粘弹性土体中深埋圆形隧道的应力和位移分析

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引言
工程中经常遇到在岩土体中修建地下建(构)筑 物的问题，关于这一课题在弹性静力条件下已有不 少研究成果[1-2]。 而目前许多地下工程是在饱和软粘 [3] 土中修建 ，由于饱和软粘土的固结以及土骨架的 流变特性，土体变形和孔隙水压力消散是耦合的过
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收稿日期： 2003-01-11；修改日期： 2003-06-30
Abstract:
Based on Biot’s theory of consolidation, the stresses, displacements and pore pressure induced by a
deep tunnel excavation in viscoelastic saturated soil are investigated in the Laplace transform domain using the coupled poro-mechanical model. The liner and the soil are assumed to be porous medium. The tunnel is partially sealed and the boundary of tunnel is partially permeable. Numerical results are obtained by inverse Laplace transformation and are used to analyze the distribution of stresses, displacement and pore pressure around the tunnel. The influence of permeability of the tunnel boundary and soil viscosity on the field of stresses, displacements and pore pressure is discussed. Key words: viscoelasticity; saturated soil; circular tunnel; partially permeable boundary; consolidation
2
τ rθ ∂P ∂r
r = r2
= σ d sin 2θ kP = r2
(10b) (1力学的对应原理，需对问题求
(16a) (16b)
3.1 基本方程 解的基本方程进行拉普拉斯变换，为此定义拉普拉 斯变换的形式为
F ( s) = ∫
∞ 0 [10]
式中
其中 µ 为土体的泊松比。 几何方程
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~∗ n~ ∂ω − φ∗= r ∂r 2~∗ ∂ e 1 ∂~ e ∗ n2 ~∗ s ~∗ + − 2 e = e r ∂r c ∂r 2 r
(20b) (20c)
由(26)式可以看出，隧道边界轴对称均布卸载 时，问题的解答与边界透水条件无关。 (2) 第Ⅱ类边界条件下的解 ~ 在第Ⅱ类边界条件作用下土体中切向位移 u θ ~ 和剪应力 τ 均为零，其它的应力和位移分量为:
rθ
方程(20c)为修正的贝塞尔方程，求解(20)式得到: ~ φ ∗ = A3 r − n + A4 r n (21a) n ∗ −n ~ ω =A r −A r (21b)
3 4
e = A1 K n ( x) + A2 I n ( x)
∗
(21c)
式中 x = s / c r ； I n 、 K n 分别为 n 阶第一、二类虚 宗量贝塞尔函数，考察(17)式有 A2 = A4 = 0 。 由(17)、(21)式，并结合(19)式，可以得到超静 孔隙水压力的解： ~ P λ + 2G r −n = K n ( x ) A1 + A3 cos nθ 2G 2 2G
[9]
将(17)式代入(16)式， 并结合式(15)得到问题求 解的基本方程： ~ ~ ∂φ 1 ∂ω − = r ∂θ ∂r ~ ~ ∂ω 1 ∂φ = ∂r r ∂θ s~ ∇2~ e= e c
(12a) (12b)
(18a) (18b) (18c)
钱家欢 在饱和土的粘弹性理论中对李氏比拟 法进行了推广，认为只要将 Laplace 变换后线弹性 ~ 本构方程中的弹性模量 E 变换成 1 /[ s ⋅ J (s )] ，就可 以得到粘弹性土体固结的本构方程： ~ ~ + λε ~ −P ~ = (λ + 2G )ε σ θ r r ~ ~ + ( λ + 2G ) ε ~ −P ~ = λε σ θ θ r ~ = Gγ ~ τ
