概率论与数理统计复习笔记
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概率论与数理统计复习笔记(总12页)
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第一章 概率论的基本概念
一.基本概念
随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.
随机事件(事件):样本空间S的子集.
必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.
二. 事件间的关系和运算
(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.
∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.
3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.
4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.
5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.
6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .
运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 BABA BABA
三. 概率的定义与性质
1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.
(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;
(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),
P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…
2.性质
(1) P() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .
(2)有限可加性 对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n ,
P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .
(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .
(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .
对于任意n个事件A1,A2,…,A n
nkjikjinjijiniinAAAPAAPAPAAAP11121
…+(-1)n-1P(A1A2…A n)
四.等可能(古典)概型
1.定义 如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.
2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.
五.条件概率
1.定义 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).
2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).
P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1) (n≥2, P(A1A2…A n-1) > 0)
3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) ,则
当P(B i)>0时,有全概率公式 P(A)=iniiBAPBP1
当P(A)>0, P(B i)>0时,有贝叶斯公式P (Bi|A)=niiiiiiBAPBPBAPBPAPABP1 .
六.事件的独立性
1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件.
(1)两个事件A,B相互独立 P(B)= P (B|A) . (2)若A与B,A与B,A与B, ,A与B中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.
2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立.
个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (1
kkiiiiiiAPAPAPAAAP2121,则称这n个事件A1,A2,…,A n相互独立.
第二章 随机变量及其概率分布
一.随机变量及其分布函数
1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.
2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数. 其性质为:
(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x1
(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x1
二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)
1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k}= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:
(1)非负性 0≤Pk≤1 ; (2)归一性 11kkp .
2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=xXkkP为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k=P{X=x k} .
3.三种重要的离散型随机变量的分布
(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0
(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=knkppkn1(k=0,1,2,…,n) (0
(3))X~()参数为的泊松分布 P{X=k}=ekk! (k=0,1,2,…) (>0)
三.连续型随机变量
1.定义 如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=dttfx,-∞< x <∞,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).
2.概率密度的性质
(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 dxxf)(=1 ;
(3) P{x 1
注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X= a}=0 .
3.三种重要的连续型随机变量的分布
(1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布
0)(1abxf 其它bxa .
(2)X服从参数为的指数分布.0/1xexf 00xx若若 (>0).
(3)X~N (,2 )参数为,的正态分布 222)(21)(xexf -0.
特别, =0, 2 =1时,称X服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度
2221)(xex , 标准正态分布函数 xtdtex2221)( , (-x)=1-Φ(x) .
若X～N ((,2), 则Z=X~N (0,1), P{x1
若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：(z )=1- , z 1- = -z .
四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布
1.离散型随机变量的函数
X x 1 x2 … x k …
p k p 1 p2 … p k …
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(x k) …
若g(x k) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.
若g(x k) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.
2.连续型随机变量的函数
若X的概率密度为fX(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=dxxfkyXk
其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得fY(y)=FY /(y) .
(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 0yhyhfyfXY 其它y
其中h(y)是g(x)的反函数 , = min (g (-),g ()) = max (g (-),g ()) .
如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 = min (g (a),g (b)) = max (g (a),g (b)) .
第三章 二维随机变量及其概率分布
一.二维随机变量与联合分布函数
1.定义 若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.
对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.
2.分布函数的性质
(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.
(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- )=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F(,)=1 .
(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .
(4)对于任意实数x 1
P{x 1
二.二维离散型随机变量及其联合分布律
1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i,Y= y j }= p i j为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.
2.性质 (1)非负性 0≤p i j≤1 . (2)归一性 ijijp1 .
3. (X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=xxyyijijp
