二项分布中方差的计算

二项分布中方差的计算

假设ξ~B (n ,p ), 即k

n k k n q p C k P -==}{ξ

考虑E [ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ 而

∑∑∑∑=----=-=-=--=-----⋅-⋅=--=-=-n

k k

n k k n n

k k n k n

k k

n k n

k k

n k

k n

q p C p n n q p k n k n n n q p k n k n k k q

p C k k E 2

222222

0)1()]!2(2[)!2()!2()1()!

(!!

)

1()1()]1([ξξ

令2-=k i 上式=22222

022

2

)1()1(np p n p n n q p C

p

n n n i i n i i

n -=-=-∑-=---

即2

2

2

2

np p n E E -=-ξξ,

再将E ξ=np 代入上式,得)1(2

2

2

2

2

2

p np p n np np p n E -+=+-=ξ 最后得npq np p np p n E E D =--+=-=2

2

2

2

2

)()1()(ξξξ 例1的分布图

例2的分布图

4.2 超几何分布 例1的图形：

例2的图形：

定义4.2 设N 个元素分为两类, 有N 1个属于第一类, N 2个属于第二类(N 1+N 2=N ). 从中不重复抽样取n 个, 令ξ表示这n 个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布,

),....,1,0()(2

1n m C

C C m P n

N

m n N m N ==

=-ξ

规定: 如n

n C

由概率分布的性质可知1)(0

==∑=n m m P ξ, 即10

2

1=∑

=-n

m n

N

m n N m N C C C

可得组合的性质

n N N n

k k n N k N C C C

2

1210

+=-=∑ 计算ξ的数学期望和方差有两种方法

第一种, 按定义

∑∑∑∑===-=-++-+--⋅+----=+--⋅

-⋅

==

===n

m n N

n

m n N n

m n N

m n N

m N n m m n N m n N m N m N C N m n N m n N m N m N m C C

C C m

m mP E 122111122110

0)!

11()!11(!

)!11()!1()!1()!

()!(!

)!(!!1)(2

1ξξ

令k =m -1, 则

上式=np N N n n N n N n N n N N C C N C C C N n N n N

n k k

n N k N n

N

=⋅=---⋅-==---=---∑111

111

111

)!()!1()!

1()!

(!!21

其中N

N p 1

=

为只抽一次抽到元素N 1的概率 因此放回抽样(二项分布)与不放回抽样(超几何分布)的数学期望是一样的.

∑∑∑∑∑=-----=-=-=-=-=⋅+-----=

⋅--=-==-=-n m m n N m N n

N n

m m

n N n N n

m m

n N n N n

m n

N

m n N m N n m C C C N N C m N m N C N N C m N m N C C C C m m m P m m E 2

)

2()2(2211211112112

2

12

2

2

1)1()!

22()!2()!2()1()!

()!2(!1)

1()()1()]1([ξξξ

令k =m -2,

上式=221120

)2(211)1()1(21---=---⋅-=-∑n N n

N n k k

n N k N n N C C N N C C C N N

)1()1()1()!()!2()!

2()!

(!!)1(1111---=---⋅--=

N N n n N N n N n N n N n N N N

因此

N

nN N N n n N N E E E 1

112)1()1()1()]1([+---=

+-=ξξξξ

1

1)1())(()1()]()([)

1(][)1(][)1()]1()1()1)(1[()

1()

1()1()1()1()1()1()1()(212112

1112

12112

11211121112

2121112

2

121112

2

--=--⋅⋅⋅=---=----==-++--==-+--++--=----+--=

=----+--==

-+---=-=N n N npq

N n N N N N N n N N n N N N nN N N N N n N N N nN N N nN N nN N N nN N N nN N nN N N N nN N N nN N nN N N N nN N N N n N nN N N N N n N N nN N n n N N N N n N nN N N n n N N E E D ξξξ 其中q =1-p

另有一种办法计算ξ的数学期望，假设ξi 是第i 次抽到第一类元素的个数，因为只是1次，当然不是1就是0，因此服从0-1分布，且有

),...,2,1(,)0(,)1(21n i q N

N

P p N N P i i ======

=ξξ,

则),...,2,1(1

n i p N

N E i ===

ξ

因此

np N

N n nE E E E E E i n

n =⋅

==+++=+++=1

2121)(ξξξξξξξξ

整个方法同二项分布时的相应方法一样，只是各ξi 间并非相互独立，但和的期望等于期望的和这条性质并不要求和中各项的随机变量相互独立。

当N 非常大时，远大于抽样数n 时，记作N >>n 超几何分布可以用二项分布来近似。 为说明这一点，首先给出一个近似式如下：

当N >>n 时，有!

n N C n

n N

≈

这是因为)11()21)(11(!!

)

1()2)(1(N

n N N n N n n N N N N C n n N ----=+---=

当N 很大时，后面每个括号的值近似为1，

因此上面近似式成立，N 越大越准确，当N 趋于无穷时，约等于可以变为等于。

而当超几何分布中总元素的个数N 非常大时，N >>n , 在保持N 1/N 不变的情况下N 1和N 2也会很大，也有N 1>>m , N 2>>n -m , 因此有