角平分线定理公式

1 第11章 角平分线性质定理教案 孙建华

2009-7-25

教学目标：1。角平分线的画法

2．掌握角平分线的性质并运用性质进行证明

教学重点：利用三角形全等得出、掌握角平分线的性质并运用性质进行证明

角平分线的画法的基本作图

教学难点：角平分线的性质并运用性质进行证明

集体备教 教学设计 个性补教

知识回顾：

角平分线定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线

新知探究：

1．看书:P19页探究

思考:(1)说明AE是∠DAB的平分线

(2)怎么用直尺和圆规作已知角的平分线？

2．基本作图：平分已知角

已知：∠AOB

求作： ∠AOB 的平分线

3．作一个角等于已知角的理论依据是:SSS

4．练习:作平角∠AOB的平分线

5．思考:通过作平角∠AOB的平分线得到射线OC后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?

结论:直线CD与直线AB垂直

6．得到基本作图:过直线上一点作已知直线的垂线

7．做一做: 如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？

结论:角平分线上的点到角两边的距离相等

8．让学生用所学过知识的说明结论的正确性。

证明一个命题是真命题的一般步骤：

（1）明确命题中的已知和求证

（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程

9．角平分线性质定理:

角平分线上的点到角两边的距离相等

几何语言:

2 PABCMNCABD∵ OC平分∠AOB, PD⊥OA，PE⊥OB （已知）

∴ PD = PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等)

新知应用：

1.如图△ABC中, AC⊥BC,AD平分∠ CAB,且CD=3,求点D到AB的距离是多少？

.

2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm， 求AE+DE

角平分线定理

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

提供四种证明方法：

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC

已知和证明1图

证明：方法1：（面积法）

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,

∴S△ABM：S△ACM=AB:AC

又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，

证明2图

即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM

∴AB／AC=MB／MC

方法2（相似形）

过C作CN‖AB交AM的延长线于N

则△ABM∽△NCM

∴AB/NC=BM/CM

又可证明∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB／AC=MB／MC

证明3图

方法3（相似形）

过M作MN‖AB交AC于N

则△ABC∽△NMC,

∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC

又可证明∠CAM=∠AMN

∴AN=MN

∴AB/AC=AN/NC

∴AB／AC=MB／MC

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浅谈角平分线定理的巧妙应用

吉林省磐石市第一中学：周喜瑞 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

即在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC （注：定理的逆命题也成立）

这是初中和高中都没有直接给出的重要定理，而它的应用却是那么的广泛，令很多老师学

生望而生畏，下面就其三个方面的应用作以详细的介绍，仅供参考：

应用1：半角与倍角

这是在人教A版必修Ⅱ练习册中出现的习题，而此时还没有学习三角函数的半角与倍角公

式，因此很多教师把这样的习题都删了。笔者认为放在这里自有它的作用，通过平面几何

知识可以巧妙地解决此类问题。

例题1、已知两点10,2A，4,6B，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求

直线l的斜率。

解析：43ABk，如图：作直角三角形ACB，AD是角A的平分线 由角平分线定理得DBCD

ABAC，又由勾股定理得5AB

xx



354，解得34x，因此31

ACDC，31lk

例题2、一条直线l经过点1,2P，并且满足倾斜角是直线1l：034yx的倾斜角的

两倍；求直线l方程。

解析：41

1lk，如图：作直角三角形ACB，AD是角A的平分线 由角平分线定理得DBCD

ABAC，又由勾股定理得

222144xx，解得1517x或1x（舍）， 因此158

415171





ACBC，158lk，所以直线l的方程为01158yx

应用2：求轨迹方程

我们知道动点P与两个定点A，B的距离的比为定值，若1，则动点P的轨迹是线段

AB的垂直平分线。若1，则动点P的轨迹是圆。我们可以通过建立适当的坐标系，用坐

标法求出动点P的轨迹方程，进而说明轨迹形状。下面用另一种方法，从几何角度求出动

点P的轨迹。

例题3、已知定点0,2A，0,1B，动点P与A，B两点的距离的比为2:1，求动点P的

１ABC

P一、选择题1. (2009 山东省临沂市) 如图，OP平分，，，AOBPAOAPBOB垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）A． B．平分PAPBPOAPBC． D．垂直平分OAOBABOP

2. (2010 吉林省长春市) 如图，中，，，是角ABC△90C°40B°AD平分线，则的度数为（ ）ADC（A） （B） （C） （D）25°50°65°70°

3. (2010 广西柳州市) 如图，中，，的平分线交于，若RtABC△90C°ABCBDACD，则点到的距离是（ ）3cmCDDABDEA．5cm Ｂ．4cm Ｃ．3cm Ｄ．2cm

4. (2010 湖南省益阳市) 如图3，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是Ａ．P为∠A、∠B两角平分线的交点　Ｂ．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点Ｃ．P为AC、AB两边上的高的交点 Ｄ．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

5. (2010 湖北省襄樊市) 如图１，已知直线平分交于，，ABCDBE∥，ABC，CDD150CDE°则的度数为( )CA. B. C. D.150°130°120°100°OBAP

A

BCDE

EDC

BA图1二、填空题

6. (2011 江西省) 如图，在中，点的内心，则=______度．ABC△PABC是△PBCPCAPABB

PCA

7. (2012 广东省广州市) 已知，是的平分线，则=_______度．30ABC°BDABCABD

8. (2013 湖南省长沙市) 如图，是的平分线，是上的一点，于点，BDABCPBDPEBAE，则点到边的距离为 cm． 4cmPEPBC

9. (2013 福建省泉州市) 如图，，于，于，若，则70AOBQCOA⊥CQDOB⊥DQCQD °.AOQ

３

10. (2013 浙江省义乌市) 如图，于点D，D为BC的中点，连结AB，的平分线交AD于点ADBC⊥ABCO，连结OC.若，则=_________°；125AOC°ABC