下载文档原格式
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要讲解比例线段的有关概念和性质，以及三角形一边的平行线的相关性质和判定．比例线段的知识点，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．对比例线段的学习之后，我们进一步学习三角形一边的平行线分线段成比例的相关性质和判定．三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论和三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理．重点是掌握这两个定理及其推论，分清两个定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A ”字型和“X ”字形这两个基本图形，最后灵活运用本节的三个定理及两个推论，理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．知识结构模块一：放缩与相似形知识精讲1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为 1．例题解析【例1】下列说法中错误的是（）A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形B．同一颗树在太阳光下先后两次形成的影子是相似形C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形【难度】★【答案】B【解析】不同的时刻下，阳光与树射入的夹角不同，形成的影子大小不同，即不是相似形．【总结】考查相似形的定义，抓住相似形的基本定义即形状完全相同才是相似形．【例2】有以下命题：1 邻边之比为2 : 3 的两个平行四边形相似；2 有一个角是40°的两个菱形相似；3 两个矩形相似；4 两个正方形相似，其中正确的是（）A．1和2 B．2和4 C．3 和4 D．1 和3【难度】★★【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90 度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B．【总结】考查相似形的定义，根据相似形的性质可知对应角相等，对应边成比例才是相似形．b 甲乙ba 甲b 乙【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm 和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为．【难度】★★【答案】4.8cm 或7.5cm ．【解析】设矩形另一边长为xcm ，根据相似形的定义，对应边成比例，可知5=4或5=4，6 x x 6解得：x = 4.8 或x = 7.5 ．【总结】考查相似图形的性质，对应边成比例，但要注意好对应关系，题目未指明的要进行分类讨论．【例4】在平面内，两个形状相同、大小不一定相同的图形称作相似形．我们可以把这一概念推广到空间：如果两个几何体的形状完全相同，大小不一定相同，我们称它们为相似体．如图，甲乙两个不同的正方体，它们是相似体．若两个正方体的棱长分别为a 和b，则称这两个相似体的相似比为a : b．我们不难发现它们的一些基本性质：设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则S甲=S乙6a26b2⎛a ⎫2= ⎪；⎝⎭设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则V=a3=V b3⎛a ⎫3⎪．⎝⎭（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A．两个圆柱体B．两个圆锥体C．两个球体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①两个相似体的对应线段或对应弧长的比等于；②两个相似体表面积的比等于；③两个相似体体积的比等于．（3）某海岛周围海域出产一种鱼，在体长10 厘米之后的生长过程中，体型可以近似地看作相似体．若体长20 厘米的鱼质量为0.2 千克，则体长为60 厘米的鱼质量为多少？当地市场上出售这种鱼价格与体长成正比，购买哪种鱼更划算？60【难度】★★★【答案】（1）C ；（2）相似比，相似比的平方，相似比的立方；（3） 5.4kg ， 60cm 划算 【解析】（1）和圆一样，球只有一个基本量，即半径，所有球体都是相似体，类似所有圆都是相似形，其它的几何体都是至少两个基本量，不能确定相似；（2）表面积是进行平方运算，体积是进行立方运算，由正方体相似进行归纳总结，由此可得相似体对应线段比是相似比，表面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方； （3）鱼的体型可看作相似体，可知其体积比即为相应相似比的立方，即鱼体长比的立方，设60cm 长鱼体重mkg ，则有0.2 m ⎛ 20 ⎫3= ⎪ ，解得m = 5.4 ，这种鱼的价格与体长成正比，⎝ ⎭可知体型越大，这种鱼的单价越低，由此可知60cm 体长的鱼划算．【总结】阅读题，主要考查归纳总结的能力，要用题目中的条件分析清楚，进行类比，即可解决问题．知识精讲1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作a : b （或表示为a）；b如果a : b = c : d （或 a = c），那么就说a 、b 、c 、 d 成比例．b d 2、比例的性质（1）基本性质：如果 a = c，那么ad = bc ；b d 如果 a =c ，那么 b =d ， a = b ， c = d．b d （2）合比性质： ac cd a b 如果 a = c ，那么 a + b = c + d；b d b d 如果 a =c ，那么 a - b = c - d．b d b d（3）等比性质： 如果 a = c = k ，那么 a + c = a = c= k （如果是实数运算，要注意强调b + d ≠ 0 ）．b d 3、比例线段的概念b + d b d对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果 a : b = c : d （或表示为 a = c ），那么a 、b 、c 、db d叫做成比例线段，简称比例线段． 4、黄金分割如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB （ AP > PB ）两段（如下图），其中 AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的黄金分割点．其中， AP = AB5 - 1 ≈ 0.618 ，称为黄金分割数，简称黄金数． 2 模块二：比例线段APB2 ⎩ ⎩【例 5】把ab = 1cd 写成比例式，不正确的写法是（）2A ． a = dB ． a = dC ． 2a = dD ． c =2ac 2b 2c b c b b d【难度】★ 【答案】B【解析】应用比例的基本性质，可知 B 选项即为ab = 2cd ，与原条件不符，故选 B ． 【总结】考查比例式的变形，应用比例的基本性质转化为等积式，看能不能得到原本题目条件乘积式即可．【例 6】已知线段 x 、y 满足(x + y ): (x - y ) = 3 :1 ，那么 x : y 等于（）A ．3 : 1B ．2 : 3C ．2 : 1D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C⎧x + y = 3k 【解析】令⎨x - y = k ⎧x = 2k ，可解得⎨ y = k ，即得 x : y = 2k : k = 2 :1 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系．【例 7】等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 ．【难度】★【答案】 2 : 2 ．【解析】设三角形直角边长为 a ，根据勾股定理可知斜边长为 2a ，直角边与斜边比为a : 2a = 1: = 2 : 2 ．【总结】考查应用勾股定理解决等腰直角三角形三边比，注意结果要进行化简．例题解析5【例 8】已知 a = c，则下列式子中正确的是（）b d A ． a : b =c 2 :d 2C ．a :b = (a +c ): (b +d ) B ． a : d = c : bD ．a :b = (a - d ): (b - d )【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例的合比性，可知 C 正确．【总结】考查比例的性质的变形应用，本题根据合比性即可很快得出答案．【例 9】若 a = 8 cm ，b = 6 cm ，c = 4cm ，则 a 、b 、c 的第四比例项 d =cm ；a 、c 的比例中项 x = cm ．【难度】★★【答案】3， 4 2 ．【解析】根据第四比例项和比例中项的基本定义，可得 a = c ， a = x，代入即可分别求得d = 3cm ， x = 4 2cm ．【总结】考查比例定义中的相关基本概念．【例10】已知点C 是线段AB 的黄金分割点，AC = 5 b d x c - 5 ，且AC > BC ，则线段AB = ，BC = ．【难度】★★【答案】10，15 - 5 5 ．【解析】根据黄金分割点的概念，且 AC > BC ，可知 AC=AB5 - 1， AC = 5 2- 5 代入可得AB = 10 ，则 BC = AB - AC = 15 - 5 ．【总结】考查黄金分割点的概念，以及相关的黄金比．5 53【例 11】已知三个数 2、 3 、5，填一个数，使这四个数能组成比例，这个数可能是．