考研数学二(填空题)模拟试卷101(题后含答案及解析)
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考研数学二（填空题）模拟试卷101 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导且在x=0处连续，则a=_________
正确答案：3
解析：由因为g(x)在x=0处连续，所以a=3． 知识模块：函数、极限、连续
2． =_____________.
正确答案：e9
解析：化为指数函数求极限，则有 知识模块：函数、极限、连续
3． 对数螺线，ρ＝eθ在点(ρ，θ)＝处的切线的直角坐标方程为_______．
正确答案：； 涉及知识点：一元函数微分学
4．
正确答案：1 涉及知识点：一元函数积分学
5． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
6． 已知当x→0时，(1+ ax2)一1与cosx 一1是等价无穷小，则常数a=________．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关． ④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．其中成立的为________．
正确答案：①，③，④．
解析：①直接从定理3．2得到．②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3=α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1，α2，α3，α4线性相关．③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关，秩为4，于是α1，α2，α3，α4的秩也一定为4，线性无关．④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)=r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=4． 知识模块：向量组的线性关系与秩
8． 若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=________．
正确答案：9f’(1)
解析：按导数定义，将原式改写成 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
9． sinxln(1+esinx)dx=______。
正确答案：
解析：原式 知识模块：一元函数积分学
10． 设n阶矩阵A的秩为n一2，α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为___________.
正确答案：α1+k1(α2一α1)+k2(α3一α1)，k1，k2为任意常数
解析：α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2一α1，α3一α1是Ax=0的两个解，且它们线性无关，又n—r(A)=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1(α2一α1)+k2(α3一α1)，k1，k2为任意常数． 知识模块：线性方程组
11． 二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是_________。
正确答案：z12+z22一z32
解析：二次型的矩阵A=，特征多项式｜λE—A｜==(λ一6)(λ一2)(λ+4)，所以矩阵A的特征值是2，6，一4，即正交变换下的二次型的标准形是2y12+6y22一4y32，因此其规范形是z12+z22一z32。 知识模块：二次型
12． ∫01χarcsinχdχ＝_______．
正确答案：
解析： 其中∫01是单位圆的面积即． 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
13． 设z=f(x，y)二阶可偏导，，且f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=________．
正确答案：y2+xy+1
解析：由=2y+φ(x)，因为f’y(x，0)=x，所以φ(x)=x，即=2y+x，z=y2+xy+C，因为f(x，0)=1，所以C=1，于是z=y2+xy+1． 知识模块：高等数学
14． =_______
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
15． 设函数y=y(x)由方程x2一xy+y2=1所确定，则
正确答案：
解析：由x2一xy+y2=1，有2x—xy’一y+2yy’=0，则 知识模块：一元函数微分学
16． =_______
正确答案：1
解析： 知识模块：一元函数积分学
17．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
18． 设f(x)连续，则=_____
正确答案：xf(x2)
解析： 知识模块：一元函数积分学
19． 设函数y＝满足f′(χ)＝arctan，则＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数微分学
20． 设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E。若｜A｜＞0，则｜A—E｜=______。
正确答案：0
解析：｜A—E｜=｜A—AAT｜=｜A(E—AT)｜=｜A｜·｜E一AT｜=｜A｜·｜E—A｜。由AAT=ATA=E，可知｜A｜2=1，因为｜A｜>0，所以｜A｜=1，即｜A—E｜=｜E—A｜。又A为奇数阶矩阵，所以｜E—A｜=｜一(A—E)｜=一｜A—E｜=一｜E—A｜，故｜A—E｜=0。 知识模块：行列式
21． 设z=z(x，y)由方程x一mz=φ(y一nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则=________．
正确答案：1 涉及知识点：高等数学
22． A=其中ai≠0，bi≠，i=1，2，…，n，则r(A)=_______．
正确答案：1
解析： A≠0，r(A)≥1，故r(A)=1． 知识模块：线性代数
23． 设A=，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=________，b=_________
正确答案：2，1
解析：A→，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1． 知识模块：线性方程组
24． 函数y=x+2cosx在上的最大值为________
正确答案：
解析：令y’=1-2sinx=0得x=y’’=-2cosx，因为为y=x+2cosx的极大值点，也是最大值点，故最大值为 知识模块：一元函数微分学及应用
25． 交换积分次序=_____
正确答案： 涉及知识点：二重积分
