平衡方程的应用32页PPT

根据投影定理，把各力投影到建立的坐标轴上（与坐标轴方向相同为正，反之为负）根据合力矩定理将所有力偶矩求代数和（逆时针为正，
顺时针为负）。
选：选取研究对象，既受已知力，又受要求的力或
数并且要合理。
所有X方向的合力为“0” 既：∑Fx=F1x+F2x+F3x=0 所有Y方向的合力为“0” 既：∑Fy=F1y+F2y+F3y=0
F y=F × Sin a
合力矩定理：各力矩对物体的作用效果等于各力矩的代数和.
M= M1 + M2 + M3 + M4…………+ M n
平面力系的分类
F x=F × Cos a
平面汇交力系：各力作用线相交于一点
平面汇交力系：各力作用线相交于一点 答：答案，必要时进行讨论和说明。
1.平面平行力系：各力作用线互相平行
解题过程
1.受力图示：
y
F
W Fy
Fx
A
X
2.以A点为原点建立直角坐标系并选取A为矩心列平衡方程： ∑Fx=F-Fx=0 ∑FY=FY-W=0 ∑Ma=W×0.2-F×1.0=0
所有Y方向的合力为“0” 既：∑Fy=F1y+F2y+F3y=0
Y 第二章、第四节 力系平衡方程
所有合力矩为“0” 既：∑M=M1+M2+M3=0
5、求解平衡力系的方法。
M2 F2
F1 力的投影定理：力向轴投影的代数值
矩心的选择有利于减少未知
M1 M3 根据投影定理，把各力投影到建立的坐标轴上（与坐标轴方向相同为正，反之为负）根据合力矩定理将所有力偶矩求代数和（逆时针为正，
力系的平衡方程及应用
第二章、第四节 力系平衡方程

所示，重力G与三轮地面反力FNA、FNB、FNC构成空间平行力系。 （2） 选取坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。 （3） 列平衡方程求解。
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。

Fy 0
FW 2 G FW1 FRA FRB 0
解得： FRB 870kN
FRA 210kN
17
3、平面力偶系旳平衡方程
因为平面力偶系合成旳成果为一合力偶，M=Σm，而力偶
在任一轴上投影旳代数和均为零。即平面一般力系旳平衡方
程旳基本形式旳两个投影方程均变成恒等式，故平面力偶系
旳平衡方程为：
G 10 FP 4 FRB 20sin 600 0
mB (F) 0
FRAy 20 FP 4 G 10 0
Fx 0 FRAx FRB cos 600 FP 0
解得：FRB 62.4kN
FRAy 46kN
FRAx
11.2kN 9
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系旳特殊力系，它们旳平衡方程皆可由平面一般力系 旳平衡方程导出。
1.平衡方程旳基本形式
FR' ( Fx )2 ( Fy )2
M o mo (F )
Fx 0 Fy 0
mo
(
F
)
0
2
由此可得结论，平面一般力系平衡旳解析条件是：全部各 力在两个任选旳坐标轴上旳投影旳代数和都等于零；力系 中全部各力对任一点旳力矩旳代数和等于零。
需要指出旳是，上述平衡方程是相互独立旳，用来求 解平面一般力系旳平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了防止求解联立方程，应使所选旳坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力旳交点（可在 研究对象之外）上。另外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一种未知量，以便简化计算。
在研究对象上画出它受到旳全部主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力旳指向未定时，能够先假设其指 向。假如计算成果为正，则表达假设指向正确；假如计算成果为 负，则表达实际旳指向与假设旳相反。

Fy 0
FAy FC sin 450 F 0
M A 0 FC cos 450 l F 2l 0
G
解得
FC 28.28kN
FAx 20kN
FAx FAy
45o
FC
FAy 10kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-19 已知G1=10kN，G2=40kN，尺 寸如图。求轴承A、B处的约束力。
例2-16 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。
设已知电葫芦和提升重物共重G= 5kN, q = 25º，a=2m，l = 2.5m。
吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。
C
q
A
D
B
a
l
G
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：选择吊车梁（含电动葫芦和重物）为研究对象，根据
FBx 12.025kN
FAx Fr FBx F 1 cos 45o F2 cos 30o 0
FAx 1.405kN
FAy Fa 0
FAx Fa 0.5kN
三力平衡汇交定理，可画出梁的受力图，取坐标系Oxy
l
a
FA
O FTB
q
A
D
B
FTB
q
y
FA
x G
G
由平面汇交力系 的平衡方程求解
Fx 0, FA cos FTB cosq 0
Fy 0, G FA sin FTB sinq 0
tan
OD AD
BD tanq
AD
(l
a) a
tanq
FA 8.63kN
解：取起重机，画受力图。
MA 0 Fx 0 Fy 0

