运筹学第9章动态规划解析

动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。

二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。

通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。

阶段变量一般用k=1.2….n.表示。

1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。

它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。

通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。

描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。

变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。

用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。

n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。

运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。

1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。

二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。

三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。

3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。

3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。

3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。

四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。

4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。

4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。

5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。

教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。

六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。

运筹学动态规划运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。

动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。

下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。

动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。

为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。

动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。

动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。

例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。

动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。

此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。

然而，动态规划方法也存在一些局限性。

首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。

其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。

综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。

动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。

运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。

让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。

1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。

案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。

教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。

让学生学会将问题转化为动态规划问题。

2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。

练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。

教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。

让学生学会使用动态规划算法解决问题。

3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。

练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。

教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。

让学生学会使用动态规划解决实际问题。

4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。

案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。

教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。

让学生展望动态规划在未来的发展。

5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。

动态规划在未来的发展趋势和挑战。

5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。

讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。

教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。

运筹学中的动态规划原理-教案一、引言1.1动态规划的基本概念1.1.1动态规划的定义：动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。

1.1.2动态规划的特点：将复杂问题分解为简单的子问题，通过求解子问题来得到原问题的最优解。

1.1.3动态规划的应用：广泛应用于资源分配、生产计划、库存控制等领域。

1.2动态规划的基本原理1.2.1最优性原理：一个最优策略的子策略也是最优的。

1.2.2无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。

1.2.3子问题的重叠性：动态规划将问题分解为子问题，子问题之间往往存在重叠。

1.3动态规划与静态规划的关系1.3.1静态规划：研究在某一特定时刻的最优决策。

1.3.2动态规划：研究在一系列时刻的最优决策。

1.3.3动态规划与静态规划的区别：动态规划考虑时间因素，将问题分解为多个阶段进行求解。

二、知识点讲解2.1动态规划的基本模型2.1.1阶段：将问题的求解过程划分为若干个相互联系的阶段。

2.1.2状态：描述某个阶段的问题情景。

2.1.3决策：在每个阶段，根据当前状态选择一个行动。

2.1.4状态转移方程：描述一个阶段的状态如何转移到下一个阶段的状态。

2.2动态规划的基本算法2.2.1递归算法：通过递归调用求解子问题。

2.2.2记忆化搜索：在递归算法的基础上，保存已经求解的子问题的结果，避免重复计算。

2.2.3动态规划算法：自底向上求解子问题，将子问题的解存储在表格中。

2.2.4动态规划算法的优化：通过状态压缩、滚动数组等技术，减少动态规划算法的空间复杂度。

2.3动态规划的经典问题2.3.1背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，求解在给定背包容量下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。

2.3.2最长递增子序列问题：给定一个整数序列，求解序列的最长递增子序列的长度。

2.3.3最短路径问题：给定一个加权有向图，求解从源点到目标点的最短路径。

第九章 动态规划应用举例§1 资源分配问题与背包问题1． 一维分配问题问题：一种数量为a 的资源，分配给n 个用户。

若分配给第k 个用户的数量为k x ，相应可得到的收益为)(k k x g 。

求总收益最高的分配方案。

其数学模型为：)(max 11≥≤=∑∑==k nk knk k k x axx g f用动态规划方法求解：将其划分为n 阶段决策问题，第k 阶段确定分配给第k 个用户的资源数量 第k 阶段初的状态变量k s 为当前这种资源的剩余量。

],0[,1a s a s k ∈=（若模型要求},...1,0{,a s Z x k k ∈∈）决策变量k x ：第k 阶段的剩余资源量为k s 时对第k 个用户分配的数量],0[k k s x ∈（若},...1,0{,k k k s x Z x ∈∈）状态转移方程：k k k x s s -=+1 动态规划基本方程：{}0)(1,...1,,)()(max )(1111],0[=-=+=++++∈n n k k k k s x k k s f n n k s f x g s f k k[例]将4台机器分配给甲、乙、丙三个工厂，其收益表如下（单位：万元）：求总收益最高的分配方案。

解：分为3个阶段，用逆序方法求解：3=k ，求4,3,2,1,0),(333=s s f2=k ，求4,3,2,1,0),(222=s s f1=k ，求4),(111=s s f问题的最大收益值为：)(11s f =17万元，最优分配方案有如下两个：方案1：*1x =1（*2s =3），*2x =2（*3s =1），*3x =1，即分别分配给甲1台，、乙2台、丙1台。

方案2：*1x =2（*2s =2），*2x =2（*3s =0），*3x =0，即分别分配给甲2台，、乙2台、丙0台。

2． 二维分配问题问题：两种数量分别为b a ,的资源，分配给n 个用户。

若分配给第k 个用户的两种资源数量分别为k k y x ,，相应可得到的收益为),(k k k y x g 。