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第1讲平移、旋转和轴对称考点1：平移的两要素例1．如图所示：图形（1）向平移了格．图形（2）向平移了格．图形（3）向平移了格．【思路分析】找出各个图形平移后的对应关键点，即可得到平移的方向和距离，由此得解．【规范解答】解：如图所示：图形（1）向上平移了2格．图形（2）向左平移了4格．图形（3）向右平移了6格．故答案为：上，2，左，4，右，6．【名师点评】此题考查了利用平移进行图形变化的方法的灵活应用．练习1．（1）长方形向上平移了格．（2）六边形向平移了格．（3）五角星向平移了格．【思路分析】根据题意，结合图形，由平移的概念找出图形平移的方向，和平移的格数，即可求解．【规范解答】解：观察图形可知：（1）长方形向上平移了6格．（2）六边形向左平移了5格．（3）五角星向下平移了6格．故答案为：上，6，左，5，下，6．【名师点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，关键是要观察比较平移前后物体的位置．2．填一填．（1）①向上平移了格．（2）②向平移了格．（3）③向平移了格．【思路分析】先找清楚方向，看原图到现在的图是向哪个方向平移的，然后在原图中选择一个点，找出这个点在后来图中的位置，然后数出这两个点之间的小格数即可．【规范解答】解：（1）①向上平移了2格．（2）②向左平移了4格．（3）③向右平移了6格．故答案为：上、2；左、4；右、6．【名师点评】解决本题关键是要数清楚平移的格子数．考点2：作平移后的图形例2．画出网格中图形向上平移1格，再向右平移3格后的图形．【思路分析】根据平移图形的特征，把平行图形的各个顶点分别向上平移1格，再向右平移3格，然后顺次连接各点即可．【规范解答】解：【名师点评】作平移后的图形关键是把对应点的位置画正确．练习1.（1）房子向右平移5格．（2）小船向下平移4格，再向左5格．【思路分析】（1）根据平移的特征，把小房子的各顶点分别向右平移5格，再依次连结即可得到向右平移5格后的图形．（2）同理即可画出小船向下平移4格，再向左平移5格后的图形．【规范解答】解：（1）房子向右平移5格（下图）:（2）小船向下平移4格，再向左5格（下图）:【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．考点3：运用平移的知识解决问题例3．一块平行四边形地底是18m，高是12m，地中间有两条1米宽的小路（如图），在这块地里种菜，种菜的面积是多少？【思路分析】将小路两旁部分向中间平移，直至小路消失，那么种菜的面积就是底为(181)--米，高为(121)米的平行四边形的面积，根据平行四边形的面积=底⨯高计算即可得出种菜的面积．【规范解答】解：(181)(121)-⨯-=⨯1711=（平方米）187答：种菜的面积是187平方米．【名师点评】此题主要考查平行四边形面积的计算．关键是求出图形切拼后平行四边形的底和高．练习1．如图，求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）【思路分析】如图所示：阴影部分①和空白部分②的面积相等，将①平移到②的位置，则阴影部分就变成了一个长方形，利用长方形的面积公式S ab=即可求解．【规范解答】解：据思路分析可知，阴影部分的面积为：(12)2+⨯=⨯32=（平方厘米）6答：阴影部分的面积是6平方厘米．【名师点评】规范解答此题的关键是：利用平移的方法，将不规则图形转化成规则图形，再根据规则图形的面积公式即可求解．2．一块草地形状如图的阴影部分，阴影部分的面积是多少平方米？【思路分析】把草地上左边的半圆放在右边就变成了一个长为10米，宽为6米的长方形，这个长方形的面积就是草地的面积．【规范解答】解：把左边的半圆平移到右边的半圆上后草地就变成了一个长方形，它的面积是：10660⨯=（平方米）；答：阴影部分的面积是60平方米．【名师点评】求组合图形的面积时经常用平移、旋转、填补、切割等方法把复杂的图形变成较简单的图形来算．考点4：旋转的三要素例4．根据图，回答问题．①号三角形是绕A点按顺时针方向旋转了度．②号梯形是绕B点按时针方向旋转了度．③号三角形是绕C点按时针方向旋转了度．④号平行四边形是绕D点按时针方向旋转了度．【思路分析】根据图形旋转的特征，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的度数，某点的位置不动，其余各点（边)均绕某点按相同的方向旋转相同的度数．【规范解答】解：①号三角形绕A点按顺时针方向旋转了90度．②号梯形绕B点按逆时针方向旋转了90度．③号三角形绕C点按逆时针方向旋转了90度．④号平行四边形绕D点按顺时针方向旋转了90度．故答案为：顺，90，逆，90，逆，90，顺，90．【名师点评】本题是考查图形的旋转，关键是弄清旋转的方向与角度．练习1．①图形D绕点O按方向旋转︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按方向旋转︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按方向旋转︒到图形B所在的位置．【思路分析】旋转的要素是旋转方向，旋转中心，旋转角，据此即可解决问题．【规范解答】解：①图形D绕点O按逆时针方向旋转90︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按逆时针方向旋转180︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按顺时针方向旋转90︒到图形B所在的位置．故答案为：逆时针，90；逆时针，180；顺时针，90．【名师点评】本题主要考查了旋转的要素，是需要熟记的内容．3．如图：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转度．【思路分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是3601230︒÷=︒，即每两个相邻数字间的夹角是30︒，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了30︒，由此规范解答即可．【规范解答】解：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向3．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向9．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转90︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转120︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转150度．故答案为：3，9，90，120，150．【名师点评】关键弄清在钟面上指针绕中心从一个数字旋转到相邻的另一个数字旋转了多少度．考点5：作旋转一定角度后的图形例5．我会操作．（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2．【思路分析】（1）根据旋转的特征，三角形ABO绕点“A”顺时针旋转90︒，点“A”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形1．（2）同理，三角形ABO绕点“B”逆时针旋转180︒，点“B”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形2．【规范解答】解：（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1（图中红色部分）．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2（图中绿色部分）．【名师点评】经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．练习1．画出小旗绕点O逆时针旋转90︒后得到的图形．【思路分析】根据旋转的意义，找出图中三角旗3个关键处，再画出绕O点按逆时针方向旋转90度后的形状即可．【规范解答】解：作图如下：【名师点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．考点6：轴对称图形的辨识例6．下面图形不是轴对称图形的是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都是轴对称图形，而C不是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．练习1．下面9个交通标志图案中，有()个图形是轴对称图形．A．4B．5C．6D．7【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：是轴对称图形；故选：A．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．2．成轴对称的两个数字是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都不是轴对称图形，只有C是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．考点7：画轴对称图形的对称轴例7.按要求画出下面轴对称图形的对称轴．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此画图规范解答即可．【规范解答】解：【名师点评】本题考查了轴对称图形的对称轴的确定，根据轴对称图形的对称轴两边的部分关于对称轴折叠能够完全重合作图即可，比较简单．练习1．画出下列图形的所有对称轴．【思路分析】（1）有三条对称轴，即过每个圆圆心与另外两个圆交点的直线．（2）有两条对称轴，即过个两个箭头顶点的直线，及箭头两个顶点间线段的垂直平分线．（3）等腰有一条对称轴，底边高所在的直线．【规范解答】解：【名师点评】此题是考查确定轴对称图形对称轴的条数及位置．关键是轴对称图形的意义及各图形的特征．考点8：作轴对称图形的另一半例8．动手画一画：以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：【名师点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连结各对称点即可．练习1.先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形的关键对称点，顺次连结．然后根据平移的特征，把图形的各点分别向右平移8格，再依次连结即可．【规范解答】解：先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形，作图如下：【名师点评】本题是考查作轴对称图形、作平移的图形．关键是确定对称点（对应点）的位置．2.下面的图形都是由相同的小正方形组成的，请分别在各图形上画一个同样大小的小正方形，使它们成为轴对称图形．【思路分析】因为如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此规范解答．【规范解答】解：作图如下【名师点评】此题是考查了轴对称图形的意义．考点9：镜面对称问题例9．如图是小明在平面镜中看到时钟形成的像，它的实际时间是()A．21:05B．12:02C．12:05D．15:02【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图实际时间是12:05．故选：C．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．练习1．如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反；图中镜子里看到的时间是6:40，由镜面对称左右方向相反特点，镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指刻度8，实际中是指刻度4，即20分；据此规范解答．【规范解答】解：因为镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指着刻度8，实际中是指刻度4，即20分，所以实际钟面上的时刻是5:20．故答案为：5:20．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．2．一位司机从反光镜中看到后面汽车的车牌是，这个车牌号实际是浙F．8765A．【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图，这个车牌实际是：浙F．8765A．故答案为：浙F．8765A．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．3．从镜子里看的样子是()A．B．C．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，在镜中的样子，上下前后的样子不变，只有左右方向相反，所以．【规范解答】解：从镜子里看的样子是；故选：C．【名师点评】此题考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反．注意左右方向是相反的．考点10：运用平移、对称和旋转综合作图例10．