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第九章拉普拉斯变换（The Laplace transformation）第一讲授课题目：§9.1 拉普拉斯变换的概念§9.2 拉普拉斯变换的性质教学内容：1、拉普拉斯变换的定义2、拉普拉斯变换存在条件3、拉普拉斯变换的性质学时安排：2学时教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义2、了解拉普拉斯变换存在条件3、掌握拉普拉斯变换的性质教学重点：1、拉普拉斯变换的定义2、卷积和卷积定理教学难点：拉普拉斯变换的性质教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题九 1-5板书设计：一、拉普拉斯变换的定义二、拉普拉斯变换存在条件三、拉普拉斯变换的性质主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质教学过程§9.1 拉普拉斯变换的概念(The conception and property of the Laplace transformation)傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷条件，还要求在(,)-∞+∞上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数，有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中，许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其为拉普拉斯积分变换.一、 拉普拉斯变换的定义（Definition which Rupprath varies ） 定义（Definition ） 设函数()f t 是定义在[0,)+∞上的实值函数，如果对于复参数s j βω=+，积分()()st F s f t e dt +∞-=⎰在复平面s 的某一域内收敛，则称()F s 为()f t 的拉普拉斯变换，记为()0[()]()st f t F s f t e dt +∞-==⎰L ，称()f t 为()F s 的拉普拉斯逆变换，记为1()[()].f t F s -=L ，()F s 称为像函数，()f t 称为原像函数.事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系:[()()]()()t t j t f t u t e f t u t e e dt ββω+∞----∞=⎰F ()0()j t f t e dt βω+∞-+=⎰令s j βω=+，则[()()]t f t u t e β-=F ()0()st f t e dt F s +∞-=⎰=[()]f t L .由此可以知道，()f t 的拉普拉斯积分变换就是()()t f t u t e β-的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数()u t 使函数()f t 在0t <的部分为0，其次对函数()f t 在0t >的部分乘一个衰减的指数函数t e β-以降低其增长速度，这样就有希望使函数()()t f t u t e β-满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换.例9.1 分别求出单位阶跃函数()u t ，符号函数sgn t ，()1f t =的拉普拉斯积分变换. 解：()0[()]()st f t F s f t e dt +∞-==⎰L 01st e dt s+∞-==⎰，(Re 0)s > 001[()]()st st u t u t e dt e dt s +∞+∞--===⎰⎰L ，(Re 0)s >001[sgn ]sgn st st t te dt e dt s+∞+∞--===⎰⎰L ，(Re 0)s >例9.2 求指数函数()kt f t e = 的拉氏变换(k 为实数). 解：()()()011[()]e e d ed ed ekt sts k ts k ts k tf t t t t s ks k+∞+∞+∞+∞-------====-=--⎰⎰⎰L 所以1[e ](Re()).kt s k s k=>-L 二、 拉普拉斯积分变换存在条件（Laplasse integral existconditions ）拉氏变换的存在定理（Laplasse the existence oftransformation theorems ）： 若函数()f t 满足:(1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续;(2) 当t →+∞时, ()f t 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得|()|,(0)ct f t Me t ≤≤<+∞则()f t 的拉氏变换0()()e d st F s f t t +∞-=⎰在半平面Re()s c >上一定存在, 并且在Re()s c >的半平面内, ()F s 为解析函数. 证明 设s j βω=+，则||st t e e β--=，所以()()0|||()|st c t F s f t e dt M e dt β+∞+∞---=≤⎰⎰由Re()s c β=>，可以知道右端积分在上半平面上收敛.关于解析性的证明省略.