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有限元 第8讲等参单元2

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八节点等参单元平面有限元

八节点等参单元平面有限元

八节点等参单元平面有限元分析程序土木工程学院2011.2目录1.概述 (1)2.编程思想 (2)2.1.八节点矩形单元介绍 (2)2.2.有限元分析的模块组织 (5)3.程序变量及函数说明 (6)3.1.主要变量说明： (6)3.2.主要函数说明 (7)4.程序流程图 (8)5.程序应用与ANSYS分析的比较 (9)5.1.问题说明 (9)5.2.ANSYS分析结果 (10)5.3.自编程序分析结果 (12)5.4.结果比较分析 (12)参考文献 (14)附录程序源代码 (15)《计算力学》课程大作业1.概述通常情况下的有限元分析过程是运用可视化分析软件(如ANSYS、SAP等)进行前处理和后处理，而中间的计算部分一般采用自己编制的程序来运算。

具有较强数值计算和处理能力的Fortran语言是传统有限元计算的首选语言。

随着有限元技术的逐步成熟,它被应用在越来越复杂的问题处理中，但在实际应用中也暴露出一些问题。

有时网格离散化的区域较大,而又限于研究精度的要求，使得划分的网格数目极其庞大，结点数可多达数万个，从而造成计算中要运算的数据量巨大，程序运行的时间较长的弊端，这就延长了问题解决的时间，使得求解效率降低。

因为运行周期长，不利于程序的调试，特别是对于要计算多种运行工况时的情况；同时大数据量处理对计算机的内存和CPU 提出了更高的要求，而在实际应用中，单靠计算机硬件水平的提高来解决问题的能力是有限的。

因此，必须寻找新的编程语言。

随着有限元前后处理的不断发展和完善，以及大型工程分析软件对有限元接口的要求，有限元分析程序不应只满足解题功能，它还应满足软件工程所要求的结构化程序设计条件，能够对存储进行动态分配，以充分利用计算机资源，它还应很容易地与其它软件如CAD 的实体造型，优化设计等接口。

现在可编写工程应用软件的计算机语言较多，其中C语言是一个较为优秀的语言，很容易满足现在有限元分析程序编程的要求。

C语言最初是为操作系统、编译器以及文字处理等编程而发明的。

等参单元

等参单元

5．等参单元本章包括以下内容： 5.1等参单元的基本概念 5.2四边形八节点等参单元 5.3等参单元的单元分析 5.4六面体等参单元5.1等参单元的基本概念在进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差：1）提高单元划分的密度，被称为h 方法（h-method ）；2）提高单元位移函数多项式的阶次，被称为p 方法（p-method ）。

在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，如图5-1所示，该矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。

图5-1 四结点矩形单元同第三章的方法类似，将单元的位移模式选为，xy a y a x a a u 4321+++= xy a y a x a a v 8765+++=（5-1）可得到，p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=p p m m j j i i v N v N v N v N v +++=（5-2）形态函数为， )1)(1(41b y a x N i --=)1)(1(41b y a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++= )1)(1(41by ax N p +-=（5-3）上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 1）反映了单元的刚体位移和常应变， 2）单元在公共边界上位移连续。

在矩形单元的边界上，坐标x 和y 的其中一个取常量，因此在边界上位移是线性分布的，由两个结点上的位移确定。

与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下。

表5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位移连续性条件。

为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变换。

图5-2任意四结点四边形单元图5-3四结点正方形单元在图5-2所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系),(ηξ，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令四条边上的ξ及η值分别为1±。

等参单元

等参单元

等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中，m是用以进行坐标变换的单元节点数，Ni’是 用于坐标变换的形函数，它也是用局部（自然）坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元

等参变换的条件
由微积分学知，两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0，等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下，面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3

