初二平行四边形的性质与判定培优资料

第十九章平行四边形的性质（培优）：1、叫做平行四边形，记作“”，读作“”。

2、在平行四边形ABCD中，如果∠A=150°，那么∠B= °，∠C= °。

3、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A、邻角互补B、邻角相等C、对角相等D、对边相等知识扩展：1.平行四边形的对边从位置上看是平行的，从数量上看是相等的。

2.利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决。

3.过对角线交点画出的任意一条直线，把四边形分成大小相等的两个图形。

知识点1. 平行四边形的定义1、如图，在□ABCD中，已知∠ODA=900，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）。

A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm2.点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A,B,C,D,四点恰好能够构成一个平行四边形，则在这个平面内符合这样条件的点D有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个知识点2. 平行四边形的性质3、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC、BD的长分别为8cm、10cm，则AD长度xcm的取值范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜84、（2011年湘西）下列说法错误的是（）A.两点之间，线段最短B.1500的补角是500C.全等三角形的对应边相等D.平行四边形的对边互相平行5、是□ABCD内的任意一点，若S□ABCD=6cm2，则图中阴影部分的面积为（）A. 5 cm2B. 4cm2C. 3cm2D. 以上都不对18.(2009年广州中考)如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点4，则ΔCEF的周长为（）E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=2（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5【1】.如图在□ABCD中，CE⊥AB,E为垂足，∠A=1250那么∠BCE的度数是（）A.550B.350C.250D.300【2】如图所示，在□ABCD中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别为AB和CD的五等分点，B1，B2，和D1，D2，分别为BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为（）A. 2B. 35C.25D. 15【3】如图，□ABCD中，M,N分别在AC,AD上，且AM=2CM,DN=2AN,若⊿DMN的面积为4，则□ABCD的面积为。

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题4.4平行四边形的判定定理专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•滕州市期末）下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．两组对边分别相等的四边形C．对角线互相平分的四边形D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形2．（2022春•庄河市期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB＝DC，AD＝BC B．∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，AD＝BC3．（2021秋•让胡路区校级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4B．1：4：2：3C．1：2：2：1D．3：2：3：24．（2022春•平原县期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对边分别相等D．一组对边平行且相等5．（2022春•北京期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，要判定四边形ABCD为平行四边形，可添加条件（）A．AD＝BC B．∠CDB＝∠ABD C．AC平分∠DAB D．AO＝CO6．（2022春•滦南县期末）如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BDC．AF＝CE D．∠BAE＝∠DCF7．（2022春•藁城区校级月考）四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组8．（2022春•南海区校级月考）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．（2022春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，则AB的长是（）A．B．1C．D．10．（2022春•海曙区校级期中）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（）A．四边形EHFGB．△AEG和△CHFC．四边形EBHO和四边形GOFDD．△AEO和四边形GOFD二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是．12．（2022春•南海区校级期中）已知平面直角坐标系中的三个点：A（1，1）、B（3，1）、C（2，3），以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．13．（2022秋•靖江市校级月考）如图所示，AB∥DC，CA平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，若S△ABE＝4，则S△ACD＝．14．（2022春•集贤县期末）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝cm时，四边形ABCD是平行四边形．15．（2022春•海陵区校级期末）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围．16．（2022春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•荣县期中）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：（1）AD＝BC；（2）AD与BC的位置关系为：．18．（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．19．（2022•云冈区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．（1）证明：四边形AECF是平行四边形；（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．20．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知在四边形BCDE中，CD∥BE，点F是DE的中点，连接CF交BE于点A，且点E是AB的中点，求证：四边形BCDE是平行四边形．21．（2022秋•南岗区校级月考）如图，已知点A，C在线段EF上，且AE＝CF．作AD∥BC，DE∥BF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．22．（2022春•南阳期末）在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成下面的证明．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，连接BE，DF，BF，DE，且（填写序号）．（1）选择的条件的序号是；（2）求证：BE＝DF；（3）求证：四边形DEBF是平行四边形．23．（2022春•城固县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD 上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），连接AE、CE、CF、AF．（1）若DE＝OD，BF＝OB，①求证：四边形AFCE为平行四边形；②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求AE的长．（2）若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．（3）若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并证明．。

平行四边形的性质【知识要点】1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 表示方法：“ ”注：平行四边形的表示一般按顺时针或逆时针的方向依次表示各项点． 2．平行四边形的性质：①平行四边形对边平行且相等；数学形式：∵∴AB DC ，AD BC②平行四边形的对角相等：∴D B C A ∠=∠∠=∠,③平形四边形的对角线互相平分： 数学形式：∵ ∴OA=OC=21AC ， OB=OD=21BD ．3．平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，则这个距离称为平行线之间的距离．4．平行线之间垂直线段的性质：平行线之间的垂线段处处相等．【经典例题】例1 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥CD ，AO=3cm ，BO=5cm ，求DC 和AD 的长．例2 平行四边形的周长为50cm ，两邻边之差为5cm ，求各边长。

∥ ＝ ∥ ＝例3 平行四边形两邻角之差为20°，求各角的度数。

例4 如图：已知在 中，BE=6cm ，EC=3cm ，DC=5cm ，DE ⊥EC ，求：（1）DE 的长；（2） 的面积．例5 如图：已知 中，E 是AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：（1）CD=FA ，（2）若使BCF F ∠=∠， 的边长之间还需再添加一个什么条件？ 请你补上这个条件，并进行证明．（不需要添加辅助线）．例6如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是AC ，CA 延长线的点，且CE=AF ，则BF 与DE 具有怎样的位置关系，试说明理由．F13 24 A B E C F例7 如图，△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，PE∥AC交AB于E，PF∥AB交AC于点F。

