三角形垂心与外心的一个性质

三角形的重心、垂心、外心和内心的认识（一）引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有许多特殊的性质和定理。

其中，三角形的重心、垂心、外心和内心是四个重要的点，它们在三角形的研究中起着重要的作用。

本文将对三角形的重心、垂心、外心和内心进行系统的认识和介绍。

正文：一、重心重心是三角形的重要特殊点之一，它是三角形三条中线的交点。

下面是重心的主要性质和认识点：1. 重心将三角形三条中线划分成长度相等的两部分。

2. 重心离三角形的顶点等距离，且到其他点的距离也相等。

3. 重心是三角形内接圆的圆心。

二、垂心垂心是三角形的又一个特殊点，它是三角形三条高线的交点。

下面是垂心的主要性质和认识点：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。

2. 垂心到三角形三边的距离有最小值，且最小值等于垂心到三边异于顶点的垂直距离。

3. 垂心是三角形外接圆的圆心。

三、外心外心是三角形的第三个特殊点，它是三角形三条外角平分线的交点。

下面是外心的主要性质和认识点：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

2. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是唯一能够经过三角形三个顶点的圆。

3. 外心是三角形内心和重心的等距离点。

四、内心内心是三角形的最后一个特殊点，它是三角形三条内角平分线的交点。

下面是内心的主要性质和认识点：1. 内心离三角形三边的距离和最小，且最小值等于内心到三边异于顶点的垂直距离。

2. 内心是三角形内接圆的圆心，内接圆是唯一能够与三角形三边相切的圆。

3. 内心离三角形三个顶点的距离一般不相等。

总结：三角形的重心、垂心、外心和内心是在三角形研究中常常涉及到的四个特殊点。

重心具有将三角形三条中线划分成长度相等的两部分的性质，垂心具有在三角形内外的距离最小的性质，外心具有离三角形三个顶点等距离的性质，内心具有离三角形三边的距离最小的性质。

这些特殊点的性质和认识对于解决三角形相关问题和推导相关的定理具有重要的作用。

三角形的重心、垂心、外心和内心的认识（二）引言：三角形是一种基本的几何图形，它具有独特的性质和特点。

在三角形中，重心、垂心、外心和内心是四个重要的点，它们分别具有不同的特性和作用。

在本文中，我们将进一步探讨三角形的重心、垂心、外心和内心的认识，帮助读者更好地理解和应用它们。

正文：一、重心（Center of Gravity）重心是三角形内部所有点的平均位置。

它具有以下性质：1. 重心所在的直线称为重心线，它经过三角形的顶点与对边的中点。

2. 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形。

3. 如果一个三角形均匀分布质量，则它的重心就是质心。

二、垂心（Orthocenter）垂心是三角形三条高线的交点。

它具有以下性质：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。

2. 垂心到三角形三条边的距离乘积最小。

3. 如果一个三角形是锐角三角形，则垂心在三角形内部；如果是直角三角形，则垂心是直角的顶点；如果是钝角三角形，则垂心在三角形外部。

三、外心（Circumcenter）外心是三角形外接圆的圆心。

它具有以下性质：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。

2. 外心到三角形三条边的距离相等，且等于外接圆的半径。

3. 一个三角形的外心可以通过三条边的垂直平分线的交点确定。

四、内心（Incenter）内心是三角形内切圆的圆心。

它具有以下性质：1. 内心到三角形三条边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2. 内心到三角形的三个顶点的距离之和等于三角形的周长。

