上海初三上数学专题训练之三角形一边的平行线性质定理及推论

18上海中学数学・202（）年第3期HPM视角下“三角形一边的平行线性质定理及推论”教学200040上海市市西初级中学王进敬摘要：笔者以问题串的形式.带领学生探讨平面几何中“三角形一边的平行线性质定理及推论”能否用“出入相补原理”证明.师生发现.一方面.“出入相补原理”可以从特殊到一般证明该定理，另一方面，《几何原本》命题1.43和VI.14可以看作由“出入相补原理”推导出的“容直容横原理”的一般情况.欧氏几何是用“面积比”证明该定理，“容直容横原理”是用积来解决，理论上两者异曲同工，但在计算技巧上，中国传统数学更胜一筹.关键词：出入相补原理；容直容横原理；三角形一边的平行线“出入相补原理”是我国传统数学的精髓.出入相补原理的文献研究很丰富.已有的教学设计有：面积公式的证明、平方根的求解、平方差公式的证明和勾股定理的证明，但还未发现有用出入相补原理证明“三角形一边的平行线性质定理及推论”的教学设计.“三角形一边的平行线性质定理及推论”承接了前面所学的平行线相关内容，并为接下来要学习的相似三角形奠定了基础，证明过程中体现了线面转化的数学思想.笔者结合相关文献进行研究，让学生感悟中西方证明方法虽不同.但有异曲同工之妙.体现了中西方古代数学不同的价值取向.笔者从所教学生的情况出发，结合教材制定了教学目标：（1）掌握三角形一边的平行线性质定理及其推论，能运用定理进行几何计算与证明.体验从特殊到一般的思考策略和类比、归纳方法的运用，领略运动观点、化归和分类讨论思想.（2）从《几何原本》和出入相补原理.即从中西两个角度出发，深刻理解三角形一边的平行线性质定理及其推论.体会两种思想中包含的线面转化的共性.（3）在定理及推论的应用中.体会出入相补原理的博大精深以及出入相补原理与欧氏几何的水乳交融.一、历史材料（—）《几何原本》命题命题卫.2如果一条直线平行于三角形的一条边.那么它所截得的边成比例；如果三角形的边被截成比例，那么通过两点的直线平行于三角形的第三边.如图1和图2.命题1.43在任意平行四边形中，对角线两边的平行四边形的补形面积相等，图3显示了补形或余形的情况.命题14在面积相等并等角的平行四边形中，夹等角的边对应成逆比例；等角平行四边形中,若夹等角的边成逆比例则它们的面积相等，如图4.图3（二）出入相补原理魏晋时期数学家刘徽在公元263年作《九章算术注》时，针对“勾股术”曾作了如下解释：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之無.开方除之，即弦也.”这就是“出入相补”四个字的由来.吴文俊教授在他的著作《出入相补原理》一书中给出了“出入相补”的完整表述：一个平面图形从一处移至他处.面积不变；如果把图形分割成若干块.那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和与差有简单的相等关系.对立体图形的体积.这条事实也成立.也可以这样说.出入相补原理中，“出”意味着面积（或体积）减少.“入”意味着面积（或体积）增加；出入相补，即面 积（体积）间的和差关系不变.出入相补原理也称为割补原理或等积变换原理.出入相补的英文翻译为"In—and—Out Complementary Principle",简称为上海中学数学•202（）年第3期19IOCP.南宋数学家杨辉归纳的“容直容横原理”可以解决有关线段比例的问题，就源于出入相补原理.如图5,设O是矩形ABCD对角线上一点，过O分别作一组邻边的平行线PQ、RS,可知S/XCDA=S a CBA，S^OCS=S^OCQ,S^CUP=S ACM R，依据出入相补原理可知SguSoB，所以OS•OP=OQ•OR或写成图5OF=OROQ~OS'杨辉将SoouSe概括为：将一个长方形斜解为二勾股形，二勾股形所容的弦上有一个公共顶点的两长方形，其面积相等，这两个长方形一个横着，一个竖着，故称为“容直容横原理”.沪教版九年级数学教材第56页阅读材料二称其为出入相补原理.出入相补是中国古代几何中最基本的原理之一，已成为解释中国古代许多几何疑难问题的“金钥匙”,在中国古代数学中占据核心地位.古代数学家运用出入相补原理在平面多边形的面积理论、勾股定理、解勾股形（相似形）问题、开平方（立方）、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.二、教学设计与实施（—）文本解读“三角形一边的平行线性质定理”的文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线.截得的对应线段成比例.生1：根据文字语言，可以画出三种描述这个定理的图形，如图6所示，但图6（1）和图6（3）可以看作一种情况.(1)(2)⑶图6（二）问题解决在问题解决中深刻理解“三角形一边的平行线性质定理”，感受此定理的博大精深与中西数学的水乳交融.问题1对“三角形一边的平行线性质定理”本身的描述，应该包含两个图（如图7和图8所示），一个“A字型”，一个“8字型”，都是直观视觉下的命名.《几何原本》中只有“A字型”.那么用欧氏面积的方法，这两个图都可以证明吗？生1：联结BE.CD即可证明.由静到动.由特殊到一般过程中体现了思维的不变性.生2：将“A字型”看作第一问，“8字型”看作第二问.用第一问的结论和旋转全等方法解决.生3：像教材上一样.通过作平行线将“8字型”转化为“A字型”来证明.问题2“三角形一边的平行线性质定理”的描述中，并没有涉及截线段DE与三角形的第三边BC 的比，參的值和前面的比例线段有什么关系？生4：它在教材上被称作“三角形一边的平行线性质定理推论”，描述为三角形一边的平行线性质定理推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线.截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.即誌BF=AEBC~ACADAB'问题3出入相补原理是否可以证明“三角形一边的平行线性质定理及推论”？生5：在阅读材料中，由出入相补原理得到的“容直容横原理”，易得结论如图9,S8=S ob，所以OS-OP=OQ-OR或写成聚=胖，等量代换得sc命=洙.明显地，“容直容横原理”的结论是推论中的“8字型”特例.但这与欧氏几何得到的定理结论不一致.师：能否下定论，出入相补原理无法证明三角形一边的平行线性质定理呢？生6：如图10,S qd=S ob，所以ac=bd，即=ar*21_2I J22才，得务=齐根据等比性质得务壬务=齐所以Vc2+d2__c_d g|]OC=OS=QC府+严a'OA~OR~QB'生7：上述过程将前面学到的等比性质、勾股定理等重要内容都融入其中，将图形进行分割，还包含了欧氏几何中的两个基本图形（如图11和图12所示），但它只是在直角三角形中成立.20上海中学数学•2020年第3期OQ_CO_CQ AB~CA~CB图11OC=OS=SCOA~OR~AR图12A生8：图11、图12可以补成图10来证明.阅读材料中称之为“一次测望术”.问题4虽然“出入相补原理”可以一图多含，但是它的应用范围却是在特殊的直角三角形中，这A 图18种证明方法可否用在一般的三角形中呢？生9：可以.方法1：因为三角形中的特殊线段——高，会把任意三角形分成两个直角三角形，如图13、图14、图15给出了“A字型”中，运用两次出入相补.将直角三角形中的比例式转化为一般三角形中的比例式.“8字型”同理可行.体现了“化斜为直”.AB H C图15方法2：按照“出入相补”的构图过程，还可以用如图16-图17〜图18的过程解决.体现了思维的“更进一步”.这种方法就是《几何原本》中的命题［. 43,仿照的都是“出入相补”的构图过程.体现了过程性方法与结论性方法并重.学生感受到中西证法的水乳交融.方法3：在学生的讨论中，还得到本方法.即按照如图16—图17-*图19的过程解决.学生体会到变化角度思考的乐趣.共性：只要将要求证的线段平移到平行四边形的边上即可.图19问题5根据上述过程.出入相补原理可以证明一般三角形一边的平行线性质定理和推论，那么在问题3证明直角三角形一边的平行线性质定理时，能否不用勾股定理.只用出入相补就得到结论？生10：我发现，要证明截得的对应边成比例，只要将所要证明的比例式平移成为三角形或者平行四边形的边即可，因此可以两次岀入相补证明结论（如图20所示）.图20问题6根据问题解决，欧氏几何和出入相补原理在证明“三角形一边的平行线性质定理及其推论”中有何异同？它们之间有怎样的关系？生11：共性与个性的关系.都以面积为媒介，将平行位置关系与比例式进行转化.体现的都是平行线或垂线的作用•融合了从特殊到一般、从静态到动态、图形运动等方法.体现了类比、化归、分类讨论和一题多解等思想方法，都强调了过程性方法和结论性方法要并重.中西证法互相渗透，水乳交融.生12：《几何原本》命题I.43和VI.14,可以看作“容直容横原理”的一般情况.生13：《几何原本》命题VI.2只给出了“A字型”定理证明，并未涉及“8字型”及推论，但出入相补图上海中学数学•2020年第3期21将这三部分都包含了，从这个角度来讲，出入相补原理更全面地阐释了这一知识.生14：欧氏几何在该定理的证明中，从最简单、最常见的图形入手，然后由静到动，在同一思维方法下得到不同的情况及推论，或以前一定理为基础.演绎出更多的定理，即推论.所谓动态过程中思维的一致性.体现的是完美的演绎推理.问题7中西证法为什么都想到用面积来证明“三角形一边的平行线性质定理”？这与用面积证明勾股定理存在必然的的联系吗？生15：如果说在勾股定理中，从a到川是从一维到两维，从线段到面积.那么平行线推比例式的过程是从线段到线段成比例，根据比例的基本性质，也是思考两条线段的乘积之间的关系，正是矩形面积的表示形式.（三）推论应用问题8阅读材料中提到，刘徽对“重差术”公式所作的自注已失传，根据“容直容横原理”,你能将其复原吗？另外，你能从欧氏几何的角度求解这个式子吗？生16：阅读材料中说“重差术”需要用两次表或矩重复测量•并以两次测量数据的差进行计算.故称之为重差，图21可以很简单地解释上述公式.设表高BC=DE=a,表间BD=CE=b.南表影长BF=CO=Sl，北表影长DG=ER=s2.设南表到南殿AH=H.根据出入相补原理,S^qp=S ekhd，S（x）NM=S q k HB（重），得S erqp—Sa）NM=S ek HD~S ckhb=S bcbd （差），得ab=（H—a）（S2—s】），即H=n •ha.或者I(H~a)•s2=a•(.r+6)I(H~a)•5i=a•.r•上式减去下式即可得到H=+a,代入下式即得.r.图21问题9出入相补原理最早出现在中国的什么时期？我们所学的什么知识中用到了这一知识？它与欧氏几何的思想有怎样的共鸣？（这个问题用4分钟视频讲解）问题1（）欧几里得和中国传统数学都可以从多方面解决“三角形一边的平行线性质定理和推论”,但是除了欧几里得在“A字型”中给出了完整的证明，余形（补形）和“容直容横原理”中只给到“面积相等”的结论.他们为什么不将这条路一直进行到线段的比呢？是他们想不到吗？生17：我认为不是他们想不到，可能是他们认为没有必要.从这一知识的应用来看，完全体现出中国数学的价值取向是以现实应用为出发点，因此只要“二积皆同”就可以解决现实的高远问题.如果需要测斜边，还有勾股定理保障.没必要建立一种更复杂的逻辑体系.笔者执教的班级经常运用数学史上课，课后班级中的29位学生都完成了本节课的问卷调查，数据分析如下.关于杨辉向刘徽学习的故事，学生都欣赏杨辉的品质，认为：只有静下心来揣摩前人的做法，才能领悟到知识的深层内涵；只有放下自我，才能融入别人的思想•虚心向古人学习的同时还能反思自己；不只是知道公式，还要弄清楚公式的来源；坚持不懈，十年如一日才能有非凡成就.关于数学史融入课堂的方式，有19位学生（占65.5%）认为：应该在正课中用数学史，这样不仅有知识传授.还有思维方法、数学思想和故事的融入，比较全面.因为数学的学习不只是做题、考试、传授知识和技能，更应该培养学习主动性，发展抽象归纳能力和理解能力.有10位学生（占34.5%）认为数学史可以作为拓展资料来阅读.或者安排数学史讲座，这样没有压力，也与考试不冲突.没有学生认为数学史可有可无.关于用欧氏几何的方法推导“重差术”，学生大部分还是画了“出入相补”来推导.可见并未理解笔者的用意，但还是理解了“出入相补”.只有个别学生用两个“A字型”构造比例式解决问题.中西方法融会贯通.关于如何提升“出入相补原理”在数学教学中的地位，学生认为：“出入相补”受到轻视是因为中国本身的数学文化没有很好地发扬.作为对中国古代数学有了解的当代中学生，应该提高对自身的要求.以发扬中国传统数学文化为己任.将其传承下去.学生说，如果教师都尽力推广“出入相补”.让每位学生深入了解.慢慢地，西方人也就会了解并接受.还有学生说.应该将“出入相补”正式编入教材，而非仅仅作为阅读材料.降低考试中对证明过程的书写要求，放入以应用性为主的开放题.作为压轴题.如果每周能（下转第24页）24上海中学数学・2020年第3期受启发于引申1、引申2,将，•视作常量•将y视作变量，即将其视作一元方程有解问题•即存在,r>0,使关于y的方程.r2y+（k2—^.r）j/+.r=o有正数解.理论上，正数解的情况有以下三种可能：（l）y=j/2>0，（2）｛_yi>0•>0y\工刃，（3）L i>0;但是结合方程系」2冬0数发现:>l>2=Y>0恒成立，所以实际上.