天津市滨海新区塘沽一中 2020-2021高二数学第一学期期中复习卷------直线和圆(含答案)

天津市部分区2020—2021学年度第一学期期中练习高二数学参考答案一、选择题题号123456789答案ADCCDBACA二、填空题1011．01334=-+y x 12．613．25)2()2(22=++-y x 14．515．35三、解答题16．解：（Ⅰ）AB 中点M 的坐标是(1,1)，∴312213CM k -==---………………………2分∴中线CM 所在直线的方程是21(1)3y x -=--，即中线CM 所在直线的方程是2350x y +-=………………………6分（Ⅱ） 302)2(4=---=AB k ………………………8分311-=-=AB CH k k ………………………10分∴高线CH 所在直线方程为13(2)3y x -=-+即073=-+y x ………………………12分17．证明：以A 为原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,2(B ，)0,2,2(C ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P .………………………1分（Ⅰ） E 是PC 的中点,E ∴的坐标为)1,1,1(，∴)1,1,1(=AE ，又)2,2,0(-=PD ………………………………3分∴0)2(12101=-⨯+⨯+⨯=⋅PD AE ∴PD AE ⊥，即有PD AE ⊥；………………………5分（Ⅱ）由已知可得AC BD ⊥，AP BD ⊥，所以平面PAC 的法向量为)0,2,2-=（BD ，………………………………………6分设平面PBD 的法向量为),,(z y x n =，)2,0,2(-=PB ，)2,2,0(-=PD 由题意得PDn PB n ⊥⊥,，00n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴，……………………8分⎩⎨⎧=-=-∴022022z y z x ，取1=z 解得)1,1,1(=n ，………………………10分00021)2(1=⨯+⨯+-⨯=⋅BD n ，BD n ⊥∴，即平面PBD ⊥平面PAC .………………………12分18解：将圆方程变为标准方程为4)2()2(22=-+-y x ，其圆心为)2,2(，半径为2=r ...........2分（Ⅰ）由题意，过P 点且与CP 垂直的弦长最短，∵圆心C 点坐标为)2,2(，∴12123-=--=PC k ，............4分∴所求直线的斜率1=k ，代入点斜式方程得13-=-x y ，即02=+-y x .........................6分（Ⅱ）设切线方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ，圆心C 到切线的距离21|22|2=++-=k k k d .................8分解得512=k ，或0=k ………………………10分∴所求切线方程为012512=-+y x ，或0=y .……………12分19解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C .............2分（Ⅰ）1111(1,0,1)(1,,1)0,.DA D E x DA D E ⋅=⋅-=⊥因为所以............4分（Ⅱ）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，.............................6分)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n AC n .............................8分也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a b a 2，取2c =，从而)2,1,2(=n ，..............10分所以点E 到平面1ACD 的距离为.313212||1=-+==n n E D h .............................12分20.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B 1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)AC E C 设(0,0,)F z .…………………2分11////(2,0,)(2,0,2),2.(0,0,2).(2,4,2).||26, 6.AF EC AF EC z z F BF BF BF λ∴-=-=∴∴=--=由得解得于是即的长为……4分…………………6分（Ⅱ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，),,(1z y x n =设⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0202040,0,011z y x z y x AF n AE n 得由……………………8分⎪⎩⎪⎨⎧-===⎩⎨⎧=+-=+.41,11,022,04y x z z x z y ，得，取即……………………10分与设又11),3,0,0(CC CC =1n 的夹角为α，则.333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC n CC α所以，直线1CC 与平面1AEC F 的夹角的正弦值为33334…………12分。

天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 过点()1,0A ，(B ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知圆221:=1C x y +和222:650C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切3．抛物线21y ax =的准线方程是1y =，则a 的值是A ．14B ．14-C ．4D ．4-4．若直线210mx y m ++-=与直线10x my ++=平行，则实数m 的取值为（）A ．1或1-B ．1-C ．1D ．05．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,4,2c =- 且a c ⊥ ，b c∥，则a b += （）A ．3BC ．D ．46．若双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的两倍，则m =A ．14B ．12C ．4D ．27．已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为（）A ．()()22232x y -+-=B ．()()22231x y -+-=C ．()()22341x y -+-=D ．()()22552x y -+-=8．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c--C ．111222a b c+- D ．211322a b c-++9．