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角平分线定理的证明方法

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角平分线定理的证明方法

“哎呀，这道题咋这么难呢？”我看着数学作业上的一道几何题，愁得直挠头。旁边的同桌凑过来瞅了一眼，说：“这不是角平分线定理的题嘛！”我一脸懵地看着他，“啥是角平分线定理啊？”

角平分线定理其实不难理解，就像分蛋糕一样，把一个角平均分成两份。如果有一个三角形，其中一条角平分线把对边分成两段，那这两段的比就等于这个角的两边之比。

证明这个定理的方法呢，也不复杂。首先，我们可以画一个三角形

ABC，然后画角 A 的平分线 AD。接着，我们过 C 点作 CE 平行于

AB，交 AD 的延长线于 E 点。这样一来，就会出现一些相等的角啦。因为 CE 平行于 AB，所以角 BAD 等于角 E，角 B 等于角 ECD。又因为 AD 是角平分线，所以角 BAD 等于角 CAD。这样就可以得出角

CAD 等于角 E，那三角形 ACE 就是等腰三角形啦，AC 就等于 CE。然后呢，再看三角形 ABD 和三角形 ECD，它们相似，所以 AB/CE =

BD/CD。而 CE 等于 AC，所以 AB/AC = BD/CD，这不就证明了角平分线定理嘛！

那这个定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在测量土地的时候，如

果知道一个角和它的平分线，就可以用这个定理来计算边长的比例。这就像我们玩拼图游戏，有了这个定理，就可以更轻松地把图形拼好。

我记得有一次做数学竞赛题，就用到了角平分线定理。那道题给出了一个三角形，还有一条角平分线和一些边长，让我们求另外一条边的长度。我一开始不知道该咋办，后来突然想到了角平分线定理，一下子就找到了解题的思路。哇，那感觉简直太棒了！就像在黑暗中找到了一盏明灯。

角平分线定理真的很神奇，它就像一把万能钥匙，可以打开很多几何难题的大门。我们一定要好好掌握这个定理，让它在我们的数学学习中发挥更大的作用。

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角平分线定理在几何证明题中的妙用

角平分线定理在几何证明题中的妙用

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角平分线定理在几何证明题中的妙用

冯爱雪

利用角平分线的有关定理，我们不但可以用尺规作图的方法将角二、四、八、…等分，而且还可以利用它们简捷地证明几何问题。

例1 如图1，OC平分AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：PDOPEO180。

分析：要证PDOPEO180，PDO、PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决。由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。

证明：过点P作PMOA，PNOB，垂足分别为M、N

因OC是角平分线，PMOA，PNOB，故PM=PN

由PD=PE，PM=PN，得RtPMDRtPNE

MDPNEP

则PEOMDP，而MDPPDO180

PDOPEO180

点拨：遇到角平分线问题，我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线定理。

例2 如图2，在ABC中，BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。 快乐学习，尽在苏州中学网校

分析：要证BM=CN，由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，于是连接PB、PC，则利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。

证明：因AP是角平分线，PMAB，PNAC，故PM=PN

又因PD是BC的垂直平分线，故PB=PC

因PB=PC，PM=PN，故RtPBMRtPCN

BMCN

点拨：这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明，相信同学们一定能体会到线段的垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性。

三角形外角平分线定理

三角形外角平分线定理

三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。

已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC

思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。

证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC

∵ ∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）

∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）

∠DAF=∠DAC；（已知）

∴ ∠CEA=∠ECA；（等量代换）

∴ AE=AC；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC.

证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；

∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）

∴ DE=DF；

∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）

∴ BA/AC=BD/DC

结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看△BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换角度看问题的方法了吗？

角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理教案

慧光中学：王晓艳

教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理；

（2）能够运用性质定理证明两条线段相等；

教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。

教学难点：角平分线定理的应用；

教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法

教学过程：

一，新课引入：

1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点

操作：（1）画一个角的平分线；

（2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。

2．定理的获得：

A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明，得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。

B、分析此定理的作用:证明两条线段相等；

应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。

3．定理的应用

二．例题讲解：

例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，

PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。

求证：PE=PF

（此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件） APBFEC

例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点E、 F，圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。

求证：BC=EF

（此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件）FEBAOCMQN

三：课堂小结：

①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离;

②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.

四：巩固练习

1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2

求证：AB=AC

三角形内角平分线定理

三角形内角平分线定理

三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC;

思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。

证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。

则： BA/AE=BD/DC;

∵ ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）

∠BAD=∠CAD；（已知）

∴ ∠AEC=∠ACE；（等量代换）

∴ AE=AC；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC

证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；

∵ ∠BAD=∠CAD；（已知）

∴ DE=DF；

∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）

∴ BA/AC=BD/DC

结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？