正数解的情况只有前两种可能.概括起来.即只需满足：存在.r>0,使Q0y\+>2>0成立.由宀>0,得宁>0,因为l.r>0心〉心0所以点>0.此时.存在.r>0,使.r〉怡成立，所以&可以取遍大于0的所有值；由A^O,得（护一虹）2—丄”、，所以hr—段$2.吕.此丸z——上〉0时.存在：r>0,使之成立，所以於M（虹一2壮）_.对函数y=k.c~2.A,.r>0（常数Q0）求导后，根据它的单调性.求得其在,r=y时取得最大值算.所以实数©的取值范围是[27,+oo）.评注：对上述三个引申，笔者从不等式、函数、方程这三个方面进行了探究，虽然提出的问题和给出的解法有一定的特殊性，但是其中所体现的“二元问题视一元”的思想具有普遍意义和借鉴价值.（上接第21页）开设一节相关的数学史公开课或者专题讲座，或制作一系列相关视频，就能将其更好地传承下去.学生感受到中国数学的研究是由实际问题出发的，其中解决问题的方法比西方数学更为巧妙全面.学生说:“在很早之前就接触过'三角形一边的平行线性质定理及推理’，但从不知道这个定理背后的历史，更想不到还能用出入相补来证明.让我对中国古代数学佩服不已，感受到中西数学交融的神奇.”可见，中西思维碰撞可能会产生更多新的方法.笔者曾经在配方法、分式方程的解法、勾股定理中讲解过出入相补.它竟然还能证明“三角形一边的平行线性质及推论”.学生还说：“生活中两件看似无关的事情，或许其中一件事是解决另一件事的关键，希望老师课上多讲东方的方法，少讲些西方的方法，因为西方的方法在外面补课也可以学，而东方的方法在外面学不到.一开始我认为这节课没什么.后来才感受到从•一次测望'到'重差术'竟然可以用在很多地方.这节课的收获超乎我的想象.我不仅吃透了这个定理，还真正感受到了数学带给我的震撼.”四、感悟（一）知识之谐与探究之乐欧氏几何是从一个简单的结论出发，一个个推导出其他的结论.体现出《几何原本》完美的逻辑；但出入相补并没有定理.也说明中国几何解题本身融合了几何定理的求证和几何问题的求解.通过问题串.教师将“一次测望”之法成功过渡到“二次测望”，学生因此理解了“重差术”的根本.学生通过从特殊到一般，提出“化斜为直”、“更进一步”等词语.将整个问题融会贯通.学生探究问题的乐趣正蕴含在上述过程之中.（二）方法之美与能力之助“容直容横原理”体现了出入相补原理的神奇.在解题过程中，欧氏几何可以说是用结论作为解题的方法.可称为结论性方法；而出入相补是过程性方法，可谓不证自明，它并非公理，也不是证明的起点，而是证明的工具.（三）文化之魅与德育之效中西方证明该定理的方法不同，体现出中西古代数学价值取向的不同.在中国文化中，数学的价值观念是技艺实用，即注重数学知识的应用，以实际为研究对象并以服务实际为目的，而非理性思辨.而西方数学以用数学解释一切为价值取向，崇尚理性，偏爱逻辑之美.因此.以《几何原本》为代表的西方数学表现出注重逻辑演绎、理性思辨的特点.取向的不同体现了中西传统文化的不同，该定理的证明还体现了中西数学的殊途同归，而这种现象值得后续学习和研究借鉴，将中西数学思想方法并重，形成海纳百川、兼容并包的思想意识.参考文献[1]张苍等.九章算术[M].重庆：重庆出版社,2016.[2]欧儿里得.几何原本[M].西安：陕西科学技术出版社，2003.[3]吴文俊.中国数学史大系[M].北京：北京师范大学出版社，1998.[4]吴文俊.九章算术与刘徽[M].北京：北京师范大学出版社.1982.[5]刘芳芳.出人相补原理的历史及教学应用[D].山西师范大学.2014.[6]Frank J.Swetz.袁向东•姚景齐.相似性还是“出入相补原理”：一则文化上的误解[J].数学译林，2012（3）：258-263.。

24.3 三角形一边的平行线-性质定理一、单选题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若23ADDB=，则AEEC等于( )A．13B．25C．23D．35【答案】C【解析】试题解析：：∵DE∥BC，∴23 AE ADEC DB==，故选C．考点：平行线分线段成比例．2．ABC中，直线DE交AB于D，交AC于点E，那么能推出DE//BC的条件是（）A．AD CEDB AE=B．AD DEAB BC=C．AB ACAD AE=D．AD AEAB EC=【答案】C【解析】作出图像证明△ABC∽△ADE即可解题.解：见下图,当AB AC AD AE=时,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,作出图像,熟悉相似三角形的判定方法是解题关键.3．已知线段a、b、c，求作线段abxc=，下列作法中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．由A得，a bc x=，则x＝bca，A错误；由B 得，b a c x=，则x ＝ac b ，B 错误； 由C 得，b x a c=，则x ＝bc a ，C 错误； 由D 得，c b a x =，则x ＝ab c ，D 正确. 故选：D ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．4．如图，AB∥CD ，AD 与BC 交于点O ，则下列比例式中正确的是（ ）A ．OC OA OD OB = B ．OC OD AD BC = C ．OC OA BC AD = D ．BC AD OB OA= 【答案】D【解析】利用//,AB CD 得到对应线段成比例，再逐一分析即可得到答案．【详解】解：//,AB CD,OA OB OD OC∴= 故A 错误； //,AB CD,OD OC AD BC∴= 故B 错误； //,AB CD,OD OC AD BC∴=故C 错误； //,AB CDBC AD OB OA∴=，故D 正确， 故选.D【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．5．如图，已知直线a∥b∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则DE EF=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1【答案】A【解析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理进行分析即可求解．【详解】解：∵a//b//c ， ∴DE EF =12AB BC =．故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．注意掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6．如图，已知：AB、CD相交于点O，由下列哪一组条件可以推出AC∥BD（）A．23AOOB=，23DOOC=B．22,33AO ACOB DB==C．22,53AO COAB DO==D．22,55AC CODB CD==【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例的性质解答即可．【详解】解：由AO OC ACOB OD DB==，才能得出AC∥DB，A、AOOB=DOOC，不能得出AC∥DB，错误；B、AO ACOB DB=，不能得出AC∥DB，错误；C、∵25AOAB=，∴23AOBO=，∴23AO COBO DO==，又∵∠AOC=∠BOD ∴△AOC∽△BOD ∴∠C=∠D∴AC∥DB ，正确；D 、AC CO DB CD=，不能得出AC∥DB ，错误； 故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．7．如图，DE∥BC ，DF∥AC ，则下列比例式中正确的是（ ）A ．AE DF EC BC= B ．AE CF EC FB = C ．DE DF BC AC = D ．FC EC BC AC = 【答案】B【解析】根据平行线所截线段成比例直接判断即可．【详解】 如图：////DE BC DF AC ，∴AE AD EC BD =，BD BF AD FC=∴AE AD CF EC BD FB== ∴只有B 选项符合，A 、C 、D 都错误．故选B ．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可．8．如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点H ，且2AH =，1HB =，5BC =，则DE EF 的值为（ ）A ．12B ．2C ．35D ．25【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵2AH =，1HB =，5BC =∴AB=AH ＋HB=3∵123////l l l ∴DE AB 3EF BC 5==故选C．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．9．如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则DMNS：S四边形MFCE等于（）A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7【答案】B【解析】过N作NH△DE于H，过A作AP△BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝12PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．【详解】解：过N作NH△DE于H，过A作AP△BC于P交DE于G，∴NM∥AG，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴AG＝PG，∵M是DE的中点，∴DM＝ME＝12 DE，∵NM∥AG，AN＝DN，∴NMAG＝DNAD＝12，∴NM＝12AG＝12PG，∵DM＝ME，∴S△DMN：S四边形MFCE＝12DM NHEM PG⋅⋅＝122DM NHDM NM⋅⋅＝1：4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．10．如图，已知点D、E、F分别在ABC的边AB、BC、AC上，连接DE、EF、DF，//DE AC，//EF AB，则下列结论错误的是（）A．BD BEAD EC=B．EF CFAB CA=C．AD BDAF CF=D．DE ACBD AB=【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例依次判断可求解．【详解】解：∵DE∥AC，∴BD：AD=BE：EC，A正确；∵EF//AB，∴EF：AB=CF：CA，B正确；∵DF∥BC不一定成立，∴AD：AF=BD：CF不一定成立，C错误；∵DE//AC，∴DE：AC=BD：AB，∴DE：BD=AC：AB，D正确；故选C．【点睛】本题考查平行线分线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．EF BC，点D是BC边上的点，AD 11．如图，已知点E、F分别是ABC的边AB、AC的点，且//与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（）A．AE AHAB AD=B．AE EHAB HF=C．AE EFAB BC=D．AE HFAB CD=【答案】B【解析】利用平行线分线段成比例定理即可一一判断．【详解】解：∵EF∥BC，∴AE AHAB AD=，AE EHAB BD=，AE EFAB BC=，AE HFAB CD=，∴选项A，C，D正确，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①ANCN＝AMAB；②AD DM ＝AMMB；③AMMB＝ANCN；④ADAM＝ANAC.其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】 ①∵MN ∥ BC ，∴ AN ：CN = AM ：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC ，∴ AD ：DM = AN ：NC ，再由（1）得 AD ：DM = AM ：BM ，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C ．点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．二、填空题13．如图，已知AE BC ∥，AC 、BE 交于点D ，若23AD DC =，则DE BE=______．【答案】25【解析】由AE∥BC 可知△AED∽△CBD ，从而可求得DE BD ＝23，然后即可求得DE BE的值． 【详解】解：∵AE∥BC ，∴△AED∽△CBD ， ∴AD DE DC BD=， ∴DE BD ＝23，∴DE BE ＝25， 故答案为：25 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．14．