二项分布、数学期望与方差专题复习word有详解重点中学用

二项分布的数学期望在概率论和统计学中，二项分布是离散型概率分布的一种。

它描述了在一系列独立的重复实验中成功的次数。

对于每次实验，成功的概率保持相同。

在这个文档中，我们将探讨二项分布的数学期望以及它的意义。

首先，让我们了解一下二项分布的定义。

如果在进行n次独立实验中，每次实验成功的概率为p，并且失败的概率为1-p，那么在这n 次实验中成功的次数X服从二项分布。

我们可以用符号X ~ B(n,p)来表示。

数学期望，也称为均值，是描述一个概率分布中心位置的指标。

对于二项分布来说，数学期望表示成功的平均次数。

数学期望可以用以下公式来计算：E(X) = n*p其中，E(X)表示X的数学期望，n表示实验的次数，而p表示每次实验成功的概率。

值得注意的是，二项分布的数学期望是通过实验次数乘以每次实验成功的概率而得到的。

这也是符合直觉的。

例如，如果每次实验成功的概率为0.5，那么在进行10次实验中，我们期望大约有5次成功。

为了更好地理解二项分布的数学期望，让我们看一个实际的例子。

假设我们正在研究某个城市的转账行为，每天都发生大量的转账操作。

我们想知道平均每天有多少次成功的转账。

假设每次转账成功的概率为0.02，我们每天进行了1000次独立的转账实验。

根据二项分布的数学期望公式，我们可以计算出平均每天成功的转账次数：E(X) = 1000 * 0.02 = 20因此，根据我们的设定，平均每天有20次成功的转账。

这一数字将有助于我们了解每天转账的情况，并作出相应的决策。

二项分布的数学期望在实际应用中有着重要的意义。

例如，在生产线上检测产品的合格率、判断投掷硬币的正面朝上次数以及分析市场调查数据等情况下，都可以使用二项分布来描述，并计算出数学期望。

除了数学期望，二项分布还有其他的性质和参数，比如方差和标准差。

方差描述了数据的离散程度，标准差是方差的平方根。

对于二项分布来说，方差的计算公式为：Var(X) = n*p*(1-p)标准差的计算公式为：SD(X) = sqrt(n*p*(1-p))这些性质和参数可以帮助我们更全面地理解二项分布的特征。

概率分布以及期望和方差上课时间:上课教师：上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布⑴两点分布如果随机变量X的分布列为X10P p q其中01p<<，1q p=-，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．X10P0.80.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．知识内容典例分析1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下.，如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即⎩⎨⎧=，当取到红球时，，当取到白球时，01X ，求随机变量X的概率分布．3、若随机变量X 的概率分布如下：X1P29C C -38C -试求出C ，并写出X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ．⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值；⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差．二 超几何分布将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mMN Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nM E X N =，2()()()(1)n N n N M MD X N N --=-．例题：一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，知识内容典例分析则取到新球的个数的期望值是．练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习3.在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη，的期望值及方差．三 二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X的分布列X1… k… nP00C nn p q111C n n p q- …C k k n kn p q- …C n n n p q由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n kk n k nn n n n n q p p q p qp q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，知识内容记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布的概率计算例题：已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于 ．练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ） A ．827B ．6481C ．49D ．89练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）练习3.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）例题:从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．典例分析练习1.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习2.设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支2持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习2.某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便，若中奖，则家具城返还顾客可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．例题：设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1t=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，p eλ-试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设．他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差 例题:已知(100.8)X B ，~，求()E X 与()D X ．练习1.已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8 练习 2.已知随机变量X服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X = ，方差()D X = ．练习3.已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值分别为 ， ．练习4.一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是 ．例题：甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121352，，．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．练习1.抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功． ⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在4次试验中成功次数X 的分布列及X 的数学期望与方差．练习2.某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四 正态分布概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ知识内容x=μOyx是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线） 1.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A ．2()21()2x r f x eσσ-=π B ．222π()2πx f x e -= C ．2(1)41()22x f x e-=πD ．221()2x f x e=π2.若正态分布密度函数2(1)21()()2x f x ex --=∈R π，下列判断正确的是（ ）A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布()01N ，的概率密度函数()2212πx f x e-=，下列说法不正确典例分析的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 最大值为12πC ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数D ．()f x 关于1x =对称 4.设ξ的概率密度函数为2(1)21()2x f x e--=π，则下列结论错误的是（ ）A ．(1)(1)P P ξξ<=>B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤C ．()f x 的渐近线是0x =D ．1~(01)N ηξ=-， （二)求μσ,的取值以及概率例题：设2~()X N μσ，，且总体密度曲线的函数表达式为：22141()e2πx x f x -+-=，x ∈R ．⑴求μσ，；⑵求(|1|2)P x -<及(12122)P x -<<+的值．练习1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)2001()102x f x eπ--=，则下列命题中不正确的是（ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10 （三）正态分布的性质及概率计算例题:设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->练习1.已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12练习2.在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，内取值的概率为 ． 练习3.已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤ A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 练习4.已知2(1)X N σ-，~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．无法计算 加强训练：1设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．2设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．3正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．4某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数的 ． （四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ-<<的值．(五）正态分布的3σ原则例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．练习1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？练习2.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习3.以()F x 表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（）A ．()()F F μσμσ+--B ．()()11F F --C ．1F μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2F μσ+练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． ⑴ 求甲答对试题数X 的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 课后练习1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．(1)-np pp p -B．np C．n D．(1)4、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A、20B．25C．30D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白出1个球，得到黑球的概率是25．球的概率是79⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．6.一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？7.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率，从B中摸出一个红球的概率为p．是13⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸，求p的值．出一个红球的概率是258、一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而为硬币在5次抛掷中有3且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij次正面向上的概率，求i j+．9、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均，求至少有两位乘客在20层下的概率．为1311、10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()≤次红球的概率．k k n12、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13、若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1∈N，≥）n n14、省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．23、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是2．3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．25、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分．⑴ 求拿4次至少得2分的概率；⑵ 求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中，11a =，(2345)k a k =，，，出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345a a a a a ξ=++++，当程序运行一次时， ⑴ 求3ξ=的概率；⑵ 求ξ的概率分布和期望．27、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2 min．3⑴求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；⑵求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望．。

