统计学原理公式及应用

数理统计定理及公式数理统计是应用数学的一个分支，研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术。

在数理统计中，有一些重要的定理和公式，用于描述和计算概率、分布、样本统计量和假设检验。

1. 大数定理（Law of Large Numbers）：在重复多次独立实验的情况下，随着实验次数的增多，样本均值会趋近于总体均值。

大数定理是数理统计的基础之一，它是对样本均值的收敛性质的描述。

数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是来自总体的独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，n是样本大小。

2. 中心极限定理（Central Limit Theorem）：在若干相互独立的随机变量的和的情况下，随着随机变量数量的增大，和的分布趋向于服从正态分布。

中心极限定理是数理统计中非常重要的一个定理，它不仅在理论上解释了为什么正态分布在自然界中具有如此重要的地位，而且提供了许多统计学中方法的理论基础。

数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，σ是总体的标准差，n是样本大小。

3. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：又称为两点分布，是最简单的概率分布之一、伯努利分布描述了只有两个可能结果的离散随机试验，如抛硬币的结果。

数学表达式为：其中，p表示事件出现的概率，1-p表示事件不出现的概率，X为随机变量。

4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是统计学中最常见的连续型概率分布之一、正态分布具有钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。

它在自然界中广泛存在，并且许多现实世界中的随机变量都可以近似地服从正态分布。

数学表达式为：其中，μ是均值，σ是标准差，x是随机变量。

5. t分布（Student's t-distribution）：t分布是用于小样本情况下对总体均值进行假设检验的重要工具。

它形状类似于正态分布，但是更扁平，并且具有更重的尾部，以补偿小样本情况下对总体均值的估计不准确性。

一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxx加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf x m m x频数也称次数。

在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。

再如在3.14159265358979324中，…9‟出现的频数是3，出现的频率是3/18=16.7% 一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与总数的比为频率。

频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。

而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。

在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。

频数（频率）数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。

掷硬币实验：在10次掷硬币中，有4次正面朝上，我们说这10次试验中…正面朝上‟的频数是4例题：我们经常掷硬币，在掷了一百次后，硬币有40次正面朝上，那么，硬币反面朝上的频数为____.解答，掷了硬币100次，40次朝上，则有100-40=60（次）反面朝上，所以硬币反面朝上的频数为60.一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxxx 代表算术平均数；∑是总和符合；f 为标志值出现的次数。

加权算术平均数是具有不同比重的数据（或平均数）的算术平均数。

比重也称为权重，数据的权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在总体中的比重有关。

依据各个数据的重要性系数(即权重)进行相乘后再相加求和，就是加权和。

加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。

加权平均数 = 各组（变量值 × 次数）之和 / 各组次数之和 = ∑xf / ∑f加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf xm m x加权算术平均数以各组单位数f 为权数，加权调和平均数以各组标志总量m 为权数但计算内容和结果都是相同的。

《统计学原理》常用公式汇总及计算题目分析第一部分常用公式第三章统计整理a）组距＝上限－下限b)组中值＝（上限+下限)÷2c）缺下限开口组组中值＝上限－1/2邻组组距d)缺上限开口组组中值＝下限+1/2邻组组距第四章综合指标i.相对指标1。

结构相对指标＝各组（或部分）总量/总体总量2。

比例相对指标＝总体中某一部分数值/总体中另一部分数值3。

比较相对指标＝甲单位某指标值/乙单位同类指标值4。

强度相对指标＝某种现象总量指标/另一个有联系而性质不同的现象总量指标5.计划完成程度相对指标＝实际数/计划数＝实际完成程度（%)/计划规定的完成程度（％）ii.平均指标1.简单算术平均数:2。

加权算术平均数或iii。

变异指标1.全距＝最大标志值－最小标志值2.标准差: 简单σ= ；加权σ=3。

标准差系数:第五章抽样估计1。

平均误差:重复抽样：不重复抽样:2。

抽样极限误差3。

重复抽样条件下：平均数抽样时必要的样本数目成数抽样时必要的样本数目4.不重复抽样条件下：平均数抽样时必要的样本数目第七章相关分析1.相关系数2。

配合回归方程ｙ＝ａ＋ｂｘ3.估计标准误:第八章指数分数一、综合指数的计算与分析（1）数量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体数量指标综合变动的方向和程度。