3. 一个三角形的内心可以通过三条边的角平分线的交点确定。

总结：三角形的重心、垂心、外心和内心是三角形内部的特殊点，它们在三角形的性质和计算中扮演着重要的角色。

重心代表了平均位置，垂心代表了高线的交点，外心代表了外接圆的圆心，内心代表了内切圆的圆心。

通过深入理解和认识这些点的性质，我们可以更好地应用它们解决问题，进一步研究和探索三角形的奥秘。

三角形中的内心外心垂心与重心三角形是几何学中最基本的图形之一，它有很多有趣和重要的性质。

其中，内心、外心、垂心和重心是与三角形密切相关的四个特殊点。

本文将探讨这四个点的定义、性质及其在三角形中的应用。

一、内心内心是指三角形内部与三边各自相切的圆的圆心，记为I。

对于任意三角形ABC，I的定义如下：1. 点I到三角形的每条边的距离相等，即IA=IB=IC。

2. 点I恰好在三边的内部。

3. 内切圆的半径为r，称为三角形的内切圆半径。

内心有很多重要的性质：1. 内心到三边的距离分别是三边长度的函数，可以通过海伦公式计算。

2. 内心是三角形的垂心和重心的共轭点，也是三角形的唯一一个同时与三边相切的圆心。

3. 对于等边三角形，内心、重心和外心重合于同一个点。

4. 内心是三角形三条角平分线的交点。

二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，记为O。

对于任意三角形ABC，O 的定义如下：1. 三角形的三条边的中垂线相交于一点，该点就是外心。

2. 外接圆半径为R，称为三角形的外接圆半径。

外心也有一些重要的性质：1. 外心到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC=R。

2. 外心是垂心和内心的共轭点，也是三角形的唯一一个同时与三边相切的圆心。

3. 对于钝角三角形，外心在三角形外部；对于直角三角形，外心在三角形斜边上；对于锐角三角形，外心在三角形内部。

4. 外心是三角形三个垂直平分线的交点。

三、垂心垂心是指三角形三条高或垂直平分线的交点，记为H。

对任意三角形ABC，H的定义如下：1. 三角形的三条高或垂直平分线相交于一点，该点就是垂心。

垂心有以下重要性质：1. 垂心到三边距离之积为定值，等于三角形面积的两倍。

2. 垂心是内心和外心的共轭点，也是三角形的唯一一个同时与三边相切的圆心。

3. 对于锐角三角形，垂心在三角形内部；对于直角三角形，垂心在斜边上；对于钝角三角形，垂心在三角形外部。

4. 垂心是三角形三个中线的交点。

四、重心重心是指三角形三条中线的交点，记为G。

初中几何三角形的垂心、外心、内心、中心、旁心。

初中几何三角形的垂心、外心、内心、中心、旁心几何学是数学中非常重要的一个分支，而三角形是几何学中最基本的一种形状。

在研究三角形的过程中，我们会遇到一些特殊的点，它们被称为垂心、外心、内心、中心和旁心。

本文将就这些特殊点进行详细的介绍。

一、垂心垂心是指一个三角形内部的一个点，该点到三角形的三条边上的顶点分别作垂线，而且垂线交于一个点。

这个点就是垂心。

我们用H表示垂心。

垂心有以下几个重要性质：1. 垂心到三角形的三个顶点分别连线，这三线交于三角形的垂心。

2. 垂心到三角形三边的垂线长度相等，且等于垂心到三条边的距离之和。

3. 垂心到三角形三个顶点的距离之和最小。

二、外心外心是指一个三角形外部的一个点，该点到三角形的三个顶点的距离相等。

我们用O表示外心。

外心有以下几个重要性质：1. 外心是三角形的外接圆的圆心，也就是可以通过三角形顶点作圆周定出外接圆。

2. 外心到三角形的三个顶点连线的垂线交于外心。

3. 外心到三角形三边的距离相等，且等于外心到三边的垂线长度之和。

三、内心内心是指一个三角形内部的一个点，该点与三角形的三条边的距离之和是最小的。

我们用I表示内心。

内心有以下几个重要性质：1. 内心是三角形的内切圆的圆心，也就是可以通过三角形边作切线定出内切圆。

2. 内心到三角形的三个顶点的连线上，各个连线在内心处垂直，即内心是三角形的垂心。

3. 内心到三角形三边的距离之和最小。

四、中心中心是指一个三角形内部的一个点，该点到三角形的三个顶点的距离相等，且到三角形三边的距离之和最小。

我们用C表示中心。

中心有以下几个重要性质：1. 中心是三角形的外心、垂心和重心的交点。

2. 中心到三角形的三个顶点连线的垂线交于中心。

3. 中心到三角形三边的距离相等，且等于中心到三边的垂线长度之和。

五、旁心旁心是指一个三角形外部的一个点，该点到三角形的某两条边的距离相等，到另外一条边的距离比较大。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。

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三角形的“四心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、
垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时,
四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心
定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。

ABC的重心一般用字母0表示。

性质：
1.外心到三顶点等距，即OA OB 0C。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一
边，即OD BC,OE AC,OF AB.
1
3. A BOC, B
2
二、三角形的内心
定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC的内心一
般用字母I表示，它具有如下性质:
性质：
1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

1
2. 三角形的面积= 三角形的周长内切圆的半径.
2
3. AE AF,BF BD,CD CE ；
AE BF CD 三角形的周长的一半。

1 1
4. BIC 90 — A, CIA 90 — B, AIB 90
2 2
三、三角形的垂心
定义：三角形三条高的交点叫重心。

性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即AH BC, BH AC,CH AB。

-AOC, C - AOB。

2 2
2. △ ABH的垂心为C , △ BHC的垂心为A , △ ACH的垂心为B。

ABC的重心一般用字母H表示。

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重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

旁心三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。

旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。

三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．(性质解释：三角形中线在三角形内部交与一点（重心），且该交点到顶点距离是到对边中点长度的2倍)垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．三角形中线在三角形内部交与一点（重心），且该交点到顶点距离是到对边中点长度的2倍。

三角形中线平分三角形面积。

2.三角形的内角平分线交与三角形内部一点（内心）。

三 角 形 “四 心”所谓三角形“四心”是指三角形重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形中心。

一、三角形外心定 义：三角形三条中垂线交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心及三角形边中点连线垂直于三角形这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆外心。

二、三角形内心定 义：三角形三条角平分线交点叫做三角形内心，即内切圆圆心。

ABC ∆内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点及内心连线平分顶角。

2.三角形面积＝⨯21三角形周长⨯内切圆半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量，则动点P 轨迹过ABC ∆内心。

三、三角形垂心定 义：三角形三条高交点叫重心。

ABC ∆重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点及垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆垂心。

结论2：若点O 为△ABC所在平面内一点，满足222222+=+=+，则点O 为ABC ∆垂心。

四、三角形“重心”：定 义：三角形三条中线交点叫重心。

ABC ∆重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点及重心G 连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心及顶点距离等于它及对边中点距离2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心坐标是三顶点坐标平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=。

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心;当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心;一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心;ABC ∆的重心一般用字母O 表示;性 质：1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==;2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心;二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心;ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角;2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ,则向量||||(AC AB AP =λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心;三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母H 表示;性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边,即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,;2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心;结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点,满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心; 四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母G 表示;性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边;2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍;即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：10=++GC GB GA ； 2)(31PC PB PA PG ++=;。