V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1


1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1

A
g ( x, y, z )dS e
1 1

1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。

第八章 等参数单元

第八章 等参数单元

母单元 的位移函数: u Ni (,)ui
座标变换的映射关系: x Ni (,)xi
v Ni (,)vi
y Ni (,)yi
第八章 等参数单元
§8-2 平面等参数单元
8-2-1 四边形四节点等参数单元
四边形四节点单元位移模式:
4
3
η
u Ni (,)ui
v Ni (,)vi
数的幂次与位移函数一致，是一个双二次函数，所以Ni( ξ, η )也
是一个双二次函数。 现在构造N1( ξ, η )。由形函数的性质
Ni ( j , j )
ij
1 0
j i ji
可知，N1(ξ1 , η1)=1, N1(ξj ,ηj )=0 (j=2,3,4,5,6,7,8) 从母单元上可知直线263,直线374,直线58,通过
ξ-1=0, 由上述三个方程 (ξ+1)(η-1)(ξ-1 ) 连乘构成
N5(ξ, η), 它必须满足N5 (ξ, η) 在点 5等于1。
N5(,)
2 2
1 1
1
1 0,1
1 2
1 2
1
同理可得
N6
1 2
1
2
1
N7
1 2
1
2
1
N8
1 2
1 2
1
第八章 等参数单元
由形函数的性质所构造的单元位移模式，也必须满足 ΣNi=1
K e
BT
D B tdxdy
1 1 B T 1 1
DBt
J
d d
[K]e可划分成八行八列的子矩阵 :
第八章 等参数单元
[K]e有16行16列元素组成的矩阵:
k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18

第八章等参数单元

第八章等参数单元
∂Ni ∂Ni ∂ξ ∂x ∂Ni −1 ∂Ni = [J ] ∂y ∂η ∂Ni ∂Ni ∂z ∂ζ
其中： [ J ]−1 是 [J] 的逆矩阵。
（2）体积元、面积元的变换
u = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy v = α 5 + α 6 x + α 7 y + α 8 xy
式中： 式中：常数项与一次项的系数反映了单元的刚体位 必要条件； 移与常量应变，满足收敛性的必要条件 移与常量应变，满足收敛性的必要条件；单元边 界上， 坐标的线性函数， 界上， u , v 位移为 x 或 y 坐标的线性函数， 连续性条件。 显然满足连续性条件 显然满足连续性条件。
单元的位移模式满足了上述两个条件者， 单元的位移模式满足了上述两个条件者，称为完备性。
• 3．位移模式必须能保证单元之间位移 位移模式必须能保证单元之间位移 的连续性。 的连续性。
在连续弹性体中位移是连续的， 在连续弹性体中位移是连续的，所以分割成 许多单元后，相邻单元的位移必须保持连续， 许多单元后，相邻单元的位移必须保持连续，这 就耍使相邻单元的公共边界具有相同的位移 相邻单元的公共边界具有相同的位移， 就耍使相邻单元的公共边界具有相同的位移，以 避免发生两相邻单元互相脱离或互相侵入的现象。 避免发生两相邻单元互相脱离或互相侵入的现象。 这种连续性在有的文献中称为协调性或相容性。 这种连续性在有的文献中称为协调性或相容性。
具体分析： 具体分析： 如图所示三结点三角形 单元： 为公共结点， 单元： 为公共结点， im 由于三结点三角形单元 位移模式是坐标的线性 im 函数， 变形后仍是直线 函数， 所以两单元在两个相邻单 元在 im 边任意一点都具有 相同的位移，保证了连续性。 相同的位移，保证了连续性

有限元法与程序-等参单元的处理(中大)