已知抛物线2x =-的焦点与双曲线()2214x y a R a +=∈的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）.A ．14y x =±B ．12y x=±C ．2y x=±D ．4y x =±10．下列四个命题，其中真命题是（）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线a 的方向向量为()1,0,1a =- ，平面α的法向量为()1,1,1m =，则a α⊥C ．若()1,2,2AB =- ，1,0,12AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点B 到直线AC 的距离为5D ．向量()1,0,1a =- ，()2,1,1b =- 则向量b 在向量a上的投影向量的坐标是111,,366⎛⎫- ⎪⎝⎭11．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为()3,0F -，()0,4M ，点P 为双曲线右支上的动点且MPF △周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．2C ．52D ．312．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆()2222Γ:10,0x y a b a b+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则下列说法中，正确的个数为（）①椭圆Γ的离心率为2②M 到Γ的左焦点的距离的最小值为2a ③MPQ 面积的最大值为232a④若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =-A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知圆C 过点()0,1，()2,3-且圆心在x 轴负半轴上，则圆C 的标准方程为14．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是．15．已知抛物线2:4C y x =上的点P 到焦点的距离为3，则点P 到x 轴的距离为．16．在四面体O ABC -中，空间的一点M 满足311446=++OM MA OB OC λ，若M 、A 、B 、C 四点共面，则λ=．17．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为．18．已知圆221:0O x y a +-+=与圆()222:11O x y +-=相交于点A 、B ．①若2a =，则公共弦所在直线方程为．②若弦长AB =a =．19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，交l 于点P ，其中A 在第一象限，且2AF BF =，则直线AB 的斜率为.，若AOP 的面积为p =.20．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，过2F 作渐近线b y x a =的垂线，垂足为P ，若1sin F PO ∠=C 的离心率为，过双曲线C 上任一点Q 作两渐近线的平行线QM ，QN ，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN ，则双曲线C 的方程为.三、解答题21．已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点(1,0)A .(1)求圆C 的圆心坐标及半径长；(2)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(3)当直线l 的斜率存在且与圆C 相切于点B 时，求||AB .22．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆C 被直线1y x =+截得的弦长.(3)直线y x m =+与椭圆交于,M N 两点，当OM ON ⊥时，求m 值.（O 为坐标原点）23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，PA PD PB ===122BC DC AD ===，E 为AD 的中点．(1)求证：PE ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 的夹角的正弦值；(3)记BC 的中点为M ，若N 在线段PE 上，且直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为18，求线段EN 的长．24．设椭圆()222210+=>>x y a b a b的左焦点为F ，下顶点为A ，上顶点为B ，FAB 是等边三角形.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线:l x a =-，过点A 且斜率为()0k k >的直线与椭圆交于点C （C 异于点A ），线段AC 的垂直平分线与直线l 交于点P ，与直线AC 交于点Q ，若74PQ AC =.(ⅰ)求k 的值；(ⅱ)已知点44,55M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点N 在椭圆上，若四边形AMCN 为平行四边形，求椭圆的方程.。

2022-2023年度第一学期高二年级期中质量调查（数学）试卷满分： 150分 时长：100分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )50x +-=A. B. 30︒-60︒C. D. 120︒150︒2.圆的圆心到直线( )22(1)1x y ++=y =A. 0B. 1C.3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值y 2=2px(p >0)M(1,m)(m >0)5m 是( )A. B. C. D. ‒42484.已知是椭圆的两个焦点，过的直线l 交椭圆于两点，若12(1,0),(1,0)F F -1F ,M N 的周长为8，则椭圆方程为( )∆MF 2N A. B. C. D. 22143x y +=22143y x +=2211615x y +=2211615y x +=5.已知双曲线上有一点M 到右焦点的距离为18，则点M 到左焦点的22=1259x y -1F 2F 距离是( )A. 8B. 28C. 12D. 8或286.若点在圆 的内部，则a 的取值范围是( )(2,1)a a +22+(1)=5x y -A. B. C. D. (1,1)-(0,1)1(1,)5-1(,1)5-7.是方程表示双曲线的( )9k >22+=194x y k k --A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件8.P 是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若221169x y +=1F 2F ，则的大小为 ( )12||||12PF PF ⋅=12F PF ∠A. B. C. D. 60︒30︒120︒150︒9.