第1章 走进数学世界
1.在n ·n 的正方形方格中，有1²+2²+3²+…
2.幻方： 三阶幻方：四阶幻方： 第2章 有理数
2.1.1正数和负数
定义：像﹣2、﹣2.5、﹣237、﹣0.7这样的数是负数，像13、3.5、500、1.2这样的数是
正数.（正数前面有时也可以放上一个“+”<读作“正”>号）
☀注意：零既不是正数，也不是负数.
2.1.2有理数
分类：方法1：整、分法
方法2：正、零、负法
16 2 3
13 5 11 10
8 9 7 6
12 4
14 15 1 有理数
整数 分数
正整数 负整数 零 正分数 负分数
数集的定义：把这些数（指上文提到的有理数）放在一起，就组成一个数的集合，简称
数集.上文有理数组成的数集叫做有理数集.
2.2.1数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
2.2.2在数轴上比较数的大小
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数.
2.3相反数
几何定义：1.在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离
相等.
2.只有正负号不同的数成为互为相反数.（例：数a的相反数是﹣a，﹣a的
相反数是a）
☀注意：零的相反数是零.
变为相反数的方法：通常在一个数的前面添上“﹣”号，表示这个数的相反数.（在一个
数的前面添上“+”号，仍表示这个数本身.
（例题解析）正负号组合化简方法：1.根据相反数的意义.
2.数前面负号的个数。负号的个数为偶数个时，取
正；负号的个数为奇数个时，取负.
2.4绝对值
定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
取一个数的绝对值的结果：1.一个正数的绝对值是它本身.
2.零的绝对值是零.
3.一个负数的绝对值是它的相反数.
4.任何一个有理数的绝对值总是正数或0（通常也称非负数）.
即对任意有理数a，总有|a|≥0.
2.5有理数的大小比较
除（2.2.2）在数轴上比较数的大小的方法比较两个负数的大小的方法：
两个负数，绝对值大的反而小.
2.6.1有理数的加法法则
法则内容：1.同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的正负号，并用较大的
绝对值减去较小的绝对值；
3.互为相反数的两个数相加得零；
4.一个数与零相加，仍得这个数.
法则扩充总结：正正相加，和大于其中任意一个加数；负负相加，和小于其中任意一个加数；正负相加，和大于负数，小于正数.（正指正数，负指负数）☀注意：一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，进行加法运算时，应注意确定和的正
负号及绝对值.
2.6.2有理数加法的运算律
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.
字母表示：a+b=b+a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
字母表示：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.7有理数的减法
法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
字母表示：a-b=a+（-b）
2.8有理数的加减混合运算
方法：1.按照运算顺序，从左到右逐步运算.
2.用有理数减法法则，统一为只有加法运算的和式.
加法运算律的应用：因为有理数的加减法可以统一成加法，所以在进行有理数加减混合
运算时，可以适当应用加法运算律，简化运算.
补充概念：从1开始逐步增大的连续奇数的和等于奇数个数的平方；从2开始逐步增大
的连续偶数的和，等于偶数个数的平方加偶数个数.
2.9.1有理数的乘法法则
内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零.（两
数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数.）
2.9.2有理数乘法的运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变.
字母表示：ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
字母表示：（ab）c=a（bc）
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
字母表示：a（b+c）=ab+ac
积的正负号与各因数的正负号之间的关系：几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因
数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，
积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正. 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零.
2.10有理数的除法
倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数.
有理数的除法转为乘法的方法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.
☀注意：零不能作除数.
有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
零除以任何一个不等于零的数，都得零.
2.11有理数的乘方
定义及相关内容：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在aⁿ中，
a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作a的n次方，aⁿ看作是a的n次方的
结果时，也可读作a的n次幂.
幂的特点：（根据有理数乘法法则）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负
数的偶次幂是正数.
2.12科学记数法
定义：一个大于10的数就记成a×10ⁿ的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.像这样的记数法叫做科学记数法.
☀注意：1.a的整数数位只有一位.
2.n是原数的整数数位少1.
2.13有理数的混合运算
混合运算的运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；