求证：PE+PF=AC。

另类课堂：为生命画一片树叶只要心存相信，总有奇迹发生，希望虽然渺茫，但它永存人世。

美国作家欧;亨利在他的小说《最后一片叶子》里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。

初二下培优辅导资料5平行四边形一、知识要点：性质：平行四边形的：（1）对边平行。

（2）对边相等。

（3）对角相等。

（4）对角线互相平分。

判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

例1：. 如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．例2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2C D．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）求证：BD=MN．例3 .如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．二、练习题1，下列命题正确的是（ ）（A ）连结平行四边形一组对边中点的线段将原平行四边形分成两个四边形都是平行四边形。

（B ）两个全等的三角形，将它们的一边重合，一定能拼出一个平行四边形。

（C ）已知平行四边形的三个顶点，作出平四边形，符合条件的图形只有一个。

（D ）已知两条邻边可作唯一平行四边形。

2. 如图,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB, DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°5. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180°6. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线7. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使EF D 14A，那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（ ） A ．∠ABC=60° B ．AB ：BC=1：4 C ．AB ：BC=5：2 D ．AB ：BC=5：88.如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中有（ ）对四边形面积相等A ．3B ． 4C ．5D ．6F E D CB A2题图HF P GEDCB AHGF E DC B A 9.如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的 延长线交于点F ．下列结论中：①ABC ∆≌AED ∆；②ABE ∆是等边三角形； ③AF AD =； ④CDE ABE S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．①③④10. 如图，平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________.11,已知平行四边形的对角线AC 和BD 相交于点O,如果 ΔAOB 的面积为5,那么平行四边形ABCD 的面积是12. 如图,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC上的两点,若四边形BEDF 是平行四边形,则增加一个已知条件是______________.13，平行四边形的一个角的平分线和一边相交，并把这条边分成3cm 和5cm 两线段，则这个平行四边形的周长为14，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AC = 4，BD = 6，两邻边AB 、AD 的长为整数。

第十九章四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。

2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．6题图7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．7题图8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．二、选择题9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成．．．．立．的是( )．(A)AF＝EF(B)AB＝EF(C)AE＝AF(D)AF＝BE10．如图，下列推理不正确的是( )．(A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC(C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4(D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．(A)5 (B)6(C)8 (D)12综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DE＝FB；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．拓展、探究、思考16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x 轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；图1方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．图2测试2 平行四边形的性质(二)学习要求能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．二、选择题9．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是( )．(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm (C)8cm和14cm (D)8cm和12cm 11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( )(A)2(B)53 (C)35 (D)1513．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个数是( )……(1) (2) (3)(A)3n (B)3n (n ＋1) (C)6n(D)6n (n ＋1)综合、运用、诊断 一、解答题14．已知：如图，在□ABCD 中，从顶点D 向AB 作垂线，垂足为E ，且E 是AB 的中点，已知□ABCD 的周长为8.6cm ，△ABD 的周长为6cm ，求AB 、BC 的长．15．已知：如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．拓展、探究、思考16．已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的串点，过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线MN 上，且OE ＝OF ．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF．17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．测试3 平行四边形的判定(一)学习要求初步掌握平行四边形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；②两组对边__________的四边形是平行四边形；③一组对边__________的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．二、选择题6．下列命题中，正确的是( )．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．(A)①②(B)①③④(C)②③(D)②③④8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．(A)已知平行四边形的两邻边(B)已知平行四边形的相邻两角(C)已知平行四边形的两对角线(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长综合、运用、诊断一、解答题9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，F A与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE 的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.拓展、探究、思考15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．测试4 平行四边形的判定(二)学习要求进一步掌握平行四边形的判定方法．课堂学习检测一、填空题1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________．1题图2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．2题图3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出______个平行四边形．4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出______个平行四边形．5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．5题图二、选择题6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶29．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．(1)连结______；(2)猜想：______＝______；(3)证明：13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD 与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)证明：14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．15．已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．求证：(1)△ACD ≌△CBF ；(2)四边形CDEF 为平行四边形．拓展、探究、思考16．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数xk y 2=的图象都经过点(1，1)． (1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标；(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．17．如图，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)在反比例函数xk y =的图象上．(1)求m ，k 的值；(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．测试5 平行四边形的性质与判定学习要求能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．课堂学习检测一、填空题：1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB 的周长为______cm．6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD 的面积为______．8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，24BG，则△CEF的周长为______．9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC______ S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠F AB．AB ＝a，AD＝b．(1)求证：△EFC是等腰三角形；(2)求EC＋FC．11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝3∶3．拓展、探究、思考14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，P A垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．图1(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图2测试6 三角形的中位线学习要求理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．课堂学习检测一、填空题：1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________________________________．2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．二、解答题4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．综合、运用、诊断6．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．7．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．拓展、探究、思考9．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB ＝5，AC＝7，求ED．10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD 的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?测试7 矩形学习要求理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．课堂学习检测一、填空题1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。

平行四边形的性质和判定一、知识梳理1．平行四边形：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．4．平行四边形的面积：(1)如图①，．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC，则．5．平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．二、重点突破（一）平行四边形的性质1．(2018湖南怀化)如图6，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则．2．(2018福建龙岩)□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE= _________.3．（2018山东潍坊）在平行四边形ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点,点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4 B2 C4 D2的面积为1,则平行四边形ABCD面积为（）A.2B.C.D.154.（2017 青海西宁）如图，已知：平行四边形ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．5.平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。