如图，////,::2:3:4DE FG BC AD DF FB =，如果4EG =，那么AC =________．【答案】12【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE 、GC 的长，计算即可．【详解】∵DE∥FG∥BC ，∴AE ：EG ：GC=AD ：DF ：FB=2：3：4，∵EG=4，816,33AE GC ∴==， 12AC AE EG GC ∴=++=．故答案为：12．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．如图，已知AE CF EB FD =，则AB EB =______，AE CF =______，AE AB=______，AB CD =______．【答案】CDFDEBFDCFCDAECF或EBFD【解析】根据AE CFEB FD=，可知AC∥EF∥BD，然后根据平行线分线段成比例定理解答即可.【详解】∵AE CF EB FD=，∴AC∥EF∥BD，∴ABEB=CDFD，AECF=EBFD，AEAB=CFCD，ABCD=AECF或EBFD.故答案为：CDFD，EBFD，CFCD，AECF或EBFD.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.16．如图，AB∥CD∥EF，若12=ACCE，则BDDF_____．【答案】12．【解析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；【详解】解：∵AB∥CD∥EF ， ∴BD AC DF CF=， ∵12=AC CE ， ∴12BD DF =， 故答案为12BD DF =． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，已知//DE BC ，:3:2BF EF =，则:AC AE =______，:AD DB =______.【答案】3:2 ， 2:1【解析】由//DE BC ，则有32BF BC EF DE ==，又//DE BC ，得32BC AC AB DE AE AD ===，即可得到21AD DB =. 【详解】解：∵//DE BC ，∴32BF FC BC AE AD EF DF DE EC DB====，， ∴32AC BC AE DE ==， 设=3x =2x =x AC AE EC ，则， ∴2x 2x 1AE EC ==， 故答案为：3:2，2:1.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟记平行线分线段成比例的性质，以及合比性质等.18．如图，已知//a b ，35AF BF =，3BC CD=，则:AE EC =______.【答案】125【解析】由//a b ，可得3=5AF AG AE AG BF BD EC CD ==，，由3BC CD =，可得=4BD CD ，然后根据等量代换得3=45AG CD ，然后即可得到125AE EC =. 【详解】解：∵//a b ， ∴3=5AF AG AE AG BF BD EC CD==，， ∵3BC CD =，∴3BC CD =，∴=4BD CD ， ∴3=45AG CD ， ∴=125AG CD ， ∴12=5AE AG EC CD =， 故答案为：125. 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是求出=125AG CD ，注意等量代换和数形结合思想的应用． 19．如图，在△ABC 中，点D 为AC 上一点，且12CD AD =，过点D 作DE∥BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作DF∥CE 交AB 于点F ．若AB=15，则EF=___________．【答案】103【解析】∵DE∥BC ，∴=， ∵=， ∴=，即=，∵AB=15，∴AE=10，∵DF∥CE，∴=，即=，解得：AF=203，则EF=AE﹣AF=10﹣=，故答案是：10 320．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则CDAB的值是_____．【答案】1 3【解析】【解析】先利用AB∥EF得到CE CFEA BF=，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根据定理可即求出CDAB的值．【详解】∵AB∥EF，∴CE CF EA BF=，∵CE=4，CF=3，AE=BC，∴433EA AE=-，解得AE=12，∵AB∥CD，∴41123 CD CEAB AE===．故答案为1 3 .【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握是解题的关键.21．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_____．【答案】6【解析】利用平行线分线段长比例定理得到AF AEFD EC==1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=12CD=12BD，再利用EF∥BD得到12FG EFDG BD==，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴AF AEFD EC=＝1，即AF＝FD，∴EF 为△ADC 的中位线，∴EF ＝12CD ， ∴EF ＝12BD ， ∵EF∥BD ， ∴12FG EF DG BD ==， ∴DG ＝2FG ＝2，∴FD ＝2+1＝3，∴AD ＝2FD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形中位线性质和平行线分线段成比例定理．22．如图，在ABC 中，AB AC =2BC =．在BC 边上有100个不同的点1P ，2P ，3P ，¨¨¨¨，100P ，过这100个点分别作ABC 的内接矩形1111PE FG ，2222PE F G ，¨¨¨¨，100100100100P E F G ，设每个矩形的周长分别为1L ，2L ，¨¨¨¨，100L ，则12L L ++¨¨¨¨100L +=________．【答案】400【解析】首先过点A 作AH△BC 于H ，由BC=2，可求得BH 的长，由勾股定理可求得AH 的长，又由四边形P 1E 1F 1G 1是矩形，可得E 1P 1=F 1G 1，E 1F 1=P 1G 1，E 1P 1△BC ，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得E 1P 1=2BP 1，F 1G 1=2CG 1，则可求得L 1的值，同理可求得L 2，……，L 100的值，继而求得答案．【详解】过点A 作AH△BC 于H ，BC=2． ∴BH=12BC=1，，∵四边形P 1E 1F 1G 1是矩形，∴E 1P 1=F 1G 1，E 1F 1=P 1G 1，E 1P 1△BC ，∴E 1P 1∥AH ， ∴111E P BP AH BH ＝，即11121E P BP ＝， ∴E 1P 1=2BP 1，同理：F 1G 1=2CG 1，∴矩形P 1E 1F 1G 1的周长为：E 1P 1+E 1F 1+P 1G 1+F 1G 1=2P 1G 1+2BP 1+2CG 1=2（P 1G 1+BP 1+CG 1）=2BC=4， ∴L 1=4，同理：L2=L3=…=L100=4，∴L1+L2+……+L100=4×100=400．故答案为400．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．三、解答题23．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD和DB 的长．【答案】AD和DB的长分别为6和9【解析】首先由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AE：EC=2：3=AD：BD，设AD=2k，BD=3k，再根据DB-AD=3，可得AD和DB的值．【详解】解：∵DE∥BC∴ AE：EC=2：3=AD：BD设AD=2k，BD=3k，则k=3∴AD=6，BD=9【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意线段的对应关系．24．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）AGAF；（2）AC的长．【答案】（1）23；（2）152【解析】（1）由于DE∥BC，AD=2BD，23ADAB=根据平行线分线段成比例定理可得23AG ADAF AB==；（2）同（1），易求23AEAC=，而AE=5，从而可求AC．【详解】解：（1）∵DE∥BC，且AD=2BD∴23 AG ADAF AB==（2）∵DE∥BC，且AD=2BD∴23 AE AD AC AB==∵AE=5∴AC=15 2【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．25．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．【答案】EC的长为425．【解析】根据AD∥EB∥FC，由平行线分线段成比例可得EC：AC= BF：DF，代入数据计算即可．【详解】∵AD∥EB∥FC，∴EC：AC= BF：DF，∴EC：12=7：10，∴EC=425．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．26．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．求证：DE∥BC【答案】证明过程见解析【解析】由FE∥CD，可得AF AEAD AC=，由AD是线段AF与AB的比例中项，可得AF ADAD AB=，进而可得AD AEAB AC=，可得结论．【详解】∵FE∥CD，∴AF AE AD AC=，∵AD是线段AF与AB的比例中项，∴AF AD AD AB=，∴AD AE AB AC=，∴DE∥BC．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，根据平行判断成比例线段是解题的关键．27．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD ∥． ∴GF DF CF BF =，CF DF EF BF= ∴GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.28．如图，B 、C 、D 、N 分别是⊿AMO 边AO 、MO 上的点，MC∥ND ，OB OD AB CD=，求证：NB∥MA【答案】证明过程见解析【解析】利用平行线分线段成比例就可解决问题．【详解】解：∵MC∥ND∴OD ON CD MN=∵ OB OD AB CD=∴OB ON AB MN=∴NB∥MA【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．29．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，23DEEF=，AC=10．（1）求AB，BC的长；（2）如果AD=7，CF=12，求BE的长．【答案】（1）AB=4，BC=6；（2）BE=9【解析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出23AB DEBC EF==，即可求出AB的长，得出BC的长；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．【详解】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴23 AB DEBC EF==，∴25 ABAC=，∵AC=10，∴AB=4，∴BC=10﹣4=6；（2）如图所示：过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=12，∴CG=12﹣7=5，∵BE∥CF，∴BH AB CG AC=， ∴BH=2，∴BE=2+7=9．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．30．如图(1)，123////l l l ，直线AB 和CH 交于点O ，分别交2l 于D 、E 两点，已知6CE =，3HE =，12AB =.(1)尝试探究：在图(1)中，求DB 和AD 的长；(2)类比延伸：平移AB 使得A 与H 重合，如图(2)所示，过点D 作//DF AC ，若5DE =，求线段BF 的长；(3)拓展迁移：如图(3)，若ABC 的面积是10，点D 、E 分别位于AB 、CA 上，//DE BC ，点F 在BC 上且2BF =，3CF =，如果CBE △的面积和四边形FCED 的面积相等，求这个相等的面积.【答案】(1)DB=8；4=AD ；(2)10BF =；(3)6CBE S =.【解析】(1)根据123////l l l ，可得到AD HE AB HC=,再利用已知条件6CE =，3HE =，12AB =.容易求出AD ，BD 的长；（2）当AC 移至与HC 重合时，利用//DF AC 可得BF BD FC AD=,根据(1)中求得的AD 、BD 的值，即可求出线段BF 的长； （3）要求BCE S 的值，就需要求出CE AC．利用CBE △的面积和四边形FCED 的面积相等可得BEF DEF S S =，再推导出四边形BFED 是一个平行四边形，然后由//EF BD 及题中的已知条件得到3=2CE CF AC BC =，这样就可以得到BEC △与ABC 的面积之比，从而可以解决此题的问题．【详解】【解】(1)∵123////l l l ， ∴AD HE AB HC =，即31236AD =+， ∴4=AD ，∴–1248DB AB AD ==-=.(2)∵平移AB 使得A 与H 重合，∴8BD =，4=AD .∵//DF AC ，//DE CF ，∴四边形DECF 为平行四边形，∴5DE CF ==.∵//DF AC ，∴BF BD FC AD= 即854BF =，∴10BF =. (3)∵CBE △的面积和四边形FCED 的面积相等，BEF CEF CEF DEF S S S S ∆∆∆+=+，∴BEF DEFS S =，∴DE BF =，又∵//DE BF ， ∴四边形BDEF 为平行四边形，//EF BD ，∴32CE CFAE FB==，35CBEABCSS=，31065CBES=⨯=，即这个相等的面积为6.【点睛】本题运用到的知识点有：平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定及性质，为由边之间关系转化到计算面积，还需要运用的知识是底在同一直线的两个等高的三角形面积之比等于底之比的性质．。