按要求在方格纸上画一画．①把三角形先向右平移10格，再向上平移4格．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形．【思路分析】①根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移10格，依次连结即可得到向右平移10格后的图形；用同样的方法即可把平移后的图形再向上平移4格．②根据旋转的特征，长方形绕点A顺时针旋转90︒，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．③根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出右半图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：①把三角形先向右平移10格（图中灰色部分），再向上平移4格（图中红色部分）．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒（图中绿色部分）．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形（图中蓝色部分）．【名师点评】作平移后的图形、作旋转一定度数后的图形、作轴对称图形的关键是确定对应点（对称点）的位置．练习1．如图（1）将图形A先绕点O顺时针旋转90 ，再向左平移6格，得到图形C．（2）将图形B向右平移5格后得到图形D．（3）以直线l为对称轴作图形D的轴对称图形E．【思路分析】（1）以点O为旋转中心，把图形A的另外几个顶点，分别绕点O顺时针旋转90后，再依次连接起来，得到的图形再把各个顶点分别向左平移6格，依次连接起来即可得出图形C；（2）把图形B的各个顶点分别向左平移5格，再依次连接起来，即可得出图形D．（3）据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出图形D的轴对称图形E即可规范解答问题．【规范解答】解：根据题干思路分析可得：【名师点评】此题考查利用轴对称、旋转、平移进行图形变换的方法．。
解决旋转问题的思路方法1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD ，AD//BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，则CE 的长为 .思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们是否考虑用旋转变换来铺路架桥.规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt △ADE 、Rt △CEB 和△BAE 中直接求出EC几乎是不可能的.例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.（1）求证：AF=DF+BE.（2）设DF=x ()01x ≤≤，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S 的最大值；若不存在，请说明理由.思路分析：求证AF=DF+BE ，观察图形可知线段AF 、DF 、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线帮助解题，考虑到AF 、DF 在Rt △ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长CB 到点G ，使BG=DF ，又AB=AD ，进一步推理，可使问题获解.规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.。
三角形旋转问题解题法和理由如下：
解题方法：
1.明确题目要求：首先需要明确题目要求，确定需要旋转的角度
和旋转中心，以及旋转后需要得到的图形或关系。
2.画出原始图形：根据题目描述，画出原始三角形，并标记好相
关的点和线段。
3.确定旋转中心和角度：根据题目要求，确定旋转的中心点和旋
转角度。
4.执行旋转操作：使用旋转工具或手动操作，将三角形绕旋转中
心按指定的角度旋转。
5.验证结果：旋转后，检查是否得到了题目要求的结果，并注意
验证角度、长度等是否符合题目要求。
理由：
1.旋转是几何变换中的基本变换，它可以通过改变图形的位置来
得到新的图形关系或结构。
2.通过旋转操作，可以揭示条件与结论之间的内在联系，找出证
题途径。
3.在三角形旋转问题中，通过旋转可以得到新的角度、长度等关
系，从而为解题提供新的思路和方法。
【选择题】必考重点04 几何变换之旋转问题几何变换中的旋转问题，江苏省各地考查频率较高且考查难度较高，综合性较强，通常有线段的旋转、三角形及四边形的旋转问题，在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A 【2022·江苏苏州·中考母题】如图，点A的坐标为()m，则m的值为（）按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(),3A B C D．3【考点分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．【思路分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC BC AB==，可得=，即可解得BD OB mm =． 【2022·江苏扬州·中考母题】如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【考点分析】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【思路分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【2020·江苏宿迁·中考母题】如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为( )A B C D 【考点分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．【思路分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ’B ’C ，点B 恰好落在A ’B ’上，若∠A =25°，∠BCA ’=45°，则∠A ’CA = （ ）A．30°B．35°C．40°D．45°2．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①222=+，②EF=，③线段PF的最小值是CFE的面积最大是16．其中EF AE CE正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④3．（2022·江苏苏州·一模）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（）A．1.4B．1.8C．1.2D．1.64．（2022·江苏徐州·二模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝8，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A B C ．D ．45．（2022·江苏盐城·一模）如图，在AOB 中，2AO =，3BO AB ==.将AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得到A OB ''△，连接AA '.则线段AA '的长为（ ）A．2 B ．3 C ．D ．6．（2022·江苏·宜兴外国语学校一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPE ＝∠DAC ，且过D 作DE ⊥PE ，连接CE ，则CE 最小值为（ ）A ．65B ．3625C ．3225D ．857．（2022·江苏扬州·模拟）如图，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A B C D ''''．此时点A 的对应点A '恰好落在对角线AC 的中点处．若AB ＝3，则点B 与点D 之间的距离为（ ）A．3B．6C．D．8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，已知ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点(点D不与,B C重合)，将ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到AFB△，过点F作BC的平行线交AC于点E，②为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60︒；ADF=④．其中正确的结论有（）BF AEA．1B．2C．3D．49．（2022·江苏南京·模拟）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM，则线段PM的最大值是（）A．4B．2C．3D．10．（2022·江苏苏州·二模）如图，将ABC绕点A顺时针旋转角α，得到ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则BED∠等于（）A ．2αB ．23αC ．αD ．180α︒-11．（2022·江苏·阳山中学一模）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AC ＝8，动点E 从点A 出发沿射线AB 运动，连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转45°得到CF ，连接AF ，则△AFC 的面积变化情况是（ ）．A ．先变大再变小B ．先变小再变大C ．逐渐变大D ．不变12．（2022·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．若四边形AECF 的面积为20，DE=2，则AE 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，在Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，点D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，将EDF ∠绕点D 旋转，它的两边分别交AC 、CB 所在直线于点E 、F ，有以下4个结论：①CE BF =；②180DEC DFC ∠+∠=︒；③222EF DE =；④如图2，当点E 、F 落在AC 、CB 的延长线上时，12DEF CEF ABC S S S -=△△△，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③④14．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF ＋CF 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()2,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90°得到点B ．若点B 的坐标是()5,1-，则点C 的坐标是（ ）A ．()0.5, 2.5--B ．()0.25,2--C ．()0, 1.75-D ．()0, 2.75-16．（2022·江苏南京·模拟）如图，在Rt ABC 中，AB =AC =10，∠BAC =90°，等腰直角三角形ADE 绕点A 旋转，∠DAE =90°，AD =AE =4，连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接MP 、PN 、MN．①PMN 为等腰直角三角形；②MN ≤PMV 面积的最大值是494；④PMN 周长的最小值为6+ ）A．4个B．3个C．2个D．1个17．（2022·江苏无锡·一模）如图，已知直线AB与y轴交于点(0,A，与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝60°，在x轴正半轴上有一点C，点C坐标为()1,0，将线段AC绕点A逆时针旋转120°，得线段AD，连接BD．则BD的长度为（）A．B．4C D．15 218．（2022·江苏·无锡市积余实验学校一模）如图1，在Rt△ABC中，90A∠=︒，AB AC=，点D，E分别在边AB，AC上，AD AE=，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．将△ADE绕点A在平面内自由旋转（如图2），若4=AD，10AB=，则△PMN面积的最大值是（）A．494B．18C．492D．25219．（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，扇形OAB中，90AOB∠=︒，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则ADAC的值为（）A B C D 20．（2022·江苏·苏州市平江中学校二模）如图，在BAC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，将BAC 绕点A 顺时针旋转至DAE △，点D 刚好落在BC 直线上，则BDE 的面积为（ ）A ．