二项分布的期望与方差的证明第一篇：二项分布的期望与方差的证明二项分布的期望与方差的证明二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。

种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。

如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。

在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。

在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。

现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。

好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。

首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。

期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知：Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算数学期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) =∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p如果要计算方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]=n*p*[n*q－(n-1)*q]=n*p*q以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……第二篇：二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学韩永权离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(ξ=k)=Cnkpkqn-k，（k=0,1,2n q=1-p）称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p 为参数，并记Cnkpkqn-k＝b(k；n，p)．求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望Eξ=np.kk-1证明如下：预备公式：kcn=ncn-1 00n-10n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10(p+q)n-1=(cn+c 1+cn+...+cnq+...+cnq)-1pqn-1pq-1pq-1p-1pkkkkn-k因为p(ξ=k)=cnp(1-p)n-k=cnpq,00n1n-122n-2kkn-kn0n所以Eξ=0⨯cnpq+1⨯c1++2⨯cnpq+...+k⨯cnpq+...+ncnpq npq 00n-110n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10=np(cnpq+cpq +cpq+...+cpq+...+cq)-1n-1n-1n-1n-1p=np(p+q)n-1=np所以Eξ=np方法二：证明：若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。

二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。

它描述了在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。

在深入研究二项分布时，了解其期望和方差是至关重要的。

接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。

首先，让我们明确二项分布的定义。

如果一个随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X ～ B(n, p)，其中 n 表示试验的次数，p 表示每次试验成功的概率。

那么，二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

接下来，我们开始证明二项分布的期望。

期望（Expected Value），通常用 E(X) 表示，它反映了随机变量取值的平均水平。

我们有：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n k P(X ＝ k)＝∑k ＝ 0 to n k C(n, k) p^k （1 p)＾（n k)为了计算这个和式，我们可以使用一些技巧。

首先，我们对 k C(n, k) 进行变形：k C(n, k) ＝ n C(n 1, k 1)将其代入期望的表达式中：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n n C(n 1, k 1) p^k （1 p)＾（n k)令 j ＝ k 1 ，则 k ＝ j ＋ 1 ，当 k ＝ 0 时，j ＝－1 ；当 k ＝ n 时，j ＝ n 1 。

则上式可以改写为：E(X) ＝n ∑j ＝－1 to n 1 C(n 1, j) p^（j ＋ 1) （1 p)＾（（n 1) j)因为当 j ＝－1 时，C(n 1, －1) ＝ 0 ，所以可以将求和的下限改为0 。

E(X) ＝n p ∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j)而∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j) 恰好是二项分布B(n 1, p) 的所有概率之和，其值为 1 。

二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望和方差是统计学中常用的概念，用于描述二项试验的结果。

下面我将详细证明二项分布的期望和方差。

设一个二项试验有n次独立重复实验的机会，每次实验均有两种可能的结果：成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

假设X 表示n次实验中成功的次数，X服从二项分布B(n,p)。

一、期望的证明：期望是对随机变量取值的平均值的度量，即E(X) = np。

对于n次独立重复实验的二项试验，每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

那么成功的次数X满足X∈{0, 1, 2, ..., n}。

我们可以用数学期望的定义来计算E(X)。

对于离散型随机变量X，其数学期望定义为E(X) = ΣxP(X=x)，其中x取遍X的所有可能取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。

对于二项分布B(n,p)，X的所有可能取值为0, 1, 2, ..., n。

所以有：E(X) = ΣxP(X=x) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) (其中C(n,x)表示从n个实验中取x个成功的组合数)我们可以将式子进行整理，注意到ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x)可以看作是二项定理的展开式中的一个项：E(X) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) * 1^x * 1^(n-x) = (p + (1-p))^n(二项定理展开式中的一项，p和1-p的幂次分别为x和n-x)根据二项定理展开式，我们知道(p + (1-p))^n = 1^n = 1，所以：E(X) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) = 1 * 1 = 1所以，E(X) = np，证明了二项分布的期望为np。

