函数与方程的思想方法doc

2010高考数学考点预测： 函数与方程的思想方法《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。

其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。

数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。

高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。

《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。

而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。

“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。

” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。

在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。

一、函数与方程的思想所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。

运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。

所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。

函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。

函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。

1、利用函数与方程的性质解题例1．（2008安徽卷，理,11）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ）A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<分析：要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的(),()f x g x 都未知，只有一个等式，就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用x -替换x ，从而得到两个方程组成方程组解出。

解：因为()()xf xg x e -=，用x -替换x 得： ()(),xf xg x e ----=因为函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，所以()()xf xg x e -+=-，又()()xf xg x e -=解得：(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==-，而)(x f 单调递增且()00f =，∴()()320f f >>大于等于0，而1)0(-=g ，故选D 。

答案：D评注：本题中利用函数的性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函数的单调性比较函数值的大小关系，是函数与方程的较好得结合。

2、构造函数解题例2. (2008天津卷，理，16）设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦满足方程c y x a a =+l o g l o g ，这时，a 的取值的集合为 。

分析:题目给出的方程中含有,,,x y a c 等多个字母，而条件中是对任意的[]a a x 2,∈都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于y 的函数，再进一步研究函数的性质。

解：由已知c y x a a =+log log ，得ca y x=（其中[,2]x a a ∈），函数为反比例函数，在[],2a a （1>a ）上为单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，11[,]2c c a y a --∈又因为对于任意的[]a a x 2,∈，都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦，所以1122log 223a c c a c a a c a --⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎩≥+≥≤≤，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以a 的取值的集合为{2}。

答案：{2}评注:本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出。

本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。

3、函数与方程、不等式的转化例3．（2008广东卷，理14)已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ．分析：求参数a 的范围，可以先将a 分离出来，表示为x 的函数，求出函数的值域，进而得到参数a 的范围解：方程即221111[0,]4244a a x x x ⎛⎫-+=--=-++∈ ⎪⎝⎭,利用绝对值的几何意义,得111444a a a a -+≤-+≤，可得实数a 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到a 的不等式，求得参数a 的范围。

例4．（福建德化一中2008，理）若关于x 的方程2210x kx +-=的两根12x x 、满足1212x x -?<0<，则k 的取值范围是（ ）A ．3(,0)4-B ．3(,0]4-C ． 3(0,)4D ．3[0,)4分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为函数值表示的不等式组解出。

解：设函数()221f x x kx =+-，∵关于x 的方程2210x kx +-=的两根12x x 、满足1212x x -?<0<，∴()()()100020f f f ⎧-≥⎪<⎨⎪>⎩即2010430k k -≥⎧⎪-<⎨⎪+>⎩∴304k -<≤，故选择B 。

答案：B评注：对于二次方程的实根分布问题，要转化为二次函数，由二次函数的图象和各端点对应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。

4、函数与方程在立体几何中的应用例5．（2008北京卷，理，8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由MN 的特殊性与平面11BB D D 垂直，可以把MN 向平面ABCD 内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成。

解：设正方体的棱长为a ，由图形的对称性知P 点始终是MN 的中点， 而且随着P 点从B 点向BD 的中点滑动，y 值逐渐增大到最大，再由中 点向1D 点滑动，而逐渐变小，排除,,A C ，把MN 向平面ABCD 内正投 影得''M N ，则''M N =MN y =，由于1'BP BD BP BD ===，∴'BP =，所以当x ≤时，2'MN y BP x ===为一次函数，故选B 答案：B评注：本题为函数的变化趋势问题，通过观察进行理性地分析，再从数值上加以运算。

5、函数与方程在解析几何中的应用例6．（2008山东淄博）若1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.CD N P A 1B1C 1D 1'M'NC（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF 2PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点M (1，)2的直线l 与椭圆交于两不同的点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.分析：（Ⅰ）中可以设出P 点的坐标，用坐标表示出1PF 2PF ⋅，得到函数求最值。

（Ⅱ）中研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。

解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-又2214x y += ∴ 21PF PF ⋅()2221133844x x x =+--=-[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1．解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然当直线的斜率不存在即0x =时，不满足题设条件 可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立 22142x y y kx ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 得 ()22424x k x ++=即 ()2221416120k x kx +++=∴ 1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+图4由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 即 2430k -> 解得 234k >① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅> ∴ 12120O A O B x x y y ⋅=+>∴ 212121212(2)(2)2()4y y k x k x k x x k x x =++=+++ ∴ 1212x x y y +21212(1)2()4kx x k x x =++++ 2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++ 224(4)014k k-=>+ ∴ 2144k -<< ② 综①、②可知2344k <<∴ k 的取值范围是3(2,(,2)-． 评注：解析几何中点的坐标，线的方程都与函数、方程是相通的，可以利用函数与方程的思想解答问题。