24BD B ．22BC C ．4BC BD ⋅ D ．22AB 21．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学九年级开学考试）如图，直线1y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点B 作BC AB ⊥，使2BC BA =．将 ABC ∆绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒．则第2022次旋转结束时，点C 的对应点C '落在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为( )A ．4-B ．4C ．6-D ．622．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路．其中，正确的（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④23．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点H 为BC 中点，点E 绕着点C 旋转，且4CE =，在DC 的右侧作正方形DEFG ，则线段FH 的最小值是（ ）A ．9-B ．8- C ．9-D ．10-24．（2022·江苏·常州市金坛区水北中学二模）如图，在矩形ABCD 中，5AB =，BC =P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为（ ）A ．52B ．CD ．325．（2022·江苏南京·模拟）如图，在ABC ∆中，5,AB AC BC ===，D 为边AC 上一动点（C 点除外），把线段BD 绕着点D 沿着顺时针的方向旋转90°至DE ，连接CE ，则CDE ∆面积的最大值为（ ）A ．16B ．8C ．32D ．10【选择题】必考重点04 几何变换之旋转问题几何变换中的旋转问题，江苏省各地考查频率较高且考查难度较高，综合性较强，通常有线段的旋转、三角形及四边形的旋转问题，在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
旋转思想考点总结旋转思想是指通过改变视角或观点来解决问题的一种思维方式。
它强调从不同的角度思考问题，改变思维的固定模式，寻找创新的解决方案。
旋转思想在各个领域都有应用，包括科学、数学、艺术、商业等等。
本文将从以下几个方面总结旋转思想的考点。
一、角度转换旋转思想的核心是通过改变角度来看待问题。
在解决问题时，我们常常会陷入一种固定的思维模式，无法获得新的解决思路。
而通过旋转角度，我们可以看到问题的不同方面，从而找到更好的解决方案。
例如，在商业运营中，业务经理可能会面临市场份额不断下滑的问题。
传统思维模式下，他们可能会陷入固定的销售推广方案中，忽略了提升产品质量、改进客户服务等其他方面。
而如果能够运用旋转思想，从不同的角度分析市场问题，就有可能发现其他的解决途径，如寻找新的市场定位、重塑品牌形象等。
二、视角切换旋转思想还可通过切换视角来解决问题。
不同的视角会有不同的认识和理解，有时候一个问题看似困难，但是通过切换视角，我们有可能找到一个更加简单和直接的解决方法。
例如，在数学问题中，有时候我们可以通过将问题转化为图形，从视觉上通过观察来解决问题。
这种思维方式可以帮助我们提供新的思考角度，从而更好地理解和解决问题。
三、反向思维旋转思想还包括反向思维。
反向思维是指从相反的方向来看待问题，寻找截然不同的解决方案。
在实际应用中，我们会发现有时候通过反向思维能够迅速找到问题的症结和解决方案。
例如，在产品设计中，我们通常会考虑如何提升产品的功能和性能，但是如果通过反向思维，考虑如何减少产品的功能和性能，可能会产生意想不到的创新设计。
这种反向思维可以帮助我们打破固有的思维模式，找到更加创新的解决方案。
四、跳跃思维旋转思想还包括跳跃思维。
跳跃思维是指通过跳跃地思考问题，将问题与其他领域的知识结合起来来解决问题。
这种思维方式可以激发创造力，打破传统思维的束缚，产生创新的解决方案。
例如，在科学研究中，曾经有位科学家通过观察旋转雷达屏幕上的数据，发现了宇宙微波背景辐射，从而获得诺贝尔物理学奖。
旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。
3）双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。
4）双正方形形型条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；∠=∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据（2）利用ODA△COD 是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=4OC =，证得△AOD 是直角三角形，利用勾股定理求出．【详解】（1）解：∵CO=CD ，∠OCD=60°，∴△COD 是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=100α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=40°，故答案为：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=120α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=60°，故答案为：60；（3）解：当150α=︒，即∠BOC=150°，∴△AOD 是直角三角形．∵△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=4OC =，∴∠ADO=90°，即△AOD 是直角三角形，∴OA =故答案为：【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力． 备用图【答案】(1)△BEF 是等边三角形(2)证明见解析(3)131−【分析】（1）根据旋转即可证明△BEF 是等边三角形；（2）由△EBF 是等边三角形，可得FB=EB ，再证明∠FBA=∠EBC ，又因为AB=BC ，所以可证明△FBA ≌△EBC ，进而可得AF=CE ；（3）当点D ，E ，F 在同一直线上时，过B 作BM ⊥EF 于M ，再在Rt △BMD 中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EB=EF ，60FEB =︒∠∴△BEF 是等边三角形（2）∵等边△ABC 和△BEF ∴BF=BE ，AB=BC ，60EBF ABC ∠=∠=︒∴EBF ABE ABC ABE ∠+∠=∠+∠即∠FBA=∠EBC∴△FBA ≌△EBC （SAS ）∴AF=CE（3）图形如图所示：过B 作BM ⊥EF 于M ，∵△BEF 是等边三角形∴2BE EM =，BM =∵点D 是AB 的中点，∴142BD AB == 在Rt △BMD 中，222BM DM BD +=∵DE=2∴222)(2)4EM ++=解得EM 或EM =（舍去）∴21BE EM == 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CD CE =AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）补充图形见解析；BE =（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立，证明见解析；（3）1AD或1=AD ．【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE 的长即可；（2）根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD=BE ，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D 在BC 上，∴BCE ∆是直角三角形，且由勾股定理得，BE ==（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立. 证明：延长AD 交BE 于点H ，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD ACB BCD ∠=∠−∠，BCE DCE BCD ∠=∠−∠，∴ACD BCE ∠=∠，又∵CD CE =，AC BC =，∴ACD BCE ≅△△，∴AD BE =，12∠=∠，在Rt ABC 中，13490∠+∠+∠=︒，∴23490∠+∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AD BE ⊥.（3）①当点D 在AC 上方时，如图1所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x ++=解得,1x ∴ 1AD =②当点D 在AC 下方时，如图2所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x +−=解得,x = ∴ 1AD .所以,AD 1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B ，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2证明：∵DF=EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF =连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =， CF AB ⊥，即90CFB ∠=︒ ∴45FCB FBC ∠=∠=︒，90CFD DFB ∠+∠=︒又90DFB EFB ∠+∠=︒ ∴CFD EFB ∠=∠在CFD ∆和BFE ∆中CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CFD ∆≅BFE ∆∴CD BE =，45EBF FCB ∠=∠=︒ ∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒ ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接BE∵CF=BF ，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD=BE ，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF －∠FBD=135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE2+DB2=DE2∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE ∥BC ，得到∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，结合AB=AC ，得到DB=EC ；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ADE=∠AED AD=AE ，∴DB=EC ，故答案为：=；（2）成立．证明：由①易知AD=AE ，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；（3）如图，将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC ，连接PE ，∴△APB ≌△AEC ，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt △PAE 中，由勾股定理可得，在△PEC 中，PE2=（2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC 是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB ≌△AEC ，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．【答案】（1）见解析；（2）48；（3）15︒【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，先证明DE BG ⊥，由勾股定理可得2222DG BE DB GE +=+；（3）作CK GE ⊥于点K ，则122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】（1）四边形ABCE 与CEFG 为正方形，CG CE =，90BCG DCE ∠=∠=︒，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCECG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴≌ (SAS)， （2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠， 在△BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCG DCE ∴△≌，BGC DEC ∠=∠，GMO EMC ∠=∠，18090GOM GMO BGC EMC DEC GCE ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠=︒DE BG ∴⊥，由勾股定理得222DG DO GO =+，222BE OB OE =+，22222222DG BE DO GO OB OE DB GE ∴+=+++=+，4,AB CG ==，BD ∴==4GE ==，2222(448DG BE ++∴==，(3)作CK GE ⊥于点K ，如图，△CEG 为等腰直角三角形，122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，在Rt CDK 中，12CK CD =，30CDK ∴∠=︒，903060DCK ∴∠=︒−︒=︒， 604515DCG DCK GCK =∠−∠=︒−︒=︒∠．∴15α=︒．【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