二、方差的证明：方差是对随机变量偏离其平均值的度量，表示随机变量的离散程度。

方差Var(X)定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]，即X与其期望的差的平方的期望。

二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。

它描述了在 n 次独立的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。

其中每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 p 。

本文将详细证明二项分布的期望和方差。

首先，让我们回顾一下二项分布的概率质量函数（PMF）：＼ P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾｛n k} ＼其中＼（ C(n, k) ＝＼frac{n!｝｛k!（n k)！｝＼）表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

接下来，我们开始证明二项分布的期望。

期望（均值）的定义是所有可能取值的概率加权之和。

对于二项分布，期望＼（ E(X) ＼）可以表示为：＼＼begin{align}E(X) ＆＝＼sum_{k ＝ 0}＾｛n} k ＼cdot P(X ＝ k) ＼＼＆＝＼sum_{k ＝ 0}＾｛n} k ＼cdot C(n, k) p^k （1 p)＾｛n k} ＼＼＼end{align}为了计算这个和，我们可以使用一些技巧。

考虑到＼（ k ＼cdot C(n, k) ＝ n ＼cdot C(n 1, k 1) ＼），则上式可以改写为：＼＼begin{align}E(X) ＆＝＼sum_{k ＝ 1}＾｛n} n ＼cdot C(n 1, k 1) p^k （1 p)＾｛n k} ＼＼＆＝ n ＼cdot p ＼sum_{k ＝ 1}＾｛n} C(n 1, k 1) p^｛k 1} （1 p)＾｛（n 1) （k 1)｝＼＼＼end{align}＼令＼（ j ＝ k 1 ＼），则上式变为：＼＼begin{align}E(X) ＆＝ n ＼cdot p ＼sum_{j ＝ 0}＾｛n 1} C(n 1, j) p^｛j} （1 p)＾｛（n 1) j} ＼＼＼end{align}而＼（＼sum_{j ＝ 0}＾｛n 1} C(n 1, j) p^｛j} （1 p)＾｛（n 1) j} ＼）恰好是二项分布＼（ B(n 1, p) ＼）的所有概率之和，其值为 1。

2011年高考数学正态分布几何分布超几何分布离散型随机变量专项突破精选真题汇编与讲解分析答案第一部分第五节离散型随机变量的分布列一、选择题1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()A．两颗都是2点B 一颗是3点，一颗是1点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是ξ＝4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．答案：D2．下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是()A.B.C.D.解析：只有选项C中的概率之和等于1，选C.答案：C3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12 D.23解析：1－P (ξ＝0)＝2P (ξ＝0)，即P (ξ＝0)＝13.答案：B4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：由分子C47C68可知是从7个不方便的村庄中选4个，从8个方便的村庄中选6个，∴X ＝4，∴是P (X ＝4)的概率．答案：C5．若离散型随机变量X 的分布列为：则常数q 的值为( )A ．1 B. 1±22 C. 1＋22 D. 1－22解析：由12＋(1－2q )＋q 2＝1，解得q ＝1－22或q ＝1＋22，又∵q 2∈[0,1]，∴q ＝1＋22舍去．∴q ＝1－22. 答案：D 二、填空题6．随机变量X 等可能取值为1,2,3，……，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么n ＝________. 解析：∵P (X ＜4)＝ P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10. 答案：107．随机变量ξ的分布列为若a ＋c ＝2b ，则P (|ξ|＝1)＝________.解析：∵a ＋c ＝2b ，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23，于是P (|ξ|＝1)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝－1)＝a ＋c ＝23.答案：238．若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c2k ，k ＝1,2,3,4,5,6.其中c 为常数，则P (X ≤2)的值是________．解析：由c 2＋c 4＋c 8＋c 16＋c 32＋c 64＝1，可得c ＝6463.∴P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3263＋1663＝4863＝1621.答案：1621三、解答题9．(2009年广州调研)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率； (2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列．解析：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A ，P (A )＝8×7×610×9×8＝715，即这箱产品被用户接收的概率为715. (2)ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝210＝15，P (ξ＝2)＝810×29＝845，P (ξ＝3)＝810×79＝2845，∴ξ的分布列为10.(2009年广州模拟)50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列． 解析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250＝1225. 选出2人使用版本相同的方法数为C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350， 故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501225＝27.(2)∵P (ξ＝0)＝C215C235＝317，P (ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，P (ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为第二部分第六节 二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.716 解析：P (ξ＝3)＝C36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.1927解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D. 答案：D3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ， ∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <1. 答案：A5．(2009年湖南四市联考)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0) ＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A. 