高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳

求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。

导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。

（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。

例1.已知a ∈R ，函数2()()exf x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1）2-()()e x f x x ax =-+-2-()(2)e ()(e )xxf x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e xx a x a ⎡⎤-++⎣⎦.()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，2(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2()(2)g x x a x a =-++，则(1)0,(1)0.g g -≤⎧⎨≤⎩1(2)01(2)0a a a a +++≤⎧∴⎨-++≤⎩, 32a ∴≤-.（2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦ 对x ∈R 都成立.2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立令2()(2)g x x a x a =-++，图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.22(2)440a a a ∆=+-=+>故函数()f x 不可能在R 上单调递增.综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； 解： /(2)1,22af a =-==-由32/2()2ln 23()(2)2, ()3(4)22f x x x mg x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/()0g x =得，2(4)240m ∆=++>故/()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>∴237, (4)233m m t t >-+<-故243m t t +<-，而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得3793m -<<-例3.已知函数14341ln )(-+-=xx x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：（I ）14341ln )(-+-=xx x x f 的定义域是(0,)+∞22243443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或， 故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+ （II ）若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立， 问题等价于max min )()(x g x f ≥，由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-；当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-；当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得1b <或1b ≤≤或 b ∈∅即2b ≤，所以实数b的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎦。

高考数学第一轮复习：《参数取值范围的求法》范围问题是高中数学中最为普遍的问题之一，在高中数学的主要知识板块中都有大量的范围类试题，下面从解题方法的角度对其简要介绍．建立函数模型的方法(1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，两条曲线在第一象限的交点记为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )(A)0，15(B)15，35 (C)13，＋∞ (D)15，＋∞(2)在锐角△ABC 中，AC ＝6，B ＝2A ，则边BC 的取值范围是________．思路点拨：(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c ，以其为变量建立求解目标的函数关系式；(2)求出角A 的取值范围，以其为变量表达BC ，利用三角函数性质得出其范围．解析：(1)根据已知|PF 2|＝2c ，在椭圆中根据定义2c ＋10＝2a 1，离心率e 1＝c c ＋5，在双曲线中根据定义10－2c ＝2a 2，离心率e 2＝c 5－c.由于P ，F 1，F 2三点构成三角形，所以2c ＋2c >10，即c >52，根据10－2c ＝2a 2>0可得0<c <5，故52<c <5,0<25c 2－1<3，所以e 1e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13.故选C. (2)根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即6sin 2A ＝BC sin A ，所以BC ＝3cos A .由于△ABC 为锐角三角形，所以B ＝2A <π2，即A <π4，又A ＋B ＝3A >π2，即A >π6，所以π6<A <π4，所以22<cos A <32，所以233<1cos A <2，所以23<3cos A <32，即BC 的取值范围为(23，32)．答案：(1)C (2)(23，32)【方法总结】 选定一个变量建立求解目标的函数关系式，利用函数的性质得出其取值范围，这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法，是函数思想在数学解题中的主要体现之一．