一个简单的不确定度测量分析实例

测量不确定度案例分析测量不确定度是指测量结果的不确定性范围，它反映了测量过程中的误差以及测量仪器的精度等因素对测量结果的影响。

在科学研究和工程技术领域中，测量不确定度的评估十分重要，可以帮助人们更准确地理解和使用测量结果，并进行可靠的决策。

下面将通过一个案例来分析测量不确定度的应用。

案例：工厂生产电子元器件，为了保证产品的质量，需要对生产线上的电阻进行测量。

工厂购买了一台精度为0.1%的万用表进行测量。

现在需要对其中一批次的电阻进行检测，电阻的理论值为1000欧姆。

解决该问题需要采用合适的测量方法，并评估测量不确定度来确定测量结果的可靠性。

首先，我们需要明确测量方法和条件。

在这个案例中，使用了万用表进行测量，因此需要确定万用表的精度，即0.1%。

另外，还需要确定测量的环境条件，如温度、湿度等。

这些条件对测量结果也会产生影响。

然后，我们需要确定测量结果的不确定度。

在这个案例中，测量结果的不确定度主要包括两个方面：仪器误差和系统误差。

仪器误差是由万用表的精度决定的，即0.1%。

系统误差是由其他因素引起的，如测量环境的影响等。

这些误差可以通过实验来评估。

为了评估系统误差，可以重复多次测量，并计算测量值的标准偏差。

假设进行了10次测量，测量结果如下：1001、1000、999、1002、998、1000、1001、999、1000、1000。

计算这些测量值的标准偏差，可以得到系统误差的估计值。

接下来，需要将仪器误差和系统误差相加得到总误差的估计值。

在这个案例中，仪器误差为0.1%，系统误差的估计值为标准偏差。

因此，总误差的估计值为0.1%+标准偏差。

最后，将总误差的估计值与测量结果相结合，得到最终的测量结果和其不确定度。

在这个案例中，假设次测量结果为1000.5欧姆，根据总误差的估计值，我们可以得到：测量结果：1000.5±（0.1%+标准偏差）欧姆。

通过这个案例，我们可以看到测量结果的不确定度可以帮助确定测量结果的可靠性。

例1： 用螺旋测微器测一小球直径，得到5个值如下：1.039 1.038 1.030 1.011 1.033 （mm ） 设测量过程中的已定系统误差已知，即螺旋测微器测的零点值为0.002()mm d=-仪器的分度值是 0.01mm ，仪器的误差限 =0.004仪mm 。

测量误差服从均匀分布，分布因子解：首先计算测量值x，因为111(1.039 1.038 1.030+1.011+1.033=mm 5n i i X n X ===++∑）1.0302 （)测量值0 1.0302(0.002) 1.032()X mm d X=-=--=计算与读数分散对应的A 类不确定度分量0.011()Ax mm US ===计算与仪器不准对应的Ｂ类不确定度分量0.0040.0023mm)3B CU ===仪（用方和根求总不确定度0.011()U mm ===最后写出测量结果 0U=1.0320.011(mm)X X=±±例２：用流体静力称衡法测固体材料密度，首先测定材料在空气和水中的质量1m ，2m，然后由下式算出其密度： 1012p m p m m=-式中p是水的密度，可查表得出作为常数处理，现在的问题是，若已知112212,,m m m m U m m U =±=±如何获得密度ｐ的不确定度pU呢？因为测量式的函数形式是积商形式，所以应对测量式两边先取对数，然后再求全微分：112112011212ln ln ln()lnpp m m m ppm m m d d d dm m m m m=--+=-+--在上式中1md 的贡献来自两项，11m d m和112m d m m--应当先合并成111211m d m m m ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，这在数学相当于同类项合并，在物理上则反映这两项不互相独立。

pp d＝()21212112m m d m d m mm m m +--- 然后用不确定度p U 替代pd ，用 2m U 替代1m d 和2md ，求方和根，即pPU=由于p 和ppU已算出，所以不确定度pU可由下式算得pU＝p ×ppU例３：已知金属环各部位测量结果21 2.8800.004, 3.6000.004D cm cm D =±=±±内径外径，高度 h=2.5750.004cm求环的体积Ｖ和不确定度vU。

测量不确定度评定的方法以及实例1.标准不确定度方法：U =sqrt(∑(xi-x̅)^2/(n-1))其中，xi表示测量值，x̅表示测量值的平均值，n表示测量次数。

标准不确定度包含随机误差和系统误差等。

例如，对一组长度进行测量，测得的数据为10.2、10.3、10.1、10.2、10.3，计算平均值为10.22，标准差为0.069、则标准不确定度为0.069/√5≈0.031，即U=0.0312.扩展不确定度方法：扩展不确定度是在标准不确定度的基础上，考虑到误差的正态分布，对标准不确定度进行扩展得到的结果，通常以U'表示。