注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在.§9.2 拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse ）一、拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse ） 1、线性性质（Linear nature ） [()()][()]()]f tg t f t g t αβαβ±=±L L L[；111[()()][()]()]f t g t f t g t αβαβ---±=±L L L [2、相似性质（Similar nature ）设()[()]f t F s =L ，则对任意常数a>0，有1[()]s f at F a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭L . 证明：令x at =，则011[()]()()sx sta s f at f at e dt f x e dx F a a a -+∞+∞-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰L例9.3 求cos t ω的拉普拉斯积分变换. 解：22111cos ]()]]]))222j t j t j t j t st e e e e s ωωωωωωωω--=+=+=+=+11L[L[(L[L[(s -j s +j 例9.4 已知51()(1)(2)s F s s s -=+-，求1[()].F s -L .解11111512311[()].[][]2[]3[]23(1)(2)12)12t s F s e es s s s s s -------==+=+=++-+-+-L L L L L3、微分性质（Differential nature ）（1）设()[()]f t F s =L ，则有()'[()](0)f t sF s f =-L ，一般地有()()12'(1)[()](0)(0)(0)n n n n n f t s F s s f s f f ---=----L证明 利用分部积分方法和拉普拉斯积分变换的定义.''00[()]()e d ()|()d ()(0)st st st f t f t t f t e s f t e t sF s f +∞+∞--+∞-==+=-⎰⎰L 用数学归纳法可以得到()()12'(1)[()](0)(0)(0)n n n n n f t s F s s f s f f ---=----L此性质可以使我们有可能将()f t 的微分方程转化为()F s 的代数方程（2）设()[()]f t F s =L ，则有()'[()]F s tf t =-L ；一般地有()()(1)[()]n n n F s t f t =-L . 证明：''0()()()()[()]st st F s f t e dt tf t e dt tf t +∞+∞--==-=-⎰⎰L ，用数学归纳法可以得到()()(1)[()]n n n F s t f t =-L . 可以用来求()n t f t 的拉普拉斯积分变换.例9.5 求解微分方程''2'()()0,(0)0,(0)y t y t y y ωω+===. 解 对方程的两边做拉普拉斯积分变换，可以得到2'2()(0)(0)()0s Y s sy y Y s ω--+=得到22()Y s s ωω=+， 1122()[()][]sin y t Y s t s ωωω--===+L L 例9.6 求()m f t t =的拉普拉斯积分变换.解 设()m f t t =，则()()!m f t m =，且'(1)(0)(0)(0)0m f f f -====故11!]!]m m m m t m s s +==L[L[. 例9.7 求函数()sin f t t t ω=的拉普拉斯积分变换.解''222222()]sin ]{sin ]}{}()s s f t t t t s s ωωωωω==-=-=++L[L[L[ 例9.8 求函数22()cos f t t t =的拉普拉斯积分变换.解 2221()]cos ](1cos 2)]2f t t t t t ==+=L[L[L[22622223231112(2432)(1cos 2)]()224(4)d d s s s t s ds ds s s s +++=+=++L[ 4、积分性质（Integral nature ）（1）设()[()]f t F s =L ，则有01[()]()t f t dt F s s=⎰L ，一般地有00001[()]()t t t t n dt dt dt f t dt F s s=⎰⎰⎰⎰L . 证明 设0()()tg t f t dt =⎰，则'()()g t f t =，且(0)0g =，利用微分性质可以得到'[()]()][()](0)[()]f t g t s g t g s g t ==-=L L[L L ，所以01[()]()tf t dt F s s=⎰L .用数学归纳法可以得到00001[()]()t t ttn dt dtdt f t dt F s s=⎰⎰⎰⎰L （2）设()[()]f t F s =L ，则有()()[]s f t F s ds t∞=⎰L ，一般地有()()[]ns s s sf t ds ds ds F s ds t ∞∞∞∞=⎰⎰⎰⎰L . 可以用来求()n f t t的拉普拉斯积分变换.