分离参数的方法(1)已知f (x )＝ax －cos 2x ，x ∈π8，π6，若∀x 1∈π8，π6，∀x 2∈π8，π6，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________．思路点拨：已知条件等价于f (x )在区间π8，π6内单调递减，f ′(x )≤0在区间π8，π6上恒成立，分离参数后化为求函数最值．解析：由题f (x )＝ax －cos 2x ，已知条件等价于f (x )在区间π8，π6内单调递减，等价于f ′(x )＝a ＋2cos x sin x ＝a ＋sin 2x ≤0在π8，π6上恒成立，即a ≤－sin 2x 在π8，π6上恒成立，由x ∈π8，π6,2x ∈π4，π3，得－sin 2x ∈－32，－22，只要a ≤－32，所以实数a 的取值范围是－∞，－32.答案：－∞，－32【方法总结】 在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时，如果参数能够分离出来，即方程或不等式的一端为参数，另一端为某个变量的函数，则只要研究函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围．参数与变量整体处理的方法(1)已知函数f(x)＝x＋3a2x－2a ln x在区间(1,2)内是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝1，当x1，x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有f(x1)＋f(x2)x1＋x2>0，若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．思路点拨：(1)即f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立，结合函数图象分类讨论其成立的a的取值范围；(2)即增函数f(x)满足f(x)≤m2－2am＋1对所有x ∈[－1，1]，a∈[－1,1]恒成立，即f(x)max≤m2－2am＋1对a∈[－1,1]恒成立，化为关于a的一次不等式在[－1,1]上恒成立问题即可．解析：(1)f′(x)＝1－3a2x2－2ax.函数f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，等价于x2－2ax－3a2≥0在(1,2)上恒成立．设g(x)＝x2－2ax－3a2.当a≤1时，g(x)在(1,2)上单调递增，只要g(1)＝1－2a－3a2≥0，解得－1≤a≤13；当1<a<2时，只要g(a)＝－4a2≥0，无解；当a≥2时，g(x)在(1,2)上单调递减，只要g(2)＝4－4a－3a2≥0，即3a2＋4a－4≤0，解得－2≤a≤23，与a≥2矛盾．综上可知，函数f(x)在区间(1,2)内是增函数时，a的取值范围是－1，13.(2)用－x2替换x2，得f(x1)＋f(－x2)x1＋(－x2)>0，由于f(x)是奇函数，所以f(x1)－f(x2)x1－x2>0，等价于函数f(x)是定义域上的增函数，所以f(x)max＝f(1)＝1.不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am＋1≥1对任意a∈[－1,1]恒成立，即2ma－m2≤0对任意a∈[－1,1]恒成立，令g (a )＝2ma －m 2，则只要⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝－2m －m 2≤0，g (1)＝2m －m 2≤0即可，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0.故所求的m 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．答案：(1)－1，13(2)(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)【方法总结】 在参数与变量交织在一起，分离参数不方便的情况下，把参数作为常数，构成一个含参数的函数、不等式、方程等，根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件得出其取值范围．直接使用数形结合的方法已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a |－a (a >0)，且对任意x ∈R 恒有f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围是( )(A)(0,4](B)(0,2] (C)0，12 (D)0，14 思路点拨：画出函数f (x )的图象，问题等价于f (x －1)的图象不在f (x )图象下方，结合函数图象得出实数a 满足的不等式即得．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ≥a ，－x ，0≤x <a .根据f (x )是奇函数画出函数f (x )的图象，如图，由于函数f (x －1)的图象是由函数f (x )的图象向右平移1个单位得到的，只有平移到图(2)、(3)中的情况下，才有f (x －1)≤f (x )，故平移的距离4a ≤1，所以0<a ≤14.故选D.【方法总结】 数形结合是广泛使用的一种数学方法．在求参数范围问题中，使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件，进而得出参数的取值范围．根据几何意义求参数(1)若不等式(x －a )2＋(x －ln a )2>m 对任意x ∈R ，a ∈(0，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是( )(A)－∞，12(B)－∞，22 (C)(－∞，2) (D)(－∞，2)(2)已知向量a ，b 是单位向量，若a ·b ＝0，且|c －a |＋|c －2b |＝5，则|c ＋2a |的取值范围是( )(A)[1,3](B)[23，3] (C)655，2 2 (D)655，3思路点拨：(1)根据两点间的距离公式得出(x －a )2＋(x －ln a )2的几何意义；(2)利用向量减法的几何意义确定|c －a |＋|c －2b |＝5表达的图形和|c ＋2a |的几何意义．解析：(1)式子(x －a )2＋(x －ln a )2的几何意义是直线y ＝x 上的点(x ，x )到曲线y ＝ln x 上的点(a ，ln a )距离的平方．