若点，，直线l 过点且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的(2,3)A --(3,2)B --(1,1)P 取值范围是( )A. B.k ≤34或k ≥43k ≤‒43或k ≥‒34C. D. 34≤k ≤43‒43≤k ≤‒3410.已知圆截直线所得线段的长度是M 与22:20(0)M x y ay a +-=>0x y +=圆的位置关系是( )22:(1)(1)1N x y -+-=A. 内切 B. 相离 C. 外切 D. 相交11.以下四个命题表述错误的的是( )A. 圆上有且仅有3个点到直线222x y +=:10l x y -+=B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，221:20C x y x ++=222:480C x y x y m +--+=则实数m 的取值范围为4m >C. 已知圆，P 为直线上一动点，过点P 向圆C 引一22:2C x y +=0x y ++=条切线PA ，其中A 为切点，则的最小值为2||PA D. 已知圆，点P 为直线上一动点，过点P 向圆C 引22:4C x y +=:280l x y +-=两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点1(1,212.已知椭圆C ：的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线22221(0)x y a b a b+=>>l ：与椭圆C 相交于M ，N两点．若点A 到直线l 的距离是1，且2y x =，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )|MF |+|NF |≤6A. B. C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.以点为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是__________.(2,3)P -14.设m 是常数，若点是双曲线的一个焦点，则__________.(0,5)F 2219y x m -=m =15.已知直线过点，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为(2,3)__________.16.在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线经过点，则该双曲线的2221(0)y x b b-=>(3,4)渐近线方程是__________.17.直线l 过点且与圆相切，那么直线l 的方程为(4,0)-22(1)(2)9x y ++-=__________.18.设圆的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方2242110x y x y +-+-=程是__________.19.已知F 为双曲线-的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上:C 22x a 22y b1(0,0)a b =>>的点且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，2228x y -=1F ，过点作一直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，使得，则2F 2F 190F PQ ︒∠=的内切圆的半径为__________.1F PQ 三、解答题（本大题共4小题，共50.分。

天津市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题本试卷分为第 I 卷(试题)、第 II 卷(答题纸)两部分,共 100 分,考试用时 90 分钟。

考生务必将答案涂写在答题纸的规定位置上,答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利! 一．选择题:(每小题 3 分,共 30 分)1．直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0 平行,则 a 等于A．-1 B．-1 或 2 C．2 D．12.过点 P(1,2)引直线使两点 A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,则直线方程是A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0C．2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0 D．4x+y-6=0 或 3x+2y-7=03．过点 A(1,4)且横纵截距的绝对值相等的直线共有A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条4．圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是A．36 B．18 C．5 2 D．6 25．若圆 x2+y2+ax-by=0 的圆心在第二象限,则直线 x+ay-b=0 一定不经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知圆C:x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是A．32B．43C．53D．547．过椭圆 9x2+25y2=225 的右焦点且倾斜角为 45o 的弦 AB 的长为90A．5 B．6 C．17 D．78．已知椭圆 x2+4y2=12 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,则|PF1|是|PF2|的A．3 倍B．4 倍C．5 倍D．7 倍9．若椭圆 2a2x2-ay2=2 的一个焦点是(-2,0),则 a=A．1- 34B．134C．1-54D．1 5410．已知 A、B 为椭圆左右顶点,F 为左焦点,点 P 为椭圆上一点,且 PF⊥x 轴,过点 A 的直线与线段 PF 交于 M 点,与 y 轴交于 E 点,若直线 BM 经过 OE 中点,则椭圆的离心率为A．12B．32C．13D．63二．填空题:(每小题 4 分,共 24 分)11．已知点 A(1,2)、B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是.12．如果 x2+y2-2x+y+k=0 是圆的方程,则实数 k 的取值范围是.13．已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长为2 2 ,则圆 C 的标准方程为 .14．过直线 x+y- 2 2 =0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60o,则P 的坐标是_ .15．已知椭圆的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),P 点在椭圆上,∆F1PF2 面积最大值为 12,则椭圆的方程为.2 216．