知识精要1、三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的 对应线段成比例。

2、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例.3、三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这 条直线平行于三角形的第三边。

4、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第 三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于 三角形的第三边。

热身练习1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（ B ）A. ΔABC 放大后是原来的2倍B. ΔABC 放大后周长是原来的2倍C. ΔABC 放大后面积是原来的2倍D. 以上的命题都不对2．边长为a 的等边三角形被平行于一边的直线分成等积的两部分，则截得的梯形一底的长为（ C ） A. 12 a B. 2 a C. 2 2 a D. 23aC（第3题） （第4题）4．如图，已知，平行四边形ABCD ，CE ＝12BC ，S △AFD ＝16cm 2 ， 则S △CEF ＝ 4cm 2 ，平行四边AC FEB D形ABCD的面积48cm2。

5．在△ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距离为 2 。

6．如图，四边形DECF为菱形，AC=15，BC=10，则菱形的周长是24(6题图)7．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，则CF的长为____2______.8.如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、EC的中点.则PQ：BC等于（1:2 ）9. 在△ABC中，中线BE与中线CD交于G点，若M为BE的中点，N为CD的中点，求：S△MNG：S△EDG解：1:4精解名题解：过点E作EH平行于AB，FE:ED=2:1解：过B点作BG平行于AC交AE于点H，BE:EC=1：3解：过点M作BC的平行线分别交AE、AF于点O、PBG:GH:HM=5:3：2证明：左右两边同时乘以EF,1=+=+BDBFBD FD CD EF AB EF例5、如图、已知△ABC ，一条直线与△ABC 的三边BC 、CA 、AB （或其延长线）相较于D 、E 、F 三点 求证：1=⋅⋅EACEDC BD FB AF 解：过C 作CG//AB 交DF 于点G 所以CG BF DC BD =且AFCGEA CE =例6、如图，在△ABC 中，3,120===∠AC AB A,E 为BC 上任意一点，AB EP ⊥于P ，过E 做BA 的平行线交AC 于F ，设BP=x ,四边形APEF 的面积为y （1）写出y 与x 的函数关系式 （2）x 取何值时，四边形APEF 的面积为398 解：（3）当例7、如图，D 、E 分别为△ABC 的AB 和AC 上的点，且BC 的延长线交DE 的延长线于F 点，且ABACEF DF =,求证：BD=EC证明：过E 做EG//AB 交BC 于点G∴EG BD EF DF =,EG CEAB AC =∵AB AC EF DF = ∴EGCE EG BD = 所以BD=EC 例8、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，在AD 上截取FD AF 21=,EF 交AC 于点G 求：ACAG的值 解：1:5巩固练习1. 已知AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O ，AC:BD=2：3，AO=1.2，DO=2.25，则AB= 3 ，CD=3.75 . 2.直角三角形两直角边分别为3厘米和4厘米，则垂心到重心的距离是 5/3 。

一、知识要点：1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，（2）（1）DCBADCBA如图（1）：ABD ADCSBDSDC=如图（2）：若A D ∥BC,则ADC ABCS ADSBC=2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。

如图（1），若D E ∥BC ，则ADAE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CEAB AC = 如图（2），若D E ∥BC ，则ABAC AEAD =或AB AC EB DC =或EA DAEB DC= EDE（2）（1）CBADC BA3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则AD DE AEAB BC AC==; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则AB BC ACAE DE AD==.EDE（2）（1）CBADC BA小试牛刀： 选择题1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（ ）A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立B 、利用平行线性质C 、利用三角形全等D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则AC=____________3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5厘米，则AC=_______厘米。

三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A ”字型和“X ”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一 三角形一边的平行线性质定理知识精讲- 2 -【例1】如图，在ABC ∆中，15AB =，10AC =，//DE BC ，6BD =，求CE ． 【答案】4．【解析】BD CEAB AC =，代入可得：=4CE ． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边到窗下的墙角距离8.7CE =米，窗口 1.8AB =米，求窗口底边离地面的高BC ．【难度】★ 【答案】5.8m ．【解析】射入的光线平行，则有AB DEAC CE=，代入可求得： 5.8AC m =，4BC AC AB m =-=． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用， 在路灯、太阳光线中经常用到．【例3】在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，//DE BC ，若:2:3AD AB =，12EC =厘米，则AC =．【答案】7.2cm ．【解析】由//DE BC ，可得23AE AD AC AB ==，故53EC AC =，代入求得7.2AC cm =． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．例题解析【例4】如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【答案】2cm ． 【解析】//DE BC ，35AE AD AC AB ∴==． 由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又//DE BC ，EDC DCB ∴∠=∠． 又CD 平分ACB ∠， ECD DCB ∴∠=∠． ECD EDC ∴∠=∠， 2DE CE cm ∴==．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．【例5】如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．【答案】16．【解析】2AE CE =，2133AE CE AC AC ∴==，． 又//DE BC ，//EF AB ，2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，， 四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，， ()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．- 4 -【例6】如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，点D 在直线AB 上，过点D 作//DE BC 交直线AC 与点E ．如果4BD =，求AE 的长．【答案】245或565．【解析】（1）D 在线段AB 上时，6AD AB BD =-=，由//DE BC ，可得：AD AE AB AC =，代入可得：245AE =； （2）D 在线段AB 延长线上时，14AD AB BD =+=， 由//DE BC ，可得：AD AE AB AC =，代入可得：565AE =； （3）D 在线段AB 反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．【例7】如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD BC ⊥于点D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC的垂线交AB 于点E ，:3:2BD DC =，则:BE EA =．【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC =，BF FC =，即得：32BF FD BF FD +=-，可得：51BF FD =． 又AD BC ⊥，EF BC ⊥， EF ∴//AD ，::5:1BE EA BF FD ∴==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．【例8】如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【答案】212OB =，6DF =．【解析】由////AB CD EF ，OA OBAC BD∴=． 代入可得：141221162OB ⨯==．同时根据比例的合比性，可得：OA AC OB BD AC BD ++=，即OC ODAC BD=， 又根据平行，可得：OC OD CE DF =， AC BDCE DF ∴=．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【答案】12．【解析】∵ECD 和BCD 为等高三角形， 故34ECD BCDS DE BCS==， 由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE 也为等边三角形，∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．