y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，令1x ＝1得x ＝1，即曲线y ＝ln x 上横坐标为1的点处的切线平行于直线y ＝x ，此时切点(1,0)到直线y ＝x的距离最小，最小值为22，此即为曲线y ＝ln x 上的点与直线y ＝x 上点的距离的最小值，所以[(x －a )2＋(x －ln a )2]min ＝12，不等式(x －a )2＋(x －ln a )2>m 恒成立只要m <12，故m 的取值范围是－∞，12.故选A.(2)根据已知可得a ，b 是相互垂直的单位向量，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，把向量c 的起点放在坐标原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义就是向量c 的终点到向量a,2b 的终点(1,0)，(0,2)的距离之和，由于这两点间距离等于5，故向量c 的终点在以(1,0)，(0,2)为端点的线段上，该线段所在直线方程为x ＋y 2＝1(0≤x ≤1)．|c ＋2a |的几何意义是向量c 的终点到向量－2a 的终点(－2,0)的距离，显然最大距离即为点(－2,0)到点(1,0)的距离3，最小距离为点(－2,0)到直线x ＋y 2＝1的距离|－2－1|1＋14＝655.所以|c ＋2a |的取值范围是655，3.故选D.【方法总结】 给数学表达式赋予一定的几何意义，把“式”的问题转化为“几何图形”的问题，以形助数是数形结合方法一个重要方面，其关键是熟悉一些数学公式、法则的几何意义．化参数与函数最值比较的方法(1)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，任意的x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( )(A)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，142 (B)(1，＋∞) (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，142 (D)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，142 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，函数g (x )＝ax －a 2＋3(a >0)，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) (A)(－∞，－4](B)(－∞，6] (C)[－4，＋∞) (D)[6，＋∞)思路点拨：(1)不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立→只需令f (x 1)min ≥g (x 2)max →得出结论(2)由题意知f (x )的值域为g (x )值域的子集．解析：(1)依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max .(转化)f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.(求值)函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1,2]．当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.(求值)故问题等价于⎩⎨⎧ b ＜1－12≥2b －5或⎩⎨⎧ 1≤b ≤2，－12≥b 2－4 或⎩⎨⎧ b ＞2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b ＜1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，142.故选A.(得出结论) (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，16，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，y ′＝2·3x 2(x ＋1)－x 3(x ＋1)2＝2(2x 3＋3x 2)(x ＋1)2>0，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递增， 所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，1， 所以f (x )的值域为[0,1]．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋3，3. 问题等价于f (x )的值域为g (x )值域的子集，即[0,1]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋3，3，只要－a 2＋3≤0即可，解得a ≥6.故选D.【方法总结】 求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是化参数与函数最值的比较，得出参数满足的不等式求得其范围．化参数与函数值域端点值比较的方法已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n <a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．思路点拨：求出4T n 的范围，解不等式即可．解：1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12， 由4T n <a 2－a ，得2≤a 2－a ，解得a ≤－1或a ≥2，即所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．【方法总结】 在函数、数列问题中有些函数不存在最值，该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较，值得注意的是“等号”能否取得．