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高中数学总复习-三角函数第5课 三角函数的图像和性质(一)【考点导读】1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质；2 22. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像；3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】动的最小正周期T _____L_；初相 —-2.三角方程2sin(_ - x)=1的解集为4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x______ - ____ 个单位. 【范例解析】例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx).(I)用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度为一个周期；2’ 2(H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而1.已知简谐运动f(x) 2sin (3X )(2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运3.函数 y Asin( x )( 0,尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为y4si n( x ) 8 4的图象向右平移分析：化为Asin( x )形式.得到•列表，取点，描图:x33588888y11逅1 1 V21故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是:(U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x )4 41的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不4 2变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标4 4伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将4y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到4y 1 - 2 sin(2x -)的图像.1解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得2到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到8解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x2(sin 2x cos —4cos2xs in )4 2sin(2x 4).分析：化为Asin( x )形式.x -)的图像上所有点纵坐标伸长到原来 的2倍(横坐标不变)，得到y 、2sin(2x)的图像，再将y 二sin(2x) 44的图像上所有点向上平移1个单位，即得到y 1 ,2sin(2x -)的图像. 4例2.已知正弦函数y Asin( x ) (A 0, 0)的图像如右图所示.(1) 求此函数的解析式f 1(x)；(2) 求与fdx)图像关于直线x 8对称的曲线的解析式f 2(x); (3) 作出函数y h(x) f 2(x)的图像的简图.£(x) 一 2sin(gx 4).(2)设函数f 2(x)图像上任一点为M(x,y)，与它关于直线x 8对称的对称点为M (x,y)，f 2(x)2sin (尹 4)y sin(2x —)的图像，然后把y sin(2 分析：识别图像，抓住关键点. 解：(1)由图知，A 伍,Q 2 将x 2， y 2代入，，即 y 2 sin( x ).88 、、2sin (— ).2，解得一，即(6 2) 16，8得 28，解得y y. 16 x,y.代入 f 1(x) 、2sin( x84-)中，得(3) y f i(x)示.点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求【反馈演练】1. 为了得到函数y 2sin（°）,x R的图像，只需把函数y 2sin x，x R的图3 6像上所有的点①向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）；②向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）；③向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐6标不变）；④向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐6标不变）.其中，正确的序号有__③_ .62. 为了得到函数y sin（2x ）的图象，可以将函数y cos2x的图象向右平移___ 个单位长度.—3 —65. 下列函数:其中函数图象的一部分如右图所示的序号有y Asin( x ) b(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式.n __7.