答案：A 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答)解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：答案：8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________．解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5——4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 答案：不合格 三、解答题9．(2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． 解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”， i ＝1,2.B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”， i ＝1,2.C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10.(2009年南海一中月考的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．解析：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则 P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445第三部分第七节 离散型随机变量的期望与方差一、选择题1．下列是4个关于离散型随机变量ξ的期望和方差的描述①Eξ与Dξ是一个数值，它们是ξ本身所固有的特征数，它们不具有随机性 ②若离散型随机变量一切可能取值位于区间[]a ，b 内，则a ≤Eξ≤b③离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度④离散型随机变量的期望值可以是任何实数，而方差的值一定是非负实数 以上4个描述正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D2．设Eξ＝10，Eη＝3，则E (3ξ＋5η)＝( ) A ．45 B ．40 C ．35 D ．15 解析：E (3ξ＋5η)＝3Eξ＋5Eη＝3×10＋5×3＝45. 答案：A3．已知随机变量X 的分布列是：且EX ＝7.5，则a 的值为( A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：b ＝1－0.3－0.1－0.2＝0.4EX ＝4×0.3＋a ×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5. ∴a ＝7. 答案：C4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 解析：ξ＝0,1,2,3，此时P (ξ＝0)＝0.43，P (ξ＝1)＝0.6×0.42，P (ξ＝2)＝0.6×0.4，P (ξ＝3)＝0.6，Eξ＝2.376. 答案：C5．口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ＝( )A ．4B ．4.75C ．4.5D ．5 解析：P (ξ＝3)＝1C 35＝110， P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝5)＝C 24C 35＝35Eξ＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5. 答案：C 二、填空题6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______．解析：EA 1＝50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7， EA 2＝70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5， EA 3＝－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7， EA 4＝98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6. 在四个均值中，EA 3最大，所以应选择的方案是A 3. 答案：A 37．(2009年上海卷)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝________(结果用最简分数表示)．解析：首先ξ∈{0,1,2}．∴P (ξ＝0)＝C25C27＝1021，P (ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P (ξ＝2)＝C22C27＝121.∴Eξ＝0·1021＋1·1021＋2·121＝1221＝47.答案：478．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的方差是________．解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ＝0,1,2,4，则P (ξ＝0)＝C 13C 13＋C 13C 12＋C 12C 13＋C 13C 11＋C 11C 13C 16C 16＝34， P (ξ＝1)＝C 12C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝2)＝C 12C 11＋C 11C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝4)＝C 11C 11C 16C 16＝136， ∴ Eξ＝19＋29＋436＝49.∴Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－492×34＋⎝⎛⎭⎫1－492×19＋⎝⎛⎭⎫2－492×136＝182729. 答案：182729三、解答题9．(2009年浙江卷)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数中恰有1个偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列数学期望Eξ及方差Dξ. 解析：(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A ， 则P (A )＝C14C25C39＝1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是所以ξ的数学期望Eξ＝0×512＋1×12＋2×112＝23. Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－232×512＋⎝⎛⎭⎫1－232×12＋⎝⎛⎭⎫2－232×112＝2154. 10．(2009年山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命率为q 2.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q 2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小． 解析：(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P (ξ＝0)＝(1－q 1)(1－q 2)2＝0.03，解得q 2＝0.8.(2)根据题意P 1＝P (ξ＝2)＝(1－q 1)C12(1－q 2)q 2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.P 2＝P (ξ＝3)．＝q 1(1－q 2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.P 3＝P (ξ＝4)＝(1－q 1)q 22＝0.75×0.82＝0.48.P 4＝P (ξ＝5)＝q 1q 2＋q 1(1－q 2)q 2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24.因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72.P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。

