兰州理工大学理学院

黑龙江科学HEILONGJIANG SCIENCE第12卷第9期2021年5月Vol. 12May. 2021线上线下一体化教学研究与实践—以打造线性代数金课为例周永强J 李燕娟2(1.兰州理工大学理学院，兰州730050； 2.兰州交通大学博文学院教务处，兰州730000)摘要：基于"互联网+ ”，从互动化、碎片化学习、时间机动化等方面入手,设计线上线下一体化教学。

将线上线下教学深度融合，把 扌由象理论与数学文化、中国传统文化、实际工程背景等有机结合，激发学生的学习热情。

努力完成课堂教学由“单工”到"全双工" 的参与式创新性转变，增加课堂互动，使课堂达到“两性一度”，打造线性代数金课。

关键词：线性代数;线上线下一体化教学;金课中图分类号：G434；H152.3 -4；G712文献标志码：B 文章编号：1674 -8646(2021)09 -0060-02Research and Practice of Online and Offline Integration Teaching------Through Taking The Golden Course of Linear Algebra as an ExampleZhou Yongqiang 1 , Li Yanjuan 2(1. School of Science , Lanzhou University of Technology , Lanzhou 730050, China ；2. Office of Academic Affairs , Lanzhou Jiaotong University Bowen College , Lanzhou 730000, China)Abstract : Based on “ internet + '' , the research designs the online and offline integration teaching from the aspects of interaction , fragmentizaiton learning and time mechanization , etc. We should deeply integrate online and offline teaching , organically integrate the abstract theory and mathematics culture , Chinese traditional culture , and practical engineering , motivate student learning enthusiasm , transform the participated innovation from “ simplex " to “ full duplex n in the class teaching , and increase class interaction , in order to make class achieve “two characteristics and one degree M , and create the golden class of linear algebra ・Key words : Linear algebra ； Online and offline integration teaching ； Golden class2018年6月21日，教育部部长陈宝生在新时代全国高等学校本科教育工作会议上首次提出“金课” 概念⑴。

兰州理工大学历任校长毕业证文凭毕业证样本学位证样本兰州理工大学学院的简介、地址与历史沿革兰州理工大学(外文名： Lanzhou University of Technology )简称：兰州理工（LUT）; 是一所历史悠久的多科性理工科省属重点大学，学校学科涉及工学、理学、管理学、文学、法学、教育学、医学等7个学科门类的高等学校。

学校位于黄河之滨的甘肃省省会兰州市。

学校前沿是1919年的甘肃省立工艺学校，1958年在组建兰州工学院的基础上，将甘肃交通大学并入，同年10月1日正式定名为甘肃工业大学。

1965年学校划归第一机械工业部，同时将东北重型机械学院和北京机械学院的水力机械、化工机械、石油矿场机械和焊接工艺及设备专业成建制全部迁入，并从湖南大学、合肥工业大学抽调一批教师来校工作。

1998年转制为"中央与地方共建，以地方管理为主"的院校。

2003年更名为兰州理工大学。

兰州理工大学学院学院设置及主要专业兰州理工大学院系设置有；软件学院、计算机与通信学院、机电工程学院、石油化工学院、理学院、土木工程学院、人文学院、材料科学与工程学院、能源与动力工程学院、电气工程与信息工程学院、体育教学研究部、机械工程实践教学中心、MBA/MPAcc教育中心、软件职业技术学院、马克思主义学院、设计艺术学院、经济管理学院、技术工程学院、继续教育学院、生命科学与工程学院、外国语学院。

设置有特色专业；过程装备与控制工程、热能与动力工程（流体机械及工程方向）、热能与动力工程（流体传动与控制方向）、水利水电、环境工程、自动化、风能与动力工程、电气工程及其自动化....................。

兰州理工大学历任校长及学校代码；10731学校设置有历任校长：李之钦：1979年3月;1983年6月，任甘肃工业大学校长；张德邻：1983年6月;1985年10月，任甘肃工业大学校长；张德邻：1983年6月;1985年10月，任甘肃工业大学校长；陈剑虹：1985年10月;1996年3月，任甘肃工业大学校长；洪毅：1996年3月;1999年5月，任甘肃工业大学校长；王智平：1999年5月;2003年9月，任甘肃工业大学校长；袁占亭：2002年9月;2003年4月，任甘肃工业大学校长；李慧：2003年9月;2008年3月，任兰州理工大学校长；王智平：2008年3月;2009年5月，任兰州理工大学校长；王晓明：2009年5月;现在，任兰州理工大学校长。