其计算公式如下：U'=kU其中，k表示不确定度的覆盖因子，代表了误差分布的概率密度曲线下的面积，一般取k=2例如，对上述例子中的长度进行测量，标准不确定度为0.031，取k=2，则扩展不确定度为0.031×2=0.062，即U'=0.0623.组合不确定度方法：4.直接测量法：直接测量法是通过多次测量同一物理量，统计测得值的离散程度来评估测量的不确定度。

该方法适用于一些简单的测量，如长度、质量等物理量的测量。

例如，对一些小球的直径进行测量，测得的数据为2.51 cm、2.49 cm、2.52 cm、2.50 cm，计算平均值为2.505 cm，标准差为0.013 cm。

则标准不确定度为0.013/√4≈0.007 cm，即U=0.0075.间接测量法：间接测量法是通过已知物理量之间的数学关系，求解未知物理量的方法来评估测量的不确定度。

该方法适用于一些复杂的测量，如测量速度、加速度等物理量的测量。

例如，测量物体的速度v，则有v=S/t，其中S为位移，t为时间。

若S的不确定度为U_S，t的不确定度为U_t，则根据误差传递法则，计算得到v的不确定度为U_v = sqrt(U_S^2 + (U_t * (∂v/∂t))^2 )。

总之，测量不确定度评定的方法包括标准不确定度方法、扩展不确定度方法、组合不确定度方法、直接测量法和间接测量法。

测量不确定度评定实例一． 体积测量不确定度计算1. 测量方法直接测量圆柱体的直径D 和高度h ，由函数关系是计算出圆柱体的体积h D V 42π=由分度值为0.01mm 的测微仪重复6次测量直径D 和高度h ，测得数据见下表。

表： 测量数据i1 2 3 4 5 6 mm /i D 10.075 10.085 10.095 10.065 10.085 10.080 mm /i h10.10510.11510.11510.11010.11010.115计算： mm 0.1110h mm 80.010==，D 32mm 8.8064==h D V π2. 不确定度评定分析测量方法可知，体积V 的测量不确定度影响因素主要有直径和高度的重复测量引起的不确定都21u u ，和测微仪示值误差引起的不确定度3u 。

分析其特点，可知不确定度21u u ，应采用A 类评定方法，而不确定度3u 采用B 类评定方法。

①.直径D 的重复性测量引起的不确定度分量 直径D 的6次测量平均值的标准差： ()mm 0048.0=D s 直径D 误差传递系数：h DD V 2π=∂∂ 直径D 的重复性测量引起的不确定度分量： ()3177.0mm D s DVu =∂∂=②.高度h 的重复性测量引起的不确定度分量 高度h 的6次测量平均值的标准差： ()mm 0026.0=h s 直径D 误差传递系数：42D h V π=∂∂ 高度h 的重复性测量引起的不确定度分量： ()3221.0mm h s hVu =∂∂=③测微仪示值误差引起的不确定度分量由说明书获得测微仪的示值误差范围mm 1.00±，去均匀分布，示值的标准不确定度mm 0058.0301.0==q u 由示值误差引起的直径测量的不确定度 q D u DVu ∂∂=3由示值误差引起的高度测量的不确定度 q h u hV u ∂∂=3 由示值误差引起的体积测量的不确定度分量 ()()323233mm 04.1=+=h D u u u 3. 合成不确定度评定()()()3232221mm 3.1=++=u u u u c 4. 扩展不确定度评定当置信因子3=k 时，体积测量的扩展不确定度为 3mm 9.33.13=⨯==c ku U 5．体积测量结果报告() mm .93.88063±=±=U V V考虑到有效数字的概念，体积测量的结果应为 () mm 48073±=V二．伏安法电阻测量不确定度计算1. 测量方法：通过测量电阻两端电压和所通过的电流，计算被测电阻。

间接测量不确定度计算例题在测量中，经常会使用间接方法进行测量，这时候需要计算出测量结果的不确定度。

下面是一个间接测量不确定度计算的例题。

例题：一根长为10厘米的细棒，从两个不同位置测量其弯曲距离，分别为1厘米和2厘米，求该细棒的弹性模量E及其不确定度。

已知弯曲距离y与距离x之间的关系为：y = (F*L^3)/(3*E*I)其中，F为施加的力，L为细棒长度，I为细棒截面的惯性矩。

由于施加的力F不知道，所以需要从弯曲距离y和细棒长度L中反推出弹性模量E。

首先，计算出细棒截面的惯性矩I。

细棒为圆形截面，所以：I = (π/4)*r^4其中，r为半径，可以通过细棒的直径计算出来：d = 2*rr = d/2 = 0.5厘米I = (π/4)*(0.5厘米)^4 = 0.0490873852 mm^4根据弯曲距离y和细棒长度L的测量值，可以得到两个方程式： y1 = (F*L^3)/(3*E*I)y2 = (F*(2L)^3)/(3*E*I)将两个方程式相减，可以消去F，得到：y2 - y1 = (F*(2L)^3)/(3*E*I) - (F*L^3)/(3*E*I)y2 - y1 = F*(2^3*L^3 - L^3)/(3*E*I)y2 - y1 = F*L^3*(2^3 - 1)/(3*E*I)由此可以解出弹性模量E：E = F*L^3*(2^3 - 1)/(3*I*(y2 - y1))现在需要计算E的不确定度。