- 6 -【例10】如图，P 为ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS =．【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ////AB CD AD BC ∴，， ////RB DI SD BQ ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PSPR PB PQ==， PQ PI PR PS ∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“X 字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交 AD 于点G ．求证：2BF FG EF =．【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ////AB CD AD BC ∴，， ////AB CE AG BC ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BFBF AF FG==， ∴2BF FG EF =．【总结】初步认识相似三角形中的“X 字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例12】如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）MD AMDC CN=；（2）MD EB ME DC =．【答案】略．【解析】证明：（1）AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，60ACM NCB AMC ∴∠=∠=∠=︒．∵点C 在线段AB 上，18060MCN ACM NCB AMC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠．//AM CN ∴，∴MD AMDC CN=． （2）同（1）易证得//CM BN ，则有ME MCEB NB =．AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，MC AM NB CN ∴==，，MD MEDC EB∴=， ∴MD EB ME DC =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X 字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，那么DE AD AEBC AB AC==．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．模块二：三角形一边的平行线性质定理推论知识精讲- 8 -【例15】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且//DE BC ． （1）如果2DE =，6BC =，3AD =，求AB 的长；（2）如果2DE =，6BC =，8BD =，求AD 、AB 的长；（3）如果35AD BD =，求DEBC的值． 【答案】（1）9；（2）412AD AB ==，；（3）38．【解析】（1）∵//DE BC ，13AD DE AB BC ==，9AB =； （2）∵//DE BC ，∴13AD DE AD BD BC ==+，∴4AD =，∴12AB AD BD =+=； （3）∵//DE BC ，∴33358DE AD BC AB ===+． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例16】如图，BE 、CF 是ABC ∆的中线，交于点G ．求证：12GE GF GB GC ==． 【答案】略．【解析】证明：过点F 作//FD BE 交AC 于点D ． F 是AB 中点，D ∴是AE 中点，故12DF AD BE AE ==， 又E 是AC 中点，//FD EG ，12GF DE GC CE ∴==，23EG CE FD CD ==，即()2132EG EG BG =+，整理得：12GE GF GB GC ==． 【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可．【例17】已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB =米．【答案】4．例题解析Da NbQx c P M x NaQc b P M c NxQa b PM c N bQa x PM 【解析】∵//AB CD ，∴22235CD DE AB BE ===+，∴4AB m =． 【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用．【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ；③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【答案】①③④． 【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先 增大后减小，故④成立．【总结】找准临界值，注意进行思维分析．【例19】已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc =的是C 选项． 【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．【例20】如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长．【答案】92EC =． 【解析】//DE BC ，25DE DF AE BC CF AC ∴===， 即3235EC =+，求得：92EC =． 【总结】相似三角形中“A 字型和“X 字型的综合应用，可得到相等比例关系式．- 10 -【例21】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==，由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =．【总结】初步认识相似三角形中的“X 字型．【例22】如图，在ABC ∆中，6BC =，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于 点H ，求GH 的长． 【答案】2．【解析】连结AG 并延长交BC 于点D ，根据重心的定义， 可知D 为BC 中点，则132DC BC ==，根据重心的性质，又//GH DC ，可得：23GH AG DC AD ==，求得2GH =． 【总结】考查三角形重心的性质．【例23】如图，已知////AB CD EF ．AB m =，CD n =，求EF 的长．（用m 、n 的代数式表示）．【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF ，则有EF CF EF BFAB BC CD BC==，， 即1EF EF m n +=，得mnEF m n =+．【总结】考查相似三角形中“X 字型的综合应用，得到比例关系．D【例24】如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．【答案】1:2．【解析】由//AF BC ，可得13AF AE BC EC ==，即13AF AD =， 故12AF FD =，由//AB DG ，可得：::1:2BF FG AF FD ==．【总结】考查相似三角形中“X 字型的综合应用，得到比例关系．【例25】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC 的值． 【答案】2:1．【解析】由12//l l ，得：25AG AF BD FB ==，又:4:1BC CD =， 可得21AG CD =，故::2:1AE EC AG CD ==． 【总结】考查相似三角形中“X 字型的综合应用，得到比例关系．【例26】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，且//EO BC ，已知3AD =，6BC =．求EO 的长．【答案】2．【解析】由//AD BC ，可得：3162AO AD CO BC ===， 故13AO AC =，由//EO BC ，13EO AO BC AC ==，求得2EO =．【总结】相似三角形中“A 字型和“X 字型的综合应用，可得到相等比例关系式．- 12 -MFEDCBA 【例27】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点，且//EF AD ，:1:2AE EB =，求EF 的长．【答案】113．【解析】过点A 作//AH DC 交BC 于H ，交EF 于G ，则有32CH FG AD BH ====，，又//EG BH ，可得：13EG AE BH AB ==，解得：23EG =，故113EF EG GF =+=．【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．【例28】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，:3:1BD DC =，G 为AD 的中点，联结BG 并延长AC 交于E ，求:EG GB 的值．【答案】1:7．【解析】过点D 作//DF BE 交AC 于F ．此时则有14DF CF DC BE CE BC ===，又G 为AD 中点， 根据平行可得：12GE DF =，故18GE BE =， 即18EG EG GB =+，可得:1:7EG GB =．【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本．【例29】已知点D 是ABC ∆的BC 边上的一点，13CD BC =，E 是AD 的中点，BE 的延长 线交AC 于F ，求:AF AC 的值． 【答案】2:5．【解析】过点D 作//DM BF 交AC 于点M ．∵13CD BC =，∴13CM CD CF BC ==， ∴12CM MF =．GHF又E 为AD 中点，//DM BF ， ∴F 为AM 中点，即AF FM =，∴:2:5AF FC =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案．【习题1】如图，在ABC ∆，//DE BC ，DE 与边AB 、AC 分别交于点D 、E ． （1）已知6AD =，8BD =，4AE =，求CE 、AC 的长；（2）已知:2:5AE AC =，10AB =，求AD 的长．【难度】★【答案】（1）162833AE CE ==，；（2）4． 【解析】（1）∵//DE BC ，∴AE AD CE DB =，∴163CE =； （2）∵//DE BC ，:2:5AE AC =，∴25AD AE AB AC ==，∴4AD =． 【总结】考查三角形一边平行线的性质．随堂检测- 14 -【习题2】如图，//EF AB ，//DE BC ，下列各式正确的是（）（A ）AD BF BD CF = （B ）AE CE ED BC =（C ）AE BD EC AD = （D ）AD AB ED BC =【难度】★ 【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可 知A 选项正确；B 、C 、D 错误．【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用．【习题3】如图，菱形ADEF 内接于ABC ∆，16AB =，14BC =，12AC =，求BE 的长． 【答案】8．【解析】根据三角形一边平行线的性质，DE BE EF CEAC BC AB BC==，， 即有1DE EF AC AB +=，可解得菱形边长487DE AD ==，故647BD AB AD =-=，BE BDBC BA=，∴8BE =．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用．【习题4】如图，P 是ABC ∆的中线AD 上一点，//PE AB ，//PF AC ．求证：BE CF =．【答案】略．【解析】证明：//PE AB ，//PF AC ，BE AP CF AP BD DA DC DA ∴==，， BE CF BD DC ∴=， 又BD CD =，BE CF ∴=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．【习题5】如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且:2:3AD AB =，求:EO EB 的值．GMDCBA【答案】2:5．【解析】由//DE BC ，可得23DE AD BC AB ==，则23EO DE BO BC ==，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB =．