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二次谐波分量是指在非线性系统中产生的频率为输入信号频率的两倍的谐波成分。
当输入信号通过非线性元件时，其波形会发生畸变，出现额外的频率成分，其中一个是输入频率的两倍，被称为二次谐波。
二次谐波分量的产生是由于非线性系统中的二阶非线性效应所致。
在线性系统中，输入信号的频率成分不会改变。
然而，在非线性系统中，当信号通过非线性元件时，能量会被转移到其他频率上，产生额外的谐波成分。
二次谐波分量在许多领域中都有重要应用，例如电子学、通信、光学等。
在光学中，二次谐波分量的发生是通过使用非线性光学晶体来实现的。
这一过程被称为二次谐波生成，可以用于光谱分析、激光器频率加倍等应用中。
总之，二次谐波分量是指在非线性系统中产生的频率为输入信号频率的两倍的谐波成分。
它在许多领域中具有重要应用，提供了一种有效的方法来生成特定频率的信号。
谐波的产生原因和治理方式第一篇：谐波的产生原因和治理方式谐波的产生原因和治理方式供电系统中的谐波在供电系统中谐波电流的出现已经有许多年了。
过去，谐波电流是由电气化铁路和工业的直流调速传动装置所用的，由交流变换为直流电的水银整流器所产生的。
近年来，产生谐波的设备类型及数量均已剧增，并将继续增长。
所以，我们必须很慎重地考虑谐波和它的不良影响，以及如何将不良影响减少到最小。
1 谐波的产生在理想的干净供电系统中，电流和电压都是正弦波的。
在只含线性元件(电阻、电感及电容)的简单电路里，流过的电流与施加的电压成正比，流过的电流是正弦波。
在实际的供电系统中，由于有非线性负荷的存在，当电流流过与所加电压不呈线性关系的负荷时，就形成非正弦电流。
任何周期性波形均可分解为一个基频正弦波加上许多谐波频率的正弦波。
谐波频率是基频的整倍数，例如基频为50Hz，二次谐波为100Hz，三次谐波则为150Hz。
因此畸变的电流波形可能有二次谐波、三次谐波……可能直到第三十次谐波组成。
2 产生谐波的设备类型所有的非线性负荷都能产生谐波电流，产生谐波的设备类型有：开关模式电源(SMPS)、电子荧火灯镇流器、调速传动装置、不间断电源(UPS)、磁性铁芯设备及某些家用电器如电视机等。
(1)开关模式电源(SMPS)：大多数的现代电子设备都使用开关模式电源(SMPS)。
它们和老式的设备不同，它们已将传统的降压器和整流器替换成由电源直接经可控制的整流器件去给存贮电容器充电，然后用一种和所需的输出电压及电流相适合的方法输出所需的直流电流。
这对于设备制造厂的好处是使用器件的尺寸、价格及重量均可大幅度地降低，它的缺点是不管它是哪一种型号，它都不能从电源汲取连续的电流，而只能汲取脉冲电流。
此脉冲电流含有大量的三次及高次谐波的分量。
(2)电子荧光灯镇流器：电子荧光灯镇流器近年被大量采用。
它的优点是在工作于高频时可显著提高灯管的效率，而其缺点是其逆变器在电源电流中产生谐波和电气噪声。
谐波的产⽣原因与简介 谐波是⼀个数学或物理学概念，是指周期函数或周期性的波形中能⽤常数、与原函数的最⼩正周期相同的正弦函数和余弦函数的线性组合表达的部分。
下⾯就让店铺来给你科普⼀下什么是谐波。
谐波的定义 谐波(harmonic wave)，从严格的意义来讲，谐波是指电流中所含有的频率为基波的整数倍的电量，⼀般是指对周期性的⾮正弦电量进⾏傅⾥叶级数分解，其余⼤于基波频率的电流产⽣的电量。
从⼴义上讲，由于交流电⽹有效分量为⼯频单⼀频率，因此任何与⼯频频率不同的成分都可以称之为谐波，这时“谐波”这个词的意义已经变得与原意有些不符。
正是因为⼴义的谐波概念，才有了“分数谐波”、“间谐波”、“次谐波”等等说法。
谐波产⽣的原因主要有：由于正弦电压加压于⾮线性负载，基波电流发⽣畸变产⽣谐波。
主要⾮线性负载有UPS、开关电源、整流器、变频器、逆变器等。
泛⾳是物理学上的谐波，但次数的定义稍许有些不同，基波频率2倍的⾳频称之为⼀次泛⾳，基波频率3倍的⾳频称之为⼆次泛⾳，以此类推。
谐波的产⽣原因 在理想的⼲净供电系统中，电流和电压都是正弦波的。
在只含线性元件(如：电阻)的简单电路⾥，流过的电流与施加的电压成正⽐，流过的电流是正弦波。
⽤傅⽴叶分析原理，能够把⾮正弦曲线信号分解成基本部分和它的倍数。
在电⼒系统中，谐波产⽣的根本原因是由于⾮线性负载所致。
当电流流经负载时，与所加的电压不呈线性关系，就形成⾮正弦电流，即电路中有谐波产⽣。
由于半导体晶闸管的开关操作和⼆极管、半导体晶闸管的⾮线性特性，电⼒系统的某些设备如功率转换器会呈现⽐较⼤的背离正弦曲线波形。
谐波电流的产⽣是与功率转换器的脉冲数相关的。
6脉冲设备仅有5、7、11、13、17、19 …。
n倍于电⽹频率。
