高二上期第五次周考数学试题
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高二圣光班上学期第五次周考数学试题一． 选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题5分共60分） 1．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（ ） A ．是真命题 B ．是假命题 C ．不一定是真命题 D ．无法判断 2．若命题P 的逆命题是q ，命题q 的否命题是x ，则x 是p 的 （ ） A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．以上判断都不正确3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ,则=++987a a a （ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 4已知A 是ABC ∆的一个内角，且54=+CosA SinA ，则ABC ∆得形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上均有可能5．平面区域如图所示，若使目标函数)0(>+=a ay x z 取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（ ） A32 B ．1 C ．23D ．46．不等式2xx 42)3(2log log <-的解集为（ ）A ．φB ．(1,9)C ．),9()1,(+∞⋃-∞D ．(3,9)7．数列 ,3211,3211,211,1n +++++++的前n 项和为（ ） A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D 12+n nxyB(4,1)A(1,3)8．已知数列{}n a 为等比数列，若82,a a 是方程06722=+-x x 的两个根，则97531a a a a a ⋅⋅⋅⋅的值是（ ）A ．221 B ．39 C ．39± D ．53 9．已知函数)10(11≠>+=-a a a y x 且过定点p ，若点p 在直线)0(042>=-+mn ny mx 上，则nm 24+的最小值为（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．223+10．命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B=B ”的否命题是( )A ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB ．若A ∩B ＝B ，则A ∪B=AC ．若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠BD ．若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A11．已知数列{}n a 满足133,011+-==+n n n a a a a ，则31a 是（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23 12．在ABC ∆中，若,3,3,2-=⋅==→→→→AC AB AC AB 则ABC ∆的面积S 等于（ ）A ．3B ．3C ．23D ．233 二．填空题（每小题5分，共20分）13．把正整数按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…则第60个数对是__________14．已知不等式b a x x ≤+)(的解集是{}10≤≤x x ，那么=+b a __________ 15．下列命题中是真命题的是___________.①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题 ②“全等三角形是相似三角形”的否命题 ③“若m ＞1，则mx 2－2（m ＋1）x ＋（m －3）＞0的解集为R ”的逆命题 ④若“a ＋5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题。
16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若.0,0,010*********<⋅>+>a a a a a 则使n S >0成立的最大自然数n 是________ 三．解答题（共70分）17．（10分）已知的取值范围求且满足y x y x xy R y x +=+-∈+,2)(,18．（本小题12分）数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13na nb n⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（本小题12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，点),(b a 在直线C c B y B A x sin sin )sin (sin =+-上，（1）求角C 的值；（2）若226()180a b a b +-++=，求ABC ∆的面积.20．（本小题12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.该公司第n 年需要付出设备的维修与工人工资等费用总和na 的信息如下图.（1）求na ；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？21．（本小题12分）设数列{}n a 满足()1212n n a a n -=+≥,且121,log (1).n n a b a ==+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明:34n S <.22．（本小题12分）设,,,,21n C C C 是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线xy 33=相切，对每一个正整数n ，圆n C 都与圆1+n C 相互外切，以nr 表示nC 的半径，已知}{n r 为递增数列.（1）证明：}{n r 为等比数列；（2）设11=r ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n r n 的前n 项和.高二圣光上学期第五次周考考试答案一、选择题（共12题，每题5分，共60分）ABCCC DBCDA AD二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13 (5,7) 14. -1 15．① ④ 16. 198 三、解答题（共6题，共70分） 17.（10分）解：2,++=∈+y x xy R y x 且222++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴y x y x 当且仅当31+==y x 时等号成立 …4分由02)(4)(2≥-+-+y x y x 解得322-≤+y x （舍） 或322+≥+y x ………8分 y x +∴的取值范围是[)+∞+,322 ………10分 18.解：（1）由已知得，故数列是等差数列，且公差. ……２分又，得，所以. …………………………………………４分（2）由（１）得，，所以. ……………………………………6分. ……………………………………12分19.解：（1）由题得()sin sin sin sin a A B b B c C-+=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得()22a ab bc -+=，即222a b c ab +-=.……3分 由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，C π∈又（0，）得3C π=.…………………6分 （2）由226()180a b a b +-++=，得22(3)(3)0a b -+-=，从而3a b ==.………9分 所以ABC ∆的面积21193sin 3sin 2234S ab C π==⨯⨯=. …………………………12分 20．解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则：┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分由f(n)>0得n 2-20n+25<0 解得又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 ┄┄┄┄┄┄┄┄8分（3）年平均收入为=20- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。
12分 21解：（1）证明：因为()1212n n a a n -=+≥，所以()1121(2)n n a a n -+=+≥.所以数列{1}n a +是公比为2的等比数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分（2）因为数列{1}n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列，所以11222n nn a -+=⋅=.所以()2log 1n n b a n =+= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分所以()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. ┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分所以1111111111111112322423521122n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭=3111342124n n -+++（）< ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分22解：（I ）3y=3θ将直线x 的倾斜角记为，则有31tan ==32θθ,sin n n 1,=22nn n n r C r λλλ=设的圆心为（，0），则由题意知得 ┄┄┄┄┄┄2分n+1+1n+1n +1+1=2=++=2n n n n r r r r λλλ同理，从而n +1=2=3,||=3n n n n r r r r λ将代入，解得故为公比q 的等比数列┄┄┄┄┄┄┄┄6分（II ）111n=1q==3=3n n n nr r n r --⋅由于，3，故从而，1212n=+++n nS r r r ⋅⋅⋅记，则有12=1+23+33++n 3n n S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅－－1－ ① 12=13+23++(n 1)3+n 33n n ns ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅－－1－－－ ②┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分①—②，得1221333=1+3+3++3n 3n 3=()323223n n nn nn s n --⋅⋅⋅⋅=⋅-+⋅－－1－－－－－－19139(23)3=()34224nn n n S n --+⋅∴-+⋅=1－ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分。
