江西省白鹭洲中学高三上学期期中考试 数学文

白鹭洲中学2014-2015学年度上学期高三年级期中考试

数学试卷 （文科）

命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组

考生注意：

1. 本试卷设卷Ⅰ、Ⅱ两部分，试卷所有答题都必须写在答题卷上。

2. 答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3. 考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）

1.若集合，且，则集合可能是 （ ）

A． B． C． D．

2.已知两个不同的平面和两个不重合的直线，有下列四个命题：

①若∥，，则； ②若则∥；

③若∥，，则； ④若∥则∥.

其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

3.要得到的图象只需将的图象 （ ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

4.若直线与直线互相垂直，那么的值等于 （ ）

A．1 B． C． D．

5.已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为8，则等于 （ ）

A．4 B．8 C．16 D．18

6.若变量，满足约束条件280403xyxy，则的最大值等于 （ ）

A. 11 B. 10 C. 8 D. 7

7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6= ( )

A. 63 B. 64 C. 31 D. 32

8.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充要条件为 （ ）

A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2 C．m＜1 D．0＜m＜1

9.若直线过点，斜率为1，圆上恰有1个点到的距离为1，则的值为（ ）

A． B． C． D．

10.已知函数是上的可导函数，的导数的图像如图，则下列结论正确的是( )

A．a, c分别是极大值点和极小值点

B．b，c分别是极大值点和极小值点

C．f(x)在区间（a，c）上是增函数

D．f(x)在区间（b，c）上是减函数 11.设、分别为双曲线222210,0xyabab的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A． B．2

C． D．

12.若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知在直角三角形中，，，点是斜边上的

中点，则_________.

14.若某几何体的三视图如右，该几何体的体积为2，则俯视图中的_________.

15.已知圆22:10Cxayaa与直线相交于两点,则当的面积最大时,此时实数的值为_________.

16.下列说法：

①“”的否定是“”；

②函数sin2sin236yxx的最小正周期是；

③命题“函数在处有极值，则”的否命题是真命题；

④是上的奇函数，时的解析式是，

则时的解析式为.

其中正确的说法是_________.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17.(12分)已知直线

（1）若直线的斜率等于2，求实数的值；

（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，

求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．

18.(12分)如图，菱形的边长为4，，．将菱形沿

对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：OM∥平面ABD；

（2）求三棱锥B﹣DOM的体积．

19.(12分)设数列的前项和为，点在直线上．

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列， 求数列的前项和．

20.(12分)已知函数21xfxexaxa，其中是常数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在定义域内是单调递增函数，求的取值范围.

21.(12分)已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线经过点，以抛物线上

一点为圆心的圆过定点（0，1），记为圆与轴的两个交点．

（1）求抛物线的方程；

（2）当圆心在抛物线上运动时，试判断是否为一定值？请证明你的结论；

（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，

解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲

如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，

且.

（1）证明：；

（2）设不是的直径，的中点为，且，

证明：为等边三角形.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线，直线（为参数）

（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，

求的最大值与最小值.

24.（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲

若且

（1）求的最小值；

（2）是否存在，使得？并说明理由. 白鹭洲中学2014-2015学年度高三年级期中考试文科数学答案

1-6. A D C D C B 7-12. A A B C D B

13.4 14.2 15. 16. ①④

8.试题分析：联立直线与圆的方程得：，

消去y得：2x2+（2m-2）x+m2-1=0，由题意得：△=（2m-2）2-8（m2-1）=-4（m+1）2+16＞0，

变形得：（m+3）（m-1）＜0，解得：-3＜m＜1，

9. 试题分析： 圆上有1个点到直线的距离为1， 圆心到直线的距离等于3，圆心（0，0）到直线l：y=x+a的距离为00322aad,解得

10. 试题分析：由已知得，在中，，由双曲线定义得，，过点作，垂足为，则在中有，化简得，，得．

11. 试题分析：构造函数g（x）＝ex·f（x）－ex，

因为g′（x）＝ex·f（x）＋ex·f′（x）－ex＝ex[f（x）＋f′（x）]－ex>ex－ex＝0，

所以g（x）＝ex·f（x）－ex为R上的增函数．

又因为g（0）＝e0·f（0）－e0＝1，所以原不等式转化为g（x）>g（0），解得x>0.

12. 试题分析：由题意得，曲线C是由椭圆上半部分和双曲线

上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为，与直线平行； 当直线过右顶点时，直线与曲线C有两个交点，此时，；

当直线与椭圆相切时，直线与曲线C有两个交点，此时；

由图像可知，时，直线与曲线C有三个交点.

15. 试题分析：因为的面积等于,所以当时的面积最大，此时圆心到直线的距离为，因此325,2210aaa

16. 试题分析：对于①，“∃x∈R,2x＞3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”，因此①正确；

对于②，注意到sin＝cos，因此函数y＝sinsin＝sin·＝sin，其最小正周期是＝，②不正确；

对于③，注意到命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x＝x0处无极值，则f′(x0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，当x0＝0时，③不正确；

对于④，依题意知，当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x，因此④正确

17. 试题解析：（1）直线过点,则,则

（2）由,则

则有最大值2,直线的方程为

18. 试题解析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．

又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．

（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．

∵O为BD的中点，∴DO=，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=，AB=2．

因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，

∴OD⊥平面ABC． ∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．

由OD=2，，

所以.

19. 试题解析：（1）由题设知，

得，

两式相减得：， 即，

又 得， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，

∴． 5分

（2）由（Ⅰ）知，

因为 ， 所以 所以 8分

令 ，

则 ① ②

①- ②得

10分

12分

20. 试题解析：(Ⅰ)由可得

．

当时,

所以 曲线在点处的切线方程为

即

（Ⅱ） 由(Ⅰ)知，

若是单调递增函数，则恒成立，

即恒成立，∴，，所以的取值范围为．

21. 试题解析：（1）由已知，设抛物线方程为，，解得．

所求抛物线的方程为．

（2）法1:设圆心，则圆的半径=

圆C2的方程为．

令，得，得．（定值）．

法2:设圆心，因为圆过，所以半径=，

因为在抛物线上，，且圆被轴截得的弦长

=（定值）

（3）由（2）知，不妨设，

22.解：

（I）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以， 由已知得，故 ……5分

（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知，故O在直线MN上.

又AD不是的直径，M为AD的中点，故，即

所以，故

又，故由（I）知，

，所以为等边三角形 .…10分

23.解：

（I） 曲线C的参数方程为（为参数）

直线的普通方程为 ……5分

（II） 曲线C上任意一点到的距离为

54cos3sin6.5d

则255sin()6sin305dPAa，其中为锐角，且