根据图形临界位置确定参数满足条件的方法设f (x )＝|lg x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0,4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 22，lg e e (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 22，e (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，lg 22 思路点拨：函数y ＝f (x )，y ＝ax 的图象在(0,4)上有三个不同交点，作出图象，根据图象确定实数a 满足的条件．解析：在同一坐标 系中分别作出函数y ＝f (x )，y ＝ax 的图象(如图)，函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0,4)上有三个零点等价于上述两个函数的图象在区间(0,4)上有三个交点，结合函数图象可知，只要直线y ＝ax 的斜率a 介于直线OA (A (4,2lg 2))与直线OB (B 为切点)之间即可．直线OA 的斜率为lg 22，当x ∈(1,4)时，f ′(x )＝lg e x ，设B (x 0，lg x 0)，则直线OB 的方程为y －lg x 0＝lg e x 0(x －x 0)，该直线过坐标原点，所以0－lg x 0＝lg e x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ，即直线OB 的斜率为lg e e ， 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 22，lg e e .故选B. 【方法总结】 已知函数零点个数求参数取值范围时，把函数分解为两个函数(其中一个不含参数，另一个含参数)，利用数形结合法确定含参数的函数图象与不含参数的函数图象的位置，通过临界位置得出参数满足的条件，即可得出参数的取值范围．二次函数、二次不等式的方法(1)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“倍增函数”：①函数在整个定义域上是单调递增函数或单调递减函数；②在函数的定义域内存在区间[p ，q ](p ＜q )，使得函数在区间[p ，q ]上的值域为[p 2，q 2]．若关于x 的函数y ＝x 2－1＋t (x ≥1)是“倍增函数”，则实数t 的取值范围为( )(A)(1,2)(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，2 (C)⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 (2)若函数f (x )＝x 4－ax 3＋x 2－2有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是________． 思路点拨：(1)根据题目中给出的新定义，把问题转化为一元二次方程根的分布问题，根据二次函数的图像，构造不等式组，解不等式组即可；(2)f ′(x )有且只有一个变号零点．解析：(1)因为y ＝x 2－1＋t 在[1，＋∞)上单调递增，由“倍增函数”的定义知，该函数在定义域[1，＋∞)内，存在区间[p ，q ](p ＜q )，使得该函数在[p ，q ]上的值域为[p 2，q 2]，所以p ≥1，⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－1＋t ＝p 2，q 2－1＋t ＝q 2，所以p 2，q 2为方程x －1＋t ＝x 的两个实根，即方程x 2－(2t ＋1)x ＋t 2＋1＝0在[1，＋∞)上存在两个不相等的实根，且x ≥t 恒成立．令u (x )＝x 2－(2t ＋1)x ＋t 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，2t ＋12＞1，u (1)≥0，t ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ＞34，t ＞12，(t －1)2≥0，t ≤1，解得34＜t ≤1.故选C.(2)f ′(x )＝4x 3－3ax 2＋2x ＝x (4x 2－3ax ＋2)，函数f (x )＝x 4－ax 3＋x 2－2有且只有一个极值点的充要条件是函数y ＝4x 2－3ax ＋2不存在变号零点，即9a 2－32≤0，解得－423≤a ≤423. 答案：(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－423，423 【方法总结】 一元二次方程根的分布问题实质上是二次函数的零点分布问题．解决这类问题，常常利用与已知的一元二次方程对应的二次函数的图象确定根的分布，所以“三个二次”的关系和二次函数的图象一定要掌握牢固．解决这类问题的突破口主要有：①一元二次方程中Δ的符号：②二次函数图象的对称轴的相对位置；③特定点的函数值符号；④二次函数的图象的开口方向．基本不等式法已知过点P (1,1)作两条直线分别与圆M ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，且P A ，PB 两直线的倾斜角互补，则△P AB 面积的最大值为________．思路点拨：设出直线P A ，PB 的方程，根据P A ，PB 两直线的倾斜角互补，利用根与系数的关系，求出点A ，B 的坐标，确定直线AB 的方程，写出点到直线的距离，借助基本不等式求出最值，进而确定参数的取值，最后求出△P AB 面积的最大值．解析：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设直线P A ：y －1＝k (x －1)，则直线PB ：y －1＝－k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0， 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，所以x A ＝k 2－2k －11＋k 2. 同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，则k AB ＝y B －y A x B －x A ＝2k －k (x A ＋x B )x B －x A ＝1，又k OP ＝1，所以直线AB和OP 一定平行． 设直线AB ：y ＝x ＋b ，则圆M 的圆心到直线AB 的距离d ＝|b |2，所以|AB |＝22－d 2＝22－b 22＝2·4－b 2.