【难度】★★★【答案】 5 3 或10 3 或 2 3 ．2 3 5【解析】设这个数是 x ，根据比例的基本性质，转化后，可以得到三种情况，即2x = 5 ，3x = 5 ⨯ 2 ， 5x = 2 ，分别解得 x =5 3， x = 10 3 ， x = 2 3． 2 3 5【总结】考查对比例基本性质的应用，一定要注意题目条件的说明是否需要进行分类讨论的情况，通过转换为乘积的形式，可以做到不重不漏．【例 12】已知实数 a 、b 、c 满足 b + c = c + a = a + b ，求 b + c的值．a b c a 【难度】★★★ 【答案】2 或-1【解析】当 a + b + c ≠ 0 时，根据比例的等比性质，可得b +c = b + c + c + a + a + b= 2 ； a a + b + c当 a + b + c = 0 时，则有b + c = -a ，由此 b + c = -a= -1 ．a a故 b + c 的值为 2 或-1 ．a【总结】考查比例的等比性质，注意等比性质在实数运算中运用的条件，要根据分母是否为 0 进行分类讨论．3AlDEBCAD E BC1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知∆ABC ，直线 l // BC ，且与 AB 、AC 所在直线交于点 D 和点 E ，那么 AD = AE．DB EC2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点 D 、 E 分别在∆ABC 的边 AB 、 AC 上，DE // BC ，那么 DE = AD = AE．BC AB AC3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在∆ABC 中，直线l 与 AB 、 AC 所在直线交于点 D 和点 E ，如果 AD = AE ，那DB EC 么l // BC ．模块三：三角形一边的平行线知识精讲AlEDBCAl DEB C6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线l // l // l ，直线m 与直线 n 被直线l 、l 、l 所截，那么 DF= EG．1 2 3 1 2 3FB GC7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例 13】如图，DE // BC ，AD = 5，BD = 2，AE = 3，BC = 8，求线段 AC 、DE 的长． 【难度】★ 【答案】 AC =21 ， DE = 40 ． 5 7【解析】AD = 5，BD = 2，可得 AB = AD + BD = 7 ，由 DE // BC ，根据三角形一边平行线性质定理的推论，可得 AE = DE = AD，AC BC AB即 3 = DE = 5 ，可求得： AC = 21 ， DE = 40 ． AC 8 7 5 7【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意解题中适当应用边的关系和相关比例的性质．D EFGBC例题解析AEDBC ADEB CADEB CC EADB3 【例 14】如图， ∆ABC 中，DE // BC ，AD = EC ，BD =4 cm ，AE = 3 cm ，则 AB = ．【难度】★★【答案】(4 + 2 3)cm ．【解析】设 AD = xcm ，由 DE // BC ，可得 AD = AE ，又 A D E C = ，AB ACADE 则该式即为 x = 3，整理得 x 2 = 12 ，由此得 x = 2 ，x + 4 3 + x BCAB = AD + BD = (4 + 2 3)cm ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意好题目中对相关条件的应用，改写成比例式解决问题．【例 15】∆ABC 中，∠A = 90︒ ，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，若 DE = BD，那么 DEAC BA平行于 AC ．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”） 【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知一条直线截三角形两边所得的线段对应成比例，可判定平行，本题中对应成比例的并不是截三角形两边所得线段对应成比例，即 不可判定平行，在 AB 上固定一点 D ，作 E D ⊥A B 交 BC 于点 E ，以点 D 为圆心，ED 长 为半径画圆，与边 AB 还会有另外一个交点，即不一定能判定平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的条件，只能根据所截得的两边线段对应成比例判定平行，而不能根据这条直线对应成比例关系判定平行．【例 16】如图，两条相交于点 O 的直线被另外三条直线所截，交点分别为 A 、B 、C 和 D 、 E 、F ，则下列说法中正确的有（ ）（1）若 AD // BE // FC ，则 AB = BC；DE EF OF AC（2）若 AD // BE // FC ，则 =； OC DF（3）若 AB = DE，则 AD // FC ；BC EF （4）若 BC = BO，则 BE // FC ；EF EO （5）若 BE = BO，则 BE // FC ．FC OCA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，知（1）正确；同时 OF = OD = OF + OD = DF，OC OA OC + OA AC知（2）错误；根据平行线分线段成比例定理，由于题目中没有给出有直线与 BE 平行的条件，则不能证明平行，（3）错误；根据三角形一边平行线的判定定理，BC = BO，EF EO根据比例的基本性质变形可得 BO = OE，即可证平行，可知（4）正确，（5）错误．OC OF 【总结】考查平行线分线段成比例相关的性质定理和判定，注意前提条件再进行判断．【例 17】如图， ∆ABC ，DE // BC ，若 AD = 2，则 S : S =（）DB 3∆CDE ∆BDCA ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 15D ．6:15【难度】★★ 【答案】B【解析】根据 DE // BC ，可得 AE = AD = 2，三角形为同EC DB 3高三角形，则有 S ∆ADE = AE = 2，可设 S = 2a ，则S ∆CDE EC 3∆ADE有 S = 3a ， S= 5a ，同理 S ∆ACD = AD = 2 ， ∆CDE ∆ACDS ∆BCD BD 3可得 S ∆BCD = 15 a ，则有 S 2∆CDE : S ∆BDC = 3a : 15 a = 2 : 5 ． 2【总结】结合三角形一边平行线性质定理，考查三角形中的同高三角形，面积比即为其底边长度之比．ADB E O FCA DEB C【例 18】如图，DF // AC ，DE // BC ，下列各式正确的是（ ）A ． AD = BE BC CF 【难度】★★ 【答案】DB ． AE = CE DE BC C ． AE = BD CE AD D ． AD =AB DE BC 【解析】由 DE // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AD =DE ，变形即为 AB BC AD = AB，D 正确． DE BC 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，利用比例变形可以将对应边成比例转化为一个三角形中对应边的比例关系，利用相关性质等积转化即可进行判断．【例 19】如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下 2.7 米宽的亮区 DE ，如果亮区一边到窗下墙脚的距离 CE = 8.7，窗口高 AB = 1.8 米，那么窗口底边离地面的高度 BC = ．【难度】★★ 【答案】4m ．【解析】射入的光线平行，则有 AB = DE ，代入可求得AC CEA C = 5 . 8m ， BC = AC - AB = 4m ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例 20】如图，AD // EG // BC ，AF = 12，FC =3，BC = 10，AD = 5，那么 EG 的长是 ．【难度】★★ 【答案】9【解析】由 AD // EG // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AF = EF ，AC BC CF = FG ，代入即为AC ADEF = 12 ， FG = 3 ，求得 EF = 8 ， FG = 1， 10 15 5 15 即得： EG = EF + FG = 9 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．AD EBFCA BE DCC G FD B EAD C EOFA B【例 21】如图，已知 ABCD 是梯形，其中 AB // CD ，对角线 AC 与 BD 交于 O ，过 O 作 AB的平行线交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ，若 AO : OC = 2 : 1，且 CD = 1.8，CF = 0.8，那么 AB = ，BC = ．【难度】★★ 【答案】3.6 ， 2.4 ．