椭圆x+ y 1的左右焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 Rt∆ F1PF2,则点 p 到 x 轴的25 16距离为.三．解答题:(共 4 题,46 分)17．在三棱锥 P-ABC 中,∠APB=90o,∠PAB=60o,AB=BC=CA,平面 PAB⊥平面 ABC. (1)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值;(2)求二面角 B-AP-C 的余弦值.18．已知直线 x+y-1=0 与椭圆 C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)相交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点在直线 l:x-2y=0 上.(1)求此椭圆 C 的离心率;(2)若椭圆 C 的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x2+y2=4 上,求此椭圆 C 的方程.19．在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.20．已知直线l:x=my+1 过椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆 C 于A、B 两点,点 A、B 在直线 G:x=a2 上的射影依次为点 D、E.,其中 O 为原点,A2 为右顶点,e 为离心率,求椭圆 C 的方程;(1)若 113eOF OA2FA2(2)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE,BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.⎪ ⇒ PO ⊥ 平面ABC⎪ ⎩一．选择题 参考答案1．A 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B7．C8．D9．C10．C二．填空题 11．4x-2y-5=0512． k413．(x-3)2+y 2=4 14．（ 2 ， 2 ）x 2 15．y 2116． 25 9 165三．解答题 17．解：（1）分别取 AB 、AC 中点 D 、E过P 作PO AB 于O平面PAB 平面ABC 平面PAB 平面ABC ABPO 平面PAB在 RT △PAB 中∠PAB=60°，∠APB=∠P OA=90° ∴O 为 AD 中点，OE ⊥AB，PO ⊥AB ，PO ⊥OE以 O 为原点分别以 OB ，OE ，OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 AB=4O （0，0，0） A （-1，0，0） B （3，0，0） C （1， 2 3 ，0） P （0，0， 3 ） 设直线 PC 方向向量 PC (1, 2 3， 3) 平面 ABC 的法向量 m (0, 0，1)| cos PC , m || PC m |3| PC | | m | 43故直线 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 4 。

塘沽一中2020-2021学年度第一学期高二期中模拟卷（二）一、选择题1.若两平行直线x+2y+m＝0（m>0）与x-ny-3＝0之间的距离是√5，则m+n＝（）A 0B 1C -1D -22.已知直线l过点（1，2），且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的距离的两倍，则l的方程为（）A 2x-y＝0B 2x+y-4＝0C 2x-y＝0或x+2y-2＝0D 2x-y＝0或2x+y-4＝03.已知A（2，0），B（0，2），若直线y=k（x+2）与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A.［-1，1]B. ［-1，+∞]C. ［0，1]D. （0，-1]∪［1，∞]4.已知圆C1：x²+y²+2x+3y+1＝0，圆C2：x²+y²+4x-3y-36＝0，则圆C1与圆C2的位置关系为（）A 相切B 内含 C外离 D 相交5.若椭圆C：+ ＝1的右焦点为F，且与直线l：x-y+2=0交于P、Q两点，则△PQF的周长为（）A 6 B. C. 6 D. 86.若椭圆+ ＝1（a>b>0）过点（，1），且以该椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积是4，则这个椭圆的离心率为（）A. 0.5B.C.D.7.设椭圆+ ＝1（a>b>0）的右焦点为F（c，0），且a=2c，方程ax²+bx-c=0的两个实数根为x1，x2，则点p（x1，x2）（）A. 在x²+y²=2圆上B. 在x²+y²=2圆外C. 在x²+y²=2圆内D. 以上都有可能8.在空间直角标系O-xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是A（0，0，2），B（2，2，0），C（1，2，1），D（2，2，2），则点B到面ACD的距离是（）A. B. C. D.9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题10.若直线2x+y-2＝0与直线x+mx+1＝0互相垂直，则点A（m，m）到直线x+y+3＝0的距离为_______11.经过直线2x+3y-7＝0与7x+15y+1＝0的交点，且平行于直线2x+4y-3＝0的直线方程是________12.已知圆心在直线x-3y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，且C截x轴所得的弦长为4则圆C的方程为________13.已知方程+ ＝1表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围____14.若圆x²+y²=1与圆x²+y²-6x-8y-m＝0相切，则m的值为_____15.已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2-2，离心率为，则椭圆E的方程为__________16.P(x,y)是椭圆+ ＝1上的动点，F1,F2为左右焦点，则·的取值范围是____三、解答题17.已知圆C经过点A（3，3）、B（2，4），并且直线m：2x-y-1＝0平分圆C. （1）求圆C的方程（2）若过点D（2，0），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的焦点M、N. （i）求实数k的取值范围；（ii）若·＝13，求k的值.18.如图所示，直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 垂直AB ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，四边形EDCF 为矩形，CF ＝，平面EDCF ⊥平面ABCD.（1）求证：DF//平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点p ，使得直线BP 与平面ABE 所成角19.已知椭圆E ：+ ＝1（a>b>0）的离心率为，A,B 分别是椭圆上的上顶点、右顶点，原点o 到直线AB 的距离为.（1）求E 的方程（2）直线l1，l2的斜率均为，直线l1与E 相切于点M （M 在第二象限内），直线l2与E 相交于P ，Q 两点，MP ⊥MQ ，求直线l 2 的方程.20.已知椭圆E ：+ ＝1（a>b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为1的等腰三角形，（1）求E 的方程（2）直线l ：x －y+m ＝0与椭圆E 相较于M 、N 两点，试问：在y 轴上是否存在点A ，使得△AMN 为等边三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.A B C F D E。