因为点P (1,1)到直线AB 的距离d 1＝d ， 所以S △ABP ＝12|AB |·d ＝12|b |·4－b 2＝12b 2(4－b 2)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋4－b 222＝1，当且仅当b 2＝4－b 2，即b ＝±2时取等号． 所以△P AB 面积的最大值为1.故填1.【方法总结】 对于不等式与圆锥曲线的交汇求解最值或范围问题，一般在压轴题第二问出现，本题是对解答题第二问的改编，体现了不等式的应用．这类问题往往是根据题意把要求范围或最值的式子表达出来，再用基本不等式解之即可．基本不等式的识别技巧：看式子的项，其积为定值，一般是看有没有“倒数”形式，然后利用基本不等式消去未知数，得到定值；其和为定值，也就是看有没有“相反数”形式，加减消项，得到定值．建立求解目标不等式(组)的方法(1)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2，若不等式ax －y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) (A)(－∞，4] (B)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 (C)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 (D)[2,4] (2)已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( ) (A)(0,1)(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1 (D)(10，＋∞)(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，过点A 的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，若|PQ |不小于双曲线的虚轴长，则该双曲线离心率的取值范围是________．思路点拨：(1)只要ax －y 在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可；(2)只要1＋lg a 1－lg a在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的值域之内；(3)建立关于双曲线离心率的不等式． 解析：(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2表示的是平面直角坐标系中以点(1,1)，(1，－1)，(2,0)为顶点的三角形及其内部，根据线性规划问题的意义，只要目标函数ax －y 在上述三点处均不大于3即可，所以实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，a ＋1≤3，2a ≤3，解得a ≤32，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.故选B.(2)方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a 有正根，等价于0<1＋lg a 1－lg a <1，解1＋lg a 1－lg a>0，得－1<lg a <1， 解1＋lg a1－lg a <1，即2lg a 1－lg a<0，得lg a <0或lg a >1. 所以0<1＋lg a 1－lg a<1等价于－1<lg a <0， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1.故选C. (3)设F (c,0)，A (－a,0)，则圆心坐标为(c,0)，半径为a ＋c ，设双曲线的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|bc |b 2＋a 2＝b ，则|PQ |＝2(a ＋c )2－b 2≥2b ，故得(a ＋c )2≥2b 2，即c 2－2ac －3a 2≤0，得e 2－2e －3≤0，解得－1≤e ≤3，又e >1，所以所求的双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．答案：(1)B (2)C (3)(1,3]【方法总结】 建立求解目标的不等式(组)，通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题中一个基本方法，很多问题均可使用这个方法解决，如一元二次方程实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等．范围问题的方法和类型远不止上述所论，我们可以全面回顾一轮复习的各个章节，加以补充完善．。

高中数学专题--- 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围； ④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围． 最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C ：()2211x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.求ABP ∆面积的最小值.2. 已知椭圆:C 2214y x +=，过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . 设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值x范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C ：2214x y +=，过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ的取值范围.2. 已知A ，B 为椭圆Γ：22142x y +=的左，右顶点，若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.x3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.。

三角形取值范围问题--归纳总结关于解三角形问题和取值范围有很多题型，总结起来大致可以分为两类。

