江西省白鹭洲中学高二数学上学期期中试题 理
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白鹭洲中学2014－2015学年度上学期高二年级期中考试
数学试卷（理科）
考生注意：
1、 本试卷设试卷Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分，试卷所有答题都必须写在答题纸上。
2、 答题纸与试卷在试题编号上是一 一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
3、 考试时间为120分钟，试卷满分为150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
1、命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是 （ ）
A．若ab=0,则a=0 B. 若a≠0，则ab≠0
C．若ab=0,则a≠0 D. 若ab≠0，则a≠0
2、空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(x，－1,6)的距离为86，则x等于 ( )
A．2 B．－8 C．2或－8 D．8或2
3、已知命题:,sinpxRxx存在，则命题p的否定为（ ）
A.:,sinpxRxx存在 B.:,sinpxRxx任意
C.:,sinpxRxx存在 D.:,sinpxRxx任意
4、“直线L垂直于平面内无数条直线”是“直线L垂直于平面”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5、 若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线L对称，则直线L的方程是( )
A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x－y＋2＝0 D.x＋y＋2＝0
6、已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆x2+y2-2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．1121622yx B. 1422yx C. 141622yx D.13422yx
7、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则点A1到平面ABC1D1的距离为（ ）
A.21 B.42 C. 22 D. 23
8、若点O和点F分别为椭圆2212xy的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP
的最大值是（ ）
A．22 B．12 C．22 D．不存在
9、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
A.64 B.104 C.22 D.32
10、若直线y＝x+k与曲线21(3)yx有公共点，则k的取值范围是( )
A．32,32 B．4,32 C．32,2 D．4,2
11、已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则三棱锥S－ABC的体积为 ( )
A.33 B.233 C.433 D.533
12、设直线022:yxl关于原点对称的直线为l，若l与椭圆4422yx的交点为P、Q,
点M为椭圆上的动点，则使△MPQ的面积为12的点M的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）
13、已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋11＝0平行，则实数m的值是______．
14、在四面体PABC中，PB＝PC＝AB＝AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB＝________.
15、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆221259xy上，则sin A＋sin Csin B＝________.
16、如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60º，且A1A=3，则A1C的长为 .
NMABDCO三、 解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
17、 (本题满分10分) 已知p：xR任意，不等式2302xmx恒成立；
q：椭圆22113xymm的焦点在x轴上．
（1）若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．
18、(本题满分12分)一个四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，且PA垂直平面ABCD
（1）求三棱锥P-BCD的体积；
（2）求四棱锥P-ABCD的全面积
19、（本题满分12分）已知圆C：222430xyxy，P点坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA、PB的方程； (2)求直线AB的方程．
20、 （本题满分12分）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点.
（1）证明：直线MNOCD平面‖；
（2）求点B到平面OCD的距离.
21、（本题满分12分）如图，1111ABCDABCD是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF．
（1）求证：11AFCE；
（2）当点1A、E、F、1C共面时，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求平面1ADE与平面1CDF夹角的余弦值．
22、（本题满分12分）已知椭圆222210xyabab和直线L：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝
63，坐标原点到直线L的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在实数k，使得点E在以CD为直径的圆外？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
白鹭洲中学2014－2015学年上学期高二年级期中考试
数学试卷（理科）答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B C C D C C A C C B
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） ABCDEF1A1B1C1DxyzNMABDCOP 13、8； 14、090； 15、54；16、5
三、解答题：（本大题共6小题，共70分 ）
17、（10分）解：（1）26m（2）63m
18 （12分）解析由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示．（1）V=16（2）全面积S＝2＋2.
19.（12分）解：(1)设过P点的圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)．即kx－y－2k－1＝0.
∵圆心(1,2)到直线的距离为2.即|－k－3|1＋k2＝2，
∴k2－6k－7＝0.∴k＝7或k＝－1.
∴所求的切线方程为y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)法一：由 7x－y－15＝0，x－2＋y－2＝2，得A(125，95)，
由 x＋y－1＝0，x－2＋y－2＝2，得B(0,1)，∴直线AB的方程是x－3y＋3＝0.
法二：在Rt△PCA中，∵|PC|＝－2＋－1－2＝10，|CA|＝2，
∴|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8，以P为圆心，|AP|为半径的圆P的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8，AB为圆C与圆P的公共弦由x2＋y2－2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y－3＝0相减得2x－6y＋6＝0，x－3y＋3＝0.∴直线AB的方程为x－3y＋3＝0.
20．（12分）
解： 作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系
22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244ABPDOMN,
(1)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MNOPOD
设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,0nOPnOD
即 2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n
22(1,,1)(0,4,2)044MNn∵MNOCD平面‖
(2)设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)OB, 得23OBndn.所以点B到平面OCD的距离为23 21. （12分）【解析】（1）以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则1(6 , 0 , 6)A、1(0 , 6 , 6)C，
设AEm，则(6 , , 0)Em，(6 , 6 , 0)Fm
从而1( , 6 , 6)AFm、1(6 , 6 , 6)CEm
则1166(6)(6)(6)0AFCFmm，所以11AFCE
（2）当1A、E、F、1C共面时，11//ACEF，又11//ACAC,所以//ACEF ，因为AE=BF，所以E、F分别为AB,BC的中点，所以EF=12AC=32
（3）由（2）知(6 , 3 , 0)E、 (3 , 6 , 0)F，设平面1ADE的一个法向量为1( , , )nabc，
依题意111630660nDEabnDAac 所以1(1 , 2 , 1)n
同理平面1CDF的一个法向量为2(2 , 1 , 1)n
由图知，面1ADE与面1CDF夹角的余弦值1212||1cos2||||nnnn
22（12分）解析：（1）直线l：y＝bx＋2，坐标原点到直线l的距离为2．∴b＝1
∵椭圆的离心率e＝63，∴22216()3aa，解得a2＝3∴所求椭圆的方程是2213xy；
（2）直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得：（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0
∴△＝36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1
设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＋x2＝－21213k，x1x2＝2913k
∵EC＝（x1＋1，y1），ED＝（x2＋1，y2），且点E在以CD为直径的圆外。
∴EC.ED<0 ∴（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2>0