由于弯曲距离的测量不确定度比较小，可以近似认为y2和y1的不确定度相同，设为δy。

则弹性模量的不确定度为：δE = sqrt((δy/y)^2 + (δL/L)^2)*E由于这里只有两个测量值，所以不能用t分布来计算不确定度，只能采用最简单的方法，即取极值法。

假设δy和δL有个上限值，分别为δy_max和δL_max，使得弹性模量的不确定度最大。

则有：δE_max = sqrt((δy_max/y)^2 + (δL_max/L)^2)*E现在需要确定δy_max和δL_max的取值。

第一节有关术语的定义3．量值 value of a quantity一般由一个数乘以丈量单位所表示的特定量的大小。

例： 5.34m 或 534cm， 15kg， 10s，－ 40℃。

注：对于不可以由一个乘以丈量单位所表示的量，能够参照商定参照标尺，或参照丈量程序，或二者参照的方式表示。

4．〔量的〕真值 rtue value〔of a quantity〕与给定的特定量定义一致的值。

注：(1)量的真值只有经过完美的丈量才有可能获取。

(2)真值按其天性是不确立的。

(3)与给定的特定量定义一致的值不必定只有一个。

5．〔量的〕商定真值 conventional true value〔of a quantity〕对于给定目的拥有适合不确立度的、给予特定量的值，有时该值是商定采纳的。

例： a) 在给定地址，取由参照标准复现而给予该量的值人作为给定真值。

b) 常数委员会 (CODATA)1986年介绍的阿伏加得罗常数值 6.0221367 × 1023mol-1。

注：(1)商定真值有时称为指定值、最正确预计值、商定值或参照值。

(2)经常用某量的多次丈量结果来确立商定真值。

13．影响量 influence quantity不是被丈量但对丈量结果有影响的量。

例： a) 用来丈量长度的千分尺的温度；b)沟通电位差幅值丈量中的频次；c)丈量人体血液样品血红蛋浓度时的胆红素的浓度。

14．丈量结果 result of a measurement由丈量所获取的给予被丈量的值。

注：(1)在给出丈量结果时，应说明它是示值、示修正丈量结果或已修正丈量结果，还应表示它能否为几个值的均匀。

(2)在丈量结果的完好表述中应包含丈量不确立度，必需时还应说明有关影响量的取值范围。

15．〔丈量仪器的〕示值 indication〔of a measuring instrument〕丈量仪器所给出的量的值。

注：(1)由显示器读出的值可称为直接示值，将它乘以仪器常数即为示值。

三针法外螺纹中径测量不确定度评估实例1、测量概述：测量温度条件：符合表1规定的高准确度测量的温度要求。

测量设备及技术指标：测长仪最大允许示值误差为±(0.5μm+L 6105-⨯)；三针直径 d D = 3.464 mm (最佳直径 d 0 = 3.4641 mm)，三针直径测量不确定度≤0.4μm ； 测量力1.5 N ；螺纹塞规M64x6，其名义值d 2 = 60.1336 mm ，P = 6 mm ， α= 60°；测量方法：外螺纹（螺纹塞规）可以利用两个平面测帽和直径为d D 的三针测量（图1）。

图1. 利用三针测量螺纹塞规2、建立数学模型假设用图A2所示方法测量外螺纹，其中径计算利用公式(1)，其中m = ΔL +d D假设各输入量不相关，中径d2的合成标准不确定度：其中：u (ΔL )是被测位移量ΔL 的标准不确定度，包括测量仪器校准和温度效应的影响； u (d D ) 是探针直径校准值的标准不确定度。

这个不确定度假设完全正确，因为其灵敏系数c dD = 1/sin(α/2)+1。

u (P )是螺距测量的标准不确定度，其灵敏系数c P = cot(α/2)/2;u (α/2)是牙侧角α/2测量的标准不确定度。

这可能有许多不同的值，特别是采用光学测量方法时，与螺距的大小成反比。

灵敏系数与测球直径d D 对最佳球径d 0的差相关。

注意牙型角α的单位： [α] = rad.d D cos(a/2)/sin2(a/2)-P/2sin2(a/2) ;P/2=d0*cos(a/2) (B8)u(A1) 是进行升角修正时采用近似公式引入的不确定度；u(A2) 是测量力修正引入的不确定度；u(δB)是被校螺纹量规不完善、校准程序等所有未明确分离的因素引入的不确定度。

