北师大版高中数学必修一：4.1.1 23号课件

【拓展类型】一元二次方程区间根问题
【备选例题】(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1(a<b),且m,n是
方程f(x)=0的两个根(m<n),则实数a,b,m,n的大小关系可能是
(
A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.m<a<n<b D.a<m<b<n
2.借助对应值表中提供的有关ex与x+2的对应数值的大小关系
作出判断.
【自主解答】(1)选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,
f(b)f(c)<0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
【即时练】 若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足 f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零
点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
(3)判断函数f(x)= log 1 x－ x 的零点个数.
2
【解题探究】1.题(1)中的函数是什么函数?如何判断其零点个 数? 2.题(2)中函数y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在 (a,b)上只有一个零点吗? 3.如何判断题(3)中的函数的零点个数?
【探究提示】1.题(1)中的函数是二次函数,可借助判别式的符
【微思考】 函数的零点就是函数图像与x轴的交点吗? 提示：不是.函数的零点是个实数,而函数图像与x轴的交点是 个点的坐标.

集合常用大写字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…标记;
集合中的每个对象叫做这个集合的元素;
在上述集合中洞庭湖、鄱阳湖、呼伦湖都是
这个集合中的元素; •若元素a在集合A中,就说元素属于集合,记作
a ∈A; 若元素a不在集合A中,就说元素不属于
集合,记作a A.
一些常见的数集及其记法
自然数组成的集合简称自然数集，记作N；
描述法（或称为集合的特征性质描述法）的一般 形式为：A= {x∈U︱p(x)} .
探究：“由大于3小于10的整数组成的集合”如何表 示参. 考：1.{4，5，6，7，8，9}，
2.{大于3小于10的整数}，
3.{x∈Z︱3< x <10 }.
变式1 ： “由大于3的整数组成的集合” 如何表 示参. 考:1.{x∈Z︱ x >3};
x, y x 0, y 0
（4）抛物线 y=x2-2x+2 上的所有的点；
x, y y x2 2x 2
（5）一年之中的四个季节； {春，夏，秋，冬} （6）所有小于20的素数； 2,3,5,7,11,13,17,19
（7）小于10的所有有理数. xQ x 0
2. {4，5，6，7，8, ……}
变式2：“由大于3小于10的实数组成的集合”如何表 示.参考: {x︱ 3 <x < 10}
尝试练习
用适当的方法表示下列集合：
课本P5 2
（1）不等式 x < 5 的解； x R x 5
（2）正三角形的全体；
x x是正三角形
（3）在平面直角坐标系中第三象限所有的点；
正整数组成的集合简称正整数集，记作N+ ；
整数组成的集合简称整数集，记作Z； 有理数组成的集合简称有理数集，记作Q； 实数组成的集合简称实数集，记作R.

4.1二次函数的图像
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
4.2二次函数的性质
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
习题2—4
2.3映射
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
习题2—2
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
阅读材料 生活中的映射
§2 对函数的进一步认识
北师大念
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
2.2函数的表示法
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
3.1交集与全集
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
3.2全集与补集
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
习题1—3
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
§3 函数的单调性
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
习题2—3
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
§4 二次函数的再研究
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
§5 简单的幂函数
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
习题2—5
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
阅读材料 函数概念的发展—— 从解析式到对应关系
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
阅读材料
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
本章小结
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
复习题一
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件
习题1—2
北师大版高一数学必修1经典PPT课 件

1、最简单的幂函数 yx,y1,yx2的图像. x
2、画出 y x 3 的图像.
描点法画图的步骤： 1、列表 2、描点 3、连线
3、将 yx,y1,yx2的图像与 y x 3
x
画在同一坐标系中.
幂函数简单的性质
几何画板
观察幂函数在第一象限的图像，归纳幂 函数的简单性质
（单调性、过定点、图像间的位置等）
即 y x，这样的函数称为幂函数。
练习：下列函数中，是幂函数的有______
① y = 2x2
③ y = x－4
⑤y = x3
② y (3x)2
1 ④ y = x2
⑥ y 2x
题后反思
幂函数解析式 y x 的特征：
① x 的系数是1
②底数只能是自变量 x
简单幂函数的图像
几何画板
所以函数图象在 0, 上成上凸姿势,函数是增函数,增长
的速度越来越缓慢；
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐

2.参数“a,h,k”对y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的影响 (1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小; (2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置; (3)k决定了二次函数图象的顶点的高度.
【跟踪训练】
1.已知二次函数 y=x2-8x +c的图象的顶点在 x轴上,则c=
类型三 一元二次函数的最大值和最小值(数学运算)
角度1 求一元二次函数的最大值或最小值
【典例】求函数y= 1 x2-2x+4的最小值.
2
【思路导引】先配方变形,然后确定函数图象的开口方向和对称轴,最后求最小
值.
【解析】配方:y=
1 2
x2-2x+4=
1 (x 2)2 +2,此函数的图象是一条抛物线,开口
【拓展训练】 已知一元二次函数的图象经过点(1,0),(-5,0),且顶点纵坐标为 9 ,求这个函
2
数的解析式.
类型二 一元二次函数的函数值的变化趋势(逻辑推理) 【典例】试述一元二次函数y=3x2-6x-1函数值的变化趋势.
【解题策略】
一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 函数值的变化趋势
2
y=x2-mx+5的函数值y随x的增大而增大,所以 m ≤2,解得m≤4.
2
2.一元二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7)点. (1)求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标; (2)试述函数值的变化趋势.
【补偿训练】 试述一元二次函数y=4x2+16x+5函数值的变化趋势. 【解析】配方,得y=4x2+16x+5=4(x+2)2-11, 此函数的图象开口向上,对称轴是直线x=-2, 所以在区间 (－,－上2,]y随x的增大而减小; 在区间 [－2,上),y随x的增大而增大.