初二平行四边形知识点归纳平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它具有许多特性和性质。

在初二学习阶段，我们需要对平行四边形进行深入了解和掌握。

本文将对初二平行四边形知识点进行归纳和总结。

一、定义和性质1. 平行四边形的定义：具有两对对边平行的四边形称为平行四边形。

平行四边形的对边相等且对角线互相平分。

2. 平行四边形的性质：两对对边分别平行且相等；两对对角线互相平分；相邻角互补、对角角互补；对角线长度之积等于平行四边形边长之积。

二、判断平行四边形的方法1. 判断对边是否平行：通过观察四边形的边是否平行，若两对边都平行，则为平行四边形。

2. 判断对边是否相等：通过测量四边形的边长，若两对边相等，则为平行四边形。

三、平行四边形的特殊情况1. 矩形：具有四个直角的平行四边形称为矩形。

矩形的对边相等且平行，对角线相等。

2. 正方形：具有四个直角且对边相等的平行四边形称为正方形。

正方形的对边相等且平行，对角线相等，且对角线互相垂直。

四、平行四边形的性质应用1. 利用平行四边形的性质求解问题：根据平行四边形的性质可以解决许多几何问题，如计算对边的长度、对角线的长度等。

2. 平行四边形的周长和面积：平行四边形的周长等于四条边长之和，面积等于底边长度乘以高。

3. 平行四边形的变形：平行四边形可以通过平移、旋转、缩放等变形操作得到其他形状的四边形。

五、与平行四边形相关的定理和推论1. 反向定理：如果一个四边形的两对对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

2. 副对角线平分定理：平行四边形的副对角线互相平分。

3. 对角线长度定理：平行四边形的对角线长度之积等于平行四边形边长之积。

4. 三角形面积定理：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成两个相等的三角形，它们的面积相等。

六、解题技巧和注意事项1. 观察图形特征：通过观察平行四边形的边长、角度、对边关系等特征，可以快速判断和解决问题。

2. 利用性质和公式：熟练掌握平行四边形的性质和公式，灵活运用于解题过程中。

平行四边形是初中数学中非常重要的一个图形，它具有独特的性质和特点。

下面我将详细介绍平行四边形的性质知识点，帮助你更好地理解和掌握这一内容。

一、平行四边形的定义及性质：1.定义：平行四边形是具有两组对边平行的四边形。

2.性质1：对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分，也即对角线相交于各自的中点。

这一性质可以用几何证明的方法得到。

3.性质2：对角线长相等平行四边形的对角线长相等，也即两条对角线的长度相等。

4.性质3：对边相等且对边平行平行四边形的对边相等，也即对边的长度相等；同时对边也是平行的。

5.性质4：同一边界的两角互补平行四边形的同一边界的两个内角和为180度，也即两个内角互补。

6.性质5：同一边界的两个内角相等平行四边形的同一边界的两个内角相等。

7.性质6：对角线的交点是连线两点的中点平行四边形的对角线的交点是连线两点的中点。

8.性质7：与原四边形的其他边平行且等长的线段的两内角相等对平行四边形，如果有一条与原四边形的其他边平行且等长的线段，那么这两条线段的两个内角也相等。

二、平行四边形的基本性质：1.平行四边形的对边相等，也即两组对边的长度相等。

2.平行四边形的对边平行，也即两组对边都是平行的。

3.平行四边形的任意一组对角线互相平分，也即对角线相交于各自的中点。

4.平行四边形的对角线相等，也即两条对角线的长度相等。

5.平行四边形的同一边界的两个内角和为180度，也即两个内角互补，并且同一边界的两个内角相等。

6.平行四边形的对角线的交点是连线两点的中点。

7.任意一条与平行四边形的一条边平行且等长的直线经过对角线交点后，就把平行四边形分成两个全等的三角形。

8.平行四边形的俄拉斯问题：通过平行四边形的顶点引较平行四边形的边，再连接对边的中点，可以得到四个全等的平行四边形。

三、平行四边形的几何性质应用：1.判断四边形是否为平行四边形：-判断对边是否平行-判断两组对边是否相等-判断对角线是否相等2.已知平行四边形的性质求解问题：-求平行四边形的面积-求平行四边形的周长-判断平行四边形的类型（正方形、长方形、菱形等）3.平行四边形的构造：-已知连线两点构造平行四边形-已知对角线长度构造平行四边形四、平行四边形的证明：在证明平行四边形的性质时，一般需要用到平移、对称、重叠等几何变换，以及线段的相等关系、角的性质等几何知识。

机场西分校 白云区机场路又一居正门一楼86326306 精信教育个性化教案学生姓名备课时间 1月 10 日 年级科目 初二 教师姓名 陈波 课时 2 课时授课时间 3月 22 日课题 平行四边形的性质和判定教学 目标1．1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质4、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．重点难点 考点 1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．教学基本内容、知识大纲【检查预习、检查家庭作业】针对学生所做情况，重点问题重点讲解，提高学生综合运用知识的能力，查缺补漏，等级评定。

【梳理知识】1、 理解平行四边形的基本性质2、 熟练地进行平行四边形的判定和证明3、熟练地进行平行四边形的在实际问题中的应用【达标测试】平行四边形的判定，证明，与应用【家庭作业】平行四边形的巩固与复习家长 意见家长签名BDA CA CDB O【检查预习、检查家庭作业】针对学生所做情况，重点问题重点讲解，提高学生综合运用知识的能力，查缺补漏，等级评定。