第一种处理方法使用基本不等式求最值(往往结合余弦定理)，第二种处理方法转化为三角函数求值域(题目强调锐角三角形时用此法)。

需要注意的是基本不等式注意取等条件，三角函数法需要注意角的精确范围(尤其是锐角三角形时角的范围)。

题型1.三角函数和差类型方法：转换成三角函数求值域问题，注意角的范围。

【例1-1】(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.【解析】(1)由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,得cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即cosAcosB=sinB+sinBsinA,即cos(A+B)=-cosC=sinB,∵C=2π3,所以sinB=12得，B=A=π6.（2）由cos(A+B)=-cosC=sinB,得C=π2+B,A+2B=π2,由正弦定理得a2+b2 c2=sin2A+sin2Bsin2C=(2cos2B-1)2+1-cos2Bcos2B=4cos4B-5cos2B+2cos2B=4cos2B+2cos2B-5≥42-5,当且仅当cosB=(12)14时的符号成立，故最小值为42-5.【例1-2】(2022·广州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3，且满足ab sin Ca sin A+b sin B−c sin C= 3.（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值.【解析】(1)由题意得abca2+b2-c2=3,余弦定理得：a2+b2-c2=2ab∙cosC,所以cosC=a2+b2-c22ab=12,又C为△ABC内角，所以C=π3;(2)由题得asinA =bsinB=csinC=2,所以a=2sinA,b=2sinB,所以b=2sinB=2sin(A+π3),所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+3cosA+4sinA=5sinA+3cosA=27sin(A+φ),且tanφ=35,又因为A∈(0,2π3),所以sin(A+φ)max=1,所以b+2a≤27,即b+2a的最大值为27.【训练1】(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）求角B的大小；（2）求cos A+cos B+cos C的取值范围.【解析】(1)∵2bsinA=3a,2sinBsinA=3sinA,∵sinA≠0,∴sinB=32,∵△ABC为锐角三角形，∴B=π3,(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3,∴C=2π3-A,∴cosA+cosB+cosC= cosA+cos(2π3-A)+cosπ3=12cosA+32sinA+12=sin(A+π6)+12,△ABC为锐角三角形，0<A<π2,0<C<π2,解得π6<A<π2,∴π3<A+π6<2π3,∴32<sin(A+π6)≤1,∴32+12<sin(A+π6)+12≤32,∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为(3+12,32].题型2.三角形面积最值方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用).策略一：对边对角型【例2-1】(2021·衡水调研)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C−b−c=0.（1）求A的大小；（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)由acosC+3a sinC-b-c=0,由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC,即sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,可得：3sinAsinC=cosAsinC+sinC,由于C为三角形内角,sinC≠0,所以化简得3sinA-cosA=1,所以sin(A-π6)=12因为A∈(0,π2),所以A-π6∈(-π6,π3),所以A-π6=π6,即A=π3.（2）由2R=asomA=332=2,则bc=2RsinB∙2RsinC=4sinBsin(B+π3)=2(2B-π6)+1,sin因为△ABC是锐角三角形，所以B∈(π6,π2),所以(2B-π6sin)∈(12,1],可得bc∈(2,3],所以S△ABC=12bcsinA=34bc∈(32 ,334],所以△ABC的面积的取值范围是(32,334].【训练2】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa=3cos C c.（1）求角C的大小；（2）如果c=2，求△ABC的面积的最大值.【解析】（1）因为sinAa=3cosCc=sinCc,所以sinC=3cosC,即tanC=3,由C为三角形内角得，C=π3;（2）由余弦定理得4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号，所以ab≤4,△ABC的面积S=12absinC=34ab≤3，即面积的最大值为 3.策略二：对边异角型【例2-2】(2021·瑶海月考)若a，b，c为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2(B+C)=sin B sin C.（1）求角A；（2）若b=2，求△ABC的面积的取值范围.【解析】（1）因为sin2B+sin2C-sin2(B+C)=sinBsinC,所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,因为A为三角形内角，所以A=π3;（2）由题得bsinB=csinC,所以2sinB=csin(2π3-B),c=2sin(2π3-B)sinB=3cosB+sinBsinB=1+3tanB,因为锐角△ABC中，0<B<π20<2π3-B<π2,所以π6<B<π2,故tanB>33,0<1tanB<3,S△ABC=12bcsinA=34×2×(1+3 tanB)=32+32tanB∈(32,23).