有限元法与程序-等参单元的处理(中大)
n
n
u Niui
i 1
w= Ni wi
i 1
对于4结点等参数单元，n=4，形函数Ni 如下 1 N i (1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4) 4
对于8结点等参数单元n=8，形函数Ni 取为
N 1 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 2 (1 )(1 ) / 2 N 3 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 4 (1 )(1 ) / 2 N 5 (1 )(1 )( 1) / 4 N 6 (1 2 )(1 ) / 2 N 7 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 8 (1 )(1 ) / 2
式中： 0 i ,0 i, 0 i
2、单元中应变
e
{} [B]{ } [B1 B2 B20 ]{ }
e
e
{ } [u1 v1 w1 u2 v2 w2 u20 v20 w20 ]
N i x 0 0 [ Bi ] N i y 0 N i z 0 N i y 0 N i x N i z 0 0 0 N i z (i 1,2, ,20) 0 N i y N i x
三维高斯积分公式
Leabharlann 1111f ( , , )d d d H i H j H k f (i , j , k )
i 1 j 1 k 1
n
n
n
式中积分点和权函数仍按上表采用。 等参元数值积分中一般取3-4就可取得足够精度
单元刚度矩阵[k ] H m H n H p [ B]T [ D][ B] | J |

《高等有限元方法-张年梅》1.2八节点等参元

第二节 八节点等参数单元一、等参数单元图2.1八节点等参单元现在介绍一种常用的八结点等参数平面单元。

八结点等参单元的构成，为处理结构的曲边边界提供了优良的条件．在单元划分时内部单元可取为八结点直四边形元，边界单元的边界边可取为曲边，这相当于用三点构成的抛物线去逼近原结构曲线边界，这要比用三角形元和任意四边形单元逼近曲线边界减少离散化过程带来的误差．因此八结点等参元的引入不仅可提高单元内部插值精度，还能较好地处理曲线边界．首先研究一个边长等于2的正方形单元(图2.1)。

在其形心处按置一个局部坐标系ξη，单元各结点的坐标(i i ,ξη)分别为士1或0,因此单元四条边界的方程式都能用简单的公式写出。

选取位移模式:222212345678u a a a a a a a a ξηξηξηξηξη=+++++++222212345678v b b b b b b b b ξηξηξηξηξη=+++++++ (2.1)根据8个节点的位移信息，可确定形函数：()()()()000011111,2,3,44i N i ξηξη=+++-= ()()()201115,72i N i ξη=-+=()()()201116,82i N i ηξ=-+=上面的形函数可统一写成()()()22000011114i i i N ξηξηξη=+++- ()()()222011112i i ξξηη+--+()()()222011112i i ηηξξ+--+ (2.2)同前一样，用上式的形状函数构成真实单元的位移函数()1,n i i i u N u ξη==∑, ()1,ni i i v N v ξη==∑ (2.3)和坐标变换式()1,n i i i x N x ξη==∑, ()1,ni i i y N y ξη==∑ (2.4)通过上式的坐标变换，使得图2.1 (b)所示,ξη平面上的八个结点分别映射成图2.1 (a)所示xy 平面上的八个结点，它们的坐标是,,i i x y (i=1，2，…，8)。