概率分布以及期望和方差上课时间:上课教师：上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布⑴两点分布如果随机变量X的分布列为X10P p q其中01p<<，1q p=-，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．X10P0.80.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．知识内容典例分析1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下.，如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即⎩⎨⎧=，当取到红球时，，当取到白球时，01X ，求随机变量X的概率分布．3、若随机变量X 的概率分布如下：X1P29C C -38C -试求出C ，并写出X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ．⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值；⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差．二 超几何分布将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mMN Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nM E X N =，2()()()(1)n N n N M MD X N N --=-．例题：一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，知识内容典例分析则取到新球的个数的期望值是．练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习3.在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη，的期望值及方差．三 二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X的分布列X1… k… nP00C nn p q111C n n p q- …C k k n kn p q- …C n n n p q由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n kk n k nn n n n n q p p q p qp q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，知识内容记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布的概率计算例题：已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于 ．练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ） A ．827B ．6481C ．49D ．89练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）练习3.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）例题:从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．典例分析练习1.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习2.设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支2持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习2.某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便，若中奖，则家具城返还顾客可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．例题：设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1t=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，p eλ-试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设．他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差 例题:已知(100.8)X B ，~，求()E X 与()D X ．练习1.已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8 练习 2.已知随机变量X服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X = ，方差()D X = ．练习3.已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值分别为 ， ．练习4.一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是 ．例题：甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121352，，．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．练习1.抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功． ⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在4次试验中成功次数X 的分布列及X 的数学期望与方差．练习2.某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四 正态分布概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ知识内容x=μOyx是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线） 1.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A ．2()21()2x r f x eσσ-=π B ．222π()2πx f x e -= C ．2(1)41()22x f x e-=πD ．221()2x f x e=π2.若正态分布密度函数2(1)21()()2x f x ex --=∈R π，下列判断正确的是（ ）A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布()01N ，的概率密度函数()2212πx f x e-=，下列说法不正确典例分析的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 最大值为12πC ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数D ．()f x 关于1x =对称 4.设ξ的概率密度函数为2(1)21()2x f x e--=π，则下列结论错误的是（ ）A ．(1)(1)P P ξξ<=>B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤C ．()f x 的渐近线是0x =D ．1~(01)N ηξ=-， （二)求μσ,的取值以及概率例题：设2~()X N μσ，，且总体密度曲线的函数表达式为：22141()e2πx x f x -+-=，x ∈R ．⑴求μσ，；⑵求(|1|2)P x -<及(12122)P x -<<+的值．练习1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)2001()102x f x eπ--=，则下列命题中不正确的是（ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10 （三）正态分布的性质及概率计算例题:设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->练习1.已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12练习2.在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，内取值的概率为 ． 练习3.已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤ A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 练习4.已知2(1)X N σ-，~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．无法计算 加强训练：1设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．2设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．3正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．4某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数的 ． （四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ-<<的值．(五）正态分布的3σ原则例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．练习1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？练习2.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习3.以()F x 表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（）A ．()()F F μσμσ+--B ．()()11F F --C ．1F μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2F μσ+练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． ⑴ 求甲答对试题数X 的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 课后练习1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．(1)-np pp p -B．np C．n D．(1)4、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A、20B．25C．30D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白出1个球，得到黑球的概率是25．球的概率是79⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．6.一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？7.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率，从B中摸出一个红球的概率为p．是13⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸，求p的值．出一个红球的概率是258、一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而为硬币在5次抛掷中有3且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij次正面向上的概率，求i j+．9、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均，求至少有两位乘客在20层下的概率．为1311、10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()≤次红球的概率．k k n12、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13、若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1∈N，≥）n n14、省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．23、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是2．3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．25、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分．⑴ 求拿4次至少得2分的概率；⑵ 求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中，11a =，(2345)k a k =，，，出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345a a a a a ξ=++++，当程序运行一次时， ⑴ 求3ξ=的概率；⑵ 求ξ的概率分布和期望．27、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2 min．3⑴求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；⑵求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望．。

