高一函数图象变换规律(老师)

函数图像的几何变换一．1.考查函数图像是近年来高考的一个热点。

题型有二：一是给函数解析式，指出函数图像，多以选择题的形式出现；二是由函数，画出函数图像或者示意图，利用形数结合法解题，其中常用到几种常见函数的图像变化。

2. 高中常见的函数几何图象变换有4种：平移、对称、局部翻折、伸缩变换等。

平常做题时，尽量根据函数性质和几何变换，画出函数图像，以便数形结合、直观明了。

二.4种函数图像变换（一）平移变换1.上下平移，上加下减y=f(x)————y=f(x)+bb为正时，上移b个单位；b为负时，下移b的绝对值个单位。

2. 左右平移，左加右减y=f(x)—————y=f(x+a)a大于0时左移；a小于0时，右移a的绝对值个单位。

（二）对称变换：1. 关于x轴对称，由点（x,y)和点（x,-y)关于x轴对称得到。

y=f(x)——————y=-f(x)2. 关于y轴对称。

由点（x,y)和点（-x,y)关于y轴对称，而得到下列函数图像关于y轴对称。

y=f(x)——————y=f(-x)3. 关于原点对称由点(x,y)和点(-x,-y)关于坐标原点对称而得到。

y=f(x)———————y=-f(-x)4. 关于直线y=x对称点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称，得到原函数和反函数的图像也关于上述直线对称。

（三）局部对称翻折1. 留右，右翻左。

自变量取绝对值型。

因自变量取绝对值是偶函数，x大于等于0时，x的绝对值等于x，所以保留y轴的右边图像不变，再将y轴右边的图像对称地翻到y轴左边。

y=f(x)——————y=f(|x|)2. 留上，下翻上型函数值外面取绝对值型，因为当函数值为正时，函数值不变，故留上；当函数值为负时，负数的绝对值是其相反数，故x轴下方的图像要翻到x轴上方。

y=f(x)——————y=|f(x)|（四）伸缩变换1. 函数值外面乘一个正常数A，纵向伸缩，横坐标不变，各点纵坐标变A倍。

y=f(x)——————y=Af(x)2. 纵不变，横变B分之一倍函数中的自变量x乘一个正常数B型。

在数学中，函数的移动规律通常涉及到函数图像的平移。

函数图像的移动遵循以下几个基本的规律：1. 水平移动（左移和右移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向左移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x + a) \)；如果图像向右移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x a) \)。

2. 垂直移动（上移和下移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向上移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) + a \)；如果图像向下移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) a \)。

3. 斜率变化（拉伸和压缩）：如果函数\( f(x) \) 的图像在\( x \) 方向上被拉伸或压缩，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来完成。

如果\( a > 1 \)，图像会被拉伸；如果\( 0 < a < 1 \)，图像会被压缩。

新的函数表达式为\( a \cdot f(x) \)。

4. 对称变换：关于y 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于y 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。

关于x 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于x 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。

关于原点对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于原点对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。

5. 周期变换：如果函数\( f(x) \) 的图像具有周期性，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来改变周期。

新的函数表达式为\( f(x \cdot a) \)。

这些规律可以帮助我们理解和预测函数图像在各种变换下的移动和变化。

在实际应用中，这些规律对于解决函数图像相关的问题非常有用。

函数图像变换规律
●自变量改变而导致图像的左右（横坐标）变化
1.自变量加则向左，减则向右平移，简记为“左加右减”；
2.自变量乘ω，则图像的每个点的横坐标变为原来的1/ω倍；
3.自变量加负号（即乘-1），则图像关于y轴对称，即每个点的横坐标变为原来的
1/-1倍；
4.自变量加上绝对值，则擦去左边，再做右边关于y轴对称；
●函数值改变而导致图像的上下（纵坐标）变化
1.函数值加则向上，减则向下平移；
2.函数值乘ω，则图像的每个点的纵坐标变为原来的ω倍；
3.函数值加负号（即乘-1），则图像关于x轴对称，即每个点的纵坐标变为原来的
-1倍；
4.函数值加上绝对值，则把x轴下方向上翻折。

●练习：
1)在函数y=log3(x2-2x)的自变量中减2，可得y=________________；
2)在函数y=log3(x2-2x)的函数值中减2，可得y=________________；
3)在函数y=log3(x2-2x)的自变量中加绝对值，可得y=________________；
4)在函数y=2sin(p/3-x)的自变量中加p/4，可得y=________________；
5)在函数y=1/x中的自变量中加负号，得y =______________；再在自变量中减2，得y=____________________；再在函数值中加1，得y =______________；。