2023-2024学年天津市第一中学高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为( )A. B.C. D.2.设点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A.或 B. 或 C. D.3.“”是“直线和直线互相垂直”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知圆，若直线与圆C相交于A，B两点，则的最小值为( )A. B. C. 3 D.5.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点的一条弦，且的周长为若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为( )A. 米B. 米C. 米D. 米6.已知双曲线C的焦点与椭圆E：的上、下顶点相同，且经过E的焦点，则C的方程为( )A. B. C. D.7.圆关于直线对称，则的最小值是.( )A. B. C. 4 D.8.双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且B为的中点，若的周长为6a，则双曲线C的渐近线方程为( )A. B. C. D.9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为( )A. B. C. D. 410.椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为1的直线l过左焦点且交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是__________.12.若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为__________.13.直线l过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线l的方程为__________14.若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是__________.15.已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则__________.16.已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.三、解答题：本题共4小题，共46分。

第Ⅰ卷（答案在最后）注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共12题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

一、单选题(每题5分，共60分）1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知向量，，且，则的值为（）A．4B．-4C．5D．-53．如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且，．若，则（）A．B．0C．D．4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A．1B．3C．9D．815．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定7．在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）A．B．C．2D．38．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．椭圆的弦被平分，则此弦所在的直线方程为（）A．B．C．D．10．已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（）A．B．或C．D．或11．已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（）A．5B．C．D．12．设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．第ⅠⅠ卷二．填空题（每题5分，共30分）13．圆与圆的公共弦所在的直线方程为．14．已知点，则直线的斜率的大小为.15．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为. 16．已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是. 17．椭圆上的点P到直线的最大距离是,距离最大时点P坐标为.18.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是．三．解答题（共60分）19.已知直线和圆．(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；(2)求过点且与圆相切的直线方程．20.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求直线FC到平面的距离．21.设椭圆的左右顶点分别为,左右焦点.已知，.(1)求椭圆方程及离心率.(2)若斜率为1的直线交椭圆于A,B两点，与以为直径的圆交于C,D两点.若,求直线的方程.22.．已知椭圆：：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点.(1)求椭圆的方程；(2)设为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与E交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．(3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值.参考答案：1．D【分析】利用直线斜截式可得其斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】依题意，设直线的倾斜角为，则，因为的斜率为，所以，则.故选：D.2．C【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可.