证明0()()[()]()[]()[|]()[][]st st ststs ssse ef t F s ds f t e dt ds f t e ds f t dt f t dt t t t--∞∞+∞+∞∞+∞+∞--∞==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==L 反复利用上面可以得到()()[]n ssssf t ds ds dsF s ds t∞∞∞∞=⎰⎰⎰⎰L . 例9.9 求函数sin ()tf t t=的拉普拉斯积分变换. 解 由于21sin ]1t s =+L[，则 2sin 1]cot 1s t ds arc s t s ∞==+⎰L[令0s =，有0sin 2t dt t π+∞=⎰.由此可以知道利用拉普拉斯积分变换，可以计算一些反常积分.例9.10 计算下列积分 （1）30cos 2t e tdt +∞-⎰（2）01cos d tt e t t+∞--⎰解（1）2(cos 2)]4s t s =+L[，33203cos 2|134t s s e tdt s +∞-===+⎰（2）2221cos 111]]ln 2(1)s s t s ds ds t s s s∞∞-+===+⎰⎰L[L[1-cost 令1s =，则01cos 1d ln 22t t e t t +∞--=⎰5、延迟性质（Delay nature ）设()[()]f t F s =L ，当0t <时()0f t =，则对任一非负实数τ有[][]()()()s s f t e f t e F s τττ---==L L .证明 令1t t τ=-，则[][]0()101()()()()s t s s f t f t e dt e f t e F s ττττ+∞-+---===⎰L L6、位移性质（Displacement nature ）设()[()]f t F s =L ，则有()()te f t F s αα⎡⎤=-⎣⎦L ，α为常数.证明()00()()()()t t sts t e f t e f t e dt f t e dt F s αααα+∞+∞---⎡⎤===-⎣⎦⎰⎰L .例9.11 设()sin f t t =，求()]2f t π-L[.解 221()]sin()]221s f t t e s πππ--=-=+L[L[ 例9.12 求11[]1se s ---L . 解 因为11[]()1t e u t s -=-L所以111,11[](1)10,1t s t e t e e u t s t ----⎧>=-=⎨-<⎩L 二、卷积和卷积定理（Rolls and rolls a theorem ）1、卷积的定义（Rolled up to the definition ）:12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰,结合率、交换律和分配率仍然成立.2、卷积定理（Rolled a theorem ）： 设[][]1122()(),()()f t F s f t F s ==L L ，则有112121212()*()]()();[()()]()*()f t f t F s F s F s F s f t f t -==L[L证明 由定义1212120()*()]()*()]()()]tst st f t f t f t f t e dt f f t d e dtτττ+∞+∞--==-⎰⎰⎰L[[[然后交换二重积分的次序，令1t t τ=-12120()*()]()[()]tst f t f t f f t e dt d τττ+∞-=-⎰⎰L[1121121120()[()]()()()()st st s f f t e edt d F s f e d F s F s τττττ+∞+∞+∞---===⎰⎰⎰例9.14 求函数1f (t)=t 与2()sin f t t =的卷积. 解 12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-=⎰00sin()cos()|cos()sin tttt d t t d t t τττττττ-=---=-⎰⎰ 例9.15 已知222()(1)s F s s =+，求1()[()]f t F s -=L . 解 由于22222()(1)11s s s F s s s s ==•+++，12[].cos 1s t s -=+L 所以10011()[()].cos *cos cos cos()[cos cos(2)(cos sin )22tt f t F s t t t d t t d t t t τττττ-===-=+-=+⎰⎰L 拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论.在运用拉普拉斯积分变换解决具体问题时，在求的像函数后，常常需要进一步求得原像函数.从前面我们知道可以利用拉普拉斯积分变换的性质并根据一些已知的变换来求像函数的原像，其中对像函数进行分解和分离非常关键，对于已知的变换可以从拉普拉斯积分变换表中查得.这是一种很常用的方法，但使用范围有限，下面介绍一般的求拉普拉斯逆变换的方法.三、周期函数的像函数（Cycle function as a function ）设()f t 是[0,]+∞内以T 为周期的函数，且()f t 在一个周期内逐段光滑，则01[()]()1Tst sTf t f t e dt e --=-⎰L .