构造“同族函数”，故①正确； 函数3y x =在(,)-∞+∞上是增函数，3y x ∴=不能够被用来构造“同族函数”，故②不正确； 函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数；2log y x ∴=不能够被用来构造“同族函数”，故③不正确； 函数2x xe e y -+=在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，∴2x xe e y -+=能够被用来构造“同族函数”，故④正确；函数|21|x y =-在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，|21|x y ∴=-能够被用来构造“同族函数”，故⑤正确． 综上所述，能够被用来构造“同族函数”的函数有①④⑤ 故答案为：①④⑤【点评】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查了基本初等函数的单调性的知识点，属于中档题．11．（2008秋•西城区校级月考）若函数2(34)y lg ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是 [0，9]16． 【分析】本题中函数2(34)y lg ax x =++的值域为R 故内层函数234ax x ++的值域要取遍全体正实数，当0a =时符合条件，当0a >时，可由△0保障2(34)y lg ax x =++的内层函数234ax x ++的值域能取遍全体正实数，故解题思路明了．【解答】解：当0a =时符合条件，故0a =可取； 当0a >时，△9160a =-，解得916a ，故9016a <， 综上知实数a 的取值范围是[0，9]16， 故答案为：[0，9]16． 【点评】本题考点是对数函数的值域与最值，考查对数函数的定义其定义域为全体实数的等价条件的理解，本题是一个易错题，应依据定义厘清转化的依据．12．（2005•西城区校级一模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈使12()()(2f x f x C C +=为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C ．给出下列四个函数：（1）2y x =，（2）sin y x =，（3）y lgx =，（4）3x y =，则均值为2的函数为 （3） ．【分析】对于函数2y x =，可直接取任意的1x R ∈，验证求出两个的2x =，即可得到成立．故错；对于函数②sin y x =，根据值域得到明显不成立，对于函数y lgx =，定义域为0x >，值域为R 且单调，显然成立．对于函数3x y =，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．【解答】解：对于函数2y x =，取任意的1x R ∈，221212()()222f x f x x x ++==，2x =2x D ∈．故不满足唯一存在的条件．对于函数sin y x =，明显不成立，正弦函数的值域是[1-，1]，故不满足条件； 对于函数y lgx =，定义域为0x >，值域为R 且单调，显然必存在唯一的2x D ∈，使12()()22f x f x +=成立．故成立．对于函数3x y =定义域为R ，值域为0y >．对于13x =，1()27f x =． 要使12()()22f x f x +=成立，则2()23f x =-，不成立．综上可知只有（3）正确， 故答案为：（3）【点评】本题主要考查对新定义的概念的理解，考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，本题解题的关键是充分理解各基本初等函数的定义域和值域，本题是一个中档题目．三．解答题。