二项分布知识点范文二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复实验中，成功事件发生k次的概率。

在二项分布中，每次实验只有两个可能的结果，通常被称为成功和失败。

成功事件的概率为p，失败事件的概率为q=1-p。

n次实验中成功事件发生k次的概率可以用二项系数来表示：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。

二项分布的期望值和方差可以通过公式计算：E(X)=n*pVar(X) = n * p * q二项分布常常用于描述二元事件的概率。

例如，投掷一颗硬币n次，出现正面朝上的次数符合二项分布。

又如，生产线上的一个工人的错误率为p，对于一个产品的检查次数符合二项分布。

在实际应用中，二项分布有许多重要的性质和应用。

1.性质：-二项分布是离散分布，取值为非负整数。

-k可以是0到n之间的任意整数。

-二项分布的概率质量函数是对称的，即P(X=k)=P(X=n-k)。

2.参数估计：对于二项分布的参数估计，有多种方法可以使用。

其中最常见的方法是极大似然估计。

通过观测到的数据，我们可以建立似然函数，然后求出使得似然函数达到最大的参数估计值。

3.近似性质：当n较大时，二项分布可以用正态分布来近似。

这是由于当n趋于无穷大时，二项分布逐渐趋近于正态分布。

利用这个近似性质，我们可以使用正态分布的性质来估计二项分布的参数和进行统计推断。

这种近似在实际应用中经常被使用。

4.假设检验：二项分布也可以用于假设检验。

例如，在制药业中，我们可以将一个药物治疗群体的治愈率与安慰剂群体的治愈率进行比较。

如果治愈率的差异显著大于随机差异，就可以拒绝零假设。

5.置信区间：二项分布可以用于构建置信区间。

例如，对于一个新产品的市场推广，我们可以通过二项分布的性质来计算产品成功的置信区间，即我们对产品成功率的估计值所在的区间。

6.偏差校正：当样本的大小不同于总体大小时，估计的参数可能存在偏差。

概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差 (一)概率及其计算1.几个互斥事件和事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥,则()P A B =()()P A P B +.推广：如果事件1A ,2A ,…,n A 两两互斥(彼此互斥),那么事件12n A A A +++发生的概率,等于这n 个事件分别发生的概率的和,即()12n P A A A +++=()()()12n P A P A P A ++. ②若事件B 与事件A 互为对立事件,则()P A =()1P B -. 2.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．(二)随机变量的分布列、期望与方差 1. 常用的离散型随机变量的分布列 (1)二项分布如果随机变量X 的可能取值为0,1,2,…,n ,且X 取值的概率()P X k ==C k k n kn p q-(其中0,1,2,,,1k n q p ==-),其随机变量分布列为X1 … k… nPC nnp q111C n np q- …C k kn knp q- …C n n n p q则称X ,X B n p ~(2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为C CC k n kM N M n N--()0,1,2,,k m =,其中{}min ,m M n =,且n N ,M N ,n ,M ,*N ∈N .此时称随机变量X 的分布列为超几何分布列,称随机变量X 服从超几何分布.2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率 I.条件概率一般地,设A ,B 为两个事件,且()0P A >,称()()()P AB P B A P A =为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.在古典概型中,若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数,则()()()()()n AB P AB P B A n A P A ==. II .相互独立事件(1)若,A B 相互独立.则()P AB =()()P A P B .(3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. III .独立重复试验与二项分布在n 次独立重复试验中,事件A 发生k 次的概率为(每次试验中事件A 发生的概率为p )()C 1n kk kn p p --,事件A 发生的次数是一个随机变量X ,其分布列为()01)2()C 1(n kk k nP X k k n p p -===-⋯，，，，,此时称随机变量X 服从二项分布. 学科*网3.离散型随机变量的数学期望（均值）与方差 (1)若离散型随机变量X 的概率分布列为Xx 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n则称EX =1122i i n n x p x p x p x p ++++⋯+⋯X . (2)若Y aX b =+,则EY =aEX b +,) (D aX b +=2a DX . (3)若()X B n p ～，,则EX np =.()(1)D X np p -=. 4.正态分布(1)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x μ=对称；③曲线在x μ=2πσ；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移,⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率 ①0().6826P X μσμσ-<+=；②2209().544P X μσμσ-<+=； ③3309().974P X μσμσ-<+=. 二、统计与统计案例 (一)抽样方法 1．简单随机抽样设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当Nn是整数时,取N k n =．如果遇到Nn不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k ．(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +,再加k 得到第3个个体编号()2l k +,依次进行下去,直到获取整个样本．3．分层抽样在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的,往往选用分层抽样．注：不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的． （二）统计图表的含义 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． （三）样本的数字特征1．众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．2．中位数：将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数3．平均数：样本数据的算术平均数,即x =()121n x x x n+++．4．方差：()()()2222121ns x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦(nx 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数)．5.标准差：()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦． （四）线性回归直线方程 1．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)相关系数r ＝∑∑∑===----ni nj jini iiy yx x y yx x 11221)()())((,当0r >时,表示两个变量正相关；当0r <时,表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时,便认为两个变量具有很强的线性相关关系．当1r =时,两个变量在回归直线上 2．回归直线方程(1)通过求21()ni i i Q y x αβ==--∑的最小值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的α,β的值即分别为aˆ,b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ,22(,)x y ,…,()n n x y ,,其回归方程为a x b y ˆˆˆ+=,则1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i n ni ii i x x y y x ynx y b x x xnx ay bx ====⎧---⋅⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑．注：样本点的中心(),x y 一定在回归直线上．（3）相关系数22121ˆ()1()ni i i n i i y yR y y ==-∑=--∑．2R 越大,说明残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；2R 越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中,2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,2R 越接近于1,表示回归的效果越好． （六）独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量． （2）像下表所示列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ,它们的可能取值分别为12(,)x x 和12(,)y y ,其样本频数列联表（称为22⨯列联表）为y 1 y 2 总计x 1 a b a b + x 2 cdc d +总计a c +b d +a b c d +++构造一个随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n a b c d =+++为样本容量．确定临界值0k ,如果2K 的观测值0k k ,就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．。

