常微分方程第3章

第三章 一阶微分方程解的存在定理

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法

1．存在性与唯一性定理：

（1）显式一阶微分方程

),(yxfdxdy （3.1）

这里),(yxf是在矩形域：00:||,||Rxxayyb （3.2）

上连续。

定理1：如果函数),(yxf满足以下条件：1）在R上连续：2）在R上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数0L，使对于R上任何一对点1(,)xy，2(,)xy均有不等式1212(,)(,)fxyfxyLyy成立，则方程（3.1）存在唯一的解()yx，在区间0||xxh上连续，而且满足初始条件

00()xy （3.3）

其中,min(,),max(,)xyRbhaMfxyM,L称为Lipschitz常数.

思路：

1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程

00(,)xxyyfxydx

的连续解。

2） 构造近似解函数列{()}nx

任取一个连续函数0()x，使得00|()|xyb，替代上述积分方程右端的

y，得到

0100()(,())xxxyfxxdx

如果10()()xx，那么0()x是积分方程的解，否则，又用1()x替代积分方程右端的y，得到

0201()(,())xxxyfxxdx

如果21()()xx，那么1()x是积分方程的解，否则，继续进行，得到

001()(,())xnnxxyfxxdx （3.4）

于是得到函数序列{()}nx. 3） 函数序列{()}nx在区间00[,]xhxh上一致收敛于()x，即

lim()()nnxx

存在，对(3.4)取极限,得到

00010lim()lim(,()) =(,()) xnnxnnxxxyfxxdxyfxxdx

即00()(,())xxxyfxxdx.

4) ()x是积分方程00(,)xxyyfxydx在00[,]xhxh上的连续解.

命题1 设()yx是方程(3.1)定义于区间00xxxh上,满足初始条件

00()xy （3.3）

的解,则()yx是积分方程

00(,)xxyyfxydx 00xxxh (3.5)

的定义于00xxxh上的连续解.反之亦然.

命题2 对于所有的n，（3.6）中的函数()nx在00xxxh上有定义，连续且满足不等式

0|()|nxyb （3.6）

命题3 函数序列{()}nx在00xxxh上是一致收敛的.

记lim()()nnxx,00xxxh

命题4 ()x是积分方程(3.5)的定义在00xxxh上的连续解.

命题5 设()x是积分方程(3.5)的定义在00xxxh上的一个连续解,则()()xx,00xxxh.

1、 近似计算和误差估计

求方程近似解的方法——Picard的逐次逼近法

0000100()()(,()) xnnxxyxyfdxxxh

对方程的第n次近似解()nx和真正解()x在0||xxh内的误差估计式 1|()()|(1)!nnnMLxxhn （3.7）

例1 讨论初值问题

22dyxydx, (0)0y

解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,

:11,11Rxy.

解

(,)1max|(,|2,1,1,min{,}2xyRbMfxyabhaM,由于|||2|2fyLy,根据误差估计式(3.16)

11|()()|0.05(1)!(1)!nnnMLxxhnn

可知3n.于是

0()0x

322100()[()]3xxxxxdx

3722210()[()]363xxxxxxdx

37111522320()[()]363207959535xxxxxxxxdx

3()x就是所求的近似解,在区间1122x上,这个解与真正解得误差不超过0.05.

§2 解的延拓

2、局部李普希兹条件

定义2 若函数),(yxf在区域G内连续，且对G内每一点P，都存在以P点为中心，完全含在G内的闭矩形域pR，使得在pR上),(yxf关于y满足李普希兹条件（对于不同的点，闭矩形域pR的大小和李普希兹常数L可能不同），则称),(yxf在G上关于y满足局部李普希兹条件.

定理3 （延拓定理）如果方程),(yxfdxdy的右端函数),(yxf在（有界或无界）区域2GR上连续，且在关于y满足局部李普希兹条件，则对任意一点00(,)xyG，方程),(yxfdxdy以),(00yx为初值的解)(x均可以向左右延展，直到点(,())xx任意接近区域G的边界. 以向x增大的一方来说，如果()yx只能延拓到区间上，则当xm时，(,())xx趋于区域G的边界。

推论1 对定义在平面区域G上的初值问题

)(),(00xyyyxfdxdy 其中00(,)xyG

若),(yxf在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.

推论3 如果G是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过00(,)xy点的解()yx可以延拓,以向x增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:

(1) 解()yx可以延拓到区间0[,)x(或0(,]x)；

(2) 解()yx只可延拓到区间0[,)xm(或0(,]mx)，其中为有限数，则当xm时，或者()yx无界,或者点(,())xxG.

例1讨论方程212dyydx分别通过点(0,0)和点(ln2,3)的解的存在区间.

解 此方程右端函数21(,)2yfxy在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.易知方程的通解为

11xxceyce

故通过点(0,0)的解为(1)/(1)xxyee,这个解的存在区间为x；

通过点(ln2,3)的解为(1)/(1)xxyee,这个解的存在区间为0x

(如图所示).注意, 过点(ln2,3)的解为(1)/(1)xxyee向右方可以延拓到

,但向左方只能延拓到0,因为当0x时,y.

例2讨论方程1lndyxdx过(1,0)点的解的存在区间.

解 方程右端函数(,)1lnfxyx在右半平面0x上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G(右半平面)是无界开域，y轴是它的边界.

易知问题的解为lnyxx,它于区间0x 上有定义、连续且当0x时, 0y,即所求问题的解向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到0,且当0x时积分曲线上的点(,)xy趋向于区域G的边界上的点.

§3 包络与奇解

包络: 设方程的通解的积分曲线族为 ，如果有一条曲线，在这曲线上各个点与积分曲线族中各个不同的曲线相切，就称这曲线为该曲线族的包络．

显然这包络就是奇解的积分曲线．另一方面，若一曲线是一奇解的积分曲线，则按照奇解的定义，在这曲线上的每一点至少与另一条积分曲线相切，所以这曲线是积分曲线的包络．

包络的求法: 对于固定的任意常数 c, 对积分曲线 的两边求微分得积分曲线应满足微分方程

,

而在包络上 c 是 t 和 x 的函数 , 设包络方程为

对两边求微分得包络应满足的微分方程

,

比较所得的两个微分方程得

由于包络上 c 不是常数, , 所以应有 因此, 我们得到包络必须满足的联立方程组(称为 c 判别式)

,

,