功率变换器的脉冲数越⾼，最低次的谐波分量的频率的次数就越⾼。
其他功率消耗装置，例如荧光灯的电⼦控制调节器产⽣⼤强度的3 次谐波( 150 赫兹)。
在供电⽹络阻抗( 电阻) 下这样的⾮正弦曲线电流导致⼀个⾮正弦曲线的电压降。
二次谐波产生机理及应用进展二次谐波是指在非线性光学过程中，光波在介质中传播时，能够产生一倍频的光波，也就是频率加倍的现象。
这是由于介质中的非线性光学效应导致的。
这种效应在光学通信、激光、光混频探测仪以及光学显微镜等领域中具有广泛的应用。
下面本文将简要介绍二次谐波的产生机理和应用进展。
一、二次谐波产生机理非线性光学中的二次谐波是由于介质中非线性极化对光信号的响应产生的。
线性介质的极化强度与电场强度成比例关系，而非线性介质的极化强度则是电场强度的高次方。
因此，当光波在非线性介质中传播时，电场强度的高次方将导致极化强度的高次方，进而导致介质中的谐波输出频率的增加。
通常，二次谐波的产生需要两个频率的光波的作用。
在非线性介质中，这两个频率的光波作用将导致介质中的频率加倍，并在输出端产生谐波。
这一过程可以用下式表示：P(2ω) = ε_0^n2_r(2ω) * |E1(ω)|^2 * P(ω)其中，P(2ω)表示二次谐波的功率，P(ω)表示原始波的功率，ε_0是自由空间介电常数，n2_r(2ω)是二阶非线性光学系数，E1(ω)是波长为ω的激光波的电场幅度。
二、应用进展1、激光和光通信二次谐波可以用于激光器和光通信中的频率转换。
光通信系统中的二次谐波发生器可以将光信号频率加倍，从而实现更高的传输速率。
另外，激光器中的二次谐波发生器可用于产生更高精度的光谱分析，以及激光切割、焊接和标记等行业的应用。
2、生物显微镜二次谐波显微镜是一种新型的生物成像技术。
它利用非线性光学效应测量生物样品中的二次谐波信号，使得人们可以观察生物样品的结构和动态进程。
该技术对于生物学的研究和医学检查具有很大的价值。
3、纳米加工二次谐波激光加工可以用于纳米加工领域。
它可以通过控制光的波长和功率，实现对具有高精度的三维结构的纳米材料的加工和制备，为微纳加工和生物芯片制备提供了新的技术手段。
4、原子物理二次谐波也可以用于研究原子物理领域的问题。
二次谐波产生的原因分析1. 引言在电力系统中，非线性负载和设备的广泛应用导致电网中出现谐波问题。
谐波是指频率为基波频率整数倍的电压和电流波形。
其中，二次谐波是指频率为基波频率的两倍的电压和电流波形。
二次谐波的产生会给电力系统带来诸多问题，如影响电力设备的正常运行、降低电力系统的能效、增加电力系统的损耗等。
因此，分析二次谐波产生的原因，对于电力系统的稳定运行和电力质量的提高具有重要意义。
2. 二次谐波产生的原因2.1 非线性负载非线性负载是二次谐波产生的主要原因之一。
非线性负载的特点是其电流与电压之间的关系不是线性的，而是呈现出非线性的特性。
当非线性负载接入电力系统时，会导致电网中的电压和电流波形发生畸变，从而产生谐波。
常见的非线性负载包括：（1）电力电子设备：电力电子设备广泛应用于电力系统中，如变频器、整流器、逆变器等。
这些设备通过电力电子器件（如二极管、晶闸管、绝缘栅双极晶体管等）进行电压和电流的控制，从而实现电能的转换和控制。
然而，这些电力电子器件在工作过程中会产生非线性的电压和电流波形，导致二次谐波的产生。
（2）电弧炉：电弧炉是一种利用电弧加热的设备，广泛应用于金属熔炼、炼钢等领域。
电弧炉在工作过程中，电弧的温度和形状不断变化，导致电弧电流的波形发生畸变，从而产生二次谐波。
（3）电气化铁路：电气化铁路是一种利用电力驱动的铁路系统，其牵引供电系统中的电力机车在运行过程中会产生非线性的电流波形，从而导致二次谐波的产生。
2.2 电力设备的非线性特性除了非线性负载外，电力设备本身也可能具有非线性的特性，从而导致二次谐波的产生。
例如：（1）变压器：变压器是电力系统中常见的设备，用于实现电压的升降和电能的传输。
然而，变压器中的铁芯饱和、漏磁等因素会导致变压器的电流和电压波形发生畸变，从而产生二次谐波。
（2）电缆：电缆是电力系统中用于传输电能的导线，其电感和电容特性会导致电流和电压波形发生畸变，从而产生二次谐波。
谐波的产⽣原因与简介 谐波是⼀个数学或物理学概念，是指周期函数或周期性的波形中能⽤常数、与原函数的最⼩正周期相同的正弦函数和余弦函数的线性组合表达的部分。
下⾯就让店铺来给你科普⼀下什么是谐波。
谐波的定义 谐波 (harmonic wave)，从严格的意义来讲，谐波是指电流中所含有的频率为基波的整数倍的电量，⼀般是指对周期性的⾮正弦电量进⾏傅⾥叶级数分解，其余⼤于基波频率的电流产⽣的电量。
从⼴义上讲，由于交流电⽹有效分量为⼯频单⼀频率，因此任何与⼯频频率不同的成分都可以称之为谐波，这时“谐波”这个词的意义已经变得与原意有些不符。