弹性薄膜的非线性轴对称变形何天虎;陈程;崔磊磊;李晖敏【摘要】基于非线性弹性大变形理论,研究了一圆环状弹性薄膜的轴对称面外大变形.在未发生变形的参考构形下,平直圆环状薄膜的内边界连接一个圆盘,将薄膜的外边界固定在刚性的圆环上.当圆盘上作用一个竖直向下的外加载荷时,薄膜经历面外大变形后形成轴对称的形状.结合状态平衡和热力学,推导得到了描述薄膜经历面外大变形的控制方程,控制方程的求解采用了打靶法.计算结果表明,薄膜的变形场是非常不均匀的,这意味着薄膜在工作时材料的利用率较低,造成了材料的浪费.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2010(022)003【总页数】5页(P5-9)【关键词】弹性薄膜;轴对称变形;Neo-Hookean模型;常微分方程;打靶法【作者】何天虎;陈程;崔磊磊;李晖敏【作者单位】兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学理学院,甘肃,兰州,730050【正文语种】中文【中图分类】O343.5Abstract:The axisymmetric large deformation of an annular elastic membrane is investigated in the frame of nonlinear elastic deformationtheroy.The membrane is initially flat and attached to a disk in the inner circle and to a rigid ring in the outer circle.Then a weight is applied to the disk and the membrane deforms into an axisymmetric shape,undergoing a large out-of-plane deformation.The governing equations characterizing the large out-of plane deformation of the elastic membrane are derived by combining state equilibrium and thermodynamics.The derived governing equations are solved by using the shooting method.The results obtained show that the deformation field in the membrane is very inhomogeneous.This indicates that the membrane doesn’t function efficiently,which leads to a material waste.Key words:elastic membrane;axisymmetric shape;Neo-Hookeanmodel;ordinary differential equation; shooting methodGreen及Adkins等一些学者在非线性弹性理论上的一些非常具有代表性的著作[1,2],构成了分析大变形薄膜的理论基础.接着,学者们在薄膜的大变形方面作了许多卓有成效的研究工作[3～9].文献[10,11]探讨了圆环状薄膜的横向变形的响应问题.我们研究的是一圆环状薄膜在受集中力作用时的面外大变形问题.初始时,将平直的圆环状薄膜的内边界连接上一个圆盘,将薄膜的外边界固定在刚性的圆环上.然后,在中间的圆盘上作用一个竖直向下的外加载荷,在外加载荷的作用下,薄膜经历面外大变形后形成轴对称的形状.我们假定薄膜的弹性行为符合Neo-Hookean材料定律.通过状态平衡和热力学相结合的方法推导得到了薄膜大变形的控制方程,得到了一套描述薄膜面外大变形的常微分方程,并采用打靶法对控制方程进行了求解.打靶法是一种将常微分方程边值问题转化为初值问题进行求解的行之有效的方法,如文献[12,13]利用打靶法对边界值问题的控制方程进行了数值求解.弹性薄膜的横截面如图1所示.图1(a)所描述的是薄膜未变形的状态,薄膜的厚度为H,半径为B.距离薄膜中心O为A的点连接有一圆盘,并且薄膜的外周连接在刚性的圆环上,令薄膜上的任意一点到薄膜中心的距离为 R.图1(b)是薄膜变形之后的示意图,当外力 F作用在圆盘上时,圆盘就会产生一个竖向的位移u.与此同时,薄膜发生面外大变形而形成轴对称的形状.利用类似Adkins和Rivlin的处理方法[14],首先考查系统变形后的平衡状态.在变形状态下(图1(b)),薄膜上任意一点R在变形后的位置可以通过坐标 r(R)和 z(R)完全确定下来,并且 r(R)和z(R)满足以下的边界条件:薄膜的内边界固定在刚性圆盘上,在轴对称的情况下,不产生横向位移,只随圆盘发生竖向位移,则有 r(A)=A,薄膜的外边界固定在刚性圆环上,则有r(B)=B和z(B)=0.然后,通过薄膜上的任意一点 R和与它相邻近的一点R+dR来研究薄膜的变形.