高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。

一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。

1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。

二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。

教学课题 第8讲人教版必修1第二章 函数的图像教学目标 知识目标：1、掌握描点作图；2、理解图像的变换规律；能力目标：通过函数的图像培养学生数形结合的能力，锻炼学生数学理性思维。

教学重点与难点重点：图像的平移和变换难点：对图像的平移和变换的基本技巧教学过程 课堂导学 知识点梳理1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换①y=f (x ) ――――――――――――――――――――→a>1，横坐标伸长为原来的a 倍，纵坐标不变0<a<1，横坐标缩短为原来的a 倍，纵坐标不变 y ＝f (ax ). ②y ＝f (x )――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是 ．答案 (0,1]解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 考题分类【考点1】作函数图像★例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x ＋2x －1；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1，作出图象如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图3.引申探究作函数y ＝|x 2－2x －1|的图象．解 y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1 (x ≥1＋2或x ≤1－2)－x 2＋2x ＋1 (1－2<x <1＋2)如下图点评 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx (m >0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．式训练1 作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x ＋3.解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝(x －12)2－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94.∴y ＝⎩⎨⎧(x －12)2－94，x ≥2，－(x －12)2＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示． 【考点2】识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()式训练3 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示． (3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)． 典型例题分析3．高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 (2015·北京海淀区期中测试)函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )思维点拨 从y ＝f (x )的图象可先得到y ＝－f (x )的图象，再得y ＝－f (x ＋1)的图象．解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确． 答案 C温馨提醒 (1)对图象的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定． 三、函数图象的应用典例：(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 思维点拨 (1)画出函数f (x )的图象观察．(2)利用函数f (x )，g (x )图象的位置确定a 的范围． 解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察得到，f (x )为奇函数，递减区间是(－1,1)． (2)如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案 (1)C (2)[－1，＋∞)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 6.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是．答案 (2,8]解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．7．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值， f (4)＝6.8．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |， x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝ . 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)9．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝log12f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选C.10．(2015·安徽)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是() A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0答案 C。

高中数学教案：掌握函数的图像变换规律1. 引言在高中数学课程中，函数是一个核心概念。

了解和熟练运用函数的图像变换规律对于学生在解决实际问题、深入理解数学概念方面至关重要。

本篇教案将详细介绍函数的图像变换规律，并提供一些实际示例来帮助学生更好地掌握这一内容。

2. 基础知识回顾在开始讲解函数的图像变换规律之前，我们先来回顾一些基础知识。

请确保学生已经掌握以下概念： - 函数的定义 - 函数的定义域和值域 - 常见的基本函数及其图像（如线性函数、二次函数等）3. 图像平移与拉伸3.1 平移在讲解平移之前，我们先引入一些新的概念：平移向量。

平移向量可以描述一个点或者一幅图像从原位置沿着某个向量方向移动所产生的新位置。

对于一个将点(x, y)平移到(x+a, y+b)的平移，我们可以用以下式子表示：f(x) -> f(x-a) + b通过这个公式，我们可以让学生探索不同平移向量对于函数图像的影响，从而理解函数的平移规律。

3.2 拉伸与压缩接下来，讲解拉伸和压缩。

当我们将函数图像在横轴方向或者纵轴方向上进行拉伸或压缩时，函数的形状会发生相应变化。

这种变化可以用以下数学表示式来描述：f(x) -> a * f(k * x)其中，a表示纵向拉伸或压缩的倍数（a > 0），k表示横向拉伸或压缩的倍数（k > 0）。

4. 图像反射与翻转4.1 反射讲解完图像平移与拉伸后，我们引入反射的概念。

对于一个函数图像进行反射时，每个点关于某个坐标轴会产生对称点。

具体来说： - 关于x轴反射：原始函数 y = f(x) 的图像关于x轴反射后得到新函数 y = -f(x) - 关于y轴反射：原始函数 y = f(x) 的图像关于y轴反射后得到新函数 y = f(-x)4.2 翻转除了反射之外，我们还可以通过翻转来改变函数图像。

主要有两种翻转方式：- 水平翻转：将原始函数 y = f(x) 的图像向左或向右进行平移得到新函数 y = f(-x) - 垂直翻转：将原始函数 y = f(x) 的图像上下翻转得到新函数 y = -f(x)5. 综合练习和实践为了帮助学生更好地理解和应用函数的图像变换规律，我们提供一些综合练习和实践的题目，涵盖了平移、拉伸、反射和翻转等各种情况。