B4.4 不确定度报告的数字示例按照组合3校准螺纹塞规M64x6，其名义值d2 = 60.1336 mm，P = 6 mm，α= 60°。

标准不确定度A类评定的实例【案例】对一等活塞压力计的活塞有效面积检定中,在各种压力下，测得10次活塞有效面积与标准活塞面积之比l （由l的测量结果乘标准活塞面积就得到被检活塞的有效面积)如下：0。

250670 0。

250673 0.250670 0。

250671 0.250675 0。

250671 0。

250675 0.250670 0。

250673 0。

250670问l 的测量结果及其A 类标准不确定度。

【案例分析】由于n =10, l 的测量结果为l ,计算如下∑===n i i .l n l 125067201 由贝塞尔公式求单次测量值的实验标准差()612100521-=⨯=--=∑.n l l )l (s n i i由于测量结果以10次测量值的平均值给出，由测量重复性导致的测量结果l 的A 类标准不确定度为610630-=⨯=.)l (u n )l (s A 【案例】对某一几何量进行连续4次测量,得到测量值:0。

250mm 0.236mm 0.213mm 0。

220mm ，求单次测量值的实验标准差。

【案例分析】由于测量次数较少,用极差法求实验标准差.)()(i i x u CR x s ==式中，R-—重复测量中最大值与最小值之差；极差系数c及自由度ν可查表3-2表3-2极差系数c及自由度ν查表得c n =2.06mm ../mm )..()x (u CR )x (s i i 018006221302500=-=== 2)测量过程的A 类标准不确定度评定对一个测量过程或计量标准，如果采用核查标准进行长期核查，使测量过程处于统计控制状态，则该测量过程的实验标准偏差为合并样本标准偏差S P 。

若每次核查时测量次数n 相同，每次核查时的样本标准偏差为Si ,共核查k 次，则合并样本标准偏差S P 为k s s ki ip ∑==12此时S P 的自由度ν=（n —1）k .则在此测量过程中，测量结果的A 类标准不确定度为 n S A P u '=式中的n '为本次获得测量结果时的测量次数。

一、力学测量应用实例用拉力试验机测量金属试件拉伸强度。

已知试件的标准直径mm d 10=，断裂时拉力为40kN 。

拉力试验机的量程为200kN ，分度值为0.5kN ，示值误差为F %1+，示值误差的不确定度为0.2%F 。

试件直径用千分尺测量，其示值误差为m μ3+。

求拉伸强度的测量不确定度。

2.1 数学模型 24d FA F R m π==m R — 拉伸强度 （Mpa ）A — 试件截面积 （2mm ）d — 试件直径 （mm ）F — 拉力 （N ）2.2 不确定度传播律)(4)()(222d u F u R u rel rel m rel c +=2.3 求相对标准不确定度分量)(d u rel2.3.1 千分尺示值误差导致的不确定度 )(1d u以均匀分布估计 m d u μ73.133)(1==2.3.2 由操作者引起的测量不确定度)(2d u经验估计，该测量误差在m μ10+范围内，以均匀分布估计， m d u μ77.5310)(2==以上二者合成 m d u μ02.677.573.1)(22=+=以上相对不确定度表示： %06.01010*02.6)(3==-d u rel2.4 求拉力F 的测量不确定度 )(F u rel2.4.1 拉力机的示值误差引入的测量不确定度)(1F u由于仪器说明书未说明置信概率，故取2=k%5.0%1)(1==k F u2.4.2 拉力机校准的不确定度)(2F u这是由上一级标准器对拉力机校准时产生的不确定度，即拉力机示值误差的不确定度，校准证书亦未给出置信概率，故取2=k%1.0%2.0)(2==k F u2.4.3 拉力机读数不准产生的不确定度)(3F u人工读数可以估计到刻度的五分之一，即0.1kN ，读数误差的不确定度可按均匀分布估计，3=k %144.03401.0)(3==F u以上三者合成 %53.0)144.0(%)1.0(%)5.0()(222=++=F u rel2.5 合成标准不确定度c u %543.0%)06.0(4%)53.0()(4)()(2222=+=+=d u F u R u rel rel m rel c 223.5094mm N d F R m ==π 28.2%543.0*3.509)(mmN R u R u m rel c m c === 2.6 扩展不确定度 U取包含因子 2=k26.58.2*2mm N ku U c ===2.7 测量结果报告 2)6.53.509(mm N R m +=……二、 电学测量应用实例用数学电压表测量电压9次，得到平均值V v 928571.0=，标准偏差V v s μ36)(=。