∑ Fix = 0
n
节点 A： ：
∑ Fiy = 0
i =1
i =1 n
FS2 + FS1 cos30 = 0
o
FAy + FS1 sin 30o = 0
（ （ 得 FS1 = −2F 压） FS2 = 1.73F 拉）
∑ Fix = 0
n
节点 D： ：
∑ Fiy = 0
i =1
i =1 n
− FS′2 + FS5 = 0 FS3 − 2F = 0
∑ Fiy = 0
i =1
i =1 n
FBx − 10 kN
FBy − F + FC cosα = 0
FBy = 10 kN
第三章 2）再取AB梁为研究 ）再取 梁为研究 对象， 对象，列平衡方程
平衡方程的应用
∑ M A (Fi ) = 0
i =1
n
1 q × 22 − F′ × 2 = 0 MA − By 2 M A = 30 kN ⋅ m
∑ M B (Fi ) = 0
i =1
n
− FT ×1.3 − FCy × 2 + FCx × 2 = 0 FAy = F − FCy = 10kN
QFT = F
∴FCy = 10kN
第三章
平衡方程的应用
如图所示，曲柄连杆机构由活塞、连杆、 例3-3 如图所示，曲柄连杆机构由活塞、连杆、 曲柄和飞轮组成。 曲柄OA长 r ，连杆 曲柄和飞轮组成。已知飞轮重G，曲柄 长 AB 长 l ，当曲柄 OA 在铅垂位置时系统平衡，作用于 在铅垂位置时系统平衡， 不计活塞、 活塞 B 上的总压力为 F，不计活塞、连杆和曲柄的重 量，求阻力偶矩 M、轴承O的反力。 轴承 的反力。 的反力

然后，利用微分性质和平衡条 件求解微分方程。
最后，将微分方程的解代回原 方程进行验证。
积分法求解平衡方程
积分法是通过对方程进行积分，然后 利用积分性质和平衡条件求解平衡方 程的方法。
然后，利用积分性质和平衡条件求解 积分方程。
首先，将平衡方程表示为积分方程。
最后，将积分方程的解代回原方程进 行验证。
空间力系平衡方程的形式
空间力系平衡方程的一般形式为FX=0、FY=0和FZ=0，其中FX、FY和FZ分别表示X轴、Y 轴和Z轴上的合力矩。
特殊力系的平衡方程
01
特殊力系平衡方程 的概念
特殊力系平衡方程是在研究特殊 情况下物体受力情况时，根据力 的平衡条件建立起来的方程。
02
特殊力系平衡方程 的建立方法
THANKS
感谢观看
3
平衡方程
对于特殊力系，需要结合具体问题进行分析和求 解。
03
平衡方程的建立
平面力系的平衡方程
01
平面力系平衡方程的概念
平面力系平衡方程是在研究平面物体受力情况时，根据力的平衡条件建
立起来的方程。
02
平面力系平衡方程的建立方法
通过分析物体的受力情况，列出所有力的正负号，然后根据力的平衡条
件建立方程。
弹性力学问题
弹性力学问题主要研究物体在受到外力作用时发生的形变 和应力分布情况。平衡方程在弹性力学问题中同样发挥着 重要的作用。
弹性力学问题中，平衡方程的应用包括分析物体的形变情 况、求解物体的应力分布和应变等参数，以及判断物体的 稳定性和平衡状态等。
05
平衡方程的求解方法
代数法求解平衡方程
01
空间力系的平衡条件
空间力系中，所有力的矢量和为零，即合力为零。

空间任意力系的平衡方程组由六个方程组 成，对于受空间任意力系作用而处于平衡的物 体，运用方程组最多求出六个未知量。
根据空间任意力系的平衡方程，可以推出 空间汇交力系和空间平行力系的平衡方程。
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
1.空间汇交力系的平衡方程
由于空间汇交力系的简化结果只有一个合力R，因 此，力系平衡的平衡条件是力系的合力R为-9所示的悬臂刚架中，若已知荷载F1=20 kN，F2=100 kN，q=10 kN/m，尺寸H=3 m，h=1.5 m，l=3 m。不考虑刚架的自重，求刚架所受的约
束反力。
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
【解】 （1）以刚架为研究对象画受力图。 因A端为固定端，阻碍被约束构件向任意方向 移动和绕任意轴转动，故其约束反力为三个相互垂 直的分力和三个作用面相互垂直的分力偶，如图39所示，刚架所受力系为空间任意力系。 （2）建立坐标系，如图3-9所示，列平衡方 程。
（3-9）
空间汇交力系的平衡方程组由三个方程组成，利 用方程组最多只能求出三个未知量。
空间 力系 的平 衡方 程及 应用
2.空间平行力系的平衡方程
当空间平行力系中的各力的作用线与三维 直角坐标系的z轴平行时，无论力系是否平衡， 力系中各力在x，y轴上的投影都是零，且各力 对z轴的力矩也是零，因此，空间平行力系的 平衡方程组为
空间力 系的平衡方
程及应用
1.1 空间任意力系的平衡方程 1.2 空间力系平衡方程的应用
由空间任意力系的平衡条件，可以得到空间任 意力系的平衡的解析表达式为
（3-8）
式（3-8）说明空间任意力系平衡时，力系中 的各力在直角坐标系中的各轴上的投影代数和为零， 对各轴之矩的代数和也为零。