【解析】由 AB / /CD / /EF ，根据三角形一边平行线的性质定理及推论，可得 AB = AO = OB = BF= 2 ，由此可CD OC OD CF求得：AB = 3.6 ，BF = 1.6 ，故 BC =BF +C F = 2.4 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 22】如图，已知梯形 ABCD 中，AD // BC ，MN // BC ，且交对角线 BD 于 O ，AD = DO =p ，BC = BO = q ，则 MN 为（ ）A ． pq p + q C ．p + q pqB ．2 pq p + q D ．p + q 2 pq【难度】★★ 【答案】B【解析】由 AD // MN // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 MO = BO，AD BDON = DO ，由 AD = DO = p ，BC = BO = q ，代入即为 MO = q ， ON = p ， BC BDp p + q q p + q 求得： MO =pq p + q ， ON = pqp + q，即得： MN = MO + ON =2 pq ． p + q 【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．A D MONB CAC 2 + BC 2 【例 23】如图，直角∆ABC 中两条直角边 CA = 4，CB = 3，点 E 为斜边 AB 上的一个动点，ED ⊥ BC 于 D ，设 AE = x ，BD = y ，则 y 关于 x 的函数解析式为 ．【难度】★★ 【答案】 y = 3 - 3x ．5【解析】由勾股定理，可得 AB = = 5 ，AE = x ，则 BE = 5 - x ，由 ED ⊥ BC ， ∠C = 90︒ ，可得 DE / / AC ，根据三角形一边平行线性质定理，则有 BD = BE，BC AB即 y = 5 - x ，即可得 y = 3 - 3 x ． 3 5 5【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 24】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，求证：（1） AE = AB ；（2） GD 2 = GF GE ．AD CF 【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：（1） 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB / /CD ， AD / /BC ， AB = CD∴ DC = GC =CF AE AG AD ∴AB = CF AE AD即 得 AE =AB AD CF（2）同样地，由 AD / /CF ， DC / / AE ，可得： GD = AG = GE ．GF GC GD∴ GD 2 = GF GE ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的基本应用，考查在有平行线的图形中的基本图形， “A ”字型和“8”字型，“A ”字型和“8”字型有叠合的时候可进行等比例转化．D CGFAB EA EB DC【例 25】如图，在∆ABC 中，AB > AC ，AD ⊥ BC 于 D ，点 F 是 BC 中点，过点 F 作 BC 垂线交 AB 于点 E ，BD : DC = 3 : 2，则 BE : EA = ．【难度】★★★ 【答案】5 :1．【解析】由 BD : DC = 3 : 2，F 为 BC 中点，即可得B F + B F - F D = 3 ，则 B F F D 2= 5F D ，由 EF ⊥BC ，AD ⊥ BC ，可得： EF / / AD ，根据三角形一边平行线性质定理， 即可得： BE : EA = BF : FD = 5 :1 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，过程中注意比例转化．【例 26】如图，在∆ABC 中，E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，AE 、BF 交于点 G ，过 G 作GD // AC 交 BC 于点 D ，若 ED = 5，则 BC 的长为 ．【难度】★★★ 【答案】30．【解析】∵E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，∴G 是∆ABC 的重心．GE 1 ∴ = ． AE 3 ∵GD // AC ，∴可得 ED = GE = 1，EC AE 3由此 EC = 3ED = 15 ， BC = 2EC = 30 ．【总结】考查重心性质的证明，构造平行线，结合三角形一边平行线性质定理即可解决问题．A EB F D CAFG BE DC1 【例 27】如图，AD // OM // BC ，AC 、BD 相交于点 O ．求 证 ： 1 + 1 = 1．AD BC OM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明： AD / /OM / /BC ，O M B M OM AM ∴ = ， A D A B = ． BC AB ∴ O M + O M = B M + A M =． A D B C A B A B即 得 ： 1 + 1 = 1．AD BC OM【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，尤其图形中“A ”字型等基本图形有部分叠加图形的情况下可进行等比例转化．【例 28】如图，已知：在∆ABC 中， BD = 1 ， AF = 2 ，求 AE的值．CD 3 DF AC 【难度】★★★1【答案】 ．3【解析】过点 D 作 DG / / BE 交 AC 于点G ，根据三角形一边平行线的性质定理， 可 得 EG = BD = 1 ， AE = AF = 2 ，GC CD 3 EG DF 则有 AE = 2 ，则有 AE= 2 = 1 ，GC 3 EC 1 + 3 2根据比例的合比性，则有 AE = 1．AC 3【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造平行线，构造出“A ”字型等相关基本图形进行等比例转化解决问题．CDOAM BAEFG BDC【例 29】如图，已知 AM 是 ∆ABC 的中线，P 是 BC 边上的一个动点，过点 P 作 AM 的平行线分别交 AB 、AC 所在直线与点 Q 、R ，求证：PQ + PR 为定值． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明： PR / / AM ，∴ PQ = BP ， PR = PC ． AM BM BM = CM ，AM MC∴ PQ + PR = BP + PC = BC AM BM BM= 2 ．即得： PQ + PR = 2AM ，即证 PQ + PR 为定值．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意观察图形中的基本图形，本题中即用到两个“A ”字型．【例 30】如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与 AB 、DC 、BC 、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、N 、R 、S 和 P ． 求证： PM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明： ．BD / /MS∴ BO = AO ， DO = AO MP AP ∴ BO = DO PM PS PS AP∴ PS = DO PM BO同时由OB / /PR ， OD / /PN ， ∴ OB = OC ， OD = OC PR CP ∴ OB = OD PR PN ∴PN = DO =PN CP PSPR BO PM即证 PM 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，找准图形中的“A ”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化即可．AB O DMC N PR SPN = PR PS PN = PR PSR AQBP MCDEM N PFQ【例 31】（1）如图 1，在∆ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上满足 DE // BC ，点 P 为 BC上的任意一点，AP 交 DE 于点 Q ，求证： DQ = BP．QE PC （2）试参考（1）的方法解决下列问题：如图 2，M 、N 为边 BC 上的两点，且满足 BM = MN= NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、AM 和 AN 的延长线于点 D 、E 和 F ． 求 EF : DE 的值．ABC【难度】★★★【答案】（1）略；（2） 3 :1 ． 【解析】（1）证明： DE / /BC ，∴ DQ = AQ ， QE = AQ ． BP AP ∴ DQ = QE ．BP PC ∴ DQ = BP ． QE PCPC AP（2）过点 B 作 BQ / /DF 交 AF 延长线于点Q ，交 AM 延长线于点 P ，则有 BQ / /DF / / AC ，BM = MN = NC ，∴ BP = BM = 1 ， BQ = BN = 2 ． AC MC 2 AC NC ∴ BP = 1 ，即得： BP = 1 ． BQ 4 PQ 3由（1）的结论即可得 EF : DE = PQ : BP = 3:1．【总结】考查三角形一边平行线的应用，“8”字型的叠合，可以进行相应等量转化确定相关线段之间的比例关系解决问题．