正是因为⼴义的谐波概念，才有了“分数谐波”、“间谐波”、“次谐波”等等说法。
谐波产⽣的原因主要有：由于正弦电压加压于⾮线性负载，基波电流发⽣畸变产⽣谐波。
主要⾮线性负载有UPS、开关电源、整流器、变频器、逆变器等。
泛⾳是物理学上的谐波，但次数的定义稍许有些不同，基波频率2倍的⾳频称之为⼀次泛⾳，基波频率3倍的⾳频称之为⼆次泛⾳，以此类推。
谐波的产⽣原因 在理想的⼲净供电系统中，电流和电压都是正弦波的。
在只含线性元件(如：电阻)的简单电路⾥，流过的电流与施加的电压成正⽐，流过的电流是正弦波。
⽤傅⽴叶分析原理，能够把⾮正弦曲线信号分解成基本部分和它的倍数。
在电⼒系统中，谐波产⽣的根本原因是由于⾮线性负载所致。
当电流流经负载时，与所加的电压不呈线性关系，就形成⾮正弦电流，即电路中有谐波产⽣。
由于半导体晶闸管的开关操作和⼆极管、半导体晶闸管的⾮线性特性，电⼒系统的某些设备如功率转换器会呈现⽐较⼤的背离正弦曲线波形。
谐波电流的产⽣是与功率转换器的脉冲数相关的。
6脉冲设备仅有5、7、11、13、17、19 …。
n倍于电⽹频率。
功率变换器的脉冲数越⾼，最低次的谐波分量的频率的次数就越⾼。
其他功率消耗装置，例如荧光灯的电⼦控制调节器产⽣⼤强度的3 次谐波( 150 赫兹)。
§2.3 二次谐波的产生及其解二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG 激光器的基频光(1.064μm)倍频成0.532μm 绿光，或继续将0.532μm 激光倍频到0.266μm 紫外区域。
本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。
2.3.1 二次谐波的产生设基频波的频率为1ω，复振幅为1E ；二次谐波的频率为()2212ωωω=，复振幅2E 。
由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度()2P ，辐射出的二次谐波场()3E z 所满足的非线性极化耦合波方程()()()222202222ik z d E z i P z e dz k μω-= (2.3.1-1) ()()()()()1222110211;,ik z P z z E z e εχωωω=-:E (2.3.1-2)注意简并度1D =，212ωω=()()()()()()()()()22202110211221112112;,2;,i kzi kzd E z i E z E ze dz k iE z E z e n cμωεχωωωωχωωω∆∆=-:=-: (2.3.1-3)波矢失配量， 122k k k ∆=- (2.3.1-4) 写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式333E a E =，基频光场可能有两种偏振方向，即'1111,a E a E ，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有331a a ⋅=()()()()'222121121112;,i kz dE z i a a a E z e dz n c ωχωωω∆⎡⎤=⋅-::⎢⎥⎣⎦ (2.3.1-5)基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度()21P ，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。
()()()122101112ik z d E z i P z e dz k μω-= (2.3.1-6)()()()()()21*2()12101212;,i k k z P z z E z e εχωωω-=--:E (2.3.1-7)()()()()()'21*1121121211;,::i kz dE z i a a a z E z e dz n c ωχωωω-∆⎡⎤=⋅--E ⎢⎥⎣⎦ (2.3.1-8)如果介质对频率为13,ωω的光波都是无耗的，即13,ωω远离共振区，则()()()()22311131;,,;,χωωωχωωω---都是实数。
倍频现象的理论解释线性光学效应的特点：出射光强与入射光强成正比；不同频率的光波之间没有相互作用，没有相互作用包括不能交换能量；效应来源于介质中与作用光场成正比的线性极化。
非线性光学效应的特点：出射光强不与入射光强成正比（例如成平方或者三次方的关系）；不同频率光波之间存在相互作用，可以交换能量；效应来源于介质中与作用光场不成正比的非线性极化。