（—）此差额说明由于数量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。

（2）质量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体质量指标综合变动的方向和程度.（—）此差额说明由于质量指标的变动对价值量指标影响的绝对额.加权算术平均数指数=加权调和平均数指数=(3)复杂现象总体总量指标变动的因素分析相对数变动分析：= ×绝对值变动分析：—= （—）×(—）第九章动态数列分析一、平均发展水平的计算方法:(1）由总量指标动态数列计算序时平均数①由时期数列计算②由时点数列计算在间断时点数列的条件下计算：a.若间断的间隔相等，则采用“首末折半法”计算。

高考统计公式知识点总结统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，其应用广泛而深入。

在高中阶段，学生们接触到的统计学知识主要集中在一些基本的统计公式上。

这些公式在高考中经常出现，对于顺利完成数学考试至关重要。

下面是对高考统计公式知识点的一些总结，希望对广大考生有所帮助。

1.概率概率是统计学中的一个重要概念，表示某个事件发生的可能性。

常用的概率公式包括：- 事件的概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A包含的基本事件数，n(S)表示样本空间中的基本事件数。

- 对立事件的概率公式：P(A') = 1 - P(A)，其中A'表示事件A的对立事件。

2.排列组合排列组合是统计学中另一个重要概念，用于计算有关事物的不同排列或组合方式的个数。

常用的排列组合公式包括：- 排列公式：A(n, m) = n! / (n-m)!，表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方式总数。

- 组合公式：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，表示从n个元素中取出m个元素进行组合的方式总数。

3.均值和标准差均值和标准差是描述一组数据分布特征的指标。

常用的计算公式包括：- 均值公式：μ = （x1 + x2 + ... + xn）/ n，其中μ表示均值，x表示数据的观测值，n表示数据的总数。

- 标准差公式：σ = √( （x1 - μ)² + ... + （xn - μ)² ）/ n，其中σ表示标准差。

4.正态分布正态分布是一种常见的概率分布，其形状呈钟形曲线，对于统计学的许多问题具有重要的应用。

正态分布的概率可以通过标准正态分布表来查找，也可以利用相关的计算公式计算。

在高考中，统计学是数学考试的一个重要组成部分。

掌握以上提到的统计公式，对于正确理解和解答与统计学有关的问题至关重要。

考生可以通过多做一些相关的题目，熟悉这些公式的应用，提升自己的解题能力，在考试中取得好成绩。

数。

）如：产量指数、销售量指数、生产指数、人数指数、运输量指数。

说明复杂现象总体的质量指标变动程度的相对数。

（说明总体内涵数量变动情况的相对数。

）例：价格指数、成本指数、工资水平指数、股票价格指数。

:平均数指数总体：即统计总体，是指客观存在的、在同一性质基础上结合起来的许多个别事物的整体。

总体单位：即构成统计总体的个别单位。

标志：即指表明总体单位特征的名称。

可分为品质标志和数量标志。

品质标志：说明总体单位质的特征，用属性表示(如：性别、民族、籍贯、工种) 数量标志：说明总体单位量的特征，用数值表示。

（如：年龄、工资额）数量标志的具体表现，统计上称为标志值（或变量值）指标(亦称统计指标)：说明总体的综合数量特征。

包括指标名称和指标数值。

数量指标如：人口数、工业增加值、货运量等。

用绝对数表示。

质量指标如：人口的性别比例、单位产品成本、劳动生产率等。

用相对数或平均数表示。

：标志是说明总体单位特征的；指标是说明总体特征的。

标志中的品质标志不能用数量表示；而所有的指标都能用数量表示。

标志(指数量标志)不一定经过汇总，可直接取得；而指标(指数量指标)一定要经过汇总才能取得。

∑∑=pqpqK q1∑∑=111qpqpKpqkk kV qqσ=pkk kV ppσ=标志一般不具备时间、地点等条件；但完整的统计指标一定要讲明时间、地点、范围。

变异：标志在各总体单位具体表现的差异 —— 一般意义上的变异。

严格地说，变异仅指品质标志的不同具体表现。

如：性别为男或女。

变量：指可变的数量标志。

变量的具体数值表现即变量值。

按取值是否连续分—— 只能取整数的变量。

（如：人数，企业数，机器台数）—— 在整数之间可插入小数的变量。

（如：身高、体重、总产值、资金、利润等）例如：搜集国有及国有控股企业生产情况的资料时，每一个国有及国有控股企业是调查单位，也是填报单位；当搜集国有及国有控股企业中高精尖设备的使用情况的资料时，国有及国有控股企业中每一台高精尖设备是调查单位，而填报单位是每一个国有及国有控股企业。