这2点之间的水平距离为dr=r(R+dR)-r(R),竖直距离为dz= z(R+dR)-z(R).令dl为变形状态下薄膜上2点之间的距离,则有dr=cosθdl,dz=-sinθdl和(dl)2=(dr)2+(dz)2,θ指变形状态下薄膜上任一点处的切线和水平方向的夹角.薄膜的径向拉伸变形定义为薄膜在变形状态下2点之间的距离与未发生变形时2点之间的距离的比值,即λ1=dl/dR.将dl用r(R)和z(R)2个函数表示,则径向拉伸变形为薄膜的环向拉伸变形定义为薄膜在变形状态下R点所在圆的周长2πr(R)与未发生变形时该点所在圆的周长2πR之间的比值,即在假设弹性薄膜在变形前后体积保持不变的前提下,可以得到薄膜在厚度方向上拉伸变形与薄膜径向和环向拉伸变形的关系,即同时,薄膜也是一个热力学系统,假设薄膜处于恒温状态.令自由能密度可以表示成2个拉伸变形量λ1和λ2的函数W(λ1,λ2),因此在变形状态下整个薄膜的Helmholtz自由能可表示为当拉伸变形量有一个变分δ λ1和δ λ2时,则自由能密度的变分可表示为由此,根据微分关系可以得到2个偏微分系数的表达式其中s1是径向的名义应力,s2是环向的名义应力.当材料的自由能函数W(λ1,λ2)给定后,由式(5)就可以得到薄膜在外加荷载作用下的本构方程.结合状态平衡和热力学来推导控制平衡状态的场方程.当刚性圆盘的竖向位移有一个变分δu,则外力所做的功为Fδu.在平衡状态下,由热力学可知,对于系统任意的变化,薄膜Helmholtz自由能的改变量应该等于外力所做的功,即式中δr(R)和δz(R)分别表示独立的变量 r(R)和z(R)的变分.由方程(1)可以得到径向拉伸变形相应的变分为将方程(4)进行分部积分,得到在Tezduyar等的文献[10]中利用在z和r方向上力的平衡得到了同样的方程(8)、(9).由方程(8)可知,Rs1sinθ=C,C为常数.因此,式(10)自动满足.为了进行数值计算,需要给出一个明确的自由能函数的形式W(λ1,λ2),这里我们选用Neo-Hookean材料模型[15]其中μ是剪切模量,λ1,λ2和λ3见方程(1)～ (3).将方程(11)代入方程(5)得到考虑到真实应力和名义应力之间的关系,σ1=s1λ1和σ2=s2λ2,重写方程组(12)可以得到相应的真实的量由改写方程(1),可以得到结合方程(8)、(9)得到将方程(5)中的名义应力由式(12)表示,再重写方程(8)可以得到引入以下无量纲量对上述的控制方程进行无量纲化处理(为简洁起见,以下的方程及图形中去掉了各无量纲量右上方的星号),则方程(12)可简化为方程(13)可以简化为方程(14)～(16)可简化为得到以上常微分方程组(20)、(21)和代数方程(22)后,连同边界条件r(A)=A,r(B)=B,就可以利用打靶法进行求解.一旦给定外力 F,则常微分方程组就可以化为只含有待求量 r(R)和θ(R)的形式,为了求得薄膜上各点处的 r(R)和θ(R),任意指定一θ0作为内边界处的倾角,借助边界条件r(A)=A利用打靶法从内边界向外周进行试算,若试算的结果在外周处r(B)≠B,则重新指定一θ0进行试算,直到试算的结果在外周处满足r(B)=B,这样便相应的求得了各点处的 r(R)和θ(R).在求出 r(R)和θ(R)后,根据已知边界条件z(B)=0,函数z(R)可由dz=-tanθdr积分求得.计算中取B/A=2,H/A=0.05,改变外加荷载的大小.经计算最后得到薄膜发生面外轴对称大变形时,无量纲的竖向位移、薄膜各点处无量纲的厚度、无量纲的应力、拉伸变形等的变化规律如图2～图6所示.图2所描述的结果和我们预期的一样,圆盘的位移随着外力的增加而增大.另外,由于薄膜的变形发生在3个方向上,所以薄膜变形后的横截面图呈曲线状.从图3中可以看出,对于薄膜上的同一点,当外力F越大时倾角θ越大.当外力 F不变时,在薄膜的内边界处θ最大,在薄膜的外边界处θ最小,中间区域呈单调递减趋势.需要特别指出,将图2和图3的结果与 Tezduyar[10]的研究成果进行对比,发现2种不同的计算方法所得到的结果完全一致.薄膜在外力的作用下发生变形后,薄膜的厚度可以表示为变形前薄膜的厚度乘以沿薄膜厚度方向的拉伸变形,即h=λ3H.对于给定的外力,薄膜的厚度呈单调递增趋势.并且从图4中可以看出,对于同一点,外力越大,薄膜的厚度越薄.由图5所示,薄膜的径向拉伸变形λ1随着外力的增加而增大.当外力不变时,径向拉伸变形是单调递减的.由于薄膜的外边界固定在刚性的圆环上,所以环向拉伸变形λ2在边界处为一固定值.由方程(8)可以看出,为了平衡施加在薄膜上z方向的外力,径向应力必须始终为正值即拉伸状态.对于固定的外加荷载,径向应力和环向应力都呈单调递减趋势,见图6. 基于非线性弹性大变形理论,研究了一圆环状弹性薄膜的轴对称面外大变形.在计算中假定薄膜的弹性行为符合Neo-Hookean材料定律,并利用薄膜的状态平衡和热力学相结合的方法推导得到了薄膜面外大变形的控制方程,控制方程是一套常微分方程,采用打靶法对控制方程进行了数值求解.从计算所得的结果中可以得到以下结论:(1)利用薄膜的状态平衡和热力学相结合的方法所推导出的系统的控制方程与前人利用力的平衡得到的控制方程完全一致,且由于热力学的引入,这种推导方法可以应用到更广泛的领域.