幂函数及函数图像变换知识点1 幂函数 1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ． （4）任何幂函数都不过 象限；（5）当0α>时，幂函数的图象过 ． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布； （2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称．考向一 幂函数的定义【例1】►讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x-=（5）12y x-=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 【训练1】比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<考向二 二次函数的图像和性质【例2】►（2010大连一模）函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.【训练2-1】 ►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析 若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.答案 D【训练2-2】 （2011沈阳模拟）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考向三 幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝223m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.【训练3】已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =． 知识点2 函数图像 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到． (2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．由对称变换可利用y ＝f (x )的图象得到y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象．①作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作出y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象． (3)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变． (4)翻折变换①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．考向一 作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0＜x ＜1).图象如图①.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x ＜0).图象如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.【训练1-1】作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．【训练1-2】把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1解析：把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案：C考向二函数图象的识辨【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()．[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足． 综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 答案 C【训练2-1】 (2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析 当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A. 答案 A【训练2-2】(2011·郑州模拟)若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．考向三 函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)， 作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y ＝f (x )与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜1}．【训练3】 (2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析 在同一坐标系下画出曲线y ＝3－4x －x 2(注：该曲线是以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x 的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线的方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y ＝3上方的部分)，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1－2 2.结合图形可知，满足题意的只有C 选项． 答案 C基础练习：1．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C2．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增， 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fb ＝b ，b >1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.答案 C 5．(人教A 版)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到． 答案 C6．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上． 答案 D7．函数y ＝1－1x －1的图象是( )．解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案 B8．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.答案 C9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。

