利用法向量求二面角的正负

法向量求二面角余弦值公式二面角余弦值公式是一种计算二面角的方法，也是数学中最重要的理论之一。

它是基于三角函数的概念而演变而来。

今天，我们将介绍法向量求二面角余弦值公式，它是求解二面角余弦值的简便方法。

法向量求二面角余弦值公式可以用来求解任意给定的二面角的余弦值。

首先，我们需要求出每个角的法向量，比如，角A的法向量是(1, 0, -1)，角B的法向量是(2, 1, -1)。

然后，我们可以使用下面的公式计算它们之间的余弦值：cos = (A B)/ (|A| |B|)其中A、B表示两个角的法向量，AB表示A、B的点积，而|A|和|B|表示A、B的模。

由此，我们可以使用以上公式来求解任意二面角之间的余弦值。

举例来说，若要计算角A（1，0，-1）和角B（2，1，-1）的余弦值，我们只需要将之前的公式中的A、B分别换成这两个角的法向量即可：cos = (12 + 01 + (-1)*(-1))/ (|1|× |2，1，-1|)cos = 3 / (√63)cos = 0.948因此，角A（1，0，-1）和角B（2，1，-1）之间的余弦值为0.948。

通过以上的计算，我们可以得出结论：法向量求二面角余弦值公式是一种用来求解任意二面角之间的余弦值的简便方法。

它也是利用三角函数基础概念而演变而来的基本计算公式之一。

由于它的方法简单易行，所以，它在很多领域，如几何学、地理学、机械工程、电子工程等，都有着广泛的应用。

综上所述，法向量求二面角余弦值公式是一个简单而实用的求解方法，它不仅可以求出二面角之间的余弦值，而且还可以用于几何学、地理学、机械工程、电子工程等多个领域。

它对于改善人们的生活、发展科学技术具有重要意义，为我们现在的生活带来了无穷的便利。

法向量求二面角正弦值公式首先，我们需要了解一些基本的向量和二面角的知识。

在三维空间中，一个向量可以用它的坐标表示为V=(x,y,z)，其中x、y和z分别是向量在x、y和z轴上的分量。

向量的模（或长度）可以通过勾股定理计算得出：，V，=√(x^2+y^2+z^2)。

两个平面的法向量可以用来确定它们之间的夹角。

设P1和P2是两个平面，它们的法向量分别为N1和N2、我们可以计算它们的夹角θ，其中0≤θ≤π。

在这种情况下，不同方向的夹角θ可能有相同的正弦值，因此我们只考虑θ在0到π之间的情况。

假设θ是二面角的夹角，则它们的法向量可以表示为：N1=(x1,y1,z1)N2=(x2,y2,z2)两个向量的内积（点积）可以定义为：N1·N2=x1*x2+y1*y2+z1*z2同时，我们还可以使用向量的模来计算它们之间的夹角的余弦值：cos(θ) = N1·N2 / (，N1， * ，N2，)这就是求两个向量夹角余弦的公式。

然而，我们的目标是求得夹角的正弦值。

为了得到它，我们需要利用一些三角恒等式。

正弦函数（sin）和余弦函数（cos）之间有一个很重要的关联：sin(θ) = √(1 - cos^2(θ))我们可以将上述的夹角余弦值代入这个公式，得到夹角正弦值的公式：sin(θ) = √(1 - (N1·N2 / (，N1， * ，N2，))^2)这就是求二面角正弦值的公式。

值得注意的是，由于两个法向量的方向不同，它们之间的夹角的正弦值可能有两个值。

例如，在0到π之间的夹角的正弦值和在π到2π之间相同。

因此，在计算二面角正弦值时，我们需要考虑这两个可能的值。

这是关于法向量求二面角正弦值公式的详细解释。

我们可以使用这个公式在三维空间中计算平面之间的夹角。

坐标法求二面角例举 高二数学 陈作美求两平面所成的二面角是立体几何的基本问题，也是核心问题，更是考试的重点所在。

传统几何方法求二面角，一般都要经历“寻找二面角的平面角、证明是二面角的平面角，计算二面角的三角函数值”的过程，而这往往需要添加较多的辅助线，这给解题带来一定的困难。

坐标法给出一种通过空间向量求二面角的简便方法，不需要“找、证”，只需“算”。

当二面角所处的图形适合建立空间直角坐标系时，十分凑效。

1. 求二面角的公式如图1，两平面，向量是它们的法向量，设平面所成的二面角为θ，向量所成的为，则cos θ=-1212n n n n ∙（注意：二面角的两个法向量都必须指向二面角的内部） 2. 平面的法向量求法在空间直角坐标系O －xyz 中，已知不平行的向量，在平面π上，设向量是平面π的法向量，则即，因为法向量有无数个，故可以通过任意取定的一个分量来确定一个特殊的法向量（但不能是零向量）。