如图，函数y 2cos( x )(x R ， >0,0< <-)的图象与y 轴相交于点(0, 3)，且该函数的最小正周期为(1)求和的值;(2)已知点A n ,0，点P 是该函数图象上一点，点23.若函数 f(x) 2sin( x )，x R (其中 0， 2)的最小正周期是， 且 f(0)、3，则3_2 ______ 4.在0,2 内，使sin x5 4盲cosx 成立的x 取值范围为 ________① y sin x —6② y sin 2x③ y cos 4x — 3④ y cos 2x6. 如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数解：(1)由图示，这段时间的最大温差是 30 10 20 °C(2)图中从6时到14时的图象是函数yAsin( x )b 的半个周期• •• 1 — 14 6，解得21由图示，A —(30 10)2101 b 2(1030) 2020这时，y 10sin(8x )将x 6,y10代入上式，可取3 4综上，所求的解析式为y 10si n( —x —) 8 420 ( x [6,14])第6题第7题当y 。
2006-12月，天津市第二届“信息技术优化教学过程优秀教学设计”中学组二等奖。
三角函数的图象和性质复习课之教学设计天津开发区国际学校何韬通讯地址：天津开发区晓园街9号邮编：300457电子邮箱：三角函数的图象和性质复习课之教学设计天津开发区国际学校何韬 300457【知识目标】①掌握作函数y=Asin(ωx+φ)的简图的方法――五点法和图象变换法；②了解函数的变换思想；③三角性质的综合应用【能力目标】经历猜想、观察、操作、推理等活动，培养观察能力，提取信息的能力，运用现代工具进行探索的能力；并渗透先猜后证的数学探索和研究方法；通过图象变换不同方式的比较，渗透函数代换思想和数形结合思想【情感态度目标】经历自主探索和交流合作，分享思想交流带来的乐趣和成就，逐步养成探究习惯和小组分工合作意识。
【教学重点和难点】三角性质的综合应用【课题的主要体现】1、运用图形计算器，与VCE合理并进；2、师生运用图形计算器和计算机课件 (ppt演示文稿, 几何画板，图形计算器软件)，进行研究和探讨，交流合作，操作实践【主要内容及步骤简介】第一步：复习用五点法和图像变换法作三角函数的图像；第二步：复习正、余弦函数的性质；第三步：以一道综合题来应用巩固知识并培养、提高能力。
第四步：练习，小结和作业。
教学步骤实在是极为普通，学生也很容易枯燥乏味。
为充分调动学生，体现新课改思想，我这样来设计教学的每个环节。
【教学设计】一、五点法作图要点说明及举例（对比教学，突出选点方法及操作步骤）例：作以下两图在一个周期内的图像y=cosx y=3sin(2x+2π/3)操作步骤：（注意两表的不同，指出选点方法） 列表 描点 连线（平滑曲线）【设计说明】：用实例复习取代单纯的理论复习和罗列知识框架，更利于学生的参与。
变“单纯的抽象理论”为“由形象认识逐渐抽象到理论规律”，符合学生的认知规律。
所以，我以y=cosx ，22sin(2)3y x π=+为例，以学生口答和笔答的形式，通过两例对比，突出五点法的三个步骤及实施关键；二、 图象变换法作图：以一个例题来说明1、复习y=Asin(ωx+φ) ，A ＞0中三个参数在函数图像变换的作用。
2、例：写出由y=sinx 图像到图像22sin(2)3y x π=+的变换步骤， 并指出是先伸缩后平移，还是先平移后伸缩。
（箭头上下方均须填空……） (1)y=sinx232)3x x ππ+−−−−−−−−−−→ 左移个单位函数代换思想：将代换为(2sin()3y x π=+122−−−−−−−−−→ 横坐标缩为 函数代换思想：将x代换为x2sin(2)3y x π=+2−−−−−→纵坐标变为倍22sin(2)3y x π=+,这是先_____后_____平移量是________(2) y=sinx −−−−−→ 2sin y x =−−−−−→ 2sin 2y x = −−−−−→ 2sin 2()3y x π=+22sin(2)3x π=+，这是先_____后_____平移量是________说明：1、函数代换思想。
关键点：每次变换均是将x ．进行代换。
2、体现由图象y=sinx 变换到y=Asin(ωx+φ) ，A ＞0的一般方法：一是先平移后伸缩，二是先伸缩后平移，但它们的平移量不同。
两次的平移量分别是________________【设计说明】：1、以由y=sinx 图像到图像22sin(2)3y x π=+的两种变换步骤(‘先平移后伸缩’，‘先伸缩后平移’)为例，通过比较，让学生自己发现和领悟其中的规律，来突出变换步骤，并体现出函数的代换思想。
2、采用“接龙问答”的游戏方式，提高学生兴趣。
即在问答中，被提问学生可以直接指出下一个问题的回答者，依此类推，往后延续，调动学生的参与积极性。
3、理论推导的过程中，鼓励小组同学分工，使用图形计算器验证自己的每一步推导。
最后教师用几何画板展示两类变换。
三、正余弦函数图象的性质(观察，讨论，指出下表中的错误之处)y=Acos(ωx+φ) (ω>0) 的周期的求法：T＝2π/ω【设计说明】：1、常见的“画出表格，一一罗列”复习形式容易让学生有枯燥乏味之感，毕竟学生在这一过程中是被动接受的，而且是在接受着自己已经学过的东西。
这势必会使学生因缺乏新鲜感，而削弱了学习的积极性和主动性。
2、于是，基于新课改精神，给学生更多的参与，更多的自主探究和交流合作，我这样去设计这一步的教学：１）把性质一一列在表格中，让学生找出表中的错误所在，增加趣味性。
２）启用“小组学习”，鼓励组员间互相商量，讨论，得出一致意见，之后让组代表回答。