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工
程
力
学
∂P ∂r
=
r = r2
kP r2
(8c)
(2) 初始应力 σ h 和 σ v 为零，隧道边界上仅作 用着初始孔隙水压力。此为第Ⅱ类边界： σ r r =r = 0
2
~ ~ ~ ~ = ∂u r ~ = u r + 1 ∂uθ ε ε r θ ∂r r r ∂θ ~ ~ ~ ∂ u ∂ u u ~ =1 r + θ − θ γ rθ r ∂θ ∂r r
(16c) (16d)
f (t )e − st d t
(11a)
其逆变换为
f (t ) = ∫ F ( s )e st d s
0 ∞
(11b)
(17)
在极坐标中经拉普拉斯变换后，平面应变问题 的平衡方程可表示为 ~ ~ ~ −σ ~ ∂σ σ 1 ∂τ rθ θ r + + r =0 ∂r r ∂θ r ~ ~ ~ ∂τ 2τ 1 ∂σ rθ θ + + rθ = 0 ∂r r ∂θ r
~ ~ ~ = 1 ∂ (ru r ) + 1 ∂uθ e r ∂r r ∂θ ~ ~ ) ∂ u ∂(ru 1 1 θ r ~=− ω + r ∂θ r ∂r ~ 引入标量势函数 φ ，并定义： ~ ~ P = Gφ + (λ + 2G )~ e
r = r2
(3) 隧道边界上作用偏应力 σ d ， 隧道边界上非 均布卸载，与边界透水条件构成第Ⅲ类边界： (10a) σ r r = r = −σ d cos 2θ
ANALYSIS OF STRESS AND DISPLACEMENT AROUND A DEEP CIRCULAR TUNNEL IN VISCOELASTIC SOIL
*
LIU Gan-bin1 , XIE Kang-he1 , SHI Zu-yuan2
(1. Institute of Geotechnical Engineering, Zhejiang Univ., Hangzhou 310027, China; 2. Zhejiang Architectural Design & Research Institute, Hangzhou 310006, China)
(14a) (14b)
(9a) (9b) (9c)
τ rθ ∂P ∂r
r = r2
=0 = k ( P + P0 ) r2
渗流连续方程 ~ ~ ~ ∂ 2 P 1 ∂P 1 ∂ 2 P s ~ + + = e (15) ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 c ~ +ε ~ ； ~ =ε 式中 ~ c 为土体的固 e 为土体的总应变，e θ r 结系数， c = (λ + 2G )k s / γ w 。 3.2 问题的通解 Carter[6]在透水和不透水边界条件下， 求解了线 弹性各向同性饱和土体中圆形隧道的固结问题。本 文在其解法的基础上，利用推广的李氏比拟法，求 解粘弹性各向同性饱和土体半封闭圆形隧道的应 力和位移场。 将(13)、(14)式代入(12)式得 ~ ~ ∂P 1 ∂ω e ∂~ (λ + 2G ) −G = r ∂θ ∂r ∂r ~ ~ ~ 1 ∂e ∂ω 1 ∂P +G = (λ + 2G ) r ∂θ ∂r r ∂θ
作者简介： *刘干斌 (1976)，男，江西人，博士生，从事软粘土力学及地下工程方面的研究 (E-mail: liugb76@)； 谢康和 (1956)，男，浙江人，教授，博导，从事软粘土力学及地基处理、地下工程的教学与研究； 施祖元 (1956)，男，浙江人，教授级高工，博导，从事建筑结构设计和地基处理
程。Biot[4]1956 年建立了各向异性饱和多孔介质中 的粘弹性固结方程。作为粘弹性固结理论在工程中 的应用，在饱和软粘土中开挖深埋隧道，考虑土体 固结和土骨架的流变性有着重要的意义。 詹美礼[5]利用 Terzaghi-Rendulic 扩散方程求解 了粘弹性地基中洞周围土体的固结问题。而对于二
r K 1 ( x) − 2 K1 (ξ ) ~ su r 1 r r 2 = P0 λ + 2G ξ K 0 (ξ ) + ξK 1 (ξ ) / k ~ K 0 ( x) sP =− P0 K 0 (ξ ) + ξK 1 (ξ ) / k ~ sσ r P0 ~ sσ θ P0
(22)
由(16)、(19)、(21)式得到： ~ = [ c K ′ ( x) A + 1 ( n )r 1− n A + r − n −1 A ] cos nθ u r n 1 3 5 s 4 n −1 (23)
~ = [ − c n K ( x) A + 1 ( n − 2 ) r 1− n A + r − n −1 A ] sin nθ u θ n 1 3 5 s r 4 n −1