倍频效应是非线性的光学效应，当介质在光波电场的作用下时，会产生极化。
设P是光场E 在介质中产生的极化强度。
...…，分别为线性以及2,3为正是这些非线性极化项的出现，导致了各种非线性光学效应的产生。
所导致产生的：、波矢为的单色波，即：则中将出现项：该极化项的出现，可以看作介质中存在频率为的振荡电偶极矩，它的辐射便可能产生频率为2不相等，即：V(+X)≠V(-x)，因而位能函数相应的，电子与核之间的恢复力为：当D时，正位移引起的恢复力大于负位移引起的恢复力。
如果作用在电子上的电场力是正的，则会引起一个相对较小的位移；反之，则会引起一个相对较大的位移。
那么，电场正方向产生的极化强度就比电场反方向产生的极化强度小。
这就使得非线性极化的产生。
有了非线性极化，那么，一个给定的强光波电场对应的极化波就是一个正峰值b比负峰值b’小的非线性极化波：而根据傅里叶分析，任何一个非正弦的周期函数，都可以分解成角频率为、2、3、…的正弦波。
所以强光波电场在介质中引起的非线性极化波，可以分解成为角频率为的基频极化波，角频率为的二次谐频极化波，以及常值分量等成分。
而其中角频率为2的二次谐波，就是倍频光。
倍频转换效率：在发现倍频效应初期，产生二次谐波的效率是非常低的约为数量级。
这么低的转化效率对于倍频效应的应用来说，是一个巨大的障碍！经过后来的科学工作者的大量工作，得到了二次谐波产生的耦合波方程的一般解。
在这里，我：相位矢配因子，，通过上面的表达式对倍频转换效率进行一个简单的分析：倍频波的转换效率与和成正比，故：大的有效非线性极化系数和高的基频的光强均可使转换效率增大。
精心整理精心整理倍频现象的理论解释线性光学效应的特点：出射光强与入射光强成正比；不同频率的光波之间没有相互作用，没有相互作用包括不能交换能量；效应来源于介质中与作用光场成正比的线性极化。
非线性光学效应的特点：出射光强不与入射光强成正比（例如成平方或者三次方的关系）；不同频率光波之间存在相互作用，可以交换能量；效应来源于介质中与作用光场不成正比的非线性极化。
倍频效应是非线性的光学效应，当介质在光波电场的作用下时，会产生极化。
设P 是光场E 在介质中产生的极化强度。
对于线性光学过程：P=对于非线性光学过程：P 可以展开为E 的幂级数：其中：，…，n 阶非线性极化强度。
为n 阶极化率。
正是这些非线性极化项的出现，度所导致产生的： 设光场是频率为、波矢为的单色波，即：则中将出现项： 该极化项的出现，可以看作介质中存在频率为的振荡电偶极矩，的倍频光。
介质产生非线性极化：从微观上看，非线性是由原子、分子非谐性所造成的。
物质受强光作用后，电子发生位移x ，具有位能V(x)+x 和-x 相对应的位能并不相等，即：V(+X)≠V(-x)，因而位能函数V(x)应该包含奇次项：当D 时，正位移引起的恢复力大于负位移引起的恢复力。
如果作用在电子上的电场力是正的，则会引起一个相对较小的位移；反之，则会引起一个相对较大的位移。
那么，电场正方向产生的极化强度就比电场反方向产生的极化强度小。
这就使得非线性极化的产生。
有了非线性极化，那么，一个给定的强光波电场对应的极化波就是一个正峰值b 比负峰值b ’小的非线性极化波：而根据傅里叶分析，任何一个非正弦的周期函数，都可以分解成角频率为、2、3、…的正弦波。
所以强光波电场在介质中引起的非线性极化波，可以分解成为角频率为的基频极化波，角频率为的二次谐频极化波，以及常值分量等成分。
而其中角频率为2的二次谐波，就是倍频光。
倍频转换效率：在发现倍频效应初期，产生二次谐波的效率是非常低的约为数量级。
§2.3 二次谐波的产生及其解二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG 激光器的基频光(1.064μm)倍频成0.532m 绿光，或继续将0.532μm 激光倍频到0.266μm 紫外区域。
本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。
2.3.1 二次谐波的产生设基频波的频率为1ω，复振幅为1E u r；二次谐波的频率为()2212ωωω=，复振幅2E u r 。