【训练3】(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A+C2=b sin A.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）asin A+C2=bsinA,即为asinπ-B2=acosB2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA=2sin B2cos B2sinA,∵sinA>0,∴cos B2=2sin B2cos B2 ,若cos B2=0，可得B=(2k+1)π,k∈Z不成立，∴sin B2=12,由0<B<π,可得B=π3;(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,由余弦定理可得b=a2+1-2a∙1∙cosπ3 =a2-a+1,由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a +1>a2,且1+a2>a2-a+1,解得12<a<2,可得△ABC面积S=12a∙sinπ3 =34a∈(38,32)策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例2-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+12a=c.（1）求角B的大小；（2）若AC边上的中线BM的长为3，求△ABC面积的最大值.【解析】（1）因为bcosA+12a=c,由正弦定理可得sinBcosA+12sinA=sinC,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以12sinA=sinAcosB,又A为三角形内角，sinA>0,所以cosB=12,因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)如图，延长线段BM至D，满足BM=MD,连接AD，在△ABC中，BD=2AM =23,AD=a,AB=c,∠BAD=π-B=2π3,由余弦定理，有232=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac,解得ac≤4,当且仅当a=c=2时取等号，所以S△ABC=12acsinB≤12×4×32=3,当且仅当a=c=2时等号成立，即面积的最大值为 3.AB C DE M【训练4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m=cos A 2,3sin A 2 ,n =−2sin A 2,2sin A2 ,且m ·n =0.（1）求角A 的大小；（2）点M 是BC 的中点，且AM =1，求△ABC 面积的最大值.【解析】（1）m ∙n =0,∴-2sin A 2cos A 2+23sin 2A 2=0,即-sinA +23×1-cosA2=-sinA -3cosA +3=0,即sinA +3cosA =3,即2sin (A +π3)=3，得sin (A +π3)=32,即A +π3=2π3,得A =π3.（2）∵点M 是BC 的中点，且AM=1，∴AM =12(AB +AC ),平方得AM 2=14(AB 2+AC 2+2AB ∙ AC ),即4=c 2+b 2+2bc ×12=c 2+b 2+bc ≥2bc +bc =3bc ,即bc ≤43,当且仅当b =c 时取等号，则△ABC 面积S =12bcsin π3=12×32bc ≤34×43=33,即三角形面积的最大值为33.题型3.三角形周长取值范围方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用)策略一：对边对角型【例3-1】(2020·全国Ⅱ卷)在△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.=-12,【解析】（1）因为BC2-AC2-AB2=AC∙AB,所以cosA=AC2+AB2-BC22AC∙AB因为A∈(0,π),所以A=2π3.（2）由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC∙ABcosA=AC2+AB2+AC∙AB=9,)2（当且仅当AC=AB时取等即（AC+AB）2-AC∙AB=9,AC∙AB≤(AC+AB2)2=34(AC+AB)2,解号），9=(AC+AB)2-AC∙AB≥(AC+AB)2-(AC+AB2得AC+AB≤23（当且仅当AC=AB时取等号），所以△ABC周长L=AC+ AB+BC≤3+23,周长的最大值为3+2 3.【训练5】(2021·江西模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a cos B=(2c−b)cos A.（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且a=1，求△ABC周长的取值范围.【解析】（1）法一：由题意得a cosB+b cosA=2c cosA;由正弦定理得sinAcosB +sinBcosA=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA;又sin(A+B)=sinC,所以sinC=2sinC cosA.又sinC≠0,所以cosA=12;又0<A<π,所以A=π3.解法二：结合余弦定理a×a2+c2-b22ac =(2c-b)×b2+c2-a22bc,化简得b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12;又0<A<π,所以A=π3.(2)由正弦定理得asinA =bsinB=csinC,且a=1,A=π3,所以b=233sinB,c=233sinC;所以a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+233[sinB+sin(2π3-B)]=1+2sin(B+π6).因为△ABC为锐角三角形，所以得0<B<π20<2π3-B<π2 ,解得π6<B<π2.所以1+2sin(B+π6)∈(1+3,3];即△ABC周长的取值范围是(1+3,3].策略二：对边异角型【例3-2】(2021·衡水模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sin A+a sin B=2 3.