图 1图 2AD QE BP C⎩⎩【习题 1】如果图形 A 与图形 B 相似，图形 B 与图形 C 相似，那么图形 A 与图形 C相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【难度】★ 【答案】一定．【解析】根据相似形定义，可知图形 A 与图形 B 形状相同，图形 B 与图形 C 形状相同，则必有图形 A 与图形 C 形状相同，即两图形相似． 【总结】考查相似形具有传递性．【习题 2】若(x + y ): y = 8 : 3 ，则 x : y =．【难度】★ 【答案】5 : 3 ．⎧x + y = 8k【解析】令⎨ y = 3k⎧x = 5k ，可解得： ⎨ y = 3k ，即得 x : y = 5k : 3k = 5 : 3 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系，也可直接利用比例的合比性质进行求解．【习题 3】如图，DE // BC ，下列比例式成立的是（ ）A ． AD = AC AB AE 【难度】★ 【答案】CB ． DE = DA BC AB C ． EA =DA AB AC D ． DA =AE AB AC【解析】根据三角形一边平行线性质定理的推论，由 DE // BC ，可得： DA = EA，可知 C 正确．AC AB 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．随堂检测DEAB C5 5 【习题 4】有以下命题，其中正确的判断有（ ）个（1）如果线段 d 是线段 a 、b 、c 的第四比例项，则有 a = c ；b d （2）如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB 、BC 的比例中项；（3）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC > BC ，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；（4）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC > BC ，且 AB = 2，则 AC = -1 ．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例相关定义，可知（1）正确； C 是 AB 中点时，则有 AC = BC = 1AB ，此2时 AB ≠ AC ，（2）错误；根据黄金分割点的基本定义，可知（3）正确，同时黄金比 AC BC 为 5 - 1 ，即 AC = 5 - 1 ，可得 AC = -1，（4）正确；（1）（3）（4）正确． 2 AB 2综上所述，故选 C ．【总结】考查比例中的相关概念，以及黄金分割等基本知识．【习题 5】如图，已知菱形 BEDF 内接于∆ABC ，点 E 、D 、F 分别在 AB 、AC 和 BC 上，若AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，则菱形边长为 ．【难度】★★【答案】 20cm ．3【解析】根据三角形一边平行线的性质定理，则有 DE = AE，BC AB则有 BE + AE = BE + DE= 1 ，由 AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，AB AB AB BCDE = BE ，即为 DE + DE = 1 ，解得： DE = 20，即菱形边长．15 12 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用．AEDB FC【习题 6】如图，在∆ABC 中，DE // BC ，EF // CD ，AF = 3，FD = 2，求 AB 的长． 【难度】★★【答案】 25．3【解析】AF = 3，FD = 2，可得 AD = AF + FD = 5 ，由 DE // BC ，EF // CD ，可得 AF = AE = AD ，即得 3 = 5 ，求得 AB = 25．AD AC AB 5 AB 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意利用基本“A ”字型，尤其有叠合的图形进行等比例转化．【习题 7】如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 24，X 、Y 是对角线 AC 上的三等分点，联结 DX 并延长，交 AB 于 P ，再联结 PY 并延长，交 DC 于 Q ，则 CQ 的长为【难度】★★ 【答案】6．【解析】由四边形 A B C D 是平行四边形， 可知AB / /CD ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得 DC = XC = 2 ， CQ = CY = 1 ，由此可得 AP AX AP AY 2 CQ = 1 ，即得CQ = 1 CD = 1AB = 6 ． CD 4 4 4【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找到图形中的“X ”字型．AF DE BCDQC YXAP B矩形DEFC 【习题 8】如图，在矩形 ABCD 中，截去一个矩形 ABFE （图中阴影部分），余下的矩形 DEFC与原矩形 ABCD 相似．（1）设 AB = 6 cm ，BC = 8 cm ，求矩形 DEFC 的面积；（2）若截去的矩形 ABFE 是正方形，求 AB的值．BC 【难度】★★【答案】（1） 27cm 2 ；（2）5 - 1 ．2【解析】（1）余下矩形与原矩形相似，根据相似形的性质，则有 DE = EF ，代入即为 DE = 6 ，求得 DE = 4.5cm ， AB BC 6 8则有 S = DE ⋅ EF = 27cm 2；（2）同（1）有 D E =E F ，设原矩形宽为 a ，则有 AE = EF = BF = a ，代入即为 BC - a = a，A B B C⎛ a ⎫2a a BC整理得： a 2 + aBC - BC 2 = 0 ，两边同除以 BC 2，即得 ⎪ ⎝ BC ⎭ +- 1 = 0 ，解方程得 BCa = 5 - 1 ，即 AB = 5 - 1 ，此时为黄金比． BC 2 BC 2 【总结】考查相似形的基本性质的应用．【习题 9】如图，平行四边形 ABCD 中，对角线交点为 O ，E 为 AD 延长线上一点，OE 交CD 于 F ，交 AB 于 G ，交 CB 的延长线与 H ，试求 AB - AD的值．DF DE【难度】★★★ 【答案】2．【解析】由平行四边形的性质，则有 DO = OB ，由此可得DF = GB ，又 DC / / AB ，则有 AG = AE，则有DF DEEDF COA B A D A +G G B -A E ⎛D E⎫A G ⎛ ⎫ A E AGBD F - = - = + 1⎪ - - 1⎪ = ． DE DF D E ⎝ D ⎭F ⎝ D ⎭ EH【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找准图形中的“A ”字型和“8”字 型等基本图形进行比例转化，同时应用好平行四边形的相关性质．AE DF C33 5 - 2 3【习题 10】如图，已知在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，以 BC 为边向外作正方形 BCDE ，联结 AE 交 BC 于 F ，作 FG // AC ，交 AB 于 G ． （1）试判断∆FCG 的形状，并加以证明；（2）若正方形 BCDE 边长为 1， ∠AEB = 30︒ ，求 AB 的长． 【难度】★★★【答案】（1）等腰直角三角形；（2） 5 - 2 3 ．【解析】（1） ∆FCG 是等腰直角三角形． 证明 四边形 BCDE 是正方形，∴ BC / /DE ， BE / /CD / /FG ．∴ CF = AF ， DE AE ∴ CF = FG ． DE BE ∴CF = FG ． FG / / AC ，FG = AF ． BE AE ∴∠CFG = ∠ACB = 90︒ ． 即证∆FCG 是等腰直角三角形． （2） BE = BC = 1 ， ∠AEB = 30︒ ，∴ BF =BE =3 ．3∴ FG = CF = 1 - 3．3由 FG / / AC ，可得 FG = BF = AC BC根据勾股定理，即可得 AB = 3，则 AC = 3=3FG = -1，= ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，结合归纳猜想进行解题．AC 2+ BC 2( 3 - 1)2+ 12 DECFAGB【作业 1】下列说法正确的是（）A ．边数相同的多边形相似B ．对应边成比例的多边形相似C ．对应角相等的多边形相似D ．全等的多边形相似 【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的概念和性质，形状大小完全相同，即对应角相等，对应边对应成比例同时满足，可知 ABC 错误，全等的图形是特殊的相似形，可知 D 正确． 【总结】考查相似形的基本概念和性质．【作业 2】已知 x - y = y，则 x + y 的值为．13 7y【难度】★【答案】 27．7【解析】由 x - y = y ，则有 x - y = 13 ，根据比例的合比性， x + y = 13 + 7 + 7 = 27．13 7 y 7 x 7 7【总结】考查相关比例的转化，可利用比例的性质进行求解．【作业 3】如图，已知 AD // BE // CF ，下列比例式成立的有（ ）（1） AB = AC ；（2） AB = DE ；（3） AC = DF ；（4） BC = EF ．DE DF EF BC EF BC AC DFA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，可得 AB = DE，BC EF结合比例的合比性，即得 AB = DE ， BC = EF，AC DF AC DF（1）正确，（2）错误，（3）错误，（4）正确，综上所述，故选 B ． 【总结】考查平行线分线段成比例定理，结合比例基本性质进行等比例转化．课后作业ADB EO FC。