二项分布的期望和方差的详细证明大家好，今天我们来聊聊二项分布的期望和方差。

咱们得明白什么是二项分布。

二项分布呢，就是说，有n次独立的伯努利试验，每次成功的概率都是p。

那么这n次试验中成功了多少次呢？这个我们就用X来表示。

那么问题来了，X的期望是多少呢？方差又是多少呢？别急，我们一步一步来分析。

我们来看期望。

假设这n次试验是完全独立的，那么每次试验成功的概率都是p,失败的概率都是1-p。

所以，每次试验成功的概率加起来就是1。

那么，X次试验中成功的次数加起来就是n*p。

所以，X的期望就是n*p。

这个期望很好理解吧，就是每次试验成功的概率乘以试验的次数。

接下来，我们来看方差。

方差是什么呢？方差就是衡量数据离散程度的一个指标。

有了期望，我们就知道了每次试验成功的概率加起来是1。

那么，X次试验中成功的次数加起来减去期望值就是方差。

所以，X的方差就是n*p*(1-p)/n^2。

这个方差也好理解吧，就是每次试验成功的概率乘以(1-成功的概率),再除以试验次数的平方。

现在我们已经知道二项分布的期望和方差了，那么怎么用这两个概念来解决实际问题呢？比如说，我们要估计一个实验需要进行多少次才能达到95%的可信度。

这个问题呢，我们可以用二项分布来解决。

因为可信度是一个概率问题，而二项分布正好可以描述这种概率问题。

我们要确定成功的概率p和可信度对应的事件数z。

可信度是指在n次独立试验中，至少发生z次成功的概率。

所以，我们可以得到这样一个等式：p^z + (1-p)^(n-z) >= 0.95。

这个等式的意义是：在n次独立试验中，至少有z次成功的概率大于等于95%。

接下来，我们要解这个等式。

这个等式其实挺难解的，但是我们可以用二项分布的期望和方差来帮助我们求解。

我们把等式两边同时取对数：log(p^z + (1-p)^(n-z)) >= log(0.95)。

然后，我们可以把等式左边的指数部分提取出来：z * log(p) + (n-z) * log(1-p) >= log(0.95)。

二项分布的期望和方差的详细证明大家好，今天咱们来聊聊那个让人头疼的数学问题——二项分布。

别急，慢慢来，让我用轻松幽默的方式带你走进这个神秘的世界。

咱们得知道什么是二项分布。

想象一下，你参加了一个游戏，有两次机会，每次成功的概率是0.5，失败的概率也是0.5。

这就是二项分布的基本模型。

那么，二项分布的期望和方差是什么呢？别急，咱们一步步来。

先说说期望吧。

简单来说，期望就是所有可能结果加起来的平均数。

在二项分布中，期望就是0.5乘以0.5，也就是0.25。

这就像是玩游戏，你每次都有机会赢，但总有一个机会是输的，所以平均下来，你赢了一半的机会，输了一半的机会。

再来说说方差。

方差嘛，就是每个结果与期望的差距的平方的平均值。

在二项分布中，方差就是0.25的平方再除以2，也就是0.125。

这就像玩游戏，你每次都有机会赢或者输，但总有一些意外情况发生，导致你离期望越来越远。

现在咱们来个小游戏，看看二项分布的期望和方差是怎么计算的。

假设你有两次机会，第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。

那么，第一次的结果可能是成功或失败，第二次的结果也同理。

这样，我们可以得到一个二项分布的样本。

接下来，我们要计算期望和方差。

计算期望。

假设第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。

那么，第一次和第二次成功的概率相加为0.3+0.4=0.7，失败的概率相加为0.7+0.6=1.3。

所以，期望就是0.7乘以0.7，也就是0.49。

这就像是玩游戏，你每次都有机会赢，但总有一些意外情况发生，导致你离期望越来越远。

然后，我们来计算方差。

假设第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。

那么，第一次和第二次成功的概率相加为0.3+0.4=0.7，失败的概率相加为0.7+0.6=1.3。

所以，方差就是0.7乘以0.7再除以2，也就是0.49的平方再除以2，也就是0.125。

第十讲二项分布及应用随机变量的均值与方差知识要点1.事件的相互独立性(概率的乘法公式)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．4.条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．7.离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n.(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望．n(2)方差：D(X)＝∑(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，其算术平方根D X为随机变量X的标准差．i＝1(3)均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)8.两点分布与二项分布的均值、方差变量X服从两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p) 典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.例2．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6．(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．例7．(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．例8.【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.例9.（2016 河北张家口市 三模21）（本小题满分12分） 设函数()21x f x e x ax ＝－－－． (Ⅰ)若0a ＝，求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．参考答案例1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99100p =. （2）X 的分布列为：X 的期望为()2E X =.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===， 所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. 例2．如图10－8－1，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576【答案】 B 12A A 、 至少有一个正常工作的概率为21(10.8)0.96P =--= ，则系统正常工作的概率为0.90.960.864K P P ⋅=⨯=例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．【尝试解答】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327， 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【尝试解答】 (1)选手甲答3道题进入决赛的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，选手甲答4道题进入决赛的概率为C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13·23＝827， ∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P ＝827＋827＝1627； (2)依题意，ξ的可取取值为3、4、5，则有P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13·23＋C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·23·13＝1027，P (ξ＝5)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·23＋C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·13＝827， 因此，有∴Eξ＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.规律方法2 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X ～B (n ，p )，则可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解．例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元； 方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元． 如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？ 【解答】 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60.P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)． (2)对于方案1：设每位顾客获得的奖励额为X 1元，则随机变量X 1的分布列为∴数学期望E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60， 方差D (X 1)＝(20－60)26＋23×(60－60)2＋(100－60)26＝1 6003.对于方案2：设顾客获得的奖励额为X 2元，则X 2的分布列为∴数学期望E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60， 方差D (X 2)＝(40－60)26＋23×(60－60)2＋(80－60)26＝4003.根据预算，每个顾客的平均奖励额为60元，且E (X 1)＝E (X 2)＝60，D (X 1)>D (X 2)． 因此，根据商场的设想，应选择方案2.例6.如图10－9－4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．图10－9－4(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．【解】(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.例7．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：图10－9－3(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)众数：8,6；中位数：8.75(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为416＝14，故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福”的人的概率P ＝14ξ的可能取值为0,1,2,3P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 1314⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764 P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫14234＝964；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164 所以ξ的分布列为Eξ＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75另解由题可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以Eξ＝3×14＝0.75. 例8. 【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）107；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知 1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+， 再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B :，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X 的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一 直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计 的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以 关注.例9.【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.【答案】（1）当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）详见解析. 【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)a g x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x -+-'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减； 当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. （2）由()222ln 2(1)0af x x a x x '=---+=，解得11ln 1x x a x ---=+. 令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2()ln 2()2()1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------=-++--+++++. 则211(2)2(1)10,())2()011e e e e e e ϕϕ----=>=--<++，. 故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=. 令000101ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---==--≥+，. 由1()10u x x '=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增. 所以001110()(1)()20111111u x u u e e a x e e ----=<=<=<++++. 即0(0,1)a ∈.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出()f x 的大致图象，要使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解，则这个解0x 应为极小值点，且极小值为0，当0(1,)x x ∈时，()f x 的图象递减；当0(,)x x ∈+∞时，()f x的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.。

二项分布的期望和方差的详细证明在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。

它在众多领域都有广泛的应用，例如质量控制、医学研究、市场调查等。

理解二项分布的期望和方差对于深入掌握概率统计的知识具有关键意义。

接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。

首先，让我们回顾一下二项分布的定义。

如果进行 n 次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 p，那么成功的次数 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)。