(2)当在圆环状薄膜的内边界所连接的圆盘上所用一竖向荷载时,薄膜内的变形场,应力场都是非常不均匀的,且外力越大,薄膜内的径向拉伸变形和径向应力变化越大.(3)将上述计算所得到的薄膜的变形图(图2)和倾角变化图(图3)与 Tezduyar[10]的研究成果进行对比,发现2种不同的计算方法所得到的结果完全一致,充分说明利用打靶法对此类问题进行求解的有效性和计算结果的正确性.何天虎 (1973-)男,甘肃省靖远人,2003年毕业于西安交通大学,获理学博士,主要从事多物理场耦合、电磁固体力学研究.【相关文献】[1] Green E,Adkins J rge Elastic Deformations and Non-Linear Continuum Mechanics[M].London:Oxford University Press,1970.[2] Green A E,Zema W.Theoretical Elasticity[M].London:Oxford University Press,1975.[3] Szyszkowski W,Glockner P G.Finite Deformation and Stability Behaviour of Spherical Inflatables under Axi-symmetric Concentrated Loads[J].Int.J.Non-Linear Mech.,1984,19 (5):489-496.[4] Ruo K R,Wineman A S.New Exact Solutions in Non-linearElasticity[J].Int.J.Engng.Sci.,1985,23(2):217-234.[5] Fulton J P,Simmonds J rge Deformations under Vertical Edge Loads of Annular Membranes with Various Strain Energy Densities[J].Int.J.Non-Linear Mech.,1986,21(4):257-267.[6] Palplona D C,Bevilacqua rge Deformations under Axial Force and Moment Loads of Initially Flat Annular Membranes[J].Int.J.Non-Linear Mechanics,1992,27(4):639-650.[7] Hassager O,Kristensen S B,Larsen J R,et al.Inflation and Instability of a PolymericMembrane[J].J.Non-Newtonian Fluid Mech.,1999,88:185-204.[8] Chen S L,Zheng Z rge Deformation of Circular Membrane under the Concentrated Force[J].Appl.Math.Mech. Engl.Ed,2003,24(1):28-31.[9] Selvadurai A P S.Deflections of a Rubber Membrane[J].J. Mech.Phys.Solids,2006,54:1 093-1 119.[10] Tezduyar T E,Wheeler L T,Graux L.Finite Deformation of Circular Elastic Membrane Containing a Concentric Rigid Inclusion[J].Int.J.Non-Linear Mech.,1987,22(1):61-72. [11] Wu C H.Infinitely Stretched Mooney Surfaces of Revolution are Uniformly Stretched Catenoids[J].Quart.Appl.Math, 1974,33:273-284.[12] 张永恒,粱士轩,王良璧.应用人工神经网络求解边界层微分方程[J].甘肃科学学报,2007,19(4):97-99.[13] 钮鹏,李世荣.热和机械载荷共同作用下Timoshenko夹层梁的非线性分析[J].甘肃科学学报,2007,19(4):135-140.[14] Adkins J E,Rivilin R rge Elastic Deformations of Isotropic Materials[J].SeriesA,Math.Phys.Sci.,1952,244: 505-531.[15] Zhao X H,Hong W,Suo Z G.Electromechanical Coexistent States and Hysteresis in Dielectric Elastomers[J].Physical Review B,2007,76:134-113.。