【总结】找准图形中的“A 字型和“X 字型进行比例线段的转化构造．【习题6】在ABC ∆中，AB AC =，如果中线BM 与高AD 相交于点G ，求AGAD ．【答案】23．【解析】AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．即D 为BC 中点，M 为AC 中点，G ∴为ABC ∆重心，23AG AD ∴=． 【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．【习题7】如图ABC ∆，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 平分ABC ∠，//DE BA ．如果24CE =， 26AE =，45AB =，求DE 和CD 的长．【答案】1085DE =，129665CD =． 【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得DE CEAB AC=， ∴452410824265AB CE DE AC ⋅⨯===+．由BE 平分ABC ∠，则有ABE DBE ∠=∠，由//DE BA ，可得：DEB ABE ∠=∠，即DEB DBE ∠=∠，故1085BD DE ==，进而可得：CD CE BD AE =，∴129665BD CE CD AE ⋅==． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．- 16 -【作业1】已知线段a 、m 、n ，且ax mn =，求作x ，作法正确的是（）（A ） （B ） （C ） （D ）【难度】★ 【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为a nm x=，可知C 选项满足题意． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项．【作业2】如图，ABC ∆中，AB AC BE EC =，53AB AC =，//DE AC ，求:AB BD 的值． 【答案】8:5．【解析】由AB AC BE EC =，53AB AC =，可得53BE EC =，根据比 例的合比性质，可得58BE BC =，由//DE AC ，可得::8:5AB BD BC BE ==．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用．【作业3】如图，////AB EF CD ，2AB =，8CD =，:1:5AE EC =，求EF 的长度．课后作业NEFMDCB A EGFMDA 【答案】3EF =．【解析】过点B 作//BN AC 交EF 于点M ，交CD 于点N ． ∵////AB EF CD ，∴四边形AEMB 、ACNB 、ECNM 都为平行四边形，∴2CN EM AB ===，且有FM BMDN BN =．:1:5AE EC =，16BM AE BN AC ∴==． 16FM BM ND BN ∴==/ ∵6ND CD CN =-=， ∴1FM =，3EF EM FM ∴=+=．【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答．【作业4】平行四边形ABCD ，E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，EF 交AC- 18 -EG FMDCBA于G ，求AGGC 的值． 【答案】25或23．【解析】（1）当点F 在AD 上时，如图． 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 223AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 43AG AF GM EM ∴==,42105AG AG GC GM AM ∴===+． （2）当点F 在AD 延长线上时，如图， 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 22AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 4AG AF GM EM ∴==4263AG AG GC GM AM ∴===+． 【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“A 字型、“X 字型即可．【作业5】如图，////AB EF DC ，已知20AB =，80CD =，求EF 的长．【答案】16【解析】由////AB EF DC ，可得:BF EF BC CD =，CF EFBC AB=，则有1EF EF AB CD+=，代入计算得16EF =． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．【作业6】如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，//DF AB ，//DE CA ．（1）求证：AE CF EB FA =； （2）如果2CF =，5AC =，6AB =，求AE 、DE 的长．【答案】（1）略；（2）1235AE DE ==，．【解析】（1）证明：//DE CA ，AE CD EB DB ∴=， 又//DF AB ， CD CF DB FA ∴=，AE CF EB FA∴=． （2）解：由（1）可得AE CF EB FA=， 根据比例的合比性质，得：AE CFAB AC=， 代入可解得：621255AE ⨯==， 由//DE CA ，//DF AB ， 可知四边形AEDF 为平行四边形，即得：3DE AF AC CF ==-=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．。

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形【：图形的相似二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段【：图形的相似预备知识】1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果如果（3）等比性质：如果（4）比例中项：若a:b=b:c，则=ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。

要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.≈0.618AB(叫做黄金分割值).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.类型三、比例线段4.（2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础）巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）A.3 kmB.30 kmC.300 kmD.3 000 km2. （2016•滨江区模拟）由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A．B．C．D．3.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A．相似B．平移 C．轴对称D．旋转4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．216. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )A．B．C．或D．二. 填空题7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.8. （2016•浦东新区一模）已知，那么= ．9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.10.已知则11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.12. （2015春·庆阳校级月考）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .三综合题13. 已知，求的值.14. （1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3dcm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长．15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2.【答案】D.【解析】A、⇒ab=30，故选项错误；B、⇒ab=30，故选项错误；C、⇒6a=5b，故选项错误；D、⇒5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确．故选D．3．【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．4．【答案】 A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5．【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相等6．【答案】A【解析】相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.二、填空题7.【答案】.1：30 000【解析】比例尺=图上距离︰实际距离.8.【答案】．【解析】∵的两个内项是y、1，两个外项是x、3，∴，根据合比定理，知==4；又∵上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1，∴．9.【答案】成比例；相等.10.【答案】【解析】提示：设11.【答案】80°，40°.12.【答案】7.5.【解析】设另一个三角形周长是x.∵一个三角形的三边长是4,5,6，∴这个三角形的周长为：4+5+6=15.∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2，∴，解得：x=7.5.∴另一个三角形的周长是7.5.三、解答题13.【解析】设=k则∴==14.【解析】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；(2)∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm.∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm.15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得，即纸张的长与宽之比为.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线知识讲解【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A型和X型；A型 X型（2）常用的比例式：3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA：CB.【答案与解析】过D作DK∥AB交EC于K点.则，，即又∵AD=BE，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG∥EC, EG∥BC,求证:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.2.已知，△ABC中，G是三角形的重心， AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长.【答案与解析】延长BG交AC于点D,∵G是三角形的重心，∴点D是线段AC的中点，又∵AG⊥GC，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=2.5，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.求证：DE∥BC.【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH∵BM=MC∴四边形BPCH是平行四边形∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.类型三、平行线分线段成比例定理4. （2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【答案】C．【解析】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．