初中数学辅助线添加技巧：旋转方法总结1．旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转．下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋转180°，构造中心对称； 遇90°，旋90°，造垂直； 遇60°，旋60°，造等边； 遇等腰，旋等腰．综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转．2．图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角．下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一．如图1，若AOB COD ∠=∠，必有AOC BOD ∠=∠，反之亦然． 如图2，若A D ∠=∠，必有B C ∠=∠．图2图1OABCDDCB AO倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角度的关系的过程．典例精析例1．（1）如图1，边长为1的正方形ABCD ，绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中我们阴影部分的面积是（ ）A．1-BC．1 D ．12（2）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°后，B 点的坐标为 ．图2图1D'C'BA解：（1）A ；（2）（4，0）．点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体现．首先要确定旋转中心是点D 而不是坐标原点O ，此处易出现错误，然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD 绕点D 旋转90°后B'的位置，这类题型常见于正方形网格中的旋转作图．例2．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、DC 上的点，且∠EAF =45°，求证：EF =BE ＋DF ．FED CBA证明：延长CB 到点G ，使得BG =DF ，连接AG ．GF ED CBA∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,D ABG AB AD ∠=∠=︒=． ∴ADF ABG △≌△． ∴,AF AG DAF BAG =∠=∠． ∵45EAF ∠=︒， ∴45DAF BAE ∠+∠=︒．∴45DAG BAE ∠+∠=︒，即45EAG ∠=︒． ∵AE AE =， ∴AFE AGE △≌△．∴EF EG EB BG BE DF ==+=+．点拨：旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中，从而可充分利用已知条件，找到有效的解题方法．这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用．本题是旋转一个经典模型（半角模型），其中结论较多．例3．如图，以ABC △的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EC 交AB 于点H ，连接BG 交CE 于点M ，求证：BG ⊥CE ．MH GFEDCBA证明：∵四边ABDE 、ACFG 是正方形， ∴,,90AE AB AC AG EAB GAC ==∠=∠=︒． ∴EAB BAC GAC BAC ∠+∠=∠+∠． ∴EAC GAB ∠=∠． ∴EAC GAB =△△． ∴AEC ABG ∠=∠．∵90,AEC AHE AHE BHM ∠+∠=︒∠=∠， ∴90ABG BHM ∠+∠=︒． ∴90EMB ∠=︒． ∴BG CE ⊥．点拨：本题旋转的基本模型，充分体现了利用旋转全等解题，本题是以ABC △为基本，以其两边分别向外构造正方形，构成旋转全等（其中用到了8字倒角），和其类似的还可以构造正三角形以及正五边形．例4．如图，在等腰ABC △中，,AB AC ABC α=∠=，在四边形BDEC 中，DB =DE ，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM 、DM ．M EDCB A（1）在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； （2）求证：AM DM ⊥；（3）当α= 时，AM DM =． 解：（1）M FEDCB A（2）在（1）中连接AD 、AF ．M FEDCB A由（1）中的中心对称可知，DEM FCM △≌△， ∴,,DE FC BD DM FM DEM FCM ===∠=∠， ∵2BDE α∠=，∴ABD ABC CBD ∠=∠+∠360BDE DEM BCE α=+︒-∠-∠-∠360DEM BCE α=︒--∠-∠．∵360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠． ∵AB AC =， ∴ABD ACF =△△． ∴AD AF =． ∵DM FM =， ∴AM DM ⊥． （3）45α=︒．∵,,AB AC AD AF BAC DAF ==∠=∠， ∴ADF ABC α∠=∠=．若AM DM =，则ADM △为等腰直角三角形，即45ADM ∠=︒， ∴45α=︒点拨：本题中第（1）问已经作出了中心对称图形，所以利用中心对称证全等的思路很清晰．本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角．初中几何常用的倒角是平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等．例5．已知:在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD = ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.D CBAA B CDABCD图1 图2 图3（1）（2）（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD.当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE＋AC=a＋b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a＋b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a＋b．例6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB＋AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC＋∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．ABCDMN AB CD M NN M 图3图2图1D CBA解：（1）=证明：∵AC 平分∠MAN ，∠MAN =120°， ∴∠CAB =∠CAD =60°， ∵∠ABC =∠ADC =90°， ∴∠ACB =∠ACD =30°， ∴12AB AD AC ==， ∴AB ＋AD =A C ． （2）成立．证法一：如图，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F ，ABCD M N F E∵AC 平分∠MAN ， ∴CE =CF ，∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ADC ＋∠CDE =180°， ∴∠CDE =∠ABC ， ∵∠CED =∠CFB =90°， ∴△CED ≌△CFB ， ∴ED =FB ，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE ，由（1）知AF ＋AE =AC ， ∴AB ＋AD =AC ，证法二：如图，在AN 上截取AG =AC ，连接CG ，AB CD M NG∵∠CAB =60°，AG =AC ，∴∠AGC =60°，CG =AC =AG ， ∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ABC ＋∠CBG =180°， ∴∠CBG =∠ADC ， ∴△CBG ≌△CDA ， ∴BG =AD ，∴AB ＋AD =AB ＋BG =AG =AC ；（3）①证明：由（2）知，ED =BF ，AE =AF ，ABC D M N FE在Rt △AFC 中，cos AFCAF AC∠=， 即cos2AFACα=， ∴cos2AF AC α=，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE =2AF 2cos 2AC α=．把α=60°，代入得AB AD +=． ②2cos2α点拨：在第（2）小题中，由题意可知，60BCD ∠=︒，有60°角就可把有关图形旋转60°，所以我们作,CE AM CF AN ⊥⊥的实质，就是将CBF △以顶点C 为旋转中心顺时针旋转了60°，从而构造了全等三角形，使此题有了解题思路．例7．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2)．（1）探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明； （2）当α＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．AB CDE 1F 1O FE 图2图1O DC BA解：（1）AE 1=BF 1．证明：∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA =OD ，∵OF =2OA ，OE =2OD ， ∴OE =OF ，∵将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1 ∴OE 1=OF 1，∵∠F 1OB =∠E 1OA ，OA =OB ， ∴△E 1AO ≌△F 1BO ， ∴AE 1=BF 1；（2）证明：取OE 1中点G ，连接AG ，ABCDE 1F 1O G∵∠AOD =90°，α=30°， ∴∠E 1OA =90°－α=60°， ∵OE 1=2OA ， ∴OA =OG ，∴∠E 1OA =∠AGO =∠OAG =60°，∴AG =GE 1，∴∠GAE 1=∠GE 1A =30°， ∴∠E 1AO =90°，∴△AOE 1为直角三角形．例8．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点．D'C'MFE DCBA（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD')与AB 交于一点E ，MC 即MC')同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ,于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQ D'C'M FE DCBA∵∠C =∠B =60°∴12CP BQ AB ==，CP +BQ =AB 又∵ADPQ 是矩形，AD =PQ ，故BC =2AD ， 由已知，点M 是BC 的中点， BM =CM =AD =AB =CD ，即△MDC 中，CM =CD ，∠C =60°，故△MDC 是等边三角形． （2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形，△MAB ，△MAD 和△MC'D'是等边三角形，∠BMA =∠BME +∠AME =60°，∠EMF =∠AMF +∠AME =60°， ∴∠BME =∠AMF ）．在△BME 与△AMF 中，BM =AM , ∠EBM =∠FAM =60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )．∴BE =AF , ME =MF ,AE +AF =AE +BE =AB ，∵∠EMF =∠DMC =60°，故△EMF 是等边三角形，EF =MF ． ∵MF 的最小值为点M 到ADEFAEF 的周长=AE +AF +EF =AB +EF ， △AEF的周长的最小值为2． 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上的任意一点，探究：22BD CD +与2AD 的关系，并证明你的结论．CBA2．如图，P 是等边△ABC 内一点，若AP =3，PB =4，PC =5，求APB ∠的度数．PCBA3．如图1，在ABCD □中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．（1）求证：AD AE =；（2）如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：DF EF -=；（3）请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．图1EDCBA图2PF ABCDE图3ABCDE4．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE =30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．图3图2图1CE ADBCE AD BEDCBA5．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．6．在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △ADE 中，AD =DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，探索BM 、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．DCG PAB EF图2DAB EF CPG图1图2图1AEBMD CMEDB CA7．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，EF =BE ，∠BEF =90°，按图1旋转，使点F 在BC 上，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探索EG 、CG 的关系，并说明理由；（2）将图1中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°得图2，连接DF ，取DF 的中点G ．问（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意度数（旋转角在0到90°之间）得图3，连接DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．图3BF DC GEABFDCGE AG F图2图1E DBCA中考前瞻将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111A B C D ，如图1所示． （1）当45α=︒时，如图2，若线段OA 与边11A D 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立①EOP FOP △≌△，②1PA PA =，试选择一个证明；（2）当090α︒<<︒时，第（1）小题的结论1PA PA =还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）在旋转过程，记正方形1111A B C D 与AB 边交于P 、Q 两点，探究POQ ∠的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系；如果不变，请直接写出POQ 的度数．PQ PD 1AA 1BB 1CC 1DD 1C 1B 1A 1F E F图2图1EDBCA。
制定对称平移旋转教学计划的思路和方法——对称平移旋转教案计划设计一、教学目标1. 让学生理解对称、平移和旋转的概念。
2. 培养学生运用对称、平移和旋转的方法解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的对称、平移和旋转现象，培养学生的观察力和想象力。
二、教学内容1. 对称、平移和旋转的定义和性质。
2. 对称、平移和旋转在实际问题中的应用。
3. 生活中的对称、平移和旋转现象。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作等活动，探索对称、平移和旋转的性质和应用。
2. 运用多媒体教学手段，展示对称、平移和旋转的实际应用场景，增强学生的直观感受。
3. 组织学生进行小组合作探究，培养学生的合作意识和团队精神。
四、教学步骤1. 导入新课：通过展示生活中的对称、平移和旋转现象，引发学生对对称、平移和旋转的兴趣和好奇心。
2. 讲解概念：介绍对称、平移和旋转的定义和性质，让学生理解并掌握这些基本概念。
3. 实例分析：分析实际问题中的对称、平移和旋转应用，让学生学会运用这些方法解决问题。
4. 小组探究：组织学生进行小组合作探究，让学生通过实际操作和讨论，深入理解对称、平移和旋转的性质和应用。
五、教学评价1. 课堂问答：通过提问和回答，检查学生对对称、平移和旋转概念的理解程度。
2. 作业练习：布置有关对称、平移和旋转的练习题，检验学生对知识的掌握和运用能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组合作探究中的表现，包括观察力、思考力、表达力和团队精神等。
六、教学资源1. 准备多媒体教学课件，包括对称、平移和旋转的定义、性质和实际应用案例。
2. 收集相关的实际问题，用于引导学生运用对称、平移和旋转方法解决问题。
3. 提供纸张、剪刀、彩笔等工具，让学生进行实际操作和创作。
七、教学环境1. 教室布局要有利于学生交流和合作，可以设置小组座位。
2. 确保教学过程中有足够的光线和空间，以便学生进行实际操作。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题04 旋转之角度问题【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．12．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3．你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．答案与解析【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△AB P′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】 1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)150︒【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明PBE △是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明90APE ∠=︒即可．【解答】（1）（1）如图，BEA △即为所求；（2）∵PBC EBA ≌，∴PB ＝EB ，60EBP ＝ABC ＝∠∠︒，∴PBE △为等边三角形，∴8PE ＝PB ＝，60EPB ＝∠︒，∵10AE ＝PC ＝，6PA ＝，∴222PE AP ＝AE +，∴APE 为直角三角形，∴90APE ＝∠︒，∴9060150APB ＝＝∠︒+︒︒．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得PBE △为等边三角形、APE 为直角三角形是解题的关键．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数． 【答案】(1)BF =2(2)∠AEB =135°【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF 为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出BF 的长； （2）根据AE =1，可得1CF AE ==，根据勾股定理逆定理()2222122CF EF +=+=9=32=CE 2得出90EFC ∠=︒，根据等腰直角三角形可求45EFB ∠=︒，再求135BFC EFB EFC ∠=∠+∠=︒，根据旋转性质，可得135AEB BFC ∠=∠=︒即可．（1）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴BE =BF ，∠EBF =∠ABC =90°∴△BEF 为等腰直角三角形，设 BE =BF =x ，则x 2+x 2=（22）2 ，解得： x =2；（2）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴∠AEB = ∠BFC ，AE =CF =1，在△CEF 中，EF =22，CF =1，EC =3，∵CF 2+EF 2=12+（22）2=9，CE 2=9，∴CF 2+EF 2=CE 2，∴△CEF 为直角三角形，∠EFC =90°，∴∠BFC =∠BFE +∠CFE =135°，∴∠AEB =135°．【点评】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【答案】∠APB =135°，解答过程见解析【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．【解答】解：思路一：如图1，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△B P 'A ，连接P P '，则△AB P '≌△CBP ，A P '=CP =3，B P '=BP =2，∠PB P '=90°∴∠BP P '=45°，根据勾股定理得，224422P P PB P B ''=+=+=，∵AP =1，∴22189AP P P '+=+=，又∵2239P A '==，∴222AP P P P A ''+=，∴△AP P '是直角三角形，且∠AP P '=90°，∴∠APB =∠AP P '+∠BP P '=90°+45°=135°．思路二：将△P AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△P 'CB ，连接P P '，∴P 'B =PB =2，P 'C =AP =1，∠P 'BP =90°，∠APB =∠B P 'C ，∴∠B P 'P =45°，224422P P PB P B ''=+=+=，∵PC =3，P 'C =1，∴222P C PP PC ''+=，∴∠P P 'C =90°，∴∠B P 'C =∠B P 'P +∠P P 'C =45°+90°=135°，∴∠APB =∠B P 'C =135°．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；【答案】（1）证明见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析．【分析】（1）根据旋转的性质得OA =OC ，OB =OD ，∠BAO =∠DCO ，根据等腰直角三角形的性质得∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根据BAC BAO CAO∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠-∠，即可得；（2）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，即可得△ACO、△OBD是等边三角形，即可得∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，即可得；（3）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，根据三角形内角和定理和角之间的关系得∠CAO=∠OBD，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，即可得．【解答】（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，∴BAC BAO CAO∠=∠-∠，∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠；∴BAC BDC（2）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△ACO、△OBD是等边三角形，∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，∴∠BAC=∠BDC；（3）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD +∠ODB +∠BOD =180°，∴∠CAO =∠OBD ，∵∠BAC =∠BAO ﹣∠CAO ，∠BDC =∠DCO ﹣∠DBO ，∵∠BAO =∠DCO ，∴∠BAC =∠BDC ．