兰州理工大学2006年毕业生专业介绍《兰州理工大学2006年毕业生专业介绍》学校简介兰州理工大学（原甘肃工业大学）坐落在黄河之滨、古丝绸之路重镇兰州市，是一所办学历史悠久的综合性理工科大学。

兰州理工大学前身是始建于1919年的兰州工艺学校。

1958年，在组建兰州工学院的基础上将甘肃交通大学并入，十月一日正式定名为甘肃工业大学。

1965年学校划归第一机械工业部，并将东北重型机械学院和北京机械学院的水力机械、化工机械、石油矿场机械和焊接工艺及设备专业成建制全部迁至甘肃工业大学。

1998年，学校在国务院机构改革后实行中央与地方共建，以地方管理为主的管理体制。

2003年，经教育部批准学校更名为兰州理工大学。

兰州理工大学现设有16个学院：材料科学与工程学院、石油化工学院、机电工程学院、流体动力与控制学院、电气工程与信息工程学院、计算机与通信学院、土木工程学院、国际经济管理学院、外国语学院、理学院、人文社会学院、生命科学与工程学院、设计艺术学院、技术工程学院、现代网络教育学院、继续教育学院。

有42个本科专业，46个硕士学科点，6个博士学科点，1个博士后流动站，一个国家级重点实验室，并设有5个省级工程研究中心和13个校企工程技术研究中心。

全校现有教职工1900余人，其中正副教授近400人。

学校在读各类学生24000余人，全日制学生16000余人，其中研究生1000余人。

学校坚持育人为本，质量建校。

按照“厚基础、宽口径、强能力、高素质”的人才培养原则，不断深化教育教学改革，推进素质教育，切实保障学生的培养质量，使我校毕业生普遍受到用人单位好评，毕业生一次性就业率连续多年保持在95％以上。

目前，兰州理工大学已发展成为一所工科实力比较雄厚，理科实力不断提高，文科具有明显特色的综合性理工科大学。

面向新世纪，学校提出了“三步走”的战略构想，为把兰州理工大学建设成为国内高水平大学而努力奋斗。

非常感谢社会各界多年来对我校发展的关心和对毕业生就业工作给予的很多支持和帮助，我们将更加努力为社会培养和输送更多高质量的优秀人才。

《高等代数》考试大纲考试科目代码：870适用招生专业：应用数学，运筹学与控制论，基础数学考试内容1.多项式数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。

2.行列式排列，n级行列式，n级行列式的性质，行列式的计算，行列式按一行（列）展开，克兰姆法则3.线性方程组消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。

4.矩阵矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换。

5.二次型二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定二次型。

6.线性空间集合映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

7.线性变换线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当标准型，最小多项式。

8.欧几里得空间定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准型，向量到子空间的距离最小二乘法。

建议参考书《高等代数》，北京大学，高等教育出版社兰州理工大学样题《数学分析》科目考试大纲考试科目代码：760适用招生专业：应用数学，运筹学与控制论，基础数学考试内容1．函数。

2．极限。

3．函数的连续性。

4.导数与微分。

5．微分中值定理。

6．连续性的基本理论。

7．不定积分。

8．定积分。

9．定积分的应用。

10．数项级数。

11．函数项级数。

12．幂级数。

13．傅里叶级数。

14．广义积分。

15．多元函数及其极限与连续。

16．多元函数的微分学。

17．重积分。

18．曲线积分与曲面积分。

19．含参变量积分。

建议参考书《数学分析》，华东师范大学编（第三版），高等教育出版社《数学分析》，陈传璋编，高等教育出版社兰州理工大学样题《结构力学B》科目考试大纲考试科目代码：820适用招生专业：工程力学，固体力学考试内容1、绪论结构力学的基本任务及研究对象。

理学院2010年度参观省博物活动策划书主办单位：兰州理工大学理学院承办单位：理学院分团委组织部2010年10月17日理学院2010年度参观省博物馆活动一、活动背景：爱国主义教育是提高全民族整体素质的基础性工程，是引导人们特别是广大青少年树立正确理想、信念、人生观、价值观，促进中华民族振兴的一项重要工作。

为了加强对学生的爱国主义教育，增强学生的民族自尊心和自豪感，发扬以爱国、爱家乡、爱校为最大光荣，以损害祖国利益和尊严为最大耻辱的良好风尚，并把爱国主义教育细化为热爱家乡、热爱学校、热爱班集体，从而增强学生集体意识，培养学生对集体的情感。