8_等参数单元和高阶单元


N4 0
= Nδ e
平面四结点等参元
这就是我们习惯的位移插值表达式， 这就是我们习惯的位移插值表达式，[ N ] 为形 状函数矩阵，这里采用了同样的形状函数 状函数矩阵，这里采用了同样的形状函数(7.2)，用 ， 同样的结点插值表示出单元的几何坐标 x, y 与位移
13 /90
平面四结点等参元
(a) 图 7.1 等参变换
(b)
14 /90
平面四结点等参元
如在图(7.1a)中，3—4 边上使η = 1，1—2 边上使η = −1，2—3 边 中 如在图 上使 ξ = 1，1—4 边上使 ξ = −1。显然这是一种随单元形状而不同 的局部坐标系，坐标网格一般不是正交的。每个单元内， η 的局部坐标系，坐标网格一般不是正交的。每个单元内，坐标ξ ， 的值皆在-1 之间， 单元都是一样的区间。 的值皆在 与+1 之间，各单元都是一样的区间。此坐标系可称为 单元的自然坐标系，其坐标区域是 2× 2 的正方形，如图 的正方形，如图(7.1b)所示， 所示， 单元的自然坐标系， 所示 正方形的四个边对应于实际单元的边界 四个顶点一一对应于四个 正方形的四个边对应于实际单元的边界， 结 点 ； 正 方 形 内 任 一 点 P (ξ ,η ) 都 对 应 于 实 际 单 元 内 的 一 个 点
1 /90
等参数单元
工程中一些结构的形状是比较复杂的， 有的具有曲 工程中一些结构的形状是比较复杂的， 面边界。如用一般简单单元分析此类结构， 面边界。如用一般简单单元分析此类结构，往往需要将 结构划分为大量的单元， 用小的直边单元去近似结构的 结构划分为大量的单元， 曲面边界。另一方面，在一个单元内多取一些结点， 曲面边界。另一方面，在一个单元内多取一些结点，单 元本身的精度就提高了， 可以用较少的单元来解决结构 元本身的精度就提高了， 分析问题。实际计算表明，对于复杂的三维问题， 分析问题。实际计算表明，对于复杂的三维问题，使用 问题 精度较高的复杂单元是更有利的，总计算量可以少，划 精度较高的复杂单元是更有利的，总计算量可以少， 分单元也比较方便。参数单元可以具有曲面形状， 分单元也比较方便。参数单元可以具有曲面形状，以便 具有曲面形状

有限元讲义等参单元

• 建立了局部坐标系后，在ξ-η平面内单元就是一个边长为2的正方形。
第五页，共24页
§6.2 平面四节点等参单元
• 该局部坐标系使得在x-y平面上的任意四边形与ξ-η平面上的正方形之间形成 了1-1对应的映射。正方形的4个顶点对应任意四边形单元的四个节点； 4条边 对应任意四边形单元的4条边；正方形内任一点p(ξ,η)对应于任意四边形内一 点p(x,y)。
• 上述映射是利用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该坐标变换式中 采用了与位移插值相同的节点和参数（插值函数），因此称为等参变换。而 所有采用等参变换的单元称为等参单元。等参单元是一个单元家族，目前在 通用程序中广泛采用。
4
x N i x i
i1
4
y N i y i
i1
第九页，共24页
函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。这种单元称为等参单元。
• 等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。
第三页，共24页
§6.2 平面四节点等参单元
1、局部坐标系与位移模式
下图为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。将矩形单元 放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。
4) 高阶等参元精度高，描述复杂边界和形状的能力强，所需单元少，在结构应 力分析中应用最广泛。
第二十四页，共24页
• 三维等参单元的力学分析和数学分析原理和方法与平面等参元相同。
第二十二页，共24页
§6.5 等参变换的条件 等参变换的条件
• 等参变换要保证母单元与实际单元之间形成1-1对应的映射， 数学上的条件是变换的Jacobi行列式大于零。要保证这个条 件，单元的几何必须满足一定要求，主要是： ①单元形状不能过度畸变；

平面有限元分析-等参单元

由以上分析可知，在划分单元时，只需确定单元节点的整 体坐标值，而不必画出等参元的具体形状，因为在计算中实际 使用的只有单元四个节点在整体坐标系下的位移值。
等参元变换的条件为 J ≠ 0 ，因此在有限元网格划分时，要 特别注意这一点。
等参单元等效节点力（4节点）
（1）集中力引起的单元节点载荷
单元内某点受到集中载荷P=[Px Py]T，移置到单元节 点上的等效节点力为：
j
同理 得
dη = ∂x dηi + ∂y dη j
∂η
∂η
∂x dξ
dA =
dξ × dη
=
∂ξ
∂x
dη
∂µ
∂y dξ ∂x
∂ξ
∂y
dη
=
∂ξ
∂x
∂η ∂µ
∂y
∂ξ
∂y
dξdη
∂η
等参单元刚度（4节点）
因为
∂x ∂y
J
=
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂η ∂η
雅可比行列式 Jacobi
曲边面积元dA:
dA = J dξdη
8 平面问题有限元分析 等参单元
8.1等参曹单国元华刚度（4节点） 8.2等参单元等效节点力（4节点） 8.3矩形单元（8节点） 8.4等参单元（8节点） 8.5高斯积分法
等参单元刚度（4节点）
4
4
=u ∑= Ni (ξ ,η )ui ,v ∑ Ni (ξ ,η )vi
=i 1 =i 1
4
4
=x ∑= Ni (ξ ,η ) xi , y ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1
4
y = ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1
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左侧代入积分： I 2c0 2c2 / 3
I