【梳理知识】平行四边形的性质和判定1，基本概念1，平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（, 2，平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫.二、平行四边形的判定定理（一）平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形符号表示： ∵AB =CD ，AD =BC∴四边形ABCD 是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形符号表示：∵OA =OC ，OB =OD∴四边形ABCD 是平行四边形 让学生自己证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形例1 已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，并且AE =CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形．若将E 、F 移动到OA 、OC 的延长线上，其余条件不变，结论还成立吗？ABDOCA BDOC例2：已知：如图，△ABC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，EF ∥BC 。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题10 一次函数与平行四边形 【例题讲解】如图，直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ． （1）求A 点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在一点M ，使得以O ，A ，M ，C 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M 的坐标；如果不存在，请说明理由；【分析】分三种情况：①当AC 是对角线时，②当AO 是对角线时，③当CO 是对角线时，分别求解即可． 解：（1）解方程组：2732y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，A ∴点坐标是(2,3)； （2）存在；令y =0代入27y x =-+，得027x =-+，解得：x =72，∴C （72，0），设M （x ，y ）如图所示：①当AC 是对角线时，x =2+72-0=72，y =3，∴点M 坐标是（5.5，3）；②当AO 是对角线时，x =2+0-72=-1.5，y =3，∴点M 坐标是（-1.5，3）；③当CO 是对角线时，x =0+72-2=1.5，y =-3，∴点M 坐标是（1.5，-3），综上所述：点M 坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．【综合演练】1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC 中，A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0)，C 点坐标为(0，﹣1)． (1)求证：AC ⊥BC ；(2)若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标 ．2．如图，直线l 1：y =2x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ；直线l 2：y =kx +b 与x 轴交于点B （3，0），与直线l 1交于点D ，且点D 的纵坐标为4．(1)不等式kx +b ＞2x +2的解集是 ；(2)求直线l 2的解析式及△CDE 的面积；(3)点P 在坐标平面内，若以A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P 的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y =-2x + 12的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ．且点M 为线段OB 的中点．(1)求直线AM 的解析式；(2)在直线AM 上有一点P ，且ABP AOM S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线1:1l y x =+与y 轴交于点A ，过()6,1B 的直线2l 与直线1l 交于点(),5C m -．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 是第一象限位于直线2l 上的一动点，过点D 作DH y ∥轴交1l 于点H ．当10DH =时，试在x 轴上找一点E ，在直线1l 上找一点F ，使得DEF 的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线2l 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，将直线2l 绕点O 逆时针旋转90︒得到直线3l ，点P 是直线3l 上一点，且横坐标为2-．在平面内是否存在一点Q ，使得以点M ，C ，P ，Q 为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知矩形ABCD ，6AB =，10BC =，以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD 边上取一点E ，将ADE 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 边上的点F 处．(1)求线段EF 长；(2)如图1，点B 与点O 重合时，在平面内找一点G ，使得以A 、O 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G 的坐标；(3)如图2，将图1翻折后的矩形沿y 轴正半轴向上平移(0)m m >个单位，在平面内找一点G ，若以A 、O 、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC 的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)线段OB的长度为______；(2)求直线BD所对应的函数表达式；(3)若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝52x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．(1)求直线BC的解析式；(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数132y x=+的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y x b=-+的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．(1)直线BC 的表达式为___________，并直接写出点C 的坐标___________； (2)若点P 在x 轴上方，且ACP △的面积为18，求P 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点Q ．M 是x 轴上一点，在直线AB 上是否存在点N ，使以P 、Q 、M ，N 为顶点的四边形是以．PQ 为边．．的平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：112y x =+与x 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 、x 轴分别交于点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭、点()4,0C ．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 和点E 分别是直线2l 和y 轴上的动点，是否存在点D 、E ，使得以点A 、B 、D 、E 为顶点、AB 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中直线l 1：32y x m =+与直线l 2交于点A （﹣2，3），直线l 2与x 轴交于点C （4，0），与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线l 3⊥y 轴．(1)求直线l 2的解析式和m 的值；(2)点P 在直线l 1上，当S △PBC ＝6时，求点P 坐标；(3)点P 是直线l 1上一动点，点Q 是直线l 3上一动点，当以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，求Q 点坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 的坐标为()4,0，直线134=-+y x 经过顶点B ，与y 轴交于顶点C ，AB OC ∥．(1)求顶点B 的坐标．(2)如图2，直线l 经过点C ，与直线AB 交于点M ，点O '与点O 关于直线l 对称，连接'CO 并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当5CD =时，求直线l 的解析式；(3)在（2）条件下，点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，当四边形PBCQ 是平行四边形时，求点P 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点()0,1A 、()2,2B ．