现特组织参观河北省博物馆活动。

二、活动目的：通过各种爱国主义教育，使学生深入了解中国共产党领导中国人民在建立新中国的奋斗而所表现的革命精神，增强学生对国家与民族的自信心和自豪感。

通过深化以新旧历史对比为主要内容的爱国主义教育活动，加强学生对中华民族的灿烂文明是多个民族共同缔造的等历史事实的深刻认识。

引导学生树立热爱祖国、热爱人民、努力学习、为祖国的繁荣昌盛作贡献的三、活动地点：甘肃省博物馆四、活动时间：2010年10月17日五、参与人员：:理学院10级全体同学六、行车路线：308路公交路线七、活动流程：（1）集合：10月17日早晨8：20于学校东门口集合；（2）出发：以班级为整体，以宿舍为单位,由体委组织整队，步行至308路公交车站，组织同学依次上车，互相礼让，体现出大学生应有的素质；（3）参观：上午约九时，在省博物馆门口签到，然后还是以班级为集体，宿舍为单位，由班长带领同学们们参观省博物馆。

（4）返回：上午约十二时，在省博物馆门前集合并签到。

由体委组织整队，步行至308路公交车站，组织同学依次上车，返回学校。

八、经费预算：110x1=110 (元）九、赏罚制度：不遵从学院以上几点安排的同学，扣除综合测评分一分。

十、备注：请每个人带好自检的身份证或学生证。

十一、活动后期：每个宿舍交一份观后感。

弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁自由振动的微分变换法求解滕兆春;昌博;付小华【摘要】Free vibrations of a rotating FGM beam on elastic foundation was investigated based on Timoshenko beam theory. Firstly,the physical neutral surface position for the FGM Timoshenko beam was determined,and two motion governing differential equations of the transverse free vibrations of the rotating beam on elastic foundation were derived by using generalized Hamilton principle.Secondly,DTM was used to transform the differential equations and the boundary conditions.At the same time,the dimensionless natural frequencies of transverse free vibrations of rotating FGM Timoshenko beam on elastic foundation with clamped-clamped,clamped-simply supported and clamped-free three boundary conditions were solved,then the governing differential equation was degenerated and the good agreement among the results of this paper and those available in the literatures validated the presented approach. Finally,the effects of different boundary conditions,different rotating speeds,different elastic modulus and different gradient indexs on the free vibration frequencies of FGM Timoshenko beam were discussed. The results show that the dimensionless natural frequencies of FGM Timoshenko beam increase with the growth of the dimensionless rotating speeds and the dimensionless elastic foundation modulus. Under a certain dimensionless rotating speeds and dimensionless elastic foundationmodulus,the dimensionless natural frequencies decrease along with the growth of the FGM gradient indexes.%基于Timoshenko梁理论研究弹性地基上转动功能梯度材料(FGM)梁的自由振动.首先确定功能梯度材料Timoshenko梁的物理中面,利用广义Hamilton原理推导出该梁在弹性地基上转动时横向自由振动的两个控制微分方程.其次采用微分变换法(DTM)对控制微分方程及其边界条件进行变换,计算了弹性地基上转动功能梯度材料Timoshenko梁在夹紧- 夹紧、夹紧- 简支和夹紧- 自由三种不同边界条件下横向自由振动的量纲一固有频率,与已有文献的计算结果进行比较,退化后结果一致.最后讨论了不同边界条件、转速、弹性地基模量和梯度指数对功能梯度材料Timoshenko梁自振频率的影响.结果表明:功能梯度材料Timoshenko梁的量纲一固有频率随量纲一转速和量纲一弹性地基模量的增大而增大;在量纲一转速和量纲一弹性地基模量一定的情况下,梁的量纲一固有频率随着功能梯度材料梯度指数的增大而减小.【期刊名称】《中国机械工程》【年(卷),期】2018(029)010【总页数】6页(P1147-1152)【关键词】弹性地基;功能梯度材料;转动Timoshenko梁;自由振动;微分变换法【作者】滕兆春;昌博;付小华【作者单位】兰州理工大学理学院,兰州,730050;兰州理工大学理学院,兰州,730050;兰州理工大学理学院,兰州,730050【正文语种】中文【中图分类】O3430 引言功能梯度材料（functionally graded material，FGM）是将不同材料组分从一侧向另一侧连续变化的先进复合材料，和层压复合工艺相比，功能梯度材料特性在特定的尺寸内变化平缓，没有材料性能的突变。