成比例线段同步练习 （典型题汇总）1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2.理解成比例线段的概念；（重点）3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比 【类型一】 求线段的比已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比.解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ，∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解.设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm ，4cm ，5cm ，6cmB.4cm ，8cm ，3cm ，5cmC.5cm ，15cm ，2cm ，6cmD.8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】 由线段成比例求线段的长已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm. （1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度； （2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解. 解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a b ＝c d ，即38＝6d，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ；（2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得 b a ＝c d ，即83＝6d ，解得d ＝94. 故线段d 的长度为94cm.方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x ：1＝2：2，则x ＝22；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么 这两条线段的比就是它们长度的比， 即AB ：CD ＝m ：n，或写成AB CD ＝mn成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.成比例线段同步练习 （典型题汇总）1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）一、情景导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.这样表示的数学根据是什么？ 二、合作探究探究点一：比例的基本性质已知a ＋3b 2b ＝72，求a b 的值.解：解法1：由比例的基本性质，得2（a ＋3b ）＝7×2b .∴a ＝4b ，∴ab＝4.解法2：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3bb ＝7，∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴ab＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.探究点二：等比性质（1）已知a ：b ：c ＝3：4：5，求2a －3b ＋ca ＋b 的值；（2）已知a b ＝c d ＝ef ＝2，且b ＋d ＋f ≠0，求a －2c ＋3e b －2d ＋3f的值.解析：（1）利用“引入参数法”，把a ，b ，c 用含同一个字母的代数式表示出来，再代入分式求值；（2）应用比例的等比性质，表示出a 与b 、c 与d 、e 与f 三组量之间的倍数关系，再代入原代数式求值.解：（1）设a ：b ：c ＝3：4：5＝k ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∴2a －3b ＋c a ＋b ＝6k －12k ＋5k3k ＋4k ＝－k 7k ＝－17； （2）∵a b ＝c d ＝e f ＝2，∴a b ＝－2c －2d ＝3e 3f ＝2，∴a －2c ＋3eb －2d ＋3f＝2. 方法总结：解多个比例式连在一起求值型试题的方法：方法一是引入参数，使其他的量都统一用含有一个字母的式子表示，再求分式的值；方法二是运用等比性质，即如果ab ＝c d ＝…＝mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋m ＝a b，转化后求分式的值. 若a ，b ，c 都是不等于零的数，且a ＋b c ＝b ＋ca ＝c ＋ab＝k ，求k 的值. 解：当a ＋b ＋c ≠0时，由a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝k ，得a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋aa ＋b ＋c ＝k ，则k ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，则有a ＋b ＝－c . 此时k ＝a ＋b c ＝－cc＝－1.综上所述，k 的值是2或－1.易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a ＋b ＋c ≠0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论a ＋b ＋c ＝0这种情况.三、板书设计比例的性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧如果ab ＝cd ，那么ad ＝bc 如果ad ＝bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么a b ＝c d 等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝ab经历比例的性质的探索过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣.。
相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．知识结构1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同．（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）【难度】★【答案】一定，不一定．【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论．【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形．【例2】在下边的方格图中，分别画出ABC和四边形ABCD的一个相似图形．【难度】★【答案】略．【解析】答案不唯一．如图是其中一种．【总结】考查对于相似图形定义的把握，可以采用全等是特殊的相似画图，若要画比例选段，将各边长分别在横向和纵向等比例分解即可．模块一：相似形的概念及性质知识精讲例题解析ADA【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是（）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星【难度】★【答案】C【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同．【例4】下列说法不一定正确的是（）（A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是100 的等腰三角形都相似（C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直角三角形都相似【难度】★★【答案】D【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同．【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似．【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有（）（1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．（A）3组（B）4组（C）5组（D）6组【难度】★★【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．【例6】已知四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似的图形，并且点A 与点'A 、点B 与 点'B 、点C 与点'C 、点D 与点'D 分别是对应顶点，已知4BC =， 3.6CD =， '' 3.3A B =，''3B C =，75B ∠=︒，105C ∠=︒，95D ∠=︒，求AB ，''C D 的长和'A ∠的度数．