常微分方程第二版答案第三章
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常微分方程第二版答案第三章
习题3—1
1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一.
1）y x y sin '
+=； 2）3
1'
-
=x
y ； 3）y y =
'
.
解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.
2）因为3
1
),(-=x
y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界，
所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.
3）设y y x f =
),(，则
<-->=??,0,21,0,
21
),(y y
y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及
y
y x f ??) ,(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.
2． 求初值问题
=--=,
0)1(,
22y y x dx
dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.
解 设2
2
),(y x y x f -=，则4),(max ),(==
∈y x f M R
y x ，1,1==b a ，所以
4
1
)41,1min(),
min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：4
1
1≤
+x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则
0)1()(0=-=y x ?，3
1
31)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x
，
42
11
931863])3131([0)(3471232
2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x
.
在区间4 1
1≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 322)!12()()(h ML x x +≤-??. 取22)
,(max max ),(),(=-=??=∈∈y y y x f L R
y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+?≤
-x x ??.
3． 讨论方程
3
1
2
3y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.并求通过点)0,0(O 的一切解.
解 设31
23),(y y x f =，则3
2
2
1-=??y y f )0(≠y .故在0≠y 的任何有界闭区域上),(y x f 及
y y x f ??),(都是连续的，因而方程在这种区域中满足解的存在唯一性定理的条件.显然，0=y 是过)0,0(O 的一个解.
又由
3
12
3y dx dy =解得23
)(C x y -±=.其中0≥-C x . 所以通过点)0,0(O 的一切解为0=y 及,,,
)(,023
C x C x C x y >≤-=.,,)(,023C x C x C x y >≤--=如图.
4． 试求初值问题
1++=y x dx
dy
，0)0(=y ， 的毕卡序列，并由此取极限求解. 解 按初值问题取零次近似为0)(0=x y ，
一次近似为
2
12
1)10()(x x ds s x y x
+
=++=?， 二次近似为 32
20
2
6
1]1)21([)(x x x ds s s s x y x ++=+++=?, 三次近似为 432
320
324
131]1)61([)(x x x x ds s s s s x y x
+++=++++=
, 四次近似为 !
5)!5!4!3!2(2!5134131)(5
54325432
4x x x x x x x x x x x x x y --++++=+?+++=，
五次近似为 !
6)!6!5!4!3!2(2)(6654325x x x x x x x x x y --+++++=，
一般地，利用数学归纳法可得n 次近似为
)!1()!1(!4!3!22)(1
1432+-
-++++++=++n x x n x x x x x x y n n n
2)!1()!1(!4!3!2121
1432-+-
-
+++++++=++n x x n x x x x x n n ， 所以取极限得原方程的解为 22)()(lim --==+∞
→x e x y x y x n n .
5． 设连续函数),(y x f 对y 是递减的，则初值问题
),(y x f dx
dy
=，00)(y x y =的右侧解是唯一的. 证 设)(1x y ?=，)(2x y ?=是初值问题的两个解，令)()()(21x x x -=，则有
0)(000=-=y y x ?.下面要证明的是当0x x ≥时，有0)(≡x ?.
用反证法.假设当0x x ≥时，)(x ?不恒等于0，即存在01x x ≥，使得0)(1≠x ?，不妨设0)(1>x ?，由)(x ?的连续性及0)(0=x ?，必有100x x x <≤，使得0)(0=x ?，0)(>x ?，10x x x ≤<.
又对于
],[10x x x ∈，有00201)()(y x x ==??，?+=x
x dx
x x f y x 0
)](,[)(101??，
+=x
x dx x x f y x 0
)](,[)(202??，则有
)()()(21x x x -=?-=x
x dx x x f x x f 0
)]}(,[)](,[{21??，10x x x ≤<.
由0)()()(21>-=x x x （10x x x ≤<）以及),(y x f 对y 是递减的，可以知道：上式左端大于零，而右端小于零.这一矛盾结果，说明假设不成立，即当0x x ≥时，有0)(≡x ?.从而证明方程的右侧解是唯一的.
习题3—3
1． 利用定理5证明：线性微分方程
)()(x b y x a dx
dy += （I x ∈） )1( 的每一个解)(x y y =的（最大）存在区间为I ，这里假设)(),(x b x a 在区间I 上是连续的.
证 )()(),(x b y x a y x f +=在任何条形区域{}
∞<<-∞≤≤y x y x ,),(βα（其中I ∈βα,）中连续，取[]
)(max ,x a M x βα∈=，[]
)(max ,x b N x βα∈=，则有
N y M x b y x a y x f +≤+≤)()(),(.
故由定理5知道，方程)1(的每一个解)(x y y =在区间],[βα中存在，由于βα,是任意选取的，不难看出
)(x y 可被延拓到整个区间I 上.
2． 讨论下列微分方程解的存在区间： 1）
)1(-=y y dx dy ； 2）)sin(xy y dx dy =； 3）21y dx
dy +=. 解 1）因)1(),(-=y y y x f 在整个xOy 平面上连续可微，所以对任意初始点),(00y x ，方程满足初始条件00)(y x y =的解存在唯一.
这个方程的通解为x
Ce
y -=
11
.显然0=y ，1=y 均是该方程在),(∞-∞上的解.现以0=y ，1=y 为界将整个xOy 平面分为三个区域来讨论.
ⅰ）在区域1R {}
10,),(<<+∞<=y x y x 内任一点),(00y x ，方程满足00)(y x y =的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能与0=y ，1=y 两直线相交，因而解的存在区间为),(∞-∞.又在1R 内，0),(<=""
为渐近线，当+∞→x="" 时，以0="y" 时，以1="y" ，则方程满足00)(y="">
ⅱ）在区域2R {}
1,),(>+∞<=y x y x 中，对任意常数0>C ，由通解可推知，解的最大存在区间是 )ln ,(C --∞，又由于0),(>y x f ，则对任意200),(R y x ∈，方程满足00)(y x y =的解)(x y ?=递增.当-∞→x 时，以1=y 为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线，每一条与x 轴垂直的直线皆为某解的竖渐
近线.
ⅲ）在区域3R {}
0,),(<+∞<=y x y x 中，类似2R ，对任意常数0>C ，解的最大存在区间是
),ln (+∞-C ，又由于0),(>y x f ，则对任意300),(R y x ∈，方程满足00)(y x y =的解)(x y ?=递增.当
+∞→x 时，以0=y 为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线.其积分曲线分布如图（ ）.
2）因)sin(),(xy y y x f =在整个xOy 平面上连续，且满足不等式
y xy y y x f ≤=)sin(),(，
从而满足定理5的条件，故由定理5知，该方程的每一个解都以+∞<<∞-x 为最大存在区间.
3）变量分离求得通解)tan(C x y -=，故解的存在区间为)2
,2
(π
π
+
-C C .
3．设初值问题
)(E ：
2)(2)32(y x e y y dx
dy
+--=，00)(y x y = 的解的最大存在区间为b x a <<，其中),(00y
x 是平面上的任一点，则-∞=a 和+∞=b 中至少有一个成立.
证明 因2
)(2
)32(),(y x e