举一反三【变式】（2015•舟山）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC 与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A. B. 2 C. D.【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线【巩固练习】一．选择题1.（2016•杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c 于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．12. 如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )A．B． C．D．3. 在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )A．B．C． D．4. 如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )A．B． C．D．5. 如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )A．B．C． D．6. 如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( )A．2 B．3 C．D．二. 填空题7. （2016•无锡一模）如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是．8. 如图，DE∥BC,BF:EF=4:3，则AC:AE=____________.9．已知点G是△ABC的重心，AD是BC边上的中线，如果GD=2cm，那么AD=______.10. 如图，△PMN,点A,B分别在MP,NP的延长线上，,则________.11. 如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点P,若AP=8，CP=12，BC=15.则AD=_________.12.（2015•香坊区三模）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G 在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则EC 的长为 .三.综合题13. 如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.14.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．证明：AE=AF．15. 如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．【解析】∵a∥b∥c，∴==．故选B．2．【答案】 D.3．【答案】 C.【解析】∵DE∥BC，∴,又∵，∴,即=.4．【答案】D.【解析】∵DE∥AC，∴，又∵AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，∴BD=4，即DE=.5．【答案】C.【解析】提示：∵ DE∥BC，DF∥AC，∴DE=CF, DF=CE.6.【答案】B.【解析】作GM∥CD交AB于点M,∵E是AG中点，∴MG=2DE,又∵G是BC中点，∴CD=2MG=4DE∴EC=3DG,即EC:DE=3:1.二、填空题7.【答案】2．【解析】∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．8.【答案】4:3.【解析】∵DE∥BC, BF:EF=4:3，∴9.【答案】6cm.【解析】∵点G是重心，∴AG:GD=2:1，又∵GD=2，∴AG=4，即AD=6cm.10.【答案】3:2.【解析】∵，∴.11.【答案】10.12.【答案】9.【解析】∵DE∥FG∥BC，∴=，而AD：DF：FB=3：2：1，∴=，∴=，∴EC=9．三、解答题13. 【解析】∵AB∥CD∥EF，∴,又∵OA=14，AC=16，BD=12，∴OB=.同理,CE=8，∴DF=6.14.【解析】证明：∵EG∥CD，∴=，且，∴=，∴=，即=，∵AB=AC，∴AE=AF．15.【解析】作DG∥BE,∵AD是中线，∴EG=GC,又∵AF：FD=1：2，∴EG=2AE,即EC=4AE,∴AE:EC=1:4.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理【高清课程名称：相似三角形的判定（1）高清：394497：相似三角形的判定】1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数. 【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【高清课程名称：相似三角形的判定（2）高清：394499：例4及变式应用】【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°,又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴, 即AF·FD=CF·FE．3. （2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径.举一反三：【变式】如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E. 求证：.【答案】过点F作FG∥BC,交AB于G.则△DBE∽△FGE△AGF∽△ABC∵,又∵AF=BD,∴∵△AGF∽△ABC∴,即.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. （2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE ∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7. （2016•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE 交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠C FA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CB A，∴=，∴C A2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清：394500：相似形的性质】1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清：394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

三角形一边的平行线【知识梳理】1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， //DE BC ，那么DE AD AE BC AB AC ==．3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】 一．三角形的重心（共13小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（ ） A ．三角形三条角平分线的交点 B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条边的垂直平分线的交点D ．三角形三条高的交点【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B ．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．2．（2023•奉贤区一模）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD ＝6，那么线段DG 的长是 ．BCD E FG【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC 的长为．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为12．【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，则2S△BGD＝S△ABG，进而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．6．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．【分析】连接DE，由G是△ABC的重心，可证DE是△ABC的中位线，从而可求出DE的长．延长EP交BC 于F点，连接DF，利用三角形重心的定义和性质得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再证明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，如图，∵G是△ABC的重心，∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴．∵P点是△BCE的重心，∴F点为BC的中点，EP＝2PF，∵Q点是△BCD的重心，∴点Q在中线DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．7．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是．【分析】取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．根据含30度角的直角三角形的性质求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根据等边三角形的性质得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后证明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如图，取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．8．（2022秋•黄浦区月考）已知点G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．【解答】解：延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．9．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．10．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△P AB、△P AC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．11．（2022秋•徐汇区期中）已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的长为．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．12．（2018•宝山区校级自主招生）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．【分析】设AD＝mAB，AE＝nAC，由G为△ABC重心得＝3，再由当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S2，设AD＝mAB，AE＝nAC，∵G为△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD•AE•sinA＝mAB•nAC•sinA＝mnS1，当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，解决此题的关键是根据G为△ABC重心得到＝3．13．（2019秋•嘉定区校级月考）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的长．【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．二．平行线分线段成比例（共1914．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．15．（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A．B．C．D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．16．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故A选项能够判断DE∥BC；而C，B，D选项不能判断DE∥BC．