【难度】★★【答案】'''4.4 2.785AB C D A ==∠=︒，，．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．有''''''43AB CD BC A B C D B C ===，将''3.6 3.3CD A B ==，代入，求得：''4.4 2.7AB C D ==，，根据四边形内角和，可求得：360360751059585A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，相似图形对应角相等可知'85A A ∠=∠=︒．【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．【例7】如图，ABC ∆和ADE ∆是相似形，顶点A 、B 、C 分别与点A 、D 、E 对应，已知35A ∠=︒，65B ∠=︒， 1.2AE =， 2.5AB =，2AC =，1ED =．求AD 、BC 的长和AED ∠的度数． 【难度】★★【答案】51.53AD BC ==，，80AED ∠=︒．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例． 有 1.2325AD AE DE AB AC BC ====，将 2.51AB ED ==，代入，可求得51.53AD BC ==，，根据三角形内角和为180°，可求得：180180356580C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 根据相似图形对应角相等可知80AED C ∠=∠=︒． 【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．【例8】已知ABC∆的三边长分别是3、4、5，与其相似的'''A B C∆的最大边长是15，求'''A B C∆的最小边长．【难度】★★【答案】最小边长为9．【解析】15395⨯=．【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边．【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8，乙三角形其中一边的长为2，求乙三角形的另外两边的长．【难度】★★★【答案】3，4或43，83或1，32．【解析】分类讨论．（1）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为2142=，则另两边长分别为11636422⨯=⨯=，；（2）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时，边长对应比值为2163=，则另两边长分别为1418483333⨯=⨯=，；（3）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为2184=，则另两边长分别为113416442⨯=⨯=，．【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论．【例10】如图，矩形ABCD中，2AB CD=，线段10EF=，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似，且点M与点A、点F与点B，点G与点C，点N与点D分别是对应顶点，令MN x=．求出矩形EMNH的面积S与x的函数关系式．【难度】★★★【答案】()221005S x x x=-+<<．【解析】根据矩形MFGN与矩形ABCD相似，可对应得222MF GF MN x===，因此102EM x=-，进而可求得：()2102210S MN EM x x x x=⋅=-=-+．【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果．1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b）； 如果::a b c d =（或a cb d=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例． 2、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d =，那么ad bc =；如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=． （2）合比性质： 如果a c b d =，那么a b c db d ++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a ck b d b d +===+．【例11】下列各组线段中，成比例的一组是（ ）（A ）23a =，5b =，32c =，15d = （B ）8a =，0.05b =，0.6c =，10d =（C ）3a =，4b =，5c =，6d = （D ）9a =，6b =，3c =，4d =【难度】★ 【答案】A【解析】只有A 选项满足ac bd =可知其成比例．【总结】考查成比例的定义，根据比例的基本性质即可确定．模块二：比例的性质知识精讲例题解析【例12】（1（2）若1x +，x ，4x +的第四比例项是4，求x ． 【难度】★【答案】（1（2）2±．【解析】（1）根据比例的基本性质可得第四比例项=；（2）依题意有()()1:4:4x x x +=+，根据比例的基本性质()()441x x x +=+，整理得24x =，解得2x =±．【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义．【例13】（1）6是a 和b= ；（2）b 是9和4的比例中项，则b =；（3）线段6a =厘米，16b =厘米，则线段a 和b 的比例中项是 ．【难度】★【答案】（1）356；（2）6±；（3）．【解析】（1）由题意可知26ab =6135666=-=； （2）由题意可知29436b =⨯=，可解得6b =±；（3）a 、b 【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．【例14】（1）若23x y =，则x yy -= ； （2）若45a b =，则2a ba b +=- ；（3）若250x y -=，则()()3:43x y x y +-=．【难度】★★【答案】（1）13-；（2）13-；（3）17:14．【解析】（1）根据比例的合比性，23133x y y --==-； （2）由45a b =，可得45a b =，原式=4251345b bb b ⨯+=--； （3）由250x y -=，可得52x y =，原式=553:4317:1422y y y y ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算．【例15】（1）已知：23a b a -=，求243a ba b -+的值； （2）已知：357x y z==，求332y z y z +-的值；（3）已知：32x y z ==，求22x y zx y z -++-的值．【难度】★★【答案】（1）15；（2）26；（3）11．【解析】（1）令23a b k a -==，得3a k b k ==，，原式=2341335k k k k ⨯-=⨯+； （2）令357x y z k ===，得357x k y k z k ===，，，原式=537263527k kk k+⨯=⨯-⨯； （3）令32x y z k ===，得32k k x y z k ===，，，原式=23211232k kkk k k -+=⨯+-． 【总结】考查换元思想，也可采用【例14】确定单位“1”的思想．【例16】设线段x 、y 、z 满足23418x y z x y zx y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩，求x 、y 、z 的值．【难度】★★ 【答案】2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】由（1）可得()2234234x y z x y z x y z +++++===++，再结合（2）18x y z ++=，可得：21842349x y z x y z +++⨯====，由此可得到81216x y z x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，结合（2）式可解得2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【总结】考查比例的等比性质的应用．【例17】设()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，求895a b c ++的值． 【难度】★★ 【答案】0．【解析】根据分式基本性质，得()()()()()()632666a b b c c a a b b c c a +++==---，令()()()()()()632666a b b c c a k a b b c c a +++===---，则有()()66a b k a b +=-，()()36b c k b c +=-，()()26c a k c a +=-，三式相加，即得8950a b c ++=． 【总结】考查比例的性质的综合应用．【例18】若333333x y y z z xm z x y+++===，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】6或3-．【解析】（1）0x y z ++≠时，根据比例的等比性3333336x y y z z xm z x y+++++==++；（2）0x y z ++=时，可得x y z +=-，则()333x y zm zz+-===-． 