特别地，当平面π在三个坐标轴上的交点分别是A（a、0、0）、B（0、b、0）、C（0、0、c）（abc≠0）时，易证是它的一个法向量。

3. 应用例举例1. 如图2，正方形ABCD，ADEF的边长都是1，而且平面ABCD，ADEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若。

（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小的余弦值。

（02年全国高考改编）解（仅解（3））由（2）可知，当M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小。

如图2，以线段AB的中点为原点建立空间直角坐标系，则M、，故分别是面MNA与面MNB的法向量，设面MNA与面MNB所成的二面角是θ，则，因此cos =-1/3.例2. 如图3，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形PB⊥面ABCD。

（1）略；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD的所成的二面角恒大于90°。

法向量求二面角正弦值公式
正弦值公式指的是物理中求取二面角正弦值的公式，它由一般正弦函
数发展而来，是一个关于二面角α和β的关系式。

公式表示为：sinα=sinβ*cosγ-cosα*sinγ。

其中，γ表示两方向向量α和β的夹角，α和β分别代表两边的
方向向量，当γ求出时，就可以据此求出α和β的正弦值。

该公式可以应用于求解各种二面角的正弦值，从而解决复杂的物理问题。

它的用途非常广，可以用在电磁学、传播学、声学、流体力学、热学
等方面。

同时，该公式也可以用于求解多边形的内角和。

这样可以更高效地求
解多边形的内角和，其思想是，从一个多边形顶点出发，求解出其与相邻
顶点的夹角γ，然后根据正弦值公式求解出相应的内角和，重复该操作，就可以求解出所有内角和。

法向量求二面角公式在几何学中，二面角是一种重要的概念，它由两条相交的平面构成。

此外，当两条相交的直线所在的平面具有相同的法向量时，它们构成的夹角叫做二面角。

而要求出两个法向量构成的二面角，可以采用“法向量求二面角公式”。

“法向量求二面角公式”可以用下面的公式表示：α = arccos (N1 . N2 / (|N1| |N2|))其中，N1、N2分别是两个法向量，“.”表示内积，“|N1| |N2|”表示两个法向量的向量积，α表示由N1、N2两个法向量构成的夹角。

要用“法向量求二面角公式”求出N1、N2两个法向量的夹角，第一步是求出N1、N2的值。

N1、N2的值可以用下面的公式求得： N1 = (x1, y1, z1)N2 = (x2, y2, z2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两个法向量在三个坐标方向上的值，x1、y1、z1是N1在三个坐标方向上的值，x2、y2、z2是N2在三个坐标方向上的值。

第二步，根据求得的N1、N2值，就可以用“法向量求二面角公式”求出N1、N2所构成的夹角，具体公式如上所述。

以上就是“法向量求二面角公式”的介绍，它可以帮助我们快速确定两个法向量构成的夹角。

这种公式的优点在于它可以简单快速地求得椭圆夹角、圆柱夹角、椎体夹角等复杂夹角，为几何学研究带来了方便。

当然，如果希望用“法向量求二面角公式”求出精确的夹角，需要准确求出N1、N2的值，还需要采用精度更高的计算机程序。

另外，在计算N1、N2的值时，也要注意两个法向量的向量积及其长度是否相等，不然就会得到错误的结果。

本文介绍了“法向量求二面角公式”，它可以用于求出相交的两个法向量构成的夹角，使几何学研究变得更加容易简单。

然而，为了保证计算出来的结果准确无误，求值时需要考虑到N1和N2之间的向量积及长度等因素。

向量法求面面角正负判定1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下所示：引言部分的目的是介绍本文将要讨论的主题——向量法求面面角的正负判定。

面面角是几何学中的一个重要概念，它描述了两个相交平面之间的夹角，正面面角表示这两个平面的法向量之间的夹角，负面面角则表示这两个平面的法向量之间的补角。

本文的结构主要分为三个部分。

第一部分是引言部分，概述了本文的研究背景和目的。

第二部分是正文部分，主要介绍了向量法求面面角的定义和计算方法。

在这部分中，我们将详细阐述了如何利用向量的性质来求解面面角，并给出了具体的计算步骤。

最后一部分是结论部分，我们将讨论如何通过计算得到的面面角的数值来判定其正负。

我们将提供针对正面面角和负面面角的判定方法，并对求解过程进行总结和归纳。

通过本文的研究，读者将能够深入了解向量法求解面面角的原理和计算方法，以及如何根据计算结果进行正负判定。

这对于几何学的研究和实际应用都具有重要意义，例如在计算机图形学、物体建模和机器视觉等领域的应用中，面面角的正负判定都是必不可少的一步。

希望通过本文的阅读，读者能够掌握向量法求解面面角的基本原理和方法，并能够灵活运用于实际问题的求解中。

1.2文章结构文章结构部分应包含如下内容：本文共分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个部分。