故选：A．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．17．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF 的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合题意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合题意；根据已知条件得不出＝，故C符合题意；由＝，得＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．19．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A选项错误，不符合题意；AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20．（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．21．（2023•松江区一模）如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．22．（2022秋•松江区月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB ＝4，AC＝6，求EC．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．（2022秋•松江区月考）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出结论．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD•AG＝AF•AB．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．24．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．26．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．28．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是菱形；（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．29．（2021秋•杨浦区校级月考）如图，点D为△ABC中内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD 上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当，求的值．【分析】（1）先根据相似比的性质得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出结论；（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】（1）证明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【点评】熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．30．（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC ＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；（2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．32．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2AM＝1，求线段DN的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE •OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴＝，即OA•OD＝OE•OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC•OF＝OE•OB，∴OA•OD＝OC•OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，设OB＝5x，则BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，设DN＝3a，则CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四边形MFNC为平行四边形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【过关检测】一、单选题A．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC ADBE AF==，即可求出BC．【详解】解：∵AB CD EF∥∥，∴35 BC ADBE AF==，∵24 BE=，∴3 245 BC=，解得：725 BC=．故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．九年级校考期中）在ABC中，分别在ABC的边【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、AD DEAB BC=，不能判定DE BC∥，故A符合题意；B、∵AD AE AB AC=，∴DE BC∥，故B不符合题意；C、∵AED C∠=∠，∴DE BC∥，故C不符合题意；D、∵AD AE BD EC=，∴DE BC∥，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九年级单元测试）在ABC中，点【答案】B【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【详解】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴32 AE CDEB BD==∴23BD CD =∵DF AB ∥， ∴23AF BD FC CD == 故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键． 在ABC 的边 【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例可得47AE AD AC AB ==，则可以推出当47AF AE AD AC ==，即37DF AD =时，EF CD ∥．【详解】解：DE BC ∥，43AD DB =，∴44437AE AD AD AC AB AD DB ====++，∴当47AF AE AD AC ==时，EF CD ∥，此时74377DF AD AF AD AD −−===，故A 选项符合题意； B ，C ，D 选项均不能得出EF CD ∥．故选A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”．5．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）A ．::AD AB DE BC =B ．::AD DB DE BC = C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AD DB =【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【详解】解：设DE BC ∥，那么AD AB AE AC AD DB AE EC DB AB EC AC ===::，::，::，选项A 、B 、D 、不符合平行线分段成比例定理．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．∵AD DB AE EC =::，∴DE BC ∥．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．九年级校考期中）在ABC 中，点【答案】B【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可．【详解】当AD AE DB EC =或AD AE AB AC =时, DE BC ∥, 当AD AE DB EC =时，可得23AE EC =，当AD AE AB AC =时，可得25AE AC =， 即23AE EC =或25AE AC =.所以B 选项是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题 7．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 的延长线上，DE 平行于BC ，1AB =，3BD =，2AC =，那么AE =___________．【答案】8【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】∵DE AB ∥ ∴AB AC AD AE = ∵1AB =，3BD =，2AC =，∴124AE =∴8AE =故答案为：8．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FEDC S S 四边形的值为____．【答案】15/0.2【分析】证明12AF EF AE CF BF BC ===，推出24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4CBF S m =，求出四边形FEDC 的面积，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴AF EF AE CF BF BC ==， ∵ E 是边AD 的中点，∴1122AE DE AD BC ===，∴12AF EF AE CF BF BC ===， ∴24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4S m ， ∴6ACB ADC S S m ==， ∴65FECD S m m m =−=四边形， 1::55AFE FECD S S m m ==四边形； 故答案为：15．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．9．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB CD EF ∥∥，如果6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，那么AD = ___________．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，求得4893FO AF ==，4DF =即可解决问题.【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，∵4EO =，5BO =，∴45FO AO =， ∵6AF =，∴4893FO AF ==，∵6CE =，∴8436DF =，∴4DF =，∴6410AD AF DF =+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD 中，AD BC EF ∥∥，如果3810AE AB CD ===，，，则CF 的长是________．【答案】254【分析】根据平行线分线段成比例得出AE DF AB CD =，求出154DF =，即可得出答案． 【详解】∵AD BC EF ∥∥， ∴AE DF AB CD =， ∵3810AE AB CD ===，，， ∴3810DF =， 解得：154DF =， ∴15251044CF CD DF =−=−=， 故答案为：254．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 11．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在直线AB 、AC 上，如果DE BC ∥，1AB =，2AC =，3AD =，那么CE =________．【答案】4【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】解：作如下图：∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =， ∵1AB =，2AC =，3AD =，∴123AE =，∴6AE =，∴624CE AE AC =−=−=，故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．。