北师大版高中数学必修一开篇即介绍了集合的基本知识。首先明确了集合与元素的概念，指出集合是某些指定对象的全体，而元素则是集合中的每个对象。进而阐述了元素与集合的关系，包括属于和不属于两种关系，并给出了相应的符号表示。此外，还介绍了常用数集及其记法，如自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集等。在理解集合概念的基础上，进一步探讨了集合中元素的特性，包括确定性、互异性和无序性。通过丰富的例题和练习，帮助读者深化对集合知识对象，要么在集合中，要么不在集合中，必须明确无误。

1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平 行直线的方向向量共线．
2．在空间中，过点 A，方向向量为 n 的直线可以表示为O→P＝O→A ＋tn．
[跟进训练] 1．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以顶点为向量端点的 所有向量中，直线 AB 的方向向量有( )
A．8 个 B．7 个 C．6 个 D．5 个
当堂达标·夯基础
必备素养 学以致用
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所 在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向 量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它 是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求 法．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 直线的方向向量及应用 【例 1】 在空间直角坐标系 O-xyz 中，已知直线 l 过点 A(－1， 0，2)，其方向向量为 n＝(2，1，3)． (1)求直线 l 的向量表达式； (2)求直线 l 与坐标平面 xOy 的交点 B 的坐标．
[解] (1)直线 l 的向量表达式为O→P＝O→A＋tn(t∈R)． (2)由(1)知，O→P＝(－1＋2t，t，2＋3t)，令 2＋3t＝0，得 t＝－23， 所以，点 B 的坐标为－73，－23，0．
[解] A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)． ∵AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝(1，0，0)是平面 SAB 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)，则 n·D→C＝(1，y，z)·(1， 2，0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－12．又 n·D→S＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，∴z ＝12．

所以f(x)的解析式为f(x)=൞
2 2 + 3−1, < 0.
反思感悟
1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x).
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上
述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
(1−), < 0,
的图象如图所示.
(1 + ), > 0
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
(方法二)函数f(x)=ቊ

数列的分类
按照项数是否有限，数列可分为有穷数列和无穷数列；按照项数是否递增，数列 可分为递增数列、递减数列和常数列。
等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和公式
$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项 ，$d$是公差。
$S_n = frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
对数函数具有对称性，即对于任意实数 $x > 0$，有$log_a x = -log_a frac{1}{x}$。
对数函数总是经过点$(1,0)$；
对数函数的性质 对数函数是递增的；
指数函数与对数函数的应用
在金融中的应用
在实际生活中的应用
指数函数和对数函数在金融领域中有 着广泛的应用，如复利计算、股票价 格分析等。
三角函数的定义与性质
三角函数的性质
奇偶性：正弦函数和余弦函数是 奇函数和偶函数，正切函数是奇 函数。
三角函数的定义：三角函数是圆 的角度与其边长的比值或积的比 值，通常用希腊字母$sin$、 $cos$、$tan$等表示。
周期性：三角函数具有周期性， 最小正周期为$2pi$。
单调性：在每个周期内，正弦函 数、余弦函数和正切函数都有单 调区间。
指数函数和对数函数在实际生活中也 有着广泛的应用，如计算复利、求解 方程等。
在科学计算中的应用
指数函数和对数函数在科学计算中也 有着重要的应用，如求解方程、计算 复利等。
04
幂函数、三角函数与反三角函 数
Chapter
幂函数的定义与性质
幂函数的性质
奇偶性：当$n$为奇数时，幂函 数为奇函数；当$n$为偶数时， 幂函数为偶函数。

函数在 = ℎ处有最大值,记作 =
最值
提示：y=ax2+bx+c=a
2 4−2

4−2
x+ 2 + 4 (a≠0).所以h=-2,k= 4 .
即时巩固
1 +2
时,y等于(
2
设一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标为x1,x2,且x1≠x2,则当x=
3
(2)该函数的对称轴为x=2,所给区间[2,3]在对称轴的同侧,都在右侧,
又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数为随x的增大而增大,
所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数有最大值,最大值为-7.
反思感悟
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结
新知学习
情境导学
现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米
的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取
何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,
知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.
1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是( B )
A.(4,1)
B.(0,1) C.(2,3) D.(2,-1)
2.一元二次函数y=-x2+2x-5,当x取全体实数时,有( C )
A.最大值-5
B.最小值-5C.最大值-4
D.最小值-4