将直线1l 向下平移m 个单位得到直线2l ，已知直线2l 经过点()1,2--，且与x 轴交于点C ．(1)求直线2l 的表达式及m 的值；(2)若点Q 是x 轴上一点，连接BQ ，当CBQ △面积等于4时，求点Q 的坐标； (3)点D 为直线2l 上一点，如果A 、B 、C 、D 四点能构成平行四边形，求点D 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点(4,0)A -和(0,2)B 的直线与直线32y x =+相交于点C ，直线32y x =+与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，CDE的面积为158．(1)求直线AB的解析式；(2)求点E的坐标；(3)点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析【例题讲解】如图，直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ．（1）求A 点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在一点M ，使得以O ，A ，M ，C 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M 的坐标；如果不存在，请说明理由；【分析】分三种情况：①当AC 是对角线时，②当AO 是对角线时，③当CO 是对角线时，分别求解即可． 解：（1）解方程组：2732y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，A ∴点坐标是(2,3)； （2）存在；令y =0代入27y x =-+，得027x =-+，解得：x =72，∴C （72，0），设M （x ，y ）如图所示：①当AC 是对角线时，x =2+72-0=72，y =3，∴点M 坐标是（5.5，3）；②当AO 是对角线时，x =2+0-72=-1.5，y =3，∴点M 坐标是（-1.5，3）；③当CO 是对角线时，x =0+72-2=1.5，y =-3，∴点M 坐标是（1.5，-3），综上所述：点M 坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．【综合演练】1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC 中，A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0)，C 点坐标为(0，﹣1)． (1)求证：AC ⊥BC ；(2)若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标 ．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，点D 坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)． 【分析】（1）根据勾股定理求出BC AB AC 、、，再根据勾股定理逆定理即可求证；（2）过A C 、、B 分别作BC AB AC 、、的平行线，分别相交于123D D D 、、，再根据平行四边形的性质即可求得D 点的坐标．【解答】解：（1）由勾股定理可得：22215BC =+=、22(22)35AB =++=、222425AC =+=， 又∵222(5)(25)5+=，即222AC BC AB +=， ∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴AC ⊥BC ；（2）过A C 、、B 分别作BC AB AC 、、的平行线，分别相交于123D D D 、、，如下图：①以AC BC 、为邻边时， 则//AC BD 、AC BD =又∵A 点坐标为(2，3)，C 点坐标为(0，﹣1)， C 点向右平移了2个单位，向上平移了4个单位，∴点D 可以由点B 右平移了2个单位，向上平移了4个单位得到， 又∵B 点坐标为(﹣2，0) 得到点D 坐标为(0，4)； ②以AB BC 、为邻边时， 则//AB CD 、AB CD =又∵A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0) B 点向右平移了4个单位，向上平移了3个单位∴点D 可以由点C 右平移了4个单位，向上平移了3个单位 又∵C 点坐标为(0，﹣1) 得到点D 坐标为 (4，2)； ③以AB AC 、为邻边时， 则//AB CD 、AB CD =又∵A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0) A 点向左平移了4个单位，向下平移了3个单位∴点D 可以由点C 左平移了4个单位，向下平移了3个单位 又∵C 点坐标为(0，﹣1)得到点D坐标为(-4，-4)．综上所述，点D坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)．【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的应用、平行四边形的性质，熟练掌握相关基本性质，利用平行四边形的性质求解点的坐标是解题的关键．2．如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．【答案】(1)x＜1(2)2(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）【分析】（1）直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），即可求解；（2）将点B、D的坐标代入y=kx+b，再求出点E，点C的坐标，再由三角形面积公式即可求解；（3）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．（1）对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2，故答案为：x＜1；（2）将点B （3，0）、D （1，4）代入y =kx +b 得：034k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：26k b -⎧⎨⎩＝＝， 故直线l 2：y =-2x +6，当x =0时，y =6,(0,6)E对于直线l 1：y =2x +2，当x =0时，y =2，∴(0,2)C∴624EC =-=∴1141222CDE D S CE x ∆=⨯⨯=⨯⨯= （3）分别过点A 、B 作l 2、l 1的平行线交于点P ″，交过点D 作x 轴的平行线于点P 、P ′，对于直线l 1：y =2x +2，当y =0时，x =-1，∴(1,0)A -∵B (3,0)3(1)4AB =--=①当AB 是平行四边形的一条边时，此时符合条件的点为下图中点P 和P ′，则AB =4=P A =P ′D ，故点P 的坐标为（-3，4）或（5，4）；②当AB 是平行四边形的对角线时，此时符合条件的点为图中点P ″，DA 平行且等于BP “，由平移可知，点P ″（1，-4）；综上，点P （-3，4）或（5，4）或（1，-4）．【点评】本题为一次函数综合运用题，涉及到平行四边形的基本性质、求解不等式等知识点，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y =-2x + 12的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ．且点M 为线段OB 的中点．(1)求直线AM 的解析式；(2)在直线AM 上有一点P ，且ABP AOM S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6y x =-+(2)点P 的坐标为(0，6)或(12，-6)(3)存在，点C 的坐标为(6，-6)或(6，6)或(-6，18)【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，由点M 为线段OB 的中点可得出点M 的坐标，根据点A ，M 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM 的函数解析式；（2）分两种情况：①由点M 为线段OB 的中点．可得ABM AOM S S =△△，即可得出点P 于点M 重合，②根据ABP PBM ABM PBM AOM S S S S S =-=-，即可得答案；（3）存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①以AM ，BC 为对角线；②以AB ，CM 为对角线；③以AC ，BM 为对角线，根据平移的性质求解即可．（1）解：当x =0时，y =-2x +12=12，∴点B 的坐标为（0，12），当y =0时，-2x +12=0，解得：x =6，∴点A 的坐标为（6，0）．∵点M 为线段OB 的中点，∴点M 的坐标为（0，6）．设直线AM 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0），将A （6，0），M （0，6）代入y =kx +b ，得606k b b +=⎧⎨=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AM 的函数解析式为y =-x +6；（2）解：①∵点M 为线段OB 的中点．