【详解】因为向量，，且，所以，即，则，故选：C.3．D【分析】根据题意，结合向量加法与数乘运算，即可求解.【详解】因为．所以，，，故．故选：D.4．A【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以的值为1.故选：A5．C【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，，在中，由余弦定理得，化简得，则，所以，故选：C.6．C【分析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交.【详解】由题意知l：（）恒过点，因为，所以点（0,1）在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交．故选：C7．B【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案.【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为，因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当时，，所以最短窗棂的长度为．故选：B8．D【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案【详解】连接，则，因为平面，在平面内，所以，因为，所以平面，因为在平面内，所以，所以异面直线与所成的角为，故选：D【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题9．D【分析】设以A（4，﹣2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（4，2）为EF中点，得到x1+x2＝8，y1+y2＝﹣4，利用点差法能够求出中点弦所在的直线方程．【详解】设以为中点的椭圆的弦与椭圆交于，，∵为中点，∴，，把，分别代入椭圆中，得则①－②得，∴，∴，∴以为中点的椭圆的弦所在的直线的方程为，整理得，.故选：D【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在的直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．10．C【分析】由题意设圆的标准方程为，由圆与直线相切得，在由圆截直线的弦长为得，联立解出即可解决问题.【详解】由题设所求圆的圆心为，半径为，标准方程为因为圆与直线相切，所以有圆心到该直线的距离为半径，即：，也即①又圆截直线的弦长为，设圆的圆心为到直线的距离为，所以，由有②联立①②可得：，所以所求得圆的标准方程为故选：C.11．C【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.【详解】如图所示：记圆心到直线：的距离为，则.因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.故选：C12．D【分析】利用中垂线的性质列出关于的方程，再转化为关于的方程即可.【详解】由题知，如图所示：设P，F1（－c，0），F2（c，0），由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选：D.13．【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.【详解】联立，两式相减得.故答案为：14．1【分析】根据两点式求斜率公式即可求解.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为.故答案为：1.15．【分析】方法一：由题意得椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义得，求出即可；方法二：设所求椭圆的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解即可；方法三：由条件设所求椭圆的标准方程为，将点P的坐标代入，求解即可.【详解】方法一：由题意得.因此所求椭圆的焦点坐标为，.由椭圆定义得，即，所以.故所求椭圆的标准方程为.方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且.设所求椭圆的标准方程为，则①.又点在所求椭圆上，所以，即②.由①②得，，故所求椭圆的标准方程为.方法三：由条件设所求椭圆的标准方程为.将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）.故所求椭圆的标准方程为.故答案为：.16．【分析】首先确定三个顶点的位置，再根据几何关系，建立方程，即可求离心率.【详解】因为，所以三个顶点应是两个短轴端点，一个长轴端点，即，即，则，得.故答案为：22.第一个空3分，第二个空2分【分析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线与椭圆相切．由消去x整理得.由得.当时符合题意(舍去)．即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.18．【分析】设，根据点到点的位置关系化简可得，再根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】设，因为动点满足，所以，化简得．又动点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，解得．故答案为：19．(1)相交，截得的弦长为2.（6分）(2)或.（7分）【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，直线被圆截得的弦长为.（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或.20．(1)；（7分）(2).（8分）【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，用向量法求出线面角的正弦值作答.（2）由（1）的坐标系，利用向量法求线面距离作答.【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，于是，，，设平面的法向量为，则，令，得，令直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值是.（2）由（1）知，，，显然，即，而平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，而点到平面的距离为，所以直线FC到平面的距离是.21.（1）（7分）(2)（8分）22.【详解】（1）由题意可得，得，，椭圆；（4分）（2）由（1）知：；当直线斜率存在时，设，，，由得：，则，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；当时，直线恒过点，不合题意；当时，直线，恒过定点；当直线斜率不存在且恒过时，即，由得：，，满足题意；综上所述：直线恒过定点.（6分）（3）由题意可得，，设，，，则，由，可得，；直线的方程为，得，与椭圆方程联立，可得，所以，即有，所以．所以，是定值．，从计算出，最后即可证明定值.（6分）。