H1 f
(1)
H2
f
(2 )
2 )(1 i )(1 i)
(i 9,11,17,19) (i 10,12,18,20) (i 13,14,15,16)
其中ξi,ηi,ζi为单元结点在局部坐标系中的坐标 单元刚度矩阵为，
K e [B]T [D][B]dxdydz
3
2011/4/19
x( ,) N( ,)xe
u(x, y) u( ,) N( ,)qe 8 3
坐标变换
u(x, y) u( ,) N( ,)qe
x y z





J


x
y
z


x y z

B( ,, ) N( ,, )

i
)(1


i
)
(i 1,...,8)
其中，i ,i , i 为结点的局部坐标。
Solid95的基本单元
二十结点基本单元
与六面体八结点等参单元相比，六面体二十结点等参单 元能更好地适应不规则的形状，计算误差比较小，基本 单元如图所示，其形函数为
ANSYS提供的Solid95单元是六面体二十节点等参单元， 每个节点有代表x、y、z三个方向位移的三个自由度，可 以退化为五面体棱柱、五面体金字塔形和四面体单元。 Solid95单元的基本单元如图所示。
dy dz
y
z
dd3
y
z
dd
2

y
z
dd3
y
z
dd
1





y
z
dd
2

y
z
dd
1
x y z dxdydz x y z ddd J ddd x y z

5
2011/4/19
利用雅可比矩阵的行列式，将整体坐标系下的积 分转换为在局部坐标系下的积分。在整体坐标系中的 体积微元为，
dV dx (dy dz) dxdydz
微矢量在局部坐标系中表示为，
dx

x
d
1

x
d2
x
d
3



dy

( )=
l n1
i
(
)
f
(i
)

a0

a1

an1
n1
i 1
其中lin1( )为(n 1)阶Lagrange插值函数
n
lin1(
)


j 1
ji
j i j
,显然lin1( j )

1 0
,i ,i
j j
(i ) f (i )
y
d
1

y
d
2

y
d
3



dz z d 1 z d2 z d 3



其中
1,
2,
3
为局部坐标系中ξ,η,ζ方向上的单位向量。
最后，用高斯积分计算出单元刚度矩阵。同样， 用上节中类似的公式就可以在局部坐标下完成单元的 载荷移置。体力移置的公式为
yi
n
i 1
N i
yi
n
i 1
N i
zi

n
i1
n
i1
N i
z
i

N
zi

... ...
N n
N n


x1

x2
.
y1 y2 .
z1
z
2 ....来自Nn

x
n
yn
z
n

三维问题有限元法有以下两个主要难点： (1) 单元划分比较复杂无法采用人工方法完成复杂三维实体的 单元划分，需要有功能强大的单元划分程序，从CAD模型直接 生成离散的单元网格。现在的有限元软件可以读入IGES、STL 等格式的图形交换文件。六面体单元的计算精度比较高，但是 对于复杂三维实体无法实现六面体单元的自动划分。采用四面 体单元能够实现单元自动划分，但是四面体单元的计算精度比 较低。
常用的三维等参单元有六面体八节点等参单元 和六面体二十结点等参单元。等参单元的位移 模式和坐标变化式采用相同的形函数，如上
ANSYS提供的Solid45单元
2
2011/4/19
Solid45的基本单元
八结点基本单元
六面体八节点等参单元的基本单元如图所示，其形函数 为，
Ni