∴ABM AOM S S =△△，∴点P 于点M 重合，∴点P 的坐标为（0，6）；②如图，∵点A 的坐标为（6，0）．点M 的坐标为（0，6）．∴12AOM S =△×6×6=18， ∵ABP AOM S S =△△，∴18ABP PBM ABM PBM AOM S S S S S =-=-=，设点P 的坐标为：（x ， -x +6），∴12×6x -18=18，解得x =12， ∴点P 的坐标为（12，-6）；∴点P 的坐标为（0，6）或（12，-6）；（3）解：分三种情况考虑（如图所示）：存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∵A （6，0），B （0，12），M （0，6），①以AM ，BC 为对角线，根据平移的性质，得点C （6，-6），②以AB ，CM 为对角线，根据平移的性质，得点C （6，6），③以AC ，BM 为对角线，根据平移的性质，得点C （-6，18），综上，点C 的坐标为（6，-6）或（6，6）或（-6，18）．【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线1:1l y x =+与y 轴交于点A ，过()6,1B 的直线2l 与直线1l 交于点(),5C m -．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 是第一象限位于直线2l 上的一动点，过点D 作DH y ∥轴交1l 于点H ．当10DH =时，试在x 轴上找一点E ，在直线1l 上找一点F ，使得DEF 的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线2l 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，将直线2l 绕点O 逆时针旋转90︒得到直线3l ，点P 是直线3l 上一点，且横坐标为2-．在平面内是否存在一点Q ，使得以点M ，C ，P ，Q 为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． D ，关于1l D 的坐标和点，进而求得DEF 的最小值为（3）求出点旋转后的对应点的坐标，从而求出情况，结合根据平行四边形的性质，求得点)5-代入y =设点D 的坐标为1,22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵DH y ∥轴，∴点(),1H x x +，∵10DH =，∴()112102x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，解得：14x =， ∴()14,5D ，()14,15H ，作点D 关于x 轴的对称点()14,5D '-，关于1l 的对称点D ''，连接D D '''，D H ''交x 轴于E ，交1l 于F ，则()4,15D ''，,10AHD D HF D H DH ''''∠=∠==，DEF 的周长最小，最小值为∶ '"D D ，∵直线1:1l y x =+由直线y x =沿y 轴向上平移1个单位得到的，且直线y x =为第一三象限的角平分线， ∴直线1:1l y x =+与坐标的夹角都为45︒，∴45AHD D HF ''∠=∠=︒，∴90D HD ''∠=︒，∵DH y ∥轴，∴点D ''的横坐标为14104-=，∴点D ''的坐标为()4,15，∴()()22144155105D D '''=-++=，∴DEF 的周长最小值为∶105；（3）如图，∵点()()4,0,0,2M N -，∴点M 和点N 旋转后的对应点()()0,4,2,0M N ''，∴直线3l 的解析式为∶24y x =-+，当2x =-时，()2248y =-⨯-+=，∴()2,8P -，当PCMQ 时，∵()()24610,80513⎡⎤⎡⎤-+--=+--=⎣⎦⎣⎦，∴()10,13Q ，当CMPQ 时，∵()21012,853--=--=，∴()12,3Q -，当PCQM 时，∵()46202---=，5021822-+-=-， ∴210,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述∶点()10,13Q 或()12,3Q -或210,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E ，F 的位置．5．已知矩形ABCD ，6AB =，10BC =，以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD 边上取一点E ，将ADE 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 边上的点F 处．(1)求线段EF 长；(2)如图1，点B 与点O 重合时，在平面内找一点G ，使得以A 、O 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G 的坐标；(3)如图2，将图1翻折后的矩形沿y 轴正半轴向上平移(0)m m >个单位，在平面内找一点G ，若以A 、O 、F 、G 为顶点的四边形为菱形，请求出m 的值并写出点G 的坐标． 【答案】(1)103EF = (2)点G 的坐标为()8,6-或()8,6或()8,6-(3)4m =，点G 的坐标为：()8,6-或73m =，点G 的坐标为328,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或6m =，点G 的坐标为()8,6-【分析】（1）由矩形的性质得AD =BC =OC =10，CD =AB =OA =6，∠AOC =∠ECF =90°，由折叠性质得EF =DE ，AF =AD =10，则CE =6-EF ，由勾股定理求出BF =OF =8，则FC =OC -OF =2在Rt △ECF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分三种情况，当AB 为平行四边形的对角线时；当AF 为平行四边形的对角线时；当BF 为平行四边形的对角线时，分别去点G 的坐标即可；（3）分三种情况讨论，由菱形的性质得OA =AF =10，则矩形ABCD 平移距离m =OA -AB =4，即OB =4，设FG 交x 轴于H ，证出四边形OBFH 是矩形，得FH =OB =4，OH =BF =8，则HG =6，即可得出答案．（1）四边形ABCD 是矩形， 10AD BC OC ∴===，6CD AB OA ===，90AOC ECF ∠=∠=︒，由折叠性质得：EF DE =，10AF AD ==，6CE CD DE CD EF EF ∴=-=-=-，由勾股定理得：22100368BF OF AF OA ==-=-=，1082FC OC OF ∴=-=-=，在Rt ECF △中，由勾股定理得：222EF CE FC =+， 即：222(6)2EF EF =-+，解得：103EF =； （2）如图1所示：当AB 为平行四边形的对角线时，8AG BF ==，AG BF ∥， ∴点G 的坐标为：()8,6-；当AF 为平行四边形的对角线时，8AG BF ==，AG BF ∥， ∴点G 的坐标为：()8,6；当BF 为平行四边形的对角线时，6FG AB ==，FG AB ∥， ∴点G 的坐标为：()8,6-；综上所述，点G 的坐标为()8,6-或()8,6或()8,6-；（3）如图2，OA FG∥∴∠=FBO∴四边形∴=FH OB10∴=HG6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC 的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)线段OB 的长度为______；(2)求直线BD 所对应的函数表达式；(3)若点Q 在线段BD 上，在线段BC 上是否存在点P ，使以D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)20(2)直线BD 所对应的函数表达式为220y x =-(3)存在，满足条件的点P 的坐标是（10，12）【分析】（1）由矩形的性质可得出点B 的坐标及OA ，AB 的长，利用勾股定理可求出OB 的长；（2）设AD a =，则DE a =，8OD a =-，1064OE OB BE =-=-=，利用勾股定理可求出a 值，进而可得出点D 的坐标，再根据点B ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线BD 所对应的函数表达式； （3）过点E 作EF x ⊥轴于点F ，由90BED BAD ∠=∠=︒，可得出18090OED BED ∠=︒-∠=︒，利用面积法可求出EF 的长，在Rt ΔOEF 中，利用勾股定理可求出OF 的长，进而可得出点E 的坐标，根据PE BD ∥，求出直线PE 的解析式，根据点E 的纵坐标求出其横坐标即可．（1）解：由题意，得：点B 的坐标为(16,12)，16OA =，12AB OC ==，2222161220OB OA AB ∴=+=+=，故答案为：20；（2）解：设AD a =，则DE a =，16OD a =-，20128OE OB BE =-=-=，222OD OE DE =+，即222(16)8a a -=+，6a ∴=，10OD ∴=，∴点D 的坐标为(10,0)．