人教版高中数学《数列》全部教案

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··· 第三章 数列

第一教时

教材：数列、数列的通项公式

目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

过程：

一、从实例引入（P110）

1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10

2． 正整数的倒数 51,41,31,21,1

3． ，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.012

4． 1的正整数次幂：1,1,1,1,…

5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…

二、提出课题：数列

1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） ····

··· 2． 名称：项，序号，一般公式naaa,,,21，表示法na

3． 通项公式：na与n之间的函数关系式

如 数列1： 3nan 数列2：nan1

数列4：*,)1(Nnann

4． 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；

有穷数列、无穷数列。

5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集

N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依

次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

6． 用图象表示：— 是一群孤立的点

例一 （P111 例一 略）

三、关于数列的通项公式 ····

··· 1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）

2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 nna)1(和

11na

*,2*,12NkknNkkn

3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要

例二 （P111 例二）略

四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列

各数：

1．1，0，1， 0

*,2)1(11Nnann

2．32，83，154，245，356

1)1(1)1(2nnann

3．7，77，777，7777 ····

··· )110(97nna

4．1，7，13，19，25，31

)56()1(nann

5．23，45，169，25617

12212nnna

五、小结：

1． 数列的有关概念

2． 观察法求数列的通项公式

六、作业： 练习 P112 习题

3．1（P114）1、2

《课课练》中例题推荐2 练习 7、8

第二教时

教材：数列的递推关系

目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。

过程： ····

··· 一、 复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）

二、例一：若记数列na的前n项之和为Sn试证明：11SSSannn )1()2(nn

证：显然1n时 ，11Sa

当1n即2n时 nnaaaS21

1211nnaaaS

∴ nnnaSS1

∴11SSSannn )1()2(nn

注意：1 此法可作为常用公式

2 当)(11Sa时 满足1nnSS时，则1nnnSSa

例二：已知数列na的前n项和为① nnSn22

② 12nnSn

求数列na的通项公式。

解：1．当1n时，111Sa

当2n时，34)1()1(2222nnnnnan ····

··· 经检验 1n时 11a 也适合

34nan

2．当1n时，311Sa

当2n时，nnnnnan21)1()1(122

∴ nan23 )2()1(nn

三、递推公式 （见课本P112-113 略）

以上一教时钢管的例子 3nan

从另一个角度，可以：

1411nnaaa

)2()1(nn

“递推公式”定义：已知数列na的第一项，且任一项na与它的前

一项1na（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫

做这个数列的递推公式。

例三 （P113 例三）略

例四 已知21a，41nnaa 求na．

解一：可以写出：21a，22a，63a，····

··· 104a，……

观察可得：)1(42)4)(1(2nnnan

解二：由题设： 41nnaa

∴

44432211nnnnnnaaaaaa

)412aa

)1(41naan ∴ )1(42nan 例五 已知21a，nnaa21 求na． 解一：21a 22222a 323222a 观察可得： nna2 解二：由nnaa21 ∴12nnaa

即21nnaa

∴ 112322112nnnnnnnaaaaaaaa

∴ nnnaa2211

四、小结： 由数列和求通项

递推公式 （简单阶差、阶商法）

五、作业：P114 习题3．1 3、4

《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2 ····

···

课时练习 6、7、8

第三教时

教材：等差数列（一）

目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。

过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……

3，0，3，6，……

21，102，103，104，……

)1(312nan 12，9，6，3，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义： （见P115） ····

··· 注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．。

1．名称：AP 首项 )(1a 公差 )(d

2．若0d 则该数列为常数列

3．寻求等差数列的通项公式：

daddadaadaddadaadaa3)2(2)(1134112312

由此归纳为 dnaan)1(1 当1n时

11aa （成立）

注意: 1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数

2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP

证明：若AnBABAnABAnan)1()()1(

它是以BA为首项，A为公差的AP。

3 公式中若 0d 则数列····

··· 递增，0d 则数列递减

4 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在dnaan)1(1中n，na，1a，d四数中已知三个可以求

出另一个。

例一 （P115例一）

例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数

例三 （P116例三） 此题可以看成应用题

四、 关于等差中项： 如果bAa,,成AP

则2baA

证明：设公差为d，则daA dab2

∴Adadaaba222

例四 《教学与测试》P77 例一：在1与7之间顺次插入三个数cba,,使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵APcba成7,,,,1 ∴b是-1与7 的····

··· 等差中项

∴ 3271b a又是-1与3的等差中项 ∴1231a

c又是1与7的等差中项

∴5273c

解二：设11a 75a ∴d)15(17 2d

∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项

六、作业： P118 习题3．2 1-9

第四教时

教材：等差数列（二）

目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。

过程： ····

··· 一、复习：等差数列的定义，通项公式

二、例一 在等差数列na中，d为公差，若Nqpnm,,,且qpnm

求证：1 qpnmaaaa 2 dqpaaqp)(

证明：1 设首项为1a，则dqpadqadpaaadnmadnadmaaaqpnm)2(2)1()1()2(2)1()1(111111

∵ qpnm ∴qpnmaaaa

2 ∵dpaap)1(1