第十四章 拉普拉斯变换

第一个想到的是 ε(t) ，另一个是指数衰减函数e -δt（δ>0）。
（1）ε(t)可以使在t＜0时的无意义变为有意义（均等于0）。因 而可以使(-∞,+∞)区间变为[0,+∞)区间。（因为在(-∞,0)上值为 0，不需考虑）。
（2）e-δt可以使可能不可积的函数φ(t)变得绝对可积，最后改
造好的函数为g(t)=ψ(t) ·ε(t)·e -δt 。只要δ选得合适，这个 函数g（t）的付氏变换总是存在的。
于是对ψ(t)乘以ε(t)和e-δt，再求付氏变换的运算，就产生
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
FT
T cn
2 T
fT
2
则FT(ω)傅立叶反变换为：
t e jt dt
fT
t
பைடு நூலகம்
1 T
FT
n
e jt
问题：我们遇到的大量的非周期函数怎么进行傅里叶变换呢？
对于一个非周期函数f(t)，可以认为是周期函数fT(t) 在T→∞ 时演变而来。
当Δωn →无穷小时,频谱就成为连续的,但ＴCn仍可以是有 限值（因为当T→∞时，Cn→无穷小），因而仍可定义TCn为非周 期函数的付氏变换,因而对于非周期函数f(t)（相当于T→∞）有：
T
2 T
fT
t e jn0t dt
2
式中
：
cn
an
jbn
2
1 T
T
2
T
fT
t e jn0t dt
2
c0
a0 2
1 T
T
2 T
fT tdt
2
n 1,2,3
上式可合成为:
1 cn T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
n 0, 1,2, 3
故1.1可写为: fT t
1、问题的提出：
①付氏变换说： 存在付氏变换的条件：一是满足狄里克利条件 （连续或有限个第一间断点，区间内收敛）；二是在(-∞,+∞)上 可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。但绝对可积的条件是 很强的，许多函数，即使是很简单的函数（单位阶跃函数，正弦 函数，余弦，以及线性函数等）都不满足这个条件。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 二章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
（2）非周期函数 f(t)可表示成 -∞~+∞ 频率的指数函数的连续 和。
（二） 拉普拉斯变换（Laplace变换）
付氏级数可以将一个非正弦的周期信号分解为若干个不同频率的 正弦信号的叠加。付氏变换则可将时域里的信号 [f(t)] 表达式转换 为频率的表达式（频域），从而方便了频谱分析。
而我们在分析动态电路，尤其是高阶动态电路时，最困难的是 解时域里的高阶微分方程。能否借鉴付氏变换的思路，利用数学工 具将时域函数也进行一番变换，最后将时域里的高阶微分方程，变 换成另一域里的代数方程以便于求解呢？
fT
t
a0 2
an
n1
e jn0t
e jn0t 2
e jn0t e jn0t
bn
2j
a0 2
e jn0t
n1
2
an jbn
e jn0t
2
an jbn
c0
cn e jn0t cn e jn0t
n1
cn
an jbn 2
1 T
c e jn0t n
1.2
n
付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效任意的
非正弦周期函数。 3、傅氏变换
当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件, fT(t)可 展开为付氏级数：
fT t
cn e jn0t
n
其中：
cn
1 T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
定义：令nω0 =ω， 则定义周期函数fT(t)的傅里叶变换为： T
T
2 T
2
fT tcosn0tdt
bn
2 T
T
2 T 2
fT tsin n0tdt
2、傅氏级数的指数形式
2、傅氏级数的指数形式 利用欧拉公式：
e j cos j sin 式1.1可写为：
或：cosn0t
1 2
e jn0t
e jn0t
sin
n0t
1 zj
e jn0t
e jn0t
第十四章 线性动态电路的复频域分析
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
f
t
lim
T
fT
t
1
2
Fe jt d
F
f
t e jt dt
记为：
F F f t f t F 1 f t
成立条件： 1 f(t)满足狄里克利条件
2 f(t)在( -∞,+∞)上绝对可积 4、付氏变换的物理意义：
（1）把 f(t)看成无穷多个0~∞频率、振幅为无穷小的正弦波的 合成。F(ω)是频谱密度，也是单位频率所贡献的振幅。
通常，一个周期为T的周期函数fT(t)，在[-T/2，T/2]上满足狄 里赫利条件，总可以分解为如下的正弦函数的和：
fT t
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
sin n0t
1.1
其中：T 为周期函数fT(t)的周期；
0
2
T
为基波角频率 ；
a0
2 T
T
f 2
T T 2
t dt
an
2 T
② 其次，可以进行付氏变换的函数必须在整个自变量轴（时间 轴）上有意义。但在物理、电子技术等实际应用中，许多以时间 为自变量的函数往往在t<0时无意义,或者根本不需要考虑。因此， 付氏变换在实应用中就受到一定限制。
由此想到，能否将不满足以上条件的函数ψ(t)通过适当的改
造，使其存在付氏变换（满足付氏变换的条件）呢？