概述部分旨在介绍文章要讨论的主题——向量法求面面角正负判定，并简要概括文章的内容和重要性，引起读者的兴趣。

文章结构部分即本文的目录，详细列出了各个章节的标题和子标题，以帮助读者了解整篇文章的结构和章节安排。

目的部分说明了本文的写作目的，即介绍和解释向量法求面面角正负判定的定义、计算方法以及对应的判定方法，为读者提供清晰的指导和理解。

正文部分是本文的主体部分，包括向量法求面面角的定义和计算方法的详细介绍。

结论部分总结了本文的主要内容，重点概括了正面面角和负面面角的判定方法。

通过以上结构，本文将全面、系统地介绍向量法求面面角正负判定的相关内容，为读者提供理论基础和实际应用的指导。

高考数学专题：向量求二面角向量法求二面角大小的两种方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A-PM-C的正弦值．2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E-BF-C的正弦值．3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O-EF-C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值6、如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝π2，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．7、如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EF∥B1C；(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值．8、如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．答案：1、解：(1)如图，连接AC，BD，因为ABCD为菱形，则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知， BM→＝14BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14，0， 从而OM→＝OB →＋BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a >0，则AP→＝(－3，0，a )，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，a . 因为MP ⊥AP ，故MP →·AP→＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)， 即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，32，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，32，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，32. 设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AP →＝0，n 1·MP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，533，2. 由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155， sin 〈n 1，n 2〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－1552＝105， 故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105.2、(1)证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC→＝0. 从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)． 设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 大小为θ，且由题意知θ为锐角， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.3、．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，D 1(0，0，a )，F (a ，0，0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)因为AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0，0，a )， 所以|cos 〈AB 1→，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：因为BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a ，0，0)，FB 1→＝(0，a ，a )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧FB 1→·BB 1→＝0，FB 1→·BC →＝0，所以FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . 因为BB 1∩BC ＝B ， 所以FB 1⊥平面BCC 1B 1.(3)由(2)知，FB 1→为平面BCC 1B 1的一个法向量． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量， 因为CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a ，2a ，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎨⎧－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0.令y 1＝1，则n ＝(2，1，1)，所以||cos 〈FB 1→，n 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪FB 1→·n |FB 1→||n |＝33，因为二面角F -CC 1-B 为锐角， 所以二面角F -CC 1-B 的余弦值为33.4、解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)如图，过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ， 由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz . 由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°， 则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)． 由已知，AB ∥EF ， 所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3)．所以EC→＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0. 所以可取n ＝(3，0，－3)． 设m 是平面ABCD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)， 则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝－21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.5、解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1，1，0)，E (－1，－1，2)，F (0，0，2)，G (－1，0，0)．(1)证明：依题意，AD→＝(2，0，0)，AF →＝(1，－1，2)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎨⎧2x ＝0，x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，2，1)．又EG →＝(0，1，－2)，所以EG →·n 1＝0， 又因为直线EG ⊄平面ADF ， 所以EG ∥平面ADF .(2)易证，OA→＝(－1，1，0)为平面OEF 的一个法向量． 依题意，EF→＝(1，1，0)，CF →＝(－1，1，2)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·CF →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.不妨设x ＝1，可得n 2＝(1，－1，1)．因此cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以，二面角O -EF -C 的正弦值为33.(3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF→＝(1，－1，2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →||n 2|＝－721.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.6、解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)． (1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD→是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC→＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0. 令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP→＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB→＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝ (－λ，－1，2λ)，又DP→＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时， |cos 〈CQ→，DP →〉|的最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5， 所以BQ ＝25BP ＝255.7、解：(1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D .又A 1D ⊂平面A 1DE ，B 1C ⊄平面A 1DE ，于是B 1C ∥平面A 1DE . 又B 1C ⊂平面B 1CD 1，平面A 1DE ∩平面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C .(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD ，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为(0.5，0.5，1)．设面A 1DE 的法向量为n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝(0.5，0.5，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足方程组⎩⎨⎧0.5r 1＋0.5s 1＝0，s 1－t 1＝0，因为(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)．设面A 1B 1CD 的法向量为n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)，所以结合图形知二面角E -A 1D -B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63. 8、解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，得PC ⊥DE .由CE ＝2，CD ＝DE ＝2得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE .又PC ∩CD ＝C ，所以DE ⊥平面PCD .(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4.如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1.又EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.如图，以C 为坐标原点，分别以CA→，CB →，CP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)，ED →＝(1，－1，0)，DP →＝(－1，－1，3)，DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0. 设平面PAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP →＝0，n 1·DA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0， 故可取n 1＝(2，1，1)．由(1)可知，DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED→， 即n 2＝(1，－1，0)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝36， 故二面角A -PD -C 的余弦值为36.。