【点评】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的判定，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C AGD ED ≅．理由见解析(2)①见解析；②存在，PC 的最大值为223+【解答】（1）如图2中，结论：C AGD ED ≅．证明：∵四边形EFGD 是正方形，∴DG DE =，90GDE ∠=︒，∵DA DC =，90ADC ∠=︒，∴GDE ADC ∠=∠，∴ADG CDE ∠=∠，∴C AGD ED ≅（SAS ）．（2）①证明：如图3中，设AD 交PC 于O ．∵C AGD ED ≅，∴DAG DCE ∠=∠，∵COD AOP ∠=∠，∴在APO 与COD 中90APO ADC ∠=∠=︒，∴CP AG ⊥．②存在∵90CPA ∠=︒，AC 是定值，∴当AP 最小时，PC 的值最大，∴当DE PC ⊥时，ACP ∠的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合，∵9042CED CD DE ∠===︒，，，∴22224223EC CD DE =-=-=，∵2EF DE ==， ∴223CP CE EF =+=+，∴PC 的最大值为223+．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题． 6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．【答案】(1)1，30(2)见解析(3)能，α为135︒或315︒【分析】（1）根据矩形的性质可知点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1，可知点D 到边DC 的距离为1；根据旋转的性质得2CD CD '==，即可判定30CD E ，然后根据平行线的性质即可得到30CD E α'∠=∠=︒ ；（2）由G 为BC 中点可得CG =CE ，然后根据“SAS” 可判断E GCD CD ''≌△△，则GD E D ''=； （3）根据正方形的性质得CB =CD ，而CD CD '=，则 BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 BCD '和DCD '为钝角三角 形时，可计算出α=135°，当 BCD '和DCD '为锐角三角形时，可计算得到α=315°．（1）解：由题意可知，当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1， ∴点D 到边DC 的距离为：1，∵CE =1，2CD '=，∴在Rt CED '△中，30CD E ，∵CD EF ∥，∴30CD E α'∠=∠=︒，故答案为：1，30；（2）证明：∵G 为BC 中点，∴1CG =，∴CG CE =，∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，∴90,'∠=∠=︒''==D CE DCE CE CE CG ，∴90∠=∠+'︒='GCD DCE α，在GCD '△和E CD '△中，∵CD CD GCD DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩' ∴(SAS)''△≌△GCD E CD ，∴GD E D ''=；（3）能，理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴CB =CD ，∵CD CD '=，∴BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当BCD DCD ''∠=∠时，BCD DCD ''≅，当BCD '和DCD '为钝角三角形时，则旋转角α=360901352︒-︒=︒， 当BCD '和DCD '为锐角三角形时，1452BCD DCD BCD ''∠=∠=∠=︒ ， 则α=903603152︒︒-=︒， 即旋转角α的值为135°或315°时，BCD '和DCD '全等．【点评】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）15°；（3）存在，23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0- 【分析】（1）由旋转的性质可知， ABE 是等边三角形，即可求证；（2）由旋转的性质可知，CA AD =，从而()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒，即可求解； （3）分两种情况：若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时；若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，分别求解即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知60BAE α∠==︒，BA BE =，∴ABE 是等边三角形，∴AB BE =．（2）解：∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵ABC 绕点A 顺时针旋转α得到AED △，点E 恰好在AC 上，∴CA AD =，30EAD BAC ︒∠=∠=，∴()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒， ∵60EDA ACB ∠=∠=︒，∴15CDE ADC EDA ∠=∠-∠=︒．（3）存在，理由如下：∵点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，∴2BC =，∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴24AC BC ==，223AB AC BC 2=-=，如图1，若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时，图1设CQ QM x ==，∵30CAB ∠=︒，∴22==AQ QM x ，223=-=AM AQ QM x ，∴234=+=+==AC AQ CQ x x x ，∴43x =，∴433AM =， ∴43232333BM AB AM =-=-=， ∴点23,03M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．如图2，若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，图2设CQ QM x ==，30CAB ∠=︒，∴22==AM QM x ，223=-=AQ AM QM x ，∴34AC x x =+=，∴232x =-，∴434AM =-，∴()23434423BM =--=-，∴点()423,0M -； 综上所述：23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0-． 【点评】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能够利用旋转的性质和分类讨论的思想是解题的关键．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值． 【答案】（1）①见解析．②见解析；（2）180BEC α∠=︒-︒．（3）90︒或270︒．【分析】（1）①当180α=︒时，在图中找到BC 的中垂线，看能否满足EO AO ⊥即可；②先证明DEA △≌BEA △，根据D ABE ∠=∠，得到BAC BEC ∠=∠，最后利用180DAB BAC ∠+∠=︒，即可证明结论；（2）先证明出AOD FOC ≅△△，得到AE FE =，再证明出ABE CFE ≅△△，通过性质可证明出AOD FOC ≅△△，得到D DCF ∠=∠，根据AD GC ∥，得到AGC DAB α∠=∠=︒，最后根据180AGC BGC ∠+∠=︒，即可得证；（3）仿照（2）的过程依次证明AOE FOE ≅，ABE CFE ≅△△，再通过角的转换即可得到答案．【解答】解：（1）①当180α=︒时，AO 为DBC △的中位线，经过O 点的AO 的垂线与BC 的中垂线重合，∴此时E 点在BC 的中垂线上任何位置都能满足EO AO ⊥，故不存在确定的E 点．②证明：连接AE ．∵OE 垂直平分DC ，∴DE EC =，∴D ECD ∠=∠．∵E 在BC 的中垂线上，∴BE CE =，∴DE BE =．∵AD AB =，∴DEA △≌BEA △．∴D ABE ∠=∠．∴ABE ACE =∠∠．∴BAC BEC ∠=∠．∵180DAB BAC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（2）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接AE ，EF ．连接CF 并延长交AB 于点G ．∵OD OC =，AOD FOC ∠=∠，∴AOD FOC ≅△△．∴FC AD AB ==．∵OE AF ⊥，AO OF =，∴AE FE =．又∵BE CE =，∴ABE CFE ≅△△．∴ABE FCE ∠=∠，∴BGC BEC ∠=∠．∵AOD FOC ≅△△，∴D DCF ∠=∠．∴AD GC ∥．∴AGC DAB α∠=∠=︒，∵180AGC BGC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（3）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF 并延长交AB 于点G ，连接AE ，∵AO OE ⊥，AO OE =，∴45EAO OEA ∠=∠=︒，90AOE ∠=︒，∴()AOE FOE SAS ≅，∴45OEF ∠=︒，∵AE EF ⊥，由（2）可得()ABE CFE SAS ≅，∴AEB CEF ∠=∠，90BEC AEF ∠=∠=︒，∴18090BEC α∠=︒-=︒，∴90α=︒，当180360α︒<<︒时，延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF ，同理可得90BEC ∠=︒，∵36090BAD α∠=︒-=︒∴270α=︒，综上所述，α的值为90︒或270︒．【点评】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =米，60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)150︒(3)对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小，理由见解析【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．；（2）把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质可知APP '是等边三角形，从而得到60AP P ∠'=︒，由勾股定理逆定理可知90PP C ∠'=︒，从而求得150AP C ∠'=︒，即可求解；（3）连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，，由旋转的性质，M BM '、GAB △是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当MA MB MC GC ++=时最短，从而得到MA MB MC ++最小值为BF 的长，点M 为CG 、BF 的交点，即可求解．【解答】（1）解：如图1，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．（2）解：如图2，把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质，3P A PA '==，4P C PB '==，60PAP ∠'=︒，APP '∴是等边三角形，3PP PA '∴==，60AP P ∠'=︒，22223425PP P C '+'=+=，22525PC ==，222PP P C PC ∴'+'=，90PP C ∴∠'=︒，6090150AP C AP P PP C ∴∠'=∠'+∠'=︒+︒=︒；故150APB AP C ∠=∠'=︒；（3）解：如图，连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，由旋转的性质，303GB AB ==，BM BM '=，GM AM =，GB AB =，60M BM '∠=︒，60GBA ∠=︒， ∴M BM '、GAB △是等边三角形，BM MM '∴=，MA MB MC GM MM MC '∴++='++，根据两点间线段距离最短得：当MA MB MC GC ++=时最短，GAB 是等边三角形，∴以AC 为一边作等边三角形ACF ，MA MB MC ∴++最小值为BF 的长，此时点M 在线段BF 上，∴点M 为CG 、BF 的交点．若点M 与点E 重合，即M 在对角线BD 上，则点M 为BF 与BD 的交点，此时点M （E ）与点B 重合，显然不符合题意，故点M 不在对角线BD 上，即对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）． 