双曲线的标准方程1公开课

《双曲线的标准方程》教学设计第一课时◆教学目标1. 掌握双曲线的定义，提升学生的数学抽象素养．2.掌握双曲线的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：双曲线的定义及其标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导过程．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习双曲线的标准方程第一课时．（2）学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高．如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章．所以说本节课的作用就是纵向承接双曲线定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、探究新知问题2：如图所示，某中心O 接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告： A ，C 两个观测点同时听到一声巨响，B 观测点听到的时间比A 观测点晚4s ，已知各观测点到该中心的距离都是1020m ，假定当时声音传播的速度为340m /s ，且A ，B ，C ，O 均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案．设计意图：通过实际问题，引导思考，引出双曲线的定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养．上述情境中，因为观测点A 与C 同时听到响声，说明P 一定在AC 的垂直平分线上;因为观测点B 听到的时间比观测点A 晚4s ，这说明P 距离B 更远，而且13603404||||=⨯=-PA PB ，那么，满足上式的点P 可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关．一般地:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.另外，可以看出，双曲线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．问题3：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？师生活动：教师提示，学生自己尝试画出双曲线．预设的答案:画法：如图①所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换，如图②所示，类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.设计意图：通过具体的操作，让学生更加清楚双曲线的形成过程．问题3：这种作双曲线的方法，请问双曲线上的点到两定点21,F F 的距离有何特点? 师生活动：通过实践操作，学生自己总结答案．预设的答案:可以看出拉链M 到21,F F 的距离的差的是一个常数．设计意图：通过观察实践．让学生自己总结结论，发展学生直观想象，数学抽象的核心素养．问题4：怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？师生活动：学生充分思考，并由学生在练习本上写出过程，展台展示．预设的答案：以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设双曲线的焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -．设P 的坐标为),(y x ，因为a PF PF 2||||||21=-，而且221)(||y c x PF ++=，222)(||y c x PF +-=，所以+++22)(y c x a y c x 2)(22±=+-， ①由①得a y c x y c x y c x y c x 2)()(])[()(22222222±=+-++++--++整理得x a c y c x y c x 2)()(2222±=+-+++，②①+ ②整理得)()(22x ac a y c x +±=++，③ 将③式平方再整理得2222222)(a c y ax a c -=-- ④因为0>>a c ，所以22a c >，设222b a c =-，且0>b ，则④式可化为的双曲线的标准方程．设计意图：类比双曲线的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程．发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养．三、初步应用例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程．两个焦点分别是)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上的点P 到两焦点的距离之差的绝对值为8；师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由已知得82=a ，因此4=a ，又因为5=c ，所以9222=-=a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求的双曲线的标准方程为191622=-y x 设计意图：通过典例解析，，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法．发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是双曲线？焦点？焦距？（2）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.（2设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解双曲线的标准方程的有关知识． 布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1．“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义是解决本题的关键．2．若方程221625x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．(5,10)B ．(3,5)C ．(6,)+∞D ．,35),()(∞⋃+∞-设计意图：考查学生双曲线的定义的认识． 3．过点(1，1)，且b a=x 轴上的双曲线的标准方程是（ ） A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -= 设计意图：考查学生对双曲线的标准方程的求法．参考答案：1．【答案】A 若方程22112x y m m +=+-表示双曲线， 则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．2．【答案】B 方程221625x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线 所以50620k k ->⎧⎨-<⎩，即35k << 故选：B3．【答案】D由b a=，知：222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a-=，将点(1，1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=. 故选：A。

《双曲线及其标准方程》教学设计第1课时“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．2．在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，（a >b >0）；（2）焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，（a >b >0）．3．a 、b 、c 之间有何种关系？ a 2＝c 2＋b 2． 探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：（A ） （B ）活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支． 下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ ②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？（几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解）请学生回答：1．不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ．3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线（一部分）．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零）下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导．（推导过程以焦点在x轴上为例）学生板演，先请学生评讲，教师再评讲．以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），又设点P与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a．