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离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学等价公式表16个一、双重否定律。
1. “非非A等于A”。
就好像说“不是不喜欢那就是喜欢啦”，A和两个否定后的A是一回事儿，这就是双重否定律。
二、幂等律。
2. “A和A做合取（并且）还是A”，就像你说“苹果是水果并且苹果是水果”，这其实就等于说“苹果是水果”，这就是A合取A等价于A。
3. “A或A做析取（或者）还是A”。
好比“今天要么是晴天要么是晴天”，这和说“今天是晴天”是一样的，A析取A等价于A。
三、交换律。
4. “A和B做合取，等于B和A做合取”。
这就像说“小明是男生并且小红是女生”和“小红是女生并且小明是男生”是一样的，合取里A和B的顺序换一换不影响结果。
5. “A或B做析取，等于B或A做析取”。
比如说“要么吃苹果要么吃香蕉”和“要么吃香蕉要么吃苹果”是一样的道理，析取时A和B交换顺序结果不变。
四、结合律。
6. “A和（B和C）做合取，等于（A和B）和C做合取”。
这就好比三个人站一起，不管是先把后面两个人看成一组再和前面的组合，还是先把前面两个人看成一组再和后面的组合，最后都是这三个人站一起的关系，合取的这种组合方式结果一样。
7. “A或（B或C）做析取，等于（A或B）或C做析取”。
例如去旅游，不管是先想“去北京或者（去上海或者去广州）”，还是“（去北京或者去上海）或者去广州”，其实都是在考虑这三个地方去其中一个的选择，析取的这种组合结果相同。
五、分配律。
8. “A和（B析取C）等于（A和B）析取（A和C）”。
可以想象成你有一堆苹果（A），要分给两组人，一组是喜欢香蕉或者橙子（B析取C）的人，这就相当于把苹果分给喜欢香蕉的人（A和B）或者分给喜欢橙子的人（A和C）。
9. “A或（B合取C）等于（A或B）合取（A或C）”。
比如参加比赛，你可以是数学好（A）或者（语文好并且英语好（B合取C）），这就相当于（数学好或者语文好（A或B））并且（数学好或者英语好（A或C））。
六、德摩根律。
10. “非（A和B）等于非A或非B”。
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）重点：如何判断语句是否为命题。
1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点：五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化：所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。
命题符号化的重要性命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。
重点：命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。
②句子中连词是否为命题联结词。
③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式（必须掌握）(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点：等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。
离散数学右箭头真值表
一、合式公式
原子命题：不可再分的命题，即不包含任何逻辑联结词的命题命题变元：公式中没有确定真值的变量，其真值只能在 0,1 两者中选择
合式公式（递归定义法）：
①真值 1 和 0 是合式公式；
②原子命题公式是一个合式公式；
③如果 A 是合式的公式，那么¬A是合式公式；
④如果 A 和 B 均是合式的公式，那么A∧B,A∨B,A→B,A↔B 都是合式公式；
⑤当且仅当有限次地应用①至④条规则由逻辑联结词、圆括号所组成的有意义的符号串是合式的公式。
我们把合式的公式简称为命题公式。
一般一个命题公式的真值是不确定的，只有用确定的命题去取代命题公式中的命题变元，或对其中的命题变元进行真值指派时，命题公式才成为具有确定真值的命题。
二、真值表
设 A 为一命题公式，对其中出现的命题变元做所有可能的每一组真值指派S，连同公式 A 相应S(A) 的取值汇列成表，称为 A 的真值表。
一个真值表由两部分构成：
①表的左半部分列出公式的每一种解释；
②表的右半部分给出相应每种解释公式得到的真值。
为构造的真值表方便和一致，有如下约定：
（1）命题变元按字典序排列。
（2）对公式的每种解释，以二进制数从小到大或者从大到小顺序排列。
（3）若公式复杂，可先列出各子公式的真值（若有括号从里层向外展开），最后列出所给公式的真值。