【答案】(1)EF BE DF =+，理由见解析(2)222DE BD EC =+【分析】（1）把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，证明()AFG AFE SAS △≌△，进而即可得到结论；（2）把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，证明()ADF ADE SAS ≌，从而得90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，进而即可得到结论．（1）解：数量关系是EF BE DF =+，理由如下：由题意得，AB AD =，90BAD ∠=︒，把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，如图2所示，则DAG BAE ∠∠=，ADG B ∠=∠，AG AE =，∵180B ADC ∠+∠=︒，∴180ADG ADC ∠+∠=︒，∴点F 、D 、G 在同一条直线上；∵45EAF ∠=︒，∴904545GAF DAG DAF BAE DAF ∠=∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，∴GAF EAF ∠=∠，∵AF AF =，∴()AFG AFE SAS △≌△，∴EF GF DG DF BE DF ==+=+．（2）解：数量关系是222DE BD EC =+，理由如下：把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，如图3所示，∴ABF ACE ≌△△，90FAE ∠=，∴FAB CAE ∠=∠，BF CE =，ABF C ∠=∠，∴90FAE BAC ∠=∠=，∵45DAE ∠=，∴904545FAD ∠=-=，∴45FAD DAE ∠=∠=，在ADF △和ADE 中，AF AE FAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADF ADE SAS ≌，∴DF =DE ，∵90BAC ∠=，AB =AC ，∴45ABC C ∠=∠=，∴45C ABF ∠=∠=，∴90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，∴BDF 是直角三角形，∴222DF BD BF =+，∴222DE BD EC =+．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，图形旋转的性质等知识，关键是正确画出图形．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．【答案】(1)四点共线，23(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=，此时()::2:2:31PA PB PC =- (3)::4:2:1PA PB PC =【分析】(1)证明AEC DFC 得到AE DF =进而得到B ，E ，F ，D 四个点满足四点共线时，BE AE CE ++的值最小为BD ，再由等边△ABC 及2AB =求出BD 的长；(2)同(1)中思路证明()APC EDC SAS △≌△得到PA DE =，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小为BE ；进一步得到150BCE ∠=︒，BC CE =即可求出45BCP ∠=，再过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用30FBP 即可求出::PA PB PC 的值；(3)同(2)中思路即可求解．(1)解：由旋转的性质，可知,,60CE CF CA CD ECFACD ， 60ACE ECF ACF ACF ，60DCF ACDACF ACF ， ∴ACE DCF ∠=∠，∴()ACE DCF SAS △≌△，∴AE DF =，且EC EF =，∴BE AE CE BE DF EF ，∴当B ，E ，F ，D 四点共线时，BE DF EF ++的值最小为BD ，如图所示：连接AC ，设AC 与BD 交于点O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠OCB =60°，∴332322BO BC ，此时223BD BO ==．(2)解：由旋转的性质，可知,,60PC CD AC CE PCD ACE ==∠=∠=︒， 60PCA PCD ACD ACD ，60DCE ACE ACD ACD ，∴PCA DCE ，∴()APC EDC SAS △≌△，∴PA DE =，且PDC ACE △，△均为等边三角形，PC PD =, ∴PA PB PC DE PB PD ++=++，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，如图1所示．∵PDC ACE △，△均为等边三角形， ∴1209060150BPC CDE CPA BCE ，，∵,AC BC AC CE ==，∴BC CE =．∴15PBC DEC ∠=∠=︒，∴45BCP ∠=︒，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时45BCP ∠=︒； 过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图1所示．∵,PB PA CB CA ，∴CP 是线段AB 的中垂线，∴C ，P ，F 三点共线，45FBC FAC ∠=∠=︒∴,30PA PB FBP FAP =∠=∠=︒，设1PF =，则2,3PB PA CF BF ====．∴31PC =-，∴::2:2:(31)PA PB PC =-．(3)解：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，如图2所示：由(2)可知，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时120BPC CDE CPA ∠=∠=∠=︒， 由(2)知：9060150APC EDC BCE △≌△，，∴30ECF ∠=︒，∵2BC =，∴23AC CE ==，∴3,3EF CF ==．∴235BF =+=，∴在Rt BEF △中由勾股定理得到22225(3)27BE BF EF =+=+=，过点C 作CG BE ⊥，垂足为G ，如图2所示． ∵1122BCE S BC EF BE CG =⨯⨯=⨯⨯△， ∴11232722CG ⨯=⨯⨯⨯， ∴217CG =， ∴3217377PG DG ， ∴在Rt BCG 中由勾股定理得到22222157277BG BC CG ， ∴27577472,7777PD PC PG BP BG PG ====-=-=， ∴47278727777PD DE BE BP PD ==--=--=， ∴::4:2:1PA PB PC =．【点评】本题考察了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．。
中考旋转问题解题技巧
1. 哎呀呀，你知道吗，中考旋转问题里有个超重要的技巧就是找关键点呀！就像拼图一样，找到了关键点就能把整个图形拼凑起来啦！比如在这个图形里，找到那个关键的顶点，然后围绕它进行分析，疑惑是不是一下就解开啦？
2. 嘿，告诉你哦，旋转问题中要特别注意图形的对称性！这就好比是一把钥匙，能打开解题的大门呀！像这个图形，一旦发现了它的对称性，哇塞，解题思路不就一下子出来了嘛！
3. 哇哦，可别小看了观察已知条件这个步骤呀！它就像指明灯一样重要呢！比如这里给了这些条件，那我们就得像侦探一样，仔细分析，从中找到线索呀，你说是不是很有趣呢？
4. 哟呵，在解决旋转问题时，我们要大胆去尝试想象图形运动的过程呀！这就好像让图形在我们脑海里跳舞一样！像碰到这种情况，想象一下图形旋转之后的样子，好多问题就迎刃而解啦！
5. 哈哈，千万别忘了利用相似三角形这个好帮手呀！它可是解决旋转问题的得力干将！就好比是给我们配备了一件强大的武器！比如在这个例子里，通过相似三角形，一下子就能突破难关啦！
6. 哎呀呀，最后一点也很关键哦，那就是要多练习！只有不断练习，才能在考场上应对自如呀！就像运动员训练一样，练得多了自然就厉害啦！比如多做一些这样的题目，到时候就不会手忙脚乱啦！
我的观点结论就是：中考旋转问题并不可怕，只要掌握了这些技巧，多练习，遇到问题冷静分析，就一定能取得好成绩！。
旋转问题的解题技巧
1. 哎呀呀，遇到旋转问题不要慌！你看那电风扇转得多快呀，就像我们解题的思路一样要迅速找到关键。
比如一个图形绕着一个点旋转，那就要紧紧抓住旋转中心这个关键呀！是不是一下子就清楚啦？
2. 嘿，你知道吗，旋转问题有个绝招来啦！想象一下时钟的指针转动，这就跟我们要解的旋转问题很像呀。
像那种给出旋转前后的图形，我们就得观察它们之间的变化规律呀，这招超好用的呀！
3. 哇哦，解决旋转问题还得学会找特点呢！就像每个玩具都有它独特的地方一样。
比如知道了旋转的角度和方向，解题不就容易多了嘛！你说是不是呀？
4. 哈哈，面对旋转问题就得大胆去尝试呀！好比划船，不尝试怎么知道能不能到对岸呢。
试试不同的方法，也许答案就冒出来啦，就像突然找到宝藏一样惊喜呀！
5. 诶呀，旋转问题里可藏着不少秘密呢！就像一个神秘的盒子等你去打开。
像是两个图形通过旋转重合，那我们就找找它们重合的关键点嘛，这样不就柳暗花明啦？
6. 哟呵，要善于利用对称性来解决旋转问题呀！好比照镜子，对称的两边是不是很好找呀。
碰到有对称关系的旋转，那答案准能快速找到啦！
7. 哇，旋转问题可不能死脑筋呀！要像脑筋急转弯一样灵活。
例如给定一个复杂的图形旋转，我们别害怕，一点点分析，总会找到解题思路的啦！
8. 嘿呀，总之记住这些解题技巧，旋转问题就难不倒你啦！不管遇到什么难题，都可以像勇士一样去战斗，把答案给攻克下来呀！
我的观点结论就是：掌握了这些技巧，再难的旋转问题都能迎刃而解！。
旋转数学题解题方法技巧旋转数学题解题方法技巧一、旋转数学题的概念旋转数学是一类涉及空间几何图形的解题方法，旋转数学指的是利用图形来进行运算，在几何中，空间几何图形可以提供重要的知识，从而有助于解决数学问题，其中包括一些比较复杂的问题，比如多面体的旋转等。
二、旋转数学题的解题方法技巧1、明确旋转数学题的形式要根据旋转数学题的具体形式来确定解题思路，一般分为三类：（1）旋转图形的形状（比如圆形、正方形等），（2）旋转图形的大小，（3）旋转图形的角度。
2、确定解题步骤旋转数学题的问题可以分为几个部分：（1）确定图形定义的方向；（2）计算旋转的角度；（3）构造旋转图形的方法；（4）通过旋转图形计算相关的变量。
3、构造图形因为解答题目需要利用空间几何图形，而空间几何图形的构造也非常重要。
首先，需要仔细观察题目，根据题目中提供的图形信息，明确图形的各个点和线段的关系；其次，根据题目中给出的角度，用测量角度的工具来确定图形的具体方位。
4、确定旋转角度求解旋转数学题的时候，需要确定旋转角度，这一步非常重要，而且需要花费一定的时间。
如果知道图形的始末点，那么可以用直角三角形的关系式求出旋转角度，如果不知道图形的始末点，可以运用角平分线求出旋转角度。
5、计算变量解答旋转数学题的时候，除了确定旋转方向和角度外，还需要计算出与旋转相关的变量，例如图形的面积、夹角等等。
如果题目中出现复杂的几何图形，可以使用它们的公式来计算出任何一个变量。
6、解答问题有了图形的关系、旋转角度及其他变量的信息，就可以解答旋转数学题了，根据所要求的条件，将计算得到的变量结合起来，就可以解出题目要求的结果了。
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。
专题3.1 旋转重难点模型（5大类型）【题型1 手拉手模型】【题型2 “半角”模型】【题型3 构造旋转模型解题】【题型4 奔驰模型】【题型5 费马点模型】模型一：“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。
模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。
如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC模型二：“半角”模型模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼出特殊角”模型说明：（1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG 可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF（2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN²（3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA 的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。