统计学原理常用公式1.样本均值公式:样本均值是用来估计总体均值的一种方法，公式为：\bar{x} = \frac{{\sum_{i=1}^n x_i}}{n}\]其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观察值，\(n\) 是样本容量。

2.样本方差公式:样本方差是用来估计总体方差的一种方法，公式为：s^2 = \frac{{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}}{n-1}\]其中，\(s^2\) 是样本方差，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观察值，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(n\) 是样本容量。

计算样本方差时使用的是无偏估计公式。

3.标准差公式:标准差是样本方差的平方根，公式为：s = \sqrt{s^2}\]其中，\(s\)是样本标准差。

4.离差平方和公式:离差平方和是指每个观察值与均值之差的平方的总和，公式为：\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\]5.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式给出了随机变量与其均值之间的关系，公式为：P(，X-\mu，\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]其中，\(X\) 是随机变量，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差，\(k\) 是大于零的常数。

6.二项分布的期望值和方差公式:二项分布用于描述在\(n\)次独立重复试验中成功的次数的概率分布。

其期望值和方差分别为：E(X) = np\]Var(X) = np(1-p)\]其中，\(X\)是二项分布随机变量，\(n\)是试验次数，\(p\)是单次试验成功的概率。

7.正态分布的概率密度函数和累积分布函数公式:正态分布描述了大部分自然现象中的连续性随机变量的分布。

f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x -\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]\]其中，\(x\) 是正态分布的随机变量，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差，\(\text{erf}\) 是误差函数。

位值平均数计算公式1众数：是一组数据中出现次数最多的变量值L m o:代表众数组下限；丄1二fm 。

一 fm °—1 :代表众数组频数一众数组前一组频数dm 0 :代表组距； 2 ~ f m 0 一 f m 0 1 :代表众数组频数一众数组后一组频数2、中位数：是一组数据按顺序排序后，处于中间位置上的变量值。

n 十1中位数位置分组向上累计公式：2Sme-1Sme-1 :代表中位数所在组之前各组的累计频数;fm e 代表中位数组频数；d m e代表组距3、四分位数：也称四分位点，它是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含25%处在25唏口 75%分位点上的数值就是四分位数。

实例数据总量:7, 15, 36, 39, 40, 41 一共6项Q1 的位置=(6+1) /4=1.75 Q2 的位置=(6+1) /2=3.5 Q3 的位置=3( 6+1) /4=5.25Q1 = 7+ ( 15-7 ) X( 1.75-1 ) =13, Q2 = 36+ ( 39-36 )X( 3.5-3 ) =37.5 , Q3 = 40+ ( 41-40 ) X( 5.25-5 ) =40.25组距式分组下限公式:M 。

A 1 A + A 1 2dm om em em eLm e 代表中位数组下限;其公式为:Q1 = Q 2（中位数）3(n 1) 4数值平均数计算公式1、简单算术平均数：是将总体单位的某一数量标志值之和除以总体单位。

3、加权算术平均数的频率:其公式为：x = X i 」X 2；次「"X\f4、调和平均数：由于只掌握每组某个标志的数值总和（M ）而缺少总体单位数（f ）的资 料，不冃匕直接采用加权算术平均数法计算干均数，贝U 应采用加权调和平 均数。

H = P其公式为：「mL ---X5、简单几何平均数： 就是n 个变量值（Xn ）连乘积的n 次方根:标志变异绝对指标及成数计算公式、标志变异绝对指标:1、异众比率（又称离异比率或变差比，它是指非众数组的频数占总频数的比率）公式即，Vr2、极差（也称全距，它是一组数据的最大值与最小值这差其公式为:乂 X 「X 2nX n2、加权算术平均数：受各组组中值及各组变量值出现的频数（即权数 f ）大小的影响,其公式为:x 1 f 〔 x 2 f 2f l f 2X i f i f inX x 2 x 36、加权几何平均数： 如果变量值较多，其出现的次数不同，则应米用加权几何平均数,其公式为: TxJ X 2f 2X n其公式为:n公式即：R 二X max 一X min3、平均差（总体各单位标志值对算数平均数的绝对离差的算术平均数，平均差是反映各 标志值对平均数的平均距离，平均差越大，说明总体各标志值越分散，平均差越 小，说明各标志值越集中），方差简便算法的公式即为：二2= x 2 一（x ）2、是非标志的平均数、方差、标准差：是非标志：将总体分成具有某种性质和不具有某种性质的两部分，我们所关心的标志表现称为“是”，另一标志标现称为“非”。