设直线BD 所对应的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，将(16,12)B ，(10,0)D 代入y kx b =+，得：1612100k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：220k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 所对应的函数表达式为220y x =-；（3）解：存在，理由：过点E 作EF x ⊥轴于点F ，如图所示．90BED BAD ∠=∠=︒，18090OED BED ∴∠=︒-∠=︒1122ODE S OD EF OE DE ∆∴=⋅=⋅， 8624105OE DE EF OD ⋅⨯∴===， 在Rt ΔOEF 中，222224328()55OF OE EF =-=-=， ∴点E 的坐标为32(5，24)5， 由PE BD ∥，设直线PE 的解析式为：2y x b =+，把32(5E ，24)5代入得：2432255b =⨯+，解得：8b =-， ∴直线PE 的解析式为：28y x =-，令12y =，则1228x =-，解得：10x =，∴存在，点P 的坐标为(10,12)．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝52x +b 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B （0，5），点C 在x 轴正半轴上，OC ＝4．(1)求直线BC的解析式；(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣54x+5(2)P（43，103）(3)D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）【分析】（1）由点C在x轴正半轴上，OC＝4，得C（4，0），用待定系数法即得直线BC的解析式；（2）过P作PH⊥AC于H，设P（n，﹣54n+5），PH＝﹣54n+5，将B（0，5）代入y＝52x+b可得y＝52x+5，A（﹣2，0），根据△ABP的面积等于△AOB的面积，列方程计算即可；（3）由A（﹣2，0），P 410 33（，）代入得直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），分3种情况：①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，可得425p qp+=⎧⎨+=⎩，即可解得D（1，0）；②若EB，DC为对角线，4250p qp=+⎧⎨++=⎩，D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，425p qp+=⎧⎨+=⎩，D（7，0）．（1）∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，∴C（4，0），由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，将C（4，0）代入得：0＝4m+5，解得m＝﹣54，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣54x +5； （2）过P 作PH ⊥AC 于H ，如图：设P （n ，﹣54n +5），则PH ＝﹣54n +5， 将B （0，5）代入y ＝52x +b 得： b ＝5，∴y ＝52x +5， 在y ＝52x +5中，令y ＝0得x ＝﹣2， ∴A （﹣2，0），∴AC ＝6，∴S △ABC ＝12AC •OB ＝12×6×5＝15，S △APC ＝12AC •PH ＝12×6×（﹣54n +5）＝﹣154n +15， ∵△ABP 的面积等于△AOB 的面积，∴15﹣（﹣154n +15）＝12×2×5， 解得n ＝43， ∴P 41033（，）；（3）存在点D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：设直线AP 解析式为y ＝kx +t ，将A （﹣2，0），P 41033（，）代入得： 2041033k t k t -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得12k t =⎧⎨=⎩，∴直线AP 解析式为y ＝x +2， 设E （p ，p +2），D （q ，0），又B （0，5），C （4，0），①若ED ，BC 为对角线，则ED ，BC 的中点重合，如图：∴425p q p +=⎧⎨+=⎩， 解得31p q =⎧⎨=⎩， ∴D （1，0）；②若EB ，DC 为对角线，同理可得：4250p q p =+⎧⎨++=⎩， 解得711p q =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣11，0）；③若EC ，DB 为对角线，∴425p q p +=⎧⎨+=⎩， 解得37p q =⎧⎨=⎩， ∴D （7，0），综上所述，D 的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数132y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，一次函数y x b =-+的图象经过点B ，并与x 轴交于点C ，点P 是直线AB 上的一个动点．(1)直线BC 的表达式为___________，并直接写出点C 的坐标___________；(2)若点P 在x 轴上方，且ACP △的面积为18，求P 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点Q ．M 是x 轴上一点，在直线AB 上是否存在点N ，使以P 、Q 、M ，N 为顶点的四边形是以．PQ 为边．．的平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)3y x =-+，（3，0）；(2)P （2，4）；(3)存在，点N 的坐标为（0，3）或（－12，－3）．【分析】（1）求出x ＝0时，1332y x =+=可得点B 坐标，然后利用待定系数法求出直线BC 的表达式，令y ＝0，求出x 的值，即可得到点C 的坐标； （2）求出点A 坐标可得AC ＝9，设P （x ，132x +），根据ACP △的面积为18构建方程求出x 的值即可； （3）求出点Q 坐标，可得PQ ＝3，根据平行四边形的性质可得PQ MN ∥且PQ ＝MN ＝3，进而可得点N 的纵坐标为3或－3，然后代入直线BC 的解析式即可求出点N 的坐标．（1）解：在一次函数132y x =+中，当x ＝0时，y ＝3， ∴B （0，3），∵一次函数y x b =-+的图象经过点B ，并与x 轴交于点C ，∴3b =，∴直线BC 的表达式为3y x =-+，当y ＝0时，即03x =-+，解得：x ＝3，∴C （3，0），故答案为：3y x =-+，（3，0）；（2）9．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：112y x =+与x 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 、x 轴分别交于点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、点()4,0C ．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 和点E 分别是直线2l 和y 轴上的动点，是否存在点D 、E ，使得以点A 、B 、D 、E 为顶点、AB 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)122y x =-+ (2)存在，D 点坐标为73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）设1,22D t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,E m ，再分两种情况讨论：当AD 为平行四边形对角线时；当AE 为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．（1）解：设直线2l 的解析式为y kx b =+，直线2l 与直线1l 、x 轴分别交于点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、点()4,0C ， 3240k b k b ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，直线2l 的解析式为122y x =-+； （2）解：存在，直线1l ：112y x =+与x 轴交于点B ， ()2,0B ∴-，设1,22D t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,E m ， 当AD 为平行四边形对角线时，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0B -， 2012213202222t t m -++⎧=⎪⎪∴⎨-++⎪+=⎪⎩，解得35t m =-⎧⎨=⎩， 73,2D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； ③当AE 为平行四边形的对角线时，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0B -， 0122231202222t m t +-+⎧=⎪⎪∴⎨+-++⎪=⎪⎩，解得31t m =⎧⎨=-⎩， 13,2D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭； 综上所述：存在，73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ． 