模型三：构造旋转模型解题方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.常见图形旋转：方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．模型四：奔驰模型模型五：费马点模型【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，△PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．△点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长△当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【典例1】（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．【变式11】（2022秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．【变式12】（2022九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=√2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．【典例2】（秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．【变式21】（春•金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【变式22】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？【变式23】（2022秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF＝BE+FD．大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三点共线，∠HAE＝∠EAF＝45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【典例3】（九上·江津期中）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= √3，PC=1、求△BPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以△AP′B=150°，而△BPC=△AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为√7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= √5，BP= √2，PC=1．求△BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【变式31】（九上·南昌月考）如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√3，PC=1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．【变式32】（九上·德州期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，△APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是．（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，△APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．（3）如图3，在四边形ABCD中，AD△BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，△CPD ＝90°，△APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．【典例4】（2023•崂山区模拟）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且P A＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于，正方形的边长为；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于，正六边形的边．【变式41】（2023春•广东期中）18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10．若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB．（1）∠MAP＝°，连接PM，则PM＝；（2）求∠APB的度数．【变式42】（2023春•古田县期中）阅读材料，解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2．【变式44】（2022春•侯马市期末）如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，∠ABC＝∠ADE＝45°．（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD＝30°，求∠BAE的度数；（2）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度α＝时，直线AC与DE垂直（0°＜α≤360°）；（3）如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD＝4，AB＝10，求BD的最大值和最小值．【典例5】（秋•邗江区期末）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，此时，P A+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF ＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求P A+PB+PC的值．【变式51】（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．【变式52】（2022•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝4，则△P AC的面积为．。
勾股定理旋转解题思路在数学的世界里，勾股定理就像一颗璀璨的明珠，闪闪发光。
想象一下，咱们在一个阳光明媚的下午，坐在公园的长椅上，阳光洒在脸上，旁边有小鸟在唱歌，心情那叫一个好啊。
突然，有个小朋友在玩球，球滚到了一个斜坡上。
他们想知道，这个斜坡有多高。
我们心中立刻浮现出勾股定理，想要用它来解这个问题。
就像小朋友的球一样，直接往上滚，这样的思路真是让人眼前一亮。
说到勾股定理，很多人可能一开始就皱起了眉头，觉得这玩意儿太复杂了。
但是，亲爱的朋友们，听我说，这其实简单得不能再简单了。
勾股定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这就好比你把两个小房间拼起来，最后形成一个大房间。
简单明了，不是吗？现在想象一下，如果我们把这个直角三角形旋转一圈，那会发生什么呢？就像是给你的房间换了个新样子，真是妙趣横生。
好啦，我们回到那个小朋友和球的故事。
小朋友想知道斜坡的高度，于是我们就可以运用勾股定理，把这个高度变成一个数学问题。
假设斜坡的底边是3米，高是4米，那么斜坡的长度就是5米。
这个过程就像是做一道简单的数学题，轻轻松松就解开了。
于是小朋友高兴得手舞足蹈，像小鸟一样在草地上跳来跳去，快乐得不得了。
如果我们更深入一点，想象一下，如果把这个直角三角形旋转成一个圆锥体，那这个形状又会有什么样的变化呢？这就像是把一个普通的冰淇淋球放在了一个美丽的华丽蛋糕上。
旋转的过程中，直角三角形的各个边就像是不断在舞蹈一样，优雅而又神秘。
咱们不仅可以用勾股定理来计算直角三角形的边长，还能用它来研究这些旋转后形状的特征。
这个过程就像是揭开了一个个秘密，让人忍不住想要一探究竟。
再说说实际生活中的例子吧。
咱们去爬山，路上有很多斜坡，这时候勾股定理就派上用场了。
比如，咱们站在山脚下，想知道到达山顶的最短路径。
通过测量山脚到山顶的水平距离和高度，我们就能用勾股定理来算出这条最短的路径，简单又实用，难怪大家都说它是数学界的“万金油”呢。
初一三角形旋转题解题技巧
初一学习三角形旋转题时，需要掌握一些基本的技巧和方法，才能更好地解决问题。
以下是一些常用的技巧和方法：
1. 确定旋转中心和旋转角度：在解决三角形旋转问题时，首先需要确定旋转中心和旋转角度。
旋转中心通常是三角形的某个顶点或某个中心。
旋转角度通常是90度、180度或360度。
2. 利用对称性质：三角形的旋转可以形成简单的对称图形，因此可以利用三角形的对称性质来解决问题。
例如，如果三角形旋转180度后，能够重合或对称，则它们可能是等边三角形或等腰三角形。
3. 利用相似性质：三角形旋转后，仍然保持相似，因此可以利用相似性质来解决问题。
例如，如果一个三角形旋转180度后，与原来的三角形相似，则它们的角度相等，比例尺相等。
4. 利用角度计算：三角形旋转后，三角形的角度会发生变化，可以通过计算旋转后的角度来解决问题。
例如，如果一个三角形旋转180度后，原来的角度减去180度得到旋转后的角度。
5. 利用向量运算：向量是解决三角形旋转问题的有力工具。
可以通过向量运算来计算旋转后三角形的坐标和长度。
例如，如果一个三角
形绕原点逆时针旋转90度，可以通过向量运算得到旋转后的坐标。
解决旋转问题的思路方法
1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.
2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于
旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.
中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.
3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：
（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.
（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.
（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.
例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.
（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.
（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图
形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一
样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿
直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.
例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD ，AD//BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，
则CE 的长为 .
思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们
是否考虑用旋转变换来铺路架桥.
规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方
形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转
的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt △ADE 、Rt △CEB 和△BAE 中直接求出EC
几乎是不可能的.
例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.
（1）求证：AF=DF+BE.
（2）设DF=x ()01x ≤≤，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值
及S 的最大值；若不存在，请说明理由.
思路分析：求证AF=DF+BE ，观察图形可知线段AF 、DF 、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助
线帮助解题，考虑到AF 、DF 在Rt △ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长
CB 到点G ，使BG=DF ，又AB=AD ，进一步推理，可使问题获解.
规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三
角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何
图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的
数形结合，能简洁明了地解决问题.。