我们先来证明二项分布的期望。

期望（Expected Value），也称为均值，是描述随机变量平均取值的量。

设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p)，则 X 可以表示为 X ＝ X₁＋X₂＋＋ Xₙ ，其中 Xᵢ（i ＝ 1, 2,， n）是相互独立且同分布的伯努利随机变量，即 Xᵢ取值为 1 表示成功，取值为 0 表示失败，且 P(Xᵢ＝ 1) ＝ p ，P(Xᵢ＝ 0) ＝ 1 p 。

那么 E(Xᵢ) ＝ 1×P(Xᵢ＝ 1) ＋ 0×P(Xᵢ＝ 0) ＝ p 。

因为期望具有线性性质，即对于任意随机变量 Y 和 Z 以及常数 a 和b ，有 E(aY ＋ bZ) ＝ aE(Y) ＋ bE(Z) 。

所以 E(X) ＝ E(X₁＋ X₂＋＋ Xₙ) ＝ E(X₁) ＋ E(X₂) ＋＋E(Xₙ) ＝ np 。

接下来证明二项分布的方差。

方差（Variance）是衡量随机变量取值相对于其期望的分散程度的量。

我们知道方差的定义为 Var(X) ＝ E(（X E(X)）²) ，也可以表示为Var(X) ＝ E(X²) （E(X)）²。

先计算 E(X²) ：E(X²) ＝∑x²×P(X ＝ x) （x 从 0 到 n）因为 X 服从二项分布 B(n, p) ，所以 P(X ＝ x) ＝ C(n, x) × p^x ×（1 p)＾（n x) 。

二项分布的期望和方差二项分布是一种随机变量分布，它是用来描述在一个实验中，发生某种结果的机会模型。

它也是概率论里最基本的概率分布之一，被用于很多领域，包括统计学、社会研究、商业等，它可以被用来模拟、分析和预测一个实验或观察结果。

二项分布由其期望(E)和方差(Var)决定。

期望可以表示平均情况下这个随机变量发生的次数，而方差表示发生次数的变异程度。

二项分布的期望可以用下式表示：E= n*p其中，n代表实验次数，p代表每次实验正确结果的概率。

例如，有一个抛硬币实验，n=10次，抛正面的概率p＝0.5，二项分布的期望E=10*0.5=5。

即抛十次，正面出现的次数平均应为5次。

二项分布的方差可以用下式表示：Var=n*p*(1-p)，其中，n代表实验次数，p代表每次实验正确结果的概率，(1-p)表示错误结果的概率。

例如，上面的抛硬币实验，n=10次，抛正面的概率p＝0.5，那么二项分布的方差Var=10*0.5*(1-0.5)=2.5。

即抛十次，正面出现的次数的变异程度为2.5次。

从上面的例子可以看出，二项分布的期望和方差与实验次数n、正确结果的概率p有关。

当实验次数n增加时，二项分布的期望也随之增大，而方差则不变。

另外，当正确结果的概率p增加时，二项分布的期望也增大，而方差则减少。

这是由于增加正确结果的概率意味着一次实验的正确结果将更可能，而此时，实验结果的变异程度将会变小，即方差减少。

此外，二项分布具有一定的归一性，即n和p够大，二项分布近似于正态分布。

这是由于当n越大，正确结果和错误结果的概率接近，即p越接近0.5，此时，二项分布和正态分布越接近。

综上所述，二项分布是描述在一个实验中，发生某种结果的机会模型，它的期望和方差取决于实验次数n和正确结果的概率p，且具有一定的归一性，和正态分布有很强的相似性。

二项分布的期望和方差的详细证明在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。

它描述了在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数的概率分布。

理解二项分布的期望和方差对于深入掌握概率统计的知识具有重要意义。

接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。

首先，让我们回顾一下二项分布的定义。

如果进行 n 次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 p，那么随机变量X 表示 n 次试验中成功的次数，就服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)。

我们先来证明二项分布的期望。

期望（Expected Value）也称为均值，它反映了随机变量取值的平均水平。

设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p)，则 X 的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

期望 E(X) 的定义为：E(X) ＝Σ k P(X ＝ k) ，即对所有可能的取值k 乘以其对应的概率 P(X ＝ k) ，然后求和。

则 E(X) ＝Σ k C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，（k 从 0 到 n ）我们对这个求和式进行变形：E(X) ＝Σ k n! ／ k! （n k)！ p^k （1 p)＾（n k)＝Σ n （n 1)！／（k 1)！（n k)！ p^k （1 p)＾（n k)＝n p Σ （n 1)！／（k 1)！（n k)！ p^（k 1) （1 p)＾（n k)令 j ＝ k 1 ，则 k ＝ j ＋ 1 ，当 k 从 0 到 n 时，j 从－1 到 n 1 。

但由于概率在 j ＝－1 时为 0 ，所以我们只需要对 j 从 0 到 n 1 求和。

E(X) ＝n p Σ （n 1)！／ j! （n 1 j)！ p^j （1 p)＾（n 1 j) ，（j 从 0 到 n 1 ）而这个求和式正好是二项分布 B(n 1, p) 的所有概率之和，根据概率的性质，其和为 1 。