【总结】考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【例19】已知a b ckb ca c a b===+++，则一次函数3y kx=-的图像一定经过第几象限？【难度】★★★【答案】三、四．【解析】（1）0a b c++≠时，根据比例的等比性()122a b cka b c++==++，此时一次函数132y x=-经过一、三、四象限；（2）0a b c++=时，可得b c a+=-，则1aka==--，此时一次函数3y x=--经过二、三、四象限；综上所述，函数必经过三、四象限．【总结】考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．1、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d，如果::a b c d=（或表示为a cb d=），那么a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段．2、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP PB>）两段（如下图），其中AP是AB和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点．其中，510.6182APAB-=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．模块三：比例线段知识精讲【例20】在比例尺为1:40000的地图上，量得A 与B 两地的距离是24厘米，则A 与B 两地的实际距离是．【难度】★ 【答案】9.6km ．【解析】实际距离=图上距离÷比例尺，可知两地实际距离为24400009600009.6cm km ⨯==，注意单位的转化．【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化．【例21】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，则这张地图的比例尺是（）（A ）1:5（B ）1:500000（C ）1:5000000 （D ）500000:1【难度】★ 【答案】B【解析】比例尺=图上距离÷实际距离，比例尺=6.5132.5100000500000=⨯． 【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算．【例22】（1）若0.1AB =，0.75CD =，则:AB CD = ； （2）若1AB m =，25CD cm =，则:AB CD = ； （3）若AB m =，CD n =，则():AB AB CD +=．【难度】★【答案】（1）2:15；（2）4:1；（3）():m m n +．【解析】（1）0.1:0.752:15=；（2）1:25100:254:1m cm cm cm ==；（3）():m m n +． 【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一．例题解析【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20厘米，则它的宽约为．（精确到百分位）【难度】★ 【答案】12.36cm ． 【解析】这本书的宽约为512012.36cm -≈． 【总结】考查黄金比的定义及其相关比值．【例24】如图，已知在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AB DCAE DF=． 求证：（1）AB DC EB FC =；（2）AB DC AB DCEB FC EB FC+-=+-． 【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：（1）AB DCAE DF=Q ， AE EB DF FCAE DF++∴=． 根据比例的合比性质，EB FC AE DF ∴=，AE DFEB FC∴=． 根据比例的合比性质，AE EB DF FC EB FC ++∴=，即AB DCEB FC=． 根据比例的合比性质，AB DC AB DC AB DCEB FC EB FC EB FC+-===+-． 【总结】考查比例的合比性质的应用．【例25】如果ABC ∆和'''A B C ∆面积相等，且:''9:25AB A B =，那么边AB 与边''A B 上的高的比为（ ）（A ）9:25 （B ）25:9（C ）3:5（D ）5:3【难度】★ 【答案】B【解析】面积相等的条件下，高与底边成反比，可知高之比为25:9． 【总结】考查成反比的相关计算．【例26】已知有三条线段的长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．【难度】★★【答案】18cm 或4.5cm 或2cm ．【解析】设添加的线段长度为acm ，将a 当作一个比例外项，根据比例的基本性质有： （1）对应的外项是3cm 时，69318a cm =⨯÷=； （2）对应的外项是6cm 时，396 4.5a cm =⨯÷=； （3）对应的外项是9cm 时，6392a cm =⨯÷=【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论．【例27】在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且34AD AE DE AB AC BC ===， 则AEEC= ，若ADE ∆的周长为90厘米，则ABC ∆的周长为厘米．【难度】★★【答案】（1）3；（2）120．【解析】（1）由34AE AC =，可得43AC AE =，即43AE EC AE +=，故13EC AE =，3AE EC=； （2）根据比例的等比性，34AD AE DE AD AE DE AB AC BC AB AC BC ++====++， 即34ADE ABC C C =V V ， 代入求得120ABC C cm =V ．【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用．【例28】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O．（1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？（2）求证：AO DOCO BO=．【难度】★★【答案】（1）ABD ACDS S=V V，ABC BCDS S=V V，ABO CDOS S=V V，同底等高，减去公共部分面积相等；（2）略．【解析】（1）ABD ACDS S=V V，ABC BCDS S=V V，同底等高，故ABD AOD ACD AODS S S S-=-V V V V，即ABO CDOS S=V V；（2）证明：AODQV和AOBV同高，AODAOBS DOS BO∴=VV．同理AODCODS AOS CO=VV，又ABO CDOS S=V V，∴AO DOCO BO=．【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比．【例29】如图，在ABC∆中，BD AC⊥，垂足为D，E是BC边上的一点，EF AC⊥，垂足为F，:2:3ABD ABEDS S∆=四边形，求:AD AF的值．【难度】★★【答案】:2:3AD AF=．【解析】Q:2:3ABD ABEDS S∆=四边形，:2:1ADB EDBS S∴=V V．又BD AC⊥，EF AC⊥，BD∴//EF．BDF EDBS S∴=V V，:1:2BDF ADBS S∴=V V．即()():1:2FD BD AD BD⋅⋅=，:1:2FD AD∴=．()():2:21AD AD FD∴+=+，即:2:3AD AF=．【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比．【例30】已知线段AB 的长度为l ，点P 在线段上，PB APAP AB=，求线段AP 的长． 【难度】★★ 【答案】51AP l -=． 【解析】根据题意，即有l AP AP AP l -=，解得51AP l -=，P 点是AB 黄金分割点． 【总结】考查黄金分割点的定义．【例31】（1）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =厘米，求BP 的长；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，51AB =+，求AP 的值． 【难度】★★【答案】（1）()935BP cm =-；（2）2AP =或51AP =-． 【解析】（1）根据黄金分割点定义，且AP BP >，可知51AP AB -=，此时 ()35356935BP AB cm --==⨯=-； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为51-和35-， 故512AP AB -==或3551AP AB -==-． 【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．【例32】如图，乐器上的一根弦80AB =厘米，两个端点A 、B 固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，求CD 的长．【难度】★★【答案】()805160cm -．【解析】根据黄金分割点定义，知51AC AB -=，故51351AD AB AB ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()513552CD AC AD AB AB AB --=-=-=-，得CD =()805160cm -．【总结】考查线段的黄金分割点有两个．