证明：由定义有[()]()()()Tststst Tf t f t e dt f t e dt f t e dt +∞+∞---==+⎰⎰⎰L ，对第二个积分令1t t T =-由于()f t 是[0,]+∞内以T 为周期的函数，则1110[()]()()()()[()]T Tst st st sT st sT f t f t e dt f t e dt f t e e dt f t e dt e f t +∞+∞------==+=+⎰⎰⎰⎰L L故01[()]()1Tst sTf t f t e dt e --=-⎰L .例9.13 求全波整流后的正弦波()|sin |f t t ω=的像函数. 解 ()f t 的周期是πω，故 02211(sin cos )()]sin |]sin |11st TstTsTsT e s t t f t t te dt e e s ωωωωωω------===•=--+⎰L[L[|2222121sT sT e s cth s e s ωωπωωω--+•=•+-+2 1§9.3 拉普拉斯逆变换§9.4 拉普拉斯逆变换的应用及综合举例1、反演积分公式2、利用留数计算反演积分3、求解微分方程组4、综合举例1、正确理解反演积分公式2、了解拉普拉斯积分变换应用3、掌握利用留数计算反演积分拉普拉斯逆变换的应用及综合举例拉普拉斯逆变换讲授法、图形类比法、演绎法习题九 5-7一、反演积分公式二、利用留数计算反演积分三、求解微分方程组四、综合举例[1]《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.[3]《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.不能灵活运用拉普拉斯逆变换解决实际问题第二讲授课题目：§9.3 拉普拉斯逆变换§9.4 拉普拉斯逆变换的应用及综合举例主要内容：1、反演积分公式2、利用留数计算反演积分3、求解微分方程组4、综合举例学时安排：2学时教学目标：1、正确理解反演积分公式2、了解拉普拉斯积分变换应用3、掌握利用留数计算反演积分教学重点：拉普拉斯逆变换的应用及综合举例教学难点：拉普拉斯逆变换教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题9.5、9.6、9.7板书设计：一、反演积分公式二、利用留数计算反演积分三、求解微分方程组四、综合举例主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003 .3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.课后记：不能灵活运用拉普拉斯逆变换解决实际问题教学过程：§9.3拉普拉斯逆变换（Revisiting inverse transform ）一、反演积分公式（Against the integral equations ）我们知道拉普拉斯积分变换和傅里叶积分变换有密切的关系，()f t 的拉普拉斯积分变换其实就是()()t f t u t e β-的傅里叶积分变换，()()()()t j t F s F j f t u t e e dt βωβω+∞---∞=+=⎰，这样我们可以得到1()()()2t j t f t u t e F j e dt βωβωπ+∞---∞=+⎰两边同乘以t e β，并且令s j βω=+，则1()()()2j st j f t u t F s e dt j ββπ+∞-∞=⎰因此 1()(),(0)2j st j f t F s e dt t j ββπ+∞-∞=>⎰这就是求像函数的原像的一般方法，我们成为反演积分公式，其中右端的部分称为反演积分.积分路径是一条直线Res β=，在此直线的右边()F s 没有奇点.我们可以考虑用孤立奇点留数理论来研究拉普拉斯逆变换.二、利用留数计算反演积分（Of stay would be counted as one against ）定理（Theorem ）9.2 设()F s 除在半平面Res c ≤内有限个孤立奇点12,,,n s s s 外是解析的，且当s →∞时，()0F s →，则有11()(),(0)Re [(),]2sj stst k j k f t F s e ds t s F s e s j ββπ+∞-∞==>=∑⎰即1()Re [(),],(0)sst k k f t s F s e s t ==>∑.证明 令曲线R C L C =+，L 在半平面Res c ≤内，R C 是半径为R 的半圆狐，当R 充分大，可以使12,,,n s s s 都在C 内.由于()st F s e 除孤立奇点12,,,n s s s 外是解析的，故由留数定理有1()2Re [(),]sstst k Ck F s e ds j s F s e s π==∑⎰即11[()()]Re [(),]2Rsj ststst k j C k F s e ds F s e ds s F s e s jββπ+∞-∞=+=∑⎰⎰根据约当定理，可以知道()0lim Rst C R F s e ds →∞=⎰因此有11()(),(0)Re [(),]2sj stst k j k f t F s e ds t s F s e s j ββπ+∞-∞==>=∑⎰.例9.16 已知21()(2)(1)F s s s =--，求1()[()]f t F s -=L . 解 由于122,1s s ==是像函数的简单极点和二阶极点，所以2()Re [(),2]Re [(),1]st st t t t f t s F s e s F s e e e te =+=--另外还可以用部分分式和卷积的方法解答.