1 8
(1


i
)(1
– 梯形公式，n=1 – Simpson公式，n=2
b
a
f
( x)dx

ba 2

f
(a)

f
(b)
b a
f
( x)dx

ba 6

f
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)
k
k 1
7
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写成统一的形式
1 1
f
( )d

n k 1
Hk
f
(k )
数值积分的基本思想
对于一个定积分 I b f ( )d ,构造一个多项式( ), a
使得在区间内n个点(i ,i 1, 2,..., n)上( )与f ( )相同, 即 (i ) f (i ) (i 1, 2,..., n)
则用( )来近似代替f ( ),积分式变为
[K ]e 1 1 1 [B]T [D][B] J ddd 1 1 1
5.6 数值积分
等参单元刚度矩阵的每个元素都是局部 坐标的函数，等参数变换后具有非常复 杂的形式，在有限元程序中不用解析的 办法来计算局部坐标系中的积分，而采 用数值积分方法。
通常采用高斯积分方法计算单元刚度矩 阵中的元素及等效节点载荷列阵的元素。
{R}e 1 1 1 [N ]T {p}t J ddd 1 1 1
在ξ=1的面上受到面力作用，面力移置的公式为:
{R}e 1 1
1 1
[N ]T1{P}t J 1 dd
其中在点 ξ0,η0,ζ0集中力移置的公式为:
{R}e [N ]T(0 ,0 , 0 ){P}
ANSYS提 供的
Solid95 单元
Ni

1 8
(1


i
)(1

i)(1


i
)(
i
i
i
2)
(i 1,2,...,8)
Ni

1 (1 4
2 )(1 i)(1 i
)
Ni

1 4
(1


2
)(1


i
)(1 i )
Ni

1 (1 4
2. 坐标变换式和位移模式
形函数计算
4
2011/4/19
按照上节介绍的等参单元分析的基本步骤可以得到 三维单元的单元刚度矩阵。雅可比矩阵为，
x y z
[J
]


x

y

z



x
y
z


形函数对整体坐标的偏微分可以用雅可比矩阵表
f
( )d

n i 1
Ai
f
(i )
1 f ( )d 1
n
Hk f (k )
k 1
n 2 则右边四个参数 H1 1 H 2 2
如果左边的 f ( ) 也只含有四个参数，则它们之间的关系就能完全确定。
f ( ) c0 c1 c2 2 c3 3
n
v Ni ( ,, )vi i 1
n
w Ni ( ,, )wi i 1
n
x Ni ( ,, )xi i 1
n
y Ni ( ,, ) yi i 1
n
z Ni ( ,, )zi i 1
三维问题的单元数目大，节点自由度多，导致 计算规模大，对计算机硬件的要求很高。为缩 短计算时间，有许多问题需要采用巨型计算机， 如CRAY，或并行计算机。
等参数单元
5.1 概述 5.2 等参单元定义的给出 5.3 四节点四边形等参数单元 5.4 平面八节点等参数单元 5.5 六面体等参单元 5.6 数值积分
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5.5 六面体等参单元
多数弹性力学问题需要按照三维空间问题来求解。三维弹 性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样，在 分析三维问题时，所选择的单元主要为四面体单元和六面体单 元。每个单元节点上定义有三个位移分量u、v、w。
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有限单元法及软件 应用
山东建筑大学 2011
进度安排
10 材料非线性问题 11 几何非线性问题 12 热传导问题 13 有限元Fortran程序设计 14 ANSYS有限元软件 期末考试
1进有度限安元方排法概述
2 数理力学基础 3 简单杆系结构有限元法 4 弹性力学平面有限元方法 5 等参元和高斯积分 6 空间问题有限元法 7 梁结构单元 8 板壳问题有限元法 9 结构动力问题有限元法