【点评】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中直线l 1：32y x m =+与直线l 2交于点A （﹣2，3），直线l 2与x 轴交于点C （4，0），与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线l 3⊥y 轴．(1)求直线l2的解析式和m的值；(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．【答案】(1)y=12-x+2；m=6；(2)P点坐标为（12-，214）或（72-，34）；(3)Q点坐标为（283，4）或（203-，4）或（4，4）【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）分点P在线段F A上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分别求P点坐标即可；（3）设P（t，32t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．（1）解：∵A（-2，3）在y=32x+m上，∴-3+m=3，∴m=6，∴y=32x+6，设直线l2的解析式为y=kx+b，∴4023k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线l2的解析式为y=12-x+2；（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），∵C（4，0），∴S△DBC=12×4×4=8>6，S△FBC=12×8×2=8>6，∴点P一定在线段FD上，当点P在线段F A上时，连接PO，设点P的坐标为（a，32a+6），S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=12×2a+12×2×4-12×4×362a+=6，整理得362a+=-12a-1，即362a+=-12a-1或362a+=12a+1，解得：a=-72或a=-5(舍去)，∴点P的坐标为（-72，34）；当点P 在线段DA 上时，连接PO ，设点P 的坐标为（a ，32a +6），S △PBC = S △POC -S △POB -S △COB =12×4×362a +-12×2a -12×2×4=6，整理得362a +=5-12a ， 即362a +=5-12a 或362a +=12a -5， 解得：a =-12或a =-11(舍去)，∴点P 的坐标为（-12，214）；综上所述：P 点坐标为（-12，214）或（-72，34）；（3）解：由（1）可得B （0，2），D （0，6）， ∴E （0，4），∴直线l 3的解析式为y =4， 设P （t ，32t +6），Q （m ，4），①当PQ 为平行四边形的对角线时， 436422t m t +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得163283t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴Q （283，4）； ②当PB 为平行四边形对角线时， 436242t m t =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得83203t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴Q （-203，4）； ③当PC 为平行四边形的对角线时，43662t mt +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得04t m =⎧⎨=⎩， ∴Q （4，4）；综上所述：Q 点坐标为（283，4）或（-203，4）或（4，4）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 的坐标为()4,0，直线134=-+y x 经过顶点B ，与y 轴交于顶点C ，AB OC ∥．(1)求顶点B 的坐标．(2)如图2，直线l 经过点C ，与直线AB 交于点M ，点O '与点O 关于直线l 对称，连接'CO 并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当5CD =时，求直线l 的解析式；(3)在（2）条件下，点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，当四边形PBCQ 是平行四边形时，求点P 的坐标． 【答案】(1)()4,2B (2)132y x =-+(3)15,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据AB OC ∥，可得点B 的横坐标为4，再代入134=-+y x ，即可求解；（2）过C 点作CN AB ⊥于N ，可得到DCM DMC ∠=∠，从而得到5CD MD ==，再求出3OC =，DN =3，从而得到532NM =-=，继而得到AM =1，可得到点()4,1M ，即可求解； （3）连接OD ，先求出D 点坐标为()4,6，可得直线OD 解析式为32y x =，设P 点坐标为1,32a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q点坐标为3,2b b ⎛⎫⎪⎝⎭，然后根据平行四边形对角线互相平分，即可求解．（1）解：∵()4,0A ，AB OC ∥， ∴点B 的横坐标为4，把4x =代入134=-+y x 中，得2y =，∴()4,2B ． （2）解：如图，过C 点作CN AB ⊥于N ，∵AB OC ∥， ∴OCM DMC ∠=∠，∵点O '为点O 关于直线l 的对称点， ∴DCM OCM ∠=∠， ∴DCM DMC ∠=∠， ∴5CD MD ==， ∵134=-+y x ，当0x =时，3y =， ∴点C （0，3）， ∴3OC =， ∵4CN OA ==，∴2222543DN CD CN =-=-=， ∴532NM =-=，∴321AM AN NM =-=-=， ∴()4,1M ，设直线l 解析式y kx b =+把()0,3C ，()4,1M 代入得： 341b k b =⎧⎨+=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的解析式为：132y x =-+．（3）解：如图，连接OD ，∵156AD AM MD =+=+=，AD OC ∥，A 点坐标为()4,0， ∴D 点坐标为()4,6，设OD 直线解析式为y kx =，将()4,6代入可得46k =，解得32k ， ∴直线OD 解析式为32y x =， ∵点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，∴设P 点坐标为1,32a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q 点坐标为3,2b b ⎛⎫⎪⎝⎭，∵四边形PBCQ 是平行四边形， ∴平行四边形对角线互相平分， 4022312332222b a b a ++⎧=⎪⎪⎨+-++⎪=⎪⎩，解得51a b =⎧⎨=⎩， 当5a =时，111353222a -+=-⨯+=，∴P 点坐标为15,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点评】本题主要考查了一次函数与四边形的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点()0,1A 、()2,2B ．将直线1l 向下平移m 个单位得到直线2l ，已知直线2l 经过点()1,2--，且与x 轴交于点C ．(1)求直线2l 的表达式及m 的值；(2)若点Q 是x 轴上一点，连接BQ ，当CBQ △面积等于4时，求点Q 的坐标； (3)点D 为直线2l 上一点，如果A 、B 、C 、D 四点能构成平行四边形，求点D 的坐标． 【答案】(1)52m =， 直线2l 为1322y x =- (2)()1,0Q -或()7,0.Q(3)点D 的坐标为（5，1）或（1，-1）．【分析】（1）根据待定系数法先求解1l 的解析式，再写出2l 的解析式为112y x m =+-，再利用待定系数法即可得到答案；（2）由2l 的解析式，令y =0，即可求得C 的坐标，设(),0,Q x 由4,CBQS = 可得1324,2x -⨯= 再解方程可得答案；（3）分两种情况，根据平行四边形的性质以及平移的规律即可求得D 的坐标． （1）解：设直线1l 的表达式为y =kx +b ， ∵直线1l 经过点A （0，1）、B （2，2），∴122b k b =⎧⎨+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线1l 的表达式为112y x =+； 将直线1l 向下平移m 个单位得到直线2l ，则直线2l 为112y x m =+-，∵直线2l 经过点（-1，-2），∴()12112m -=⨯-+-，解得52m =，∴直线2l 为1322y x =-， （2）令y =0，则130,22x -= 解得x =3，∴点C 的坐标为（3，0）；设(),0,Q x ∵4,CBQS =∴1324,2x -⨯= 解得：=1x -或7,x = ∴()1,0Q -或()7,0.Q （3）由题意可知AB CD ∥，如图，当A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形1ABD C 时，1AB CD =，。