直角坐标系下三角形面积求法——水平宽铅垂高前一阶段我们探讨了一次函数和三角形的面积问题，后台有一些同仁提出了一些宝贵的看法，在此笔者表示感谢。
我们知道对于不规则三角形的面积肯定是用割补法，由此引申出一种水平宽铅垂高的做法，也就是铅垂法。
今天我们来深入地探讨一下铅垂法的做法依据。
我们先从三个顶点都确定的三角形来看。
如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（1，1）、B （3，4）、C（5，2），试求△ABC的面积。
显然这个三角形属于我们说的所谓不规则三角形（三条边均不和坐标轴平行，且不在坐标轴上），所以我们的基本思路是割补法。
由于此题相对来讲比较简单，我就简单用图形罗列一下各种不同的解法。
方法一：方法二：方法三：方法三是过点B作AC的平行线将不规则的△ABC转化为规则的△ADC从而来求解的过程，其实我们还可以过点A作BC的平行线或者过点C作AB的平行线来进行转化。
鉴于这不是本文研究的重点，另外两种方法在此略过。
方法四：方法五：方法六：方法七：方法八：方法九：方法四、方法五都是在点B处处理，方法四是在点B处作y轴的平行线，方法五是在点B处作x轴的平行线；方法六、方法七都是在点A处处理，方法六是在点A处作y轴的平行线，方法七是在点A处作x轴的平行线；方法八、方法九都是在点C处处理，方法八是在点C处作y轴的平行线，方法九是在点C处作x轴的平行线。
我们再来研究这六个图：如果我们对这六种方法都进行运算、思考，我们就会发现△ABC的面积为图中两个红色线段（一横一竖）乘积的一半。
这就是所谓的铅垂法求面积。
那么如何构造这些线呢？我的看法是选三角形的两个顶点（比如A和B），将AB之间的横坐标体现的横着的线段找出来（图５中的AM），最后一个顶点C作竖着的直线交AB边于点D，此时竖着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。
或者将AB之间的纵坐标体现的竖着的线段找出来（图6中的AM），过第三个顶点C 作横着的直线交AB边于点D，此时横着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。
二次函数与面积解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.课前练习如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题：如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交轴于点A （3,0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；△是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．x CB模型讲解 竖切面积公式均为1=2S dh横切面积公式均为1=2S dh总结这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得.CBhC Bh CBD例题1 已知一次函数y＝（k＋3）x＋（k-1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，P（-1，-4）.（1）若△OBP的面积为3，求k的值；（2）若△AOB的面积为1，求k的值.ax2-ax＋c的图像的顶点为C，一次函数y＝-x＋3例题2 如图，二次函数y＝12的图像与这个二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D.（1）求点D的坐标；（2）若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积为4，求此二次函数的关系式.例题3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝-2.（1）求抛物线解析式；（2）若点E时线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF△AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.巩固练习1.已知直线y ＝2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ，D 两点，抛物线y ＝-12x ²＋bx ＋c 经过点A ，D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点． （1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM S △:OMD S △＝1:3，求点M 的坐标；2．如图，已知抛物线y ＝-x ²＋bx ＋c 与一直线相交于A （-1,0），C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，直接写出△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；，求a （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为54 Array的值；4. 已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²-4x-12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ△AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．5. 已知：在直角坐标系中，点C 的坐标为（0，-2），点A 与点B 在x 轴上，且点A 与点B 的横坐标是方程x ²-3x -4＝0的两个根，点A 在点B 的左侧. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的关系式.（2）点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0）连接CD 、CP ，设△CDP 的面积为S ，当S 取某一个值时，有两个点P 与之对应，求此时S 的取值范围？7、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y ＝mx ²＋nx 相交于A （1，3），B （4，0）两点. （1）求出抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM △OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC △x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积BCN S △、PMN S △满足BCN S △＝2PMN S △，求出MNNC的值，并求出此时点M 的坐标.。
二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题：问题1坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2:坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3:具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4:铅垂法的具体做法是什么？问题5:如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考：问题1坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转问题2:坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）问题3:具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4:铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，贝冋从任意一点作铅垂；若为变化的图形，贝以动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5:如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
由T E S思‘=用心血十災-BMP*用卫眩二㊁（% -勺）*仏就二㊁心-仏）,专叱（心-©） + #妣包F）二m叱（心_心+心_也）例1:如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4, -1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，4B C0 B C0 (铅垂线在三角形内部)将d 点坐标(0, 3)代入，可得“ 当vn~3时，APAC 的面积最大 此时点尸的坐标为® --)二 B(2, 0),C(6? 0) +如图，过点尸作严创］轴，交M 于点0•二次函数的解析式为尸"工T 斗最大值为兰斗x 轴分别交于点A , B,抛物线y = -X 2 • bx • c 易得匚匚：尹二—［龙+3 ■■设点P 的橫坐标为也，贝lj 0 < w< 6试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 1 例2：如图，一次函数y = -x * 2与y 轴、2过A ，B 两点.Q 为直线AB 下方的抛物线上一点，设点 Q 的横坐标为n , △ QAB 勺面积为 S,求出S 与n 之间的函数关系式并求出S 的最大值3,解得，a~-4点，且位于A, C 两点之间，当△ PAC 的面积最大时，求P 的坐标和A PAC 的最大 面积.解: -- ■- •・ JC 两点(点B 在点C 的左侧)，已知A 点坐标为(0,3) •点P 是抛物线上的一个动解：;'\r. .■:“/. c=2.把点£ （T, 0）代入二次函数表达式.得一16-肪+2 = 0,/* b —^―,2••二次函数的表达式为y ~ -X1 x+ 2.£如图，过点。