以图复习形式新颖并且有效，调动学生积极参与。
四、综合应用（体现运用工具的能力，培养自主探索的兴趣和方法，可利用图形计算器和课件）例：已知21sin cos 2y x x x x R =+∈ （1） 试判断函数是否为周期函数。
若是，周期为多少？ （2） y 取最大值时x 的集合（3） 如何由y=sin x 图像变换得到该函数的图像？我从以下几个方面和步骤来启发学生：设疑启疑，猜，工具，化简，提取信息 A 、设疑启疑：这是一个怎样的表达式？你能判断这个函数的周期吗？你能判断它是否为周期函数吗？你知道其图像形状吗？你找到这个题的切入点吗？B 、猜？----先猜后证，是一种探索世界、研究和解决问题的好方法。
在合适机会启用小组同学分工合作，绘图、运算、观察图形特征，比较推导结果与图像结果是否一致等等。
C 、点出可以利用图形计算器作图，观察图像得出结果。
----[由观察得出的结果尽管不能保证严谨和精确，但在实际生活和探索中也不失为一种好的想法和常用方法。
值得肯定的是：作出的图像往往能起到提示的作用，往往能激起思维和智慧的火花。
] 观察类似三角的图像，猜想表达式化简变形为y=Asin(ωx+φ)形式，并尝试将函数化简变形，一步一步地探索。
D 、或通过挖掘题目的有用信息来猜想：如第3问，如何由正弦曲线变换得到该函数的图象？其实在暗示着该图象其实可由正弦曲线通过平移，翻折，对称，伸缩等变换方法得到？这时可猜想该函数应该可化简变形为y=Asin(ωx+φ)形式。
E 、在巡视中，物色典型，让小组代表上台，展示本组同学的思路和解题过程，促进组间交流。
F 、调动学生自己设计问题，继续探索，延伸课堂。
在解决完例题中的三个问题之后，向学生提出：除了题中给出的这三种问法，你还能研究什么？你还能给它提出哪些问题？仍旧鼓励以小组形式讨论，未解决的问题，则可鼓励学生在课下继续研究，讨论和解决这些新的变式。
例如：(4)在什么区间上是增函数？(5)可由1sin22y x经过怎样的变换得到？(6)该函数是否具有奇偶性？(7)函数的值域是什么？……【设计说明】:1、从选材上，给出的函数有可研究性，利于数与形的结合；有难度，但通过教师的适时点拨后又会有豁然开朗之感。
2、有意让学生带图形计算器上数学课。
（我校的高中是与澳大利亚合作办学的，学生在高中三年中既要学习国内高中课程，又要学生外国原版高中必修课程。
这样，学生毕业时通过考试，就可同时获取国内外两个高中毕业证书，并有条件同时报考国内外大学，双向选择。
）图形计算器是外教教授澳洲高中VCE数学课和学生通过VCE考试所必备的工具。
北京、江苏的一些高中校就做过使用图形计算器这方面的教育实验，效果不错。
于是，我也经常尝试让学生带图形计算器在国内数学课堂上使用。
学生在课上适当使用计算器这是一种可能，是一种‘用’工具的意识和能力。
尽管国内大部分地区还没有准许在考场上使用计算器，但上海的高考代表着一个趋势------计算器进入高考考场，已是大家所认同的创新之举。
此时，让学生带图形计算器上数学课，目的不是仅仅让学生会用计算器，而是让学生多掌握一种自主探索和研究的工具；同时锻炼的还有学生的看图能力，读图能力，辨图能力；更可以让学生学会由图找性质，由图找规律，由图像来开扩思维。
这样做，能将应试与应用相结合，将传统教育与素质教育结合起来。
3、巧妙的设计问题，可以用问题来引导学生思考，用问题来调动学生的参与。
在合适的时机引导学生进行小组分工，合作和交流，培养相应的意识和能力。
而且，在综合题的教学中采用小组形式，分工合作，还无形中降低了难度，让各种层次的学生都能够参与其中，让层次稍低点的同学“跳一跳，能够得着。
”既符合前苏联心理学家维果茨基提出的“最近发展区”理论，又尊重了学生个体差异。
4、在实物投影机前把讲台让给小组代表上台展示成就，促进小组间的沟通。
一方面给予学生更多的自主空间，广阔的沟通和交流的平台，还是一个上台展现自我能力的舞台，另一方面还利于教师发现学生的特殊想法、解题新思路等。
我想这也是新课改所提倡的吧。
5、调动学生自己设计问题，继续探索，再次激活思维，延伸课堂。
一方面可训练发散思维，另一方面学生在提问的同时，其实也在构建和整理其知识结构框架，是在真实地自主探究，是在交流，是自己动手动脑的实践。
学生自主提问，自主解答，是一种更高层次的参与，更高层次的自主，更高层次的能力，是自主探究最为重要的第一步。
五、练习：（书P92 13之变式）将上例中函数改为：22sin 2sin cos 3cos ,y x x x x x R =++∈，问题不变。
六、小结1）五点法、变换法作函数y=Asin(ωx+φ)的简图； 2) 正、余弦函数的性质；；3）计算三角函数周期：先将其化简为关于三角的一次函数形式，且仅含有一种三角函数名，再用公式T=2π/ω计算周期。
4）遇到综合性问题，看似无从下笔的问题，要学会探索和研究它们的方法。
如先猜后证；利用现代工具作图（观察图像，数形结合，启发灵感）；尝试化简，逐步探索；提取有用信息，挖掘隐藏信息。
等等七、作业：1、将上面例题函数改为R x x x x y ∈-+=,41cos sin 23cos 212，问题不变。
2、教材P90 26，27，30①五点法②变换法，32【自评】：复习课适宜于采用多媒体手段，但绝对不是罗列知识，过马观花。
本节课的设计中课件用得并不多，但力求借用课件加大信息量，来突破难点；更力求借用多种手段来营造学生自主探究的氛围和条件，包括PPT演示文稿，用几何画板来作图验证和探究，更包括学生利用图形计算器绘图，利用图形计算器来探究；借用多媒体讲台来展示小组成就，加强组间思想的交流。
力求为学生学习方式，师生、生生互动服务，力求为学生的主动探究来服务。