§9.4 拉普拉斯逆变换的应用及综合举例（Revisiting inverse transform the application andillustrate ）一、利用拉普拉斯积分变换求微分方程（Use of the laplasse integral to the differential equation ）许多工程实际问题可以用微分方程来描述，下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.而拉普拉斯变换对于求解微分方程非常有效，首先通过拉普拉斯变换将微分方程化为像函数的代数方程，由代数方程求出像函数，然后再用拉普拉斯逆变换，就得到微分方程的解.例9.17 求解微分方程''''()2()2()2cos ,(0)(0)0t x t x t x t e t x x -+===.解 令()[()]X s x t =L ，方程的两边取拉普拉斯积分变换，并利用初始条件，得222(1)()2()2()(1)1s s X s sX s X s s --+=-+解此方程得222(1)()[(1)1]s X s s -=-+ 求拉普拉斯逆变换，可以得到'2222222(1)21111111()[()][][][()][]sin [(1)1](1)11s s t t t t x t F s e e te te t s s s s -------======-++++L L L L L例9.18 求解微分方程组'()()(),(0)(0)1'()3()2()2t x t x t y t e x y t y t x t y t e ⎧+-===⎪⎨⎪+-=⎩解 令()[()]X s x t =L ，()[()]Y s y t =L ，对方程的两边取拉普拉斯积分变换，并利用初始条件，可以得到1()1()(),11()13()2()21sX s X s Y s s sY s X s Y s s ⎧-+-=⎪⎪-⎨⎪-+-=⎪-⎩求解方程组可以得到1()()1X s Y s s ==- 因此()()t x t y t e ==.例9.19 设质量为m 的物体静止在原点，在0t =时受到x 轴方向的冲击力()0F t δ，求物体的运动方程.解 运动的微分方程初值问题为2'()(),(0)(0)002d m x t F t x x dt δ===令()[()]X s x t =L ，在方程两边取拉普拉斯积分变换，可以得到2()0ms X s F =，即0()2F X s ms=故物体的运动方程为0()F x t t m=. 二、综合举例（Comprehensive example ）例9.20 求函数1,01()0,0,1t t f t t t -≤≤⎧=⎨<>⎩的像函数.解 将函数()f t 写为()(1)()(1)(1)()()(1)(1)f t t u t t u t u t tu t t u t =-+--=-+-- 则111[()]22s f t e s s s-=-+L 例9.21 已知23233()(1)(3)s s F s s s ++=++，求1()[()]f t F s -=L . 解 由于121,3s s =-=-是像函数的简单极点和三阶极点，所以223132331233()Re [(),1]Re [(),3][]2!1(3)lim lim st stst st s s s s s s f t s F s e s F s e e e s s →-→-++++=-+-=+++ 23131(3)424t t e t t e --=+-+- 例9.22 求解微分方程组''''''''''()()()()0,(0)(0)02()()()()sin ,(0)(0)1x t y t x t y t x y x t y t x t y t t x y ⎧+++===⎨--+===-⎩ 解 令()[()]X s x t =L ，()[()]Y s y t =L ，对方程的两边取拉普拉斯积分变换，并利用初始条件，可以得到22222()1()1()()012()1()1()()1s X s s Y s X s Y s s X s s Y s X s Y s s ⎧+++++=⎪⎨+---+=⎪+⎩解得21()()1X s Y s s==-+ 所以，取拉普拉斯变换的逆变换，可以得到()()sin x t y t t ==-例9.23 求解积分方程0()sin()(),(0)tf t at x t f x dx a =--≠⎰.解 由于0()*sin sin()(),tf t t x t f x dx =-⎰，所以原方程可以化为()()*sin f t at f t t =-令()[()]F s f t =L ，因而1[]2t s =L ，1[sin ]21t s=+L ，对原方程的两边取拉普拉斯积分变换，可以得到1()()221a F s F s s s=++ 故 11()()24F s a s s =+取拉普拉斯逆变换，可以得到3()()t f t a t b=+本章要求：1．熟记两类积分变换的定义及基本性质：线性运算、微分公式、积分公式、位移、延迟公式.这是把积分变换作为求解问题的工具的基础.2．了解单位脉冲函数的定义，熟记与之有关的几个公式，了解广义付氏变换.3．熟练掌握两类变换的卷积的概念及卷积定理.4．会通过卷积定理、积分变换性质并结合积分变换表间接求一些函数的正变换或逆变换.5．了解用留数求拉氏逆变换的公式，知道初值定理、终值定理，这在有关专业课中要直接用到.6．了解两类积分变换在线性系统及在求解常微方程、偏微方程中的应用.。