函数图像的变换一、知识梳理1.水平平移：函数)(a x f y +=的图像是将函数)(x f y =的图像沿x 轴方向向左（a ＞0）或向右（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的左、右平移变换. 2.竖直平移：函数a x f y +=)(的图像是将函数)(x f y =的图像沿y 轴方向向上（a ＞0）或向下（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的上、下平移变换. 3.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象y 轴右侧的部分对称到y 轴左侧去，而y 轴左侧的原来图象消失.称之为关于y 轴的右到左对称变换（简称去左翻右）. 4.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象x 轴下方的部分对折到x 轴上方即可.叫做关于x 轴的下部折上变换（简称去下翻上）.5.要作)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以y 轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到y 轴左侧去.同时，将y 轴左侧的部分折到y 轴右侧去.叫做关于y 轴的翻转变换.6.要作函数)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以x 轴为对折线，把x 轴上方的图形折到x 轴下方去，同时又把x 轴下方的图象折到x 轴上方去即可.叫做关于x 轴的翻转变换.7.要作函数)(ax f y =（a ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短（a ＞1）或伸长（0＜a ＜1）到原来的a1倍（纵坐标不变）即可（若a ＜0，还得同时进行关于y 轴的翻转变换.这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换.8.要作函数)(x Af y =（Ａ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）或缩短（0＜Ａ＜1）到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可.这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于x 轴的翻转变换）.9.要作函数)(x a f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线x ＝2a的翻转变换即可. 实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于y 轴翻转变换的复合，即先把)(x f y =图象发生左右平移得到函数)(a x f y +=的图象，再关于y 轴翻转便得到)(x a f y -=的图象. 10.要作函数)(x f h y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线y ＝2h的翻转变换即可.实质上，这种变换是函数图象的关于x 轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数)(x f y =的图象发生关于x 轴的翻转变换得到)(x f y -=的图象，再把)(x f y -=的图象向上（h ＞0）或向下（h ＜0）平移｜h ｜个单位便得到函数)(x f h y -=的图象.综合第9、第10变换，要作函数)(x a f h y --=的图象，只需做出函数)(x f y =图象的关于点（2a ，2h）的中心对称图形即可. 二、方法归纳1.作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势（渐进性质）；④描点连线，画出函数的图象.用图象变换法作函数图象，①要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换；②是确定实施怎样的变换.2.识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息.3.关注函数图像的变换对函数的性质的影响.三、典型例题精讲【例1】函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ ）错解分析：错解一：由||log x a ≥0，得1||log +x a ≥1，即)(x f ≥1，故选B.错误在于误将||log x a 等同于|log |x a ，做出误判||log x a ≥0.错解二：没注意10<<a ，而默认为1>a ，故选Ｃ.解析：考虑10<<a ，当0>x 时，1log )(+=x x f a 为减函数，淘汰B 、Ｃ.当1=x 时，1)(=x f ，故选A. 又例：函数xy 3log 3=的图象大致是（ ）解析： 由x 3log ≥0，得x y 3log 3=≥1，故选A.【例2】函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）解析：因函数x x f 2log 1)(+=的图象是由x y 2log =的图象向上平移1个单位得到，故B 、C 、D 满足； 又函数11)21(2)(-+-==x x x g ，其图象为x y )21(=的图象向右平移1个单位得到， 故A 、C 满足.由此选C.技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择.本题亦可用特殊值法得到正确的选项.由1)1(=f ，可知B 、C 、D 满足；又2)0(=g ，可知A 、C 满足.故选C.又例：函数)32(-x f 的图象，可由函数)32(+x f 的图象经过下述哪个变换得到（ ）A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析：将函数)32(+x f 中的x 用3-x 代之，即可得到函数)32(-x f ，所以将函数)32(+x f 的图象向右平移3个单位即可得到函数)32(-x f 的图象， 故选D.【例3】函数xy 3=的图象与函数2)31(-=x y 的图象关于（ ）A.点（－1，0）对称B.直线x ＝1对称C.点（1，0）对称D.直线x ＝－1对称解析：若记xx f y 3)(==，则)2(3)31(22x f x x -==--， 由于)(x f y =与)2(x f y -=的图象关于直线x ＝1对称，∴ 选B.技巧提示：若)(x f 自身满足)2()(x a f x f -=，则)(x f y =的图象关于直线x ＝a 对称；若)(x f 自身满足)2()(x a f x f --=，则)(x f y =的图象关于点（a ，0）对称. 两个函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图象关于直线x ＝a 对称； 两个函数)(x f y =与)2(x a f y --=的图象关于点（a ，0）对称.【例4】设22)(x x f -=，若0<<b a ，且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,解析：保留函数22x y -=在x 轴上方的图象，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数22)(x x f -=的图象.通过观察图像，可知)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在区间]0,2[-上是增函数， 由0<<b a ，且)()(b f a f =.可知02<<-<b a ， 所以2)(2-=a a f ，22)(b b f -=， 从而2222b a -=-，即422=+b a ，又ab ab b a b a 242)(222-=-+=-＞0，所以20<<ab .故选A.技巧提示：本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数22x y -=的图象和性质，进而得到22)(x x f -=的图像和性质.由0<<b a ，且)()(b f a f =，得到422=+b a 才使得问题变得容易.又例：直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则a 的取值范围是 .解析：因为函数a x xy +-=2是偶函数，所以曲线a x x y +-=2关于y 轴对称.当x ≥0时，a x x y +-=2＝41)21(2-+-a x ， 其图象如下：由直线1=y 与曲线有四个交点，得⎪⎩⎪⎨⎧<->1411a a ，解得451<<a .故a 的取值范围是)45,1(.再例：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，1234_________.x x x x +++=解析：因为定义在R 上的奇函数，满足)()4(x f x f -=-，所以)()4(x f x f =-，函数图象关于直线2x =对称，且(0)0f =，再由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[－2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ， 不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-.【例5】定义在R 函数)(x f ＝mx xm +-2)2(的图象如下图所示，则m 的取值范围是（ ） A.（－∞，－1） B.(－1，2) C.(0，2) D.(1，2)解析：方法一（排除法）：若m ≤0，则函数mx xm x f +-=2)2()(的定义域不为R ，与图象信息定义域为R 不符，故排除掉A 、B. 取m ＝1，)(x f ＝12+x x，此函数当x ＝±1时，)(x f 取得极值， 与所给图形不符，排除C.选D.方法二：显然)(x f 为奇函数，又)1(f ＞0，)1(-f ＜0，即mm +-12＜0，解得－1＜m ＜2. 又)(x f 取得最大值时，x ＝m ＞1， ∴ m ＞1，∴ 1＜m ＜2.故选D.技巧提示：根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息.m 对奇偶性影响不大，但对定义域、极值点影响明显.又例：当参数21,λλ=λ时，连续函数xx y λ+=1)0(≥x 的图像分别对应曲线1C 和2C ，则（ ） A.210λ<λ< B.120λ<λ< C.021<λ<λ D.012<λ<λ 解析：由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数0,021>λ>λ，即排除C ，D 项， 又取1x =，知对应函数值1111λ+=y ，2211λ+=y ，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项.【例6】定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -，已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为 .错解分析：函数|log |)(21x x f =的图象如图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴2)4()41(==f f ，又0)1(=f ，∴],[b a 长度的最大值为314=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为49433=-. 解析：函数|log |)(21x x f =的图象如上图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴],[b a 长度的最大值为415414=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为343415=-. 技巧提示：准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键.又例:已知函数)12(log )(-+=b x f xa )1,0(≠>a a 的图象如图所示，则ab ，满足的关系是（ ）A.101a b -<<< B.101b a -<<< C.101ba -<<<-D.1101ab --<<<解析：由图易得1>a ，∴101<<-a取特殊点0=x ，0log )0(1<=<-b f a . 即1log log 1log 1a a ab a<<=-， x∴101<<<-b a .故选A.【例7】若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间[]b a ,，且b －a ＝2，则k = .分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出219x y -=，2)2(2-+=x k y 的图像，根据图像确定k 的值。