【例33】如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，35CM=-，求AD的长．【难度】★★【答案】2．【解析】由22MN BC CM BM=⋅=，即()2BC CM BC CM⋅=-，可得35CM BC-=，代入即得2AD BC==．【总结】考查黄金比的综合应用．【例34】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD．在BA的延长线上取点F，使PF PD=．以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求线段AM、DM的长；（2）求证：2AM AD DM=⋅；（3）请指出图中的黄金分割点．【难度】★★★【答案】（1）51AM=-，35DM=-；（2）略；（3）M是线段AD的黄金分割点，A是线段BF的黄金分割点【解析】（1）P是AB的中点，2AB=，可知1AP=，根据勾股定理得：225PD AD AP=+=，则5PF PD==，51AM AF PF AP==-=-，35DM AD AM=-=-；（2）证明：()()2251625235AM AD DM=-=-=⨯-=⋅，即证；（3）根据定义可知M是线段AD的黄金分割点，类似的，我们可以得到24AB BF AF=⋅=，可知A是线段BF的黄金分割点．【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割．【习题1】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）（A ）图形中线段的长度与角的大小都保持不变 （B ）图形中线段的长度与角的大小都会改变 （C ）图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 （D ）图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的定义，在缩放的过程中，图形始终保持与原图形相似，可知其线段长度可以改变，角度保持不变． 【总结】考查相似的定义．【习题2】在下图中，画出四边形ABCD 的相似四边形1111A B C D ，使11:1:2A B AB ． 【难度】★ 【答案】略【解析】如图即为所示． 【总结】注意把握好相似图形的定义，形状完全相同，各对应边比例相等，在不能计算的情况下将图形分别在横向和纵向进行分解即可．随堂检测【习题3】已知：a、b、c、d是四条线段，它们的长度分别是1a mm=，0.8b cm=，0.02c cm=，0.4d dm=，它们是不是成比例线段？【难度】★【答案】是【解析】将线段长度单位都转化为mm，18a mmb mm==，，0.240c mmd mm==，，由::a c d b=，可知线段a、b、c、d是成比例线段．【总结】讨论成比例线段时要注意单位的统一性．【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为10千米，画在一张地图上的距离为5厘米，那么在这张地图上量得的距离为2厘米的A、B两地的实际距离为千米．【难度】★【答案】4．【解析】同一张地图上比例尺相等，则有5210cm cmkm AB=，可得4AB km=．【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化应用．【习题5】已知点D是边BC上一点，且ABC∆与DAC∆是相似形，点A、B、C分别与点D、A、C对应，:3:2CB CA=，求:CD DB的值．【难度】★★【答案】4:5．【解析】依题意可得32CA CBCD CA==，则23CD CA=，32CB CA=，56DB CB CD CA=-=，故25::4:536CD DB CA CA==．【总结】考查相似形的对应关系．【习题6】若()()::a b x y x y =+-，则:x y = ．【难度】★★【答案】()():a b a b +-．【解析】根据比例的基本性质，()()b x y a x y +=-，去括号得bx by ax ay +=-，移项，得()()a b x a b y -=+，故:x y =()():a b a b +-． 【总结】考查比例的基本性质．【习题7】直线l 上顺次有四点A 、B 、C 、D ，且3AB AD BC DC ==，则BCAD= ；ABCD= ．【难度】★★【答案】16，32．【解析】3AB BC=，得3AB BC =，3ADDC =，得34AD DC DC AB BC DC BC ==++=+， 即得2DC BC =，故6AD BC =，则BC AD =16，AB CD =32． 【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化．【习题8】点P 是线段AB 的黄金分割点，求APAB的值． 【难度】★★★． 【解析】根据黄金分割点的定义，2AP BP AB =⋅，即()2AP AB AP AB =-⋅，两边同时除以2AB ，可解得AP AB 2BP AP BC =⋅，类似的可得AP AB ． 【总结】注意线段的黄金分割点有两个．【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例． 【难度】★【答案】答案不唯一．例：镜子中的虚像和人体的实像． 【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形． 【总结】考查相似图形的特征，注意多观察．【作业2】若()()2:321:2x y x y -+=，则:2x y = ．【难度】★ 【答案】2．【解析】根据()()2:321:2x y x y -+=，由比例的基本性质，则有()3222x y x y +=-，整理得：4x y =，故:24:22x y y y ==．【总结】考查比例的基本性质．【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是（）（A ）一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为3厘米和6厘米的矩形 （B ）有一个内角为30︒的两个菱形 （C ）边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形 （D ）两个高相等的等腰梯形 【难度】★★ 【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B 选项正确；A 选项边不对应成比例，C 选项菱形有不稳定性，形状不固定，D 选项等腰梯形形状不固定． 【总结】考查相似图形的特征．课后作业【作业4】已知ABC ∆的三边长分别是4、5、6，与其相似的'''A B C ∆的最小边长是12， 求'''A B C ∆的周长．【难度】★★【答案】45．【解析】两三角形对应相似，则必有最短边对应最短边，最长边对应最长边，即ABC ∆中边长为4的边对应中边长为'''A B C ∆12的边，根据比例的等比性，可以得到'''41123ABC A B C C C ∆∆==，由45615ABC C ∆=++=，可得'''345A B C ABC C C ∆∆==． 【总结】实际上，根据比例的等比性可知相似三角形周长比等于对应边之比．【作业5】7a cm =，0.08b m =， 1.5c dm =，求线段a 、b 、c 的第四比例项．【难度】★★ 【答案】1207cm ． 【解析】将单位都转化为cm ，则815b cm c cm ==，，根据比例的基本性质，ad bc =，可知线段a 、b 、c 的第四比例项1207bc d cm a ==． 【总结】成比例线段问题中注意单位的统一．【作业6】舞台的形状是一个矩形，宽AB 为12米，如果主持人站立的位置是宽AB 的黄金 分割点，那么主持人从台侧点A 沿AB 走到主持的位置至少需走 米．【难度】★★【答案】(18m -或()5m ．，主持人需走的路程为()126m =；另一个比例则为1=，主持人需走的路程为(1218m =-． 【总结】注意线段的黄金分割点有两个，与黄金比是不同的含义．【作业7】若222222b c a c a b k a b c+++===，求直线y kx k =+经过的象限． 【难度】★★★【答案】一、二、三或二、三、四．【解析】（1）0a b c ++≠时，根据比例的等比性()44a b c k a b c ++==++，此时一次函数44y x =+ 经过一、二、三象限； （2）0a b c ++=时，可得b c a +=-，则()222b c a k a a+-===-，此时一次函数22y x =--经过二、三、四象限． 【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．【作业8】已知a 、b 、c 是非零实数，且满足a b c a b c a b c c b a +--+-++==, 求()()()a b b c c a abc+++的值． 【难度】★★★【答案】8或1-． 【解析】设a b c a b c a b c k c b a+--++-===． （1）当0a b c ++≠时，根据比例的等比性1a b c k a b c ++==++， 此时有1a b c a b c a b c c b a+--++-===， 可得222a b c a c b b c a +=+=+=，，，代入所求代数式，可得：()()()2228a b b c c a c a b abc abc+++⋅⋅==； （2）当0a b c ++=时，可得b c a +=-，b c a +=-，a c b +=-，代入所求代数式，可得：()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc +++-⋅-⋅-==-．【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论．。