由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度()2P u r ，辐射出的二次谐波场()3E z u r所满足的非线性极化耦合波方程()()()222202222ik z d E z i P z e dz k μω-= u ru r (2.3.1-1) ()()()()()1222110211;,ik z P z z E z e εχωωω=-:E u r u r u r t (2.3.1-2)注意简并度1D =，212ωω=()()()()()()()()()22202110211221112112;,2;,i kzi kzd E z i E z E ze dz k i E z E z e n cμωεχωωωωχωωω∆∆=-:=-:u ru r u r t u r u r t (2.3.1-3)波矢失配量，122k k k ∆=-(2.3.1-4)写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式333E a E =u r r，基频光场可能有两种偏振方向，即'1111,a E a E r r ，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有331a a ⋅=r r()()()()'222121121112;,i kz dE z i a a a E z e dz n c ωχωωω∆⎡⎤=⋅-::⎢⎥⎣⎦r r r t (2.3.1-5)基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度()21P u r ，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。
()()()122101112ik z d E z i P z e dz k μω-= u rur (2.3.1-6)()()()()()21*2()12101212;,i k k z P z z E z e εχωωω-=--:E u r u r u r t (2.3.1-7)()()()()()'21*1121121211;,::i kz dE z i a a a z E z e dz n c ωχωωω-∆⎡⎤=⋅--E ⎢⎥⎣⎦r r r t (2.3.1-8)如果介质对频率为13,ωω的光波都是无耗的，即13,ωω远离共振区，则()()()()22311131;,,;,χωωωχωωω---都是实数。
进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：()()()()'2(2)121121'2211211;,:;,eff a a a a a a χχωωωχωωω=⋅--=⋅-:r r r r r r t (2.3.1-10)二次谐波的耦合波方程组为:()()()()21*1211i kz eff dE z i E z E z e dz cn ωχ-∆= (2.3.1-11) ()()()222112i kz eff dE z i E z e dz cn ωχ∆= (2.3.1-12) 2.3.2 二次谐波的小信号解1、小信号解在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，LE (0)1E (0)=03图1 倍频边界条件()10dE z dz= (2.3.2-1) 并由边界条件()200E =，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得：()()()()()()222122221210sin 20/2i kL eff i kL eff e E L E cn kkL i E L e cn kL ωχωχ∆∆-=∆∆=∆ (2.3.2-2)二次谐波的光强为：()()()()()()()()22022222421021222224201212sin 12022102eff eff I L cn E L kLcn E n c kL L E cn εωεχεωχ=∆⎛⎫= ⎪∆⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭= (2.3.2-3) 利用212ωω=有效倍频系数(有效非线性光学系数)()22eff eff d χ= (2.3.2-4)和函数定义 ()sin sin xc x x=， (2.3.2-5) 以及 ()21011102I cn E ε= (2.3.2-6)得到小信号近似下的二次谐波解2220221220122222132021421sin 228sin 2effeff d I kL I L c cn cn d L kL I c c n n εωεωε⎛⎫∆⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∆⎛⎫=⎪⎝⎭(2.3.2-7)小信号近似下倍频效率： 2222213210138sin 2eff d L P kL I c P c n n ωηε∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ (2.3.2-8)倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。