第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
§6-2 力偶系的平衡 一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和 等于零，即 M i 0 . 二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即
要使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 -M。
第六章 平衡方程及其应用
§6-3 一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡方程 1. 平面一般力系平衡方程的基本形式
0 MO 0 FR

F
x
0
F
y
0
M
O
(F ) 0
2. 平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二矩式平衡方程
M
FA FB
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡 例题6-4 图示（a）所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面 各自作用一个力偶。已知力偶（ F1，F1 ）的矩 M 1 20N m ；力偶 （ F2，F2 ）的矩 M 2 20N m ；力偶（ F ，F ）的矩 M 3 20N m 。试 3 3 求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
解：根据空间力偶系合成法，先求出力偶
矩矢M。根据三个力偶在空间的作用面不 同，考虑到力偶矩矢是自由矢量，可将力
偶矩矢画在坐标轴上（图 b）。和力偶矩
矢M在三个坐标轴上的投影为
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M1y M 2 y M 3 y (10 30cos45)N m 11.2 N m

D
A
FAx
3m
P
1m
2m
由： 解得：
3 3FAy 3P 4 P 0 1
l
P1
FT 17.33kN FAx 15.01kN FAy 5.33kN
• 结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 • 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量，避免联立求 解，通常将矩心取在两个未知力的交点。
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0 M C (Fi ) 0
限制条件：A、B、C矩心不能在同一直线上（共线）。
y
C B A O
FR
因为平衡方程
满足，但不能排除图 示不平衡的情形。
x
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
• 以上三种形式的平衡方程均为平衡的 必要与充分条件。
F X 0
x
F Y 0
y
•两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程 2. 空间平行力系的平衡方程
z
F1 F2
O x
y
F
iz
0
M x ( Fi ) 0
M y ( Fi ) 0
可以求解三个未知数。
F3
Fn F4
平面平行力系的平衡方程
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 由平衡条件导出的方程称为平衡方程的基本形式。 • • 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立 式、五矩式和六矩式。
平衡方程，解6个未知数，任何多于6个的方程都
是这些方程的线性组合。
y
(Fi ) 0

3.2 物系的平衡问题
物体系统:由若干个物体通过约束联系所组成的系统，简称为 物系。
系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每个物体也都 平衡。因此研究这类问题时，既可以取系统中的某一个物体为 分离体，也可以取几个物体的组合或者取整个系统为分离体。
1 静定和超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
注意：不能漏画固定端的约束反力偶MA，力偶只参与力矩方程，将力偶矩的大小直接代入方程， 而不参与投影方程。
在需同的样不求建要的平的一的立指矩衡，样结平定心方求，果矩位程解但是衡心置是过最一方，列不程终样程不出一也所，时，的在们的不正结这 要 选 同 确果个 意 择 ， 的就过 识 所 但 道是程 到 经 只 路正中 ， 历 要 ，确同 不 的 选 最的学 同 就 择 后。
Fx 0
Fy
0
➢ 平面平行力系的平衡方程
Fx 0( Fy 0)
M0(F) 方程组，皆可解与其平衡方程数对 应的未知数。应用力系平衡方程可以确定工程中构件在平衡时 的未知力。
2 平面力系平衡方程的应用
步骤
1）确定研究对象，画受力图 2）建立直角坐标系，确定各力与坐标轴的夹角 3）确定该平面力系的种类，列出相应的平衡方程求解未知力。
第3章 平面力系的平衡方程及其应用
平面力系的平衡方程及其应用
单个物体的平衡问题 物系的平衡问题
考虑摩擦时物体的 平衡问题
3.1 单个物体的平衡问题 1 平面力系的平衡条件
平面力系平衡的充要条件是：合力为零
➢ 平面一般力系的平衡方程 ➢ 平面汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0