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势垒贯穿与应用 势垒贯穿设一个质量为m 的粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为： U(x)=0 x<0 和x>a U(x)=U 0 0≤x ≤a这种势能分布称为一维势垒。
粒子在 x < 0 区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x > a 的区域。
在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： 在各个区域的波函数分别表示为ψ1 ψ2 ψ3三个区间的薛定谔方程简化为：求出解的形式是)(),0(),0(a x a x x ≥I ∏≤≤∏≤I ),()(212122x E dx x d m ϕϕ=- 0≤x ),()()(22202222x E x U dxx d m ϕϕϕ=+- ax ≤≤0),()(232322x E dxx d m ϕϕ=- a x ≥222 mEk =2021)(2 E U m k -=,0)()(12212≤=+x x k dxx d ϕϕa x x k dxx d ≤≤=-0,0)()(221222ϕϕa x x k dxx d ≥=+,0)()(32232ϕϕikxikx e A Ae -'+=ψ1x ik Be 12+=ψikx Ce =ψ3O(1)E>U 0按照经典力学观点,在E>U 0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射而在微观粒子的情形，却会发生反射。
(2)E<U 0从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数ψ。
即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在x>a 区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x>a 区域粒子在总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应定义粒子穿过势垒的贯穿系数是：透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。
势垒高度U 0越低、势垒宽a 度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。
隧道效应是经典力学所无法解释的由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠若在样品与针尖之间加一微小电压U b 电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
三方势垒的穿透隧道效应势垒散射再到无穷远处去。
●特点：◆波函数在无穷远处不为零；◆粒子的能量可以取任意值，组成连续谱。
◆求解散射问题，是由已知能量E来求定态薛定谔方程的解；也就是求出一个动量和能量已知的粒子，在受到势场的作用后，被散射到各个方向去的概率。
● 一维问题一个粒子被散射后，或者穿透势垒，或者被势垒反射。
要求透射概率和反射概率。
能量为E 的粒子沿x 轴正方向射向方势垒：⎩⎨⎧><=)0(.0)0(,)(0a x x a x V x V 或≤≤ (5. 94)在经典力学中，只有能量E 大于V 0的粒子才能越过势垒运动到x > a 的区域；能量E 小于V 0的粒子运动到势垒左边缘x =0处就会被反射回去，不能穿过势垒。
从量子力学的观点来看，考虑到粒子的波动性，这个问题与波碰到一层厚度为a 的介质的问题相似，其结果是有一部分波透图5 - 7 一维方势垒过，一部分波被反射。
因此，按照波函数的统计诠释，无论粒子能量E 是大于V 0还是小于V 0，都有一定的概率穿透势垒，也有一定的概率被反射。
这里我们只具体计算E < V 0的情况。
( 2 ) 势垒外部的定态薛定谔方程及其解 在势垒外( x < 0或x > a )，定态薛定谔方程可表示为02d d 222=+ψψE m x. (5.95)它的两个线性无关解可取为 x k x i 1e ~)(ψ 和 x k x i 2e ~)(-ψ,其中k 由 /2E m k =确定。
假设粒子从左边入射，在x < 0区域： 入射波)e ~(i x k ， 反射波)e ~(i x k -； 在x > 0区域： 透射波(x k i e ~)。
为了简便，将入射波的波幅取为1，入射粒子流密度为)e e e e (2i i i i i in xk x k x k x k xx m j --∂∂-∂∂= v mk == , (5.96)因此，可以取⎪⎩⎪⎨⎧>+=-)(e )e e )(i i i a x T R x xk k x k ψ (5.97)透射波和反射波都是德布罗意波。
