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高中数学 暑假培训资料 15 函数的奇偶性 新人教A 版必修1
一、知识点：
1．函数的奇偶性的定义：
① 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
② 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2．.函数的奇偶性的判断：
可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
)0)((1)
()(0)()()()(≠±=-⇔
=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.
注意： ①若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义，则0)0(=f
③若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数。
3．奇偶函数图象的对称性
（1） 若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的
图象关于直线a x =对称；
（2） 若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；
二、基础篇：
1．下列判断正确的是（ ）
A ．函数2
2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-
C ．函数()f x x =+
D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数
2． 若函数2()1
x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________
3．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）
A ．{}|303x x x -<<>或
B ．{}|303x x x <-<<或
C ．{}|33x x x <->或
D ．{}|3003x x x -<<<<或
三、提高篇：
4．判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；
（2）2
|2|1)(2
-+-=x x x f ； 5．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 则2(6)(3)f f -+-=__________。
6. 设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1
f x
g x x +=
-,求()f x 和()g x 的解析式.
7. 定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有
)1()()(xy
y x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数；
知识整理、理解记忆要点 1. 2.
3. 4.
四、自主练习：
1. 下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2lg(1)33
x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．函数lg y x = ( )
A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增
B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减
3．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）
A ．递增且无最大值
B ．递减且无最小值
C ．递增且有最大值
D ．递减且有最小值
4．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =______。