则有：x－c2＋y2－x＋c2＋y2＝±2a，①移项，得x＋c2＋y2＝x－c2＋y2±2a．两边平方，得x－c2＋y2＝|a－ca x|．②②式再两边平方并整理得（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2），（※）根据双曲线的定义c＞a，c2－a2＞0．设b2＝c2－a2，代入上式，得x2a2－y2b2＝1．这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是F1（－c，0）、F2（c，0）．学情预测：一般情况下，得到方程（※）后，学生会类比椭圆设b2＝c2－a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤．提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A 1，A 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：你能在y 轴上找一点B ，使得|OB |＝b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B 1，B 2，则|B 2A 1|＝|B 2A 2|＝c ＝|B 1A 1|＝|B 1A 2|．这样，因为△B 2OA 2为直角三角形，且|B 2A 2|＝c ，|OA 2|＝a ，所以，c 2－a 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的c 2－a 2有明显的几何意义．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x 2a 2－y 2b 2＝1中的x 、y 互换，得到它的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，这也是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程有两个．教师应指出：我们所得的两个方程x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）都是双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许． 活动结果：看x 2，y 2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上． 练习：写出以下双曲线的焦点坐标．1．x 216－y 29＝1 2．x 29－y 216＝1 F （±5，0） 3．y 216－x 29＝1 4．y 29－x 216＝1 F （0，±5） 理解新知1．观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；（3）双曲线标准方程中三个参数a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2（a >0，b >0）； （4）双曲线焦点的位置由标准方程中x 2，y 2的系数的正负确定； （5）求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填下表．c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2（±c，0）（0，±c）在x轴上在y轴上3．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？运用新知例题研讨，变式精析1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c的值．①x24－y22＝1，②x22－y22＝1，③x24－y22＝－1，④4y2－9x2＝36．思路分析：双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2．解：①是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；②是双曲线，a＝2，b＝2，c＝2；③是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；④是双曲线，a ＝3，b ＝2，c ＝13．2已知双曲线的焦点为F 1（－5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思路分析：巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）． 根据题意知2a ＝6，2c ＝10． ∴a ＝3，c ＝5 ∴b 2＝52－32＝16．∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1．点评：焦点定位，a 、b 、c 三者知二定形．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知双曲线x 216－y 29＝1，你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）2．已知a ＝2，c ＝4，则你可以得到双曲线的哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a ＝4，______________，可以求得双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流． 学情预测：1．a ＝4，b ＝3，c ＝5，两焦点坐标为（－5，0），（5，0）． 2．b ＝23，双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1或y 24－x 212＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，5）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深．达标检测1．求a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．2．求a ＝25，经过点（2，－5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．证明椭圆9x 2＋25y 2＝225与双曲线x 2－15y 2＝15的焦点相同．4．若方程x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 点到（－5，0）的距离是…（ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或23 答案：1．x 216－y 29＝1；2．y 220－x 216＝1； 3.9x 2＋25y 2＝225 x 225＋y 29＝1 F （±4，0）．x 2－15y 2＝15x 215－y 2＝1 F （±4，0）；4．D x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线⎩⎨⎧sinα<0cosα>0α在第四象限，所以选D ．5．D |d －15|＝2a ＝8 d ＝7或23．课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善） （1）双曲线的定义（与椭圆的区别） （2）标准方程（两种形式）（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）让学生对本节课进行总结．目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力．作业布置教材习题2.3 A 组第1题，第2（1）题． 补充练习 基础练习 1．填空题：（1） x 252－y 232＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（2）x 242－y 262＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（3）x 29－y 24＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ．2．求下列椭圆的焦点坐标： ①x 29－y 24＝1；②16x 2－7y 2＝112． 拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F 1（0，－13），双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为焦点坐标为F 1（0，－13）． 所以c ＝13．又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24． 所以2a ＝24，即a ＝12． 所以b 2＝c 2－a 2＝169－144＝25．所以所求双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1．1．在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验——观察——类比——证明——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理．这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点．2．在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．。