同时由曼利——罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。
转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方()22eχ。
2、二次谐波解的讨论定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的kL ∆宽度，定义允许的相位失配量0.886/BW k L π∆= (2.3.2-9)定义相干长度：如果相位失配量0k ∆≠，使倍频光强单调增长的一段距离为相干长度c Lc L kπ=∆ (2.3.2-10)由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位匹配条件0k∆=，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强度。
图 2 ()2sin ckL ∆函数图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系§2.3.3 二次谐波的大信号解（基频波存在损耗） 产生二次谐波的耦合波方程为()()()()()()()21*1211222112i kzeff i kzeff dE z i E z E z e dz cn dE z i E z e dz cn ωχωχ-∆-∆== (2.3.3-1)讨论在相位匹配条件下，即0k ∆=，此时基频波和二次谐波的折射率相等，12n n =如果基频波存在损耗，10dE dz≠ 二次谐波耦合波方程变为： ()()()()()()()21*21122211eff eff dE z i E z E z dz cn dE z i E z dz cn ωχωχ== (2.3.3-2)类似于曼利——罗关系，作()()**1122d E E d E E dzdz+运算，得到()()2212E z E z +=常数 (2.3.3-3)由初始条件()()2100;00E E =≠()()()2221210E z E z E += (2.3.3-4)()()()()()221221210effd E z EE z dzn cωχ=- (2.3.3-5)考虑到积分方程：1221tanh dx x a x aa -⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰ (2.3.3-6) 将(2.3.3-5)整理成上式形式()()()()()()()()2221122111121tanh 000eff d E z E z z n c E E E E z ωχ-⎛⎫ ⎪== ⎪-⎝⎭⎰(2.3.3-7)()2E z 表示为：()()()()2121110tanh 0eff E z E E z n c ωχ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2.3.3-8)定义倍频特征长度 ()()121110SHeff L E n c ωχ-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2.3.3-9)二次谐波光强为：()()()()2202222011211210tanh 20tanh SHSHI z cn E z zcn E L zI L εε=== (2.3.3-10) 二次谐波与入射基频波光强比值：()221()tanh 0SHGI z zI L = (2.3.3-11)基频光在晶体内光强为：()()()()()()2101122011221121020sech SHG I z cn E z cn E E z L I L εε==-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2.3.3-13) ()2sech 0SHGI zI L ωω= (2.3.3-14)图 4 基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系相干长度还可写为：1SHL-⎛=⎝(2.3.2-15)如LiNbO3晶体，非线性倍频系数95.410m/Veffd-=⨯，基频光波长1.064μm，折射率2.2，基频光光强25 MW/cm2，求得倍频特征长度为3.7cm。
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