《概率论与数理统计》学习笔记

概率论与数理统计（二）笔记

经济数学基础二（概率论与数理统计）课程教学大纲

一、课程教学目的与基本要求

概率论与数理统计是高等学校（专科）经济、管理类及计算机类专业最重要的基础理论课之一。本课程是我院经济、管理类及计算

机类专业继微积分课程之后的一门基础课。通过本课程的学习，使学生获得概率论与数理统计的基本知识和基本运算技能。教学中要贯彻“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，教学重点放在掌握概念，强化应用，培养技能上。通过各教学环节逐渐培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力，并为专业课程的定量分析打下基础。

1.要正确理解以下概念：

随机试验，随机事件、概率的古典定义、事件的独立性、一元随机变量、分布函数、二元随机变量、联合分布及边缘分布、随机变量相互独立性、随机变量的数字特征、总体与样本、统计量、两类错误、回归的基本概念

2. 要掌握下列基本理论、基本定理和公式：

概率的基本性质。概率加法定理、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式、贝努里概型。切比雪夫大数定律与贝努里大数定律、中心极限定理。常用的统计量的分布。参数估计的基本思想。小概率原理。

3.熟练掌握下列运算法则和方法：

事件的关系与运算。古典概型的概率计算。一元随机变量的分布函数、二元随机变量的边缘分布计算。标准正态分布表的查法。随机变量的数学期望、方差、协方差计算。

4.应用方面：

用数学期望、方差的概念及性质解决具体问题的计算。利用正态分布的理论解决具体问题。用区间估计正确解决实际问题，并能解释其结果。运用小概率原理，对具体问题做假设检验。用一元线性回归方程及相关性检验解决实际问题。

二、课程主要内容

第一章 随机事件及其概率（10学时）

1. 理解随机试验、随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与运算并会能灵活表达。

2. 了解概率的统计定义，理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。

3. 了解概率的公理化定义。掌握概率的基本性质及概率加法定理。 4. 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，理解全概率公式和贝叶斯公式，并会运算和计算。

第三章、多维rv及其分布

第一节 多维rv及分布函数

一、多维rv

定义：设12,......nXXX是样本空间上的随机变量，则向量X=（12,......nXXX）称为n维rv

注：1.二维rv（X，Y）

2. 二维rv（X，Y）的几何意义，平面内随机点的坐标

二、联合分布函数

定义：设（X，Y）为二维rv，则二元实值函数(,){,}FxyPXxYy，2(,)xyR,称为（X，Y）的联合分布函数

注：1.定义式子

2. (,)Fxy的几何定义，图形中平面点集G的面积

3. (,)Fxy的性质

性质1.分别关于,xy的单调递增的

性质2. 0(,)1Fxy，2(,)xyR

性质3. (,)F=lim(,)xyFxy=1

(,)F=lim(,)xyFxy=0

(,)Fx=lim(,)yFxy=0

(,)Fy=lim(,)xFxy=0

(,)Fx={,}PXxY=()PXx

三、边缘分布函数

定义：假设二维rv（X，Y）的联合分布函数为(,)Fxy，则r，v，X当Y的概率分布函数()()xyFxFy及分别称为（X，Y）关于X及Y的边缘分布函数

则()=()={,}xFxPXxPXxY=lim(,)yFxy=(,)Fx

同理可得()YFy=lim(,)xFxy=(,)Fy 四、独立性

P（AB）=P(A)P（B）

P（A|B）= P(A)

(,){,}PxyPXxYy= ()PXx *()PYy= ()XFx* ()YFy

《概率论与数理统计》（19）

电子科技大学应用数学学院，徐全智 吕恕 主编。2004版

第6章 数理统计的基本概念

概率论与数理统计是两个紧密联系的姊妹学科，概率论是数理统计学的理论基础，而数理统计学则是概率论的重要应用.

数理统计学是使用概率论和数学的方法，研究如何用有效的方式收集带有随机误差的数据，并在设定的模型下，对收集的数据进行分析，提取数据中的有用信息，形成统计结论，为决策提供依据. 这就不难理解，数理统计应用的广泛性，几乎渗透到人类活动的一切领域! 如：农业、生物和医学领域的“生物统计”，教育心理学领域的“ 教育统计”，管理领域的“ 计量经济”，金融领域的“ 保险统计”等等，这些统计方法的共同基础都是数理统计.

数理统计学的内容十分丰富，概括起来可以分为两大类：其一是研究如何用有效的方式去收集随机数据，即抽样理论和试验设计；其二是研究如何有效地使用随机数据对所关心的问题做出合理的、尽可能精确和可靠的结论，即统计推断.

本书主要介绍统计推断的基本内容和基本方法. 在这一章中先给出数理统计中一些必要的基本概念，然后给出正态总体抽样分布的一些重要结论.

6.1 总体、样本与统计量

一、总体 在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个基本元素称为个体.

二、样本

样本是按一定的规定从总体中抽出的一部分个体" 这里的“ 按一定的规定”，是指为保证总体中的每一个个体有同等的被抽出的机会而采取的一些措施" 取得样本的过程，称为抽样.

三、统计量

6.2 抽样分布

统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础. 由于统计量是随机变量，所以在使用统计量进行统计推断时必须要知道它的分布. 统计量的分布称为抽样分布.

一、三个重要分布

二、抽样分布定理

6.3 应用

一、顺序统计量及其应用

二、极值的分布及其应用

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概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。

一、随机事件与概率

（一）随机事件

随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。

（二）样本空间

样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。

（三）事件的关系与运算

1、 包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。

2、 相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作

A ＝ B。

3、 并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B

的并事件，记作 A∪B。 4、 交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作 A∩B 或 AB。

5、 互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝ ∅。

6、 对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝ Ω 且 AB ＝ ∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝ A 。

（四）概率的定义与性质

1、 概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝

n(A) ／ n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。

2、 概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。

3、 概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：

（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；