（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围【解析】（1）因为asinA =bsinB=csinC,所以asinB=bsinA,所以sinA+asinB=sinA+bsinA=4sinA=23,所以sinA=32,△ABC为锐角三角形，所以A=π3.（2）由题可得：asinA =bsinB=csinC,a=332sinB,c=3sinCsinB,a+c+3=332+3sinCsinB+3=332+3sin(2π3-B)sinB+3,所以周长=332+3(32cosB+12sinB)sinB+3=332∙1+cosBsinB+9 2=332∙1+2cos2B2-12sin B2cos B2+92=332∙1tan B2+92.又因为△ABC为锐角三角形，所以B 2∈(π12,π4)所以tan B2∈(2-3,1),所以1tan B2∈(1,2+3),所以(9+332,9+33).【训练6】(2021·江苏模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，2b sin A sin(A+C)=3a sin B.（1）求角B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）∵2bsinAsin(A+C)=3asin2B,∴由正弦定理得：2sinBsinAsin(A +C)=23sinAsinBcosB,∵A+C=π-B,且sinA≠0,sinB≠0,∴sinB= 3cosB,∴tanB=3,∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由题意B=π3,c=2,可得S△ABC =12acsinB=3a2,由正弦定理得：a=csinAsinC=2sin(120°-C)sinC =3tanC+1,又△ABC为锐角三角形，可得0<A<90°,0<C<90°,故30°<C<90°,所以1<a<4,从而32<S△ABC<23,即△ABC面积的取值范围是(32,23).策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例3-3】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cos B+b cos C= 2a cos A,M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是.【解析】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cosB+b cosC= 2acosA,利用正弦定理：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,所以：sin(B+C) =sinA=2sinAcosA,由于：sinA≠0,所以cosA=12,0<A<π,故A=π3,因为M为BC的中点，且AM=1，所以可设BC=2x，则(2x)2=b2+c2-2bccosA,故2x2=b2+c2-bc2,利用余弦定理得c2=12+x2-2xcos∠BMA①，同理：b2=12+x2-2x∠CMAcos②由①②得：b2+c2=2+2x2,所以：b2+c2=c2+b2-bc2+2,故：(b+c)2=4+bc,整理得：(b+c)2≤4+(b+c2)2,解得0<b+c≤433,故答案为433.【训练7】(2022·石家庄模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若c cos B +b cos C =2a cos A ,AM =23AB +13AC，且AM =1，则b +2c 的最大值是.【解析】由ccosB +bcosC =2acosA ，得sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA =2sinAcosA ,可得cosA =12,A =π3,因为AM 2=(23AB +13AC )2=49c 2+19b 2+49bccosA =3,所以b 2+4c 2+2bc =27⇒(b +2c )2-2bc =27⇒(b +2c )2=27+2bc ≤27+(b +2c 2)2,当且仅当b =2c 取等号，得34(b +2c )2≤27⇒b +2c ≤6．b +2c 的最大值为6. 故答案为：6.【训练8】(2022·江苏模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =3b =4c ，若sin2A ≤λ(sin B +sin C )恒成立，则λ的最小值为()A .−1114B .127C .−1124D .−712【解析】设2a =3b =4c =12t (t >0),则a =6t ,b =4t ,c =3t ,sin 2A ≤λ(sinB +sinC )恒成立，即λ≥sin 2A sinB +sinC 恒成立，sin 2A sinB +sinC =2sinAcosA sinB +sinC =2a b +c ∙b 2+c 2-a 22bc =6t7t ∙16t 2+9t 2-36t 212t 2=-1114,以λ≥-1114,所以λ的最小值为-1114.故选：A.【训练9】(2022·甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=.【解析】设BD=x,CD=2x,在三角形ACD中，b2=4x2+4-2∙2x∙2∙cos60°,可得：b2=4x2-4x+4,在三角形ABD中,c2=x2+4-2∙x∙2∙cos120°,可得：c2=x2+2x+4,要使得AC AB 最小，即b2c2最小，b2c2=4x2-4x+4x2+2x+4=4(x2+2x+4)-4x-12x2+2x+4=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12x+1+3x+1≥4-1223,当且仅当x+1=3x+1,即x=3-1时，取等号，故答案为：3-1.【训练10】(2022·深圳模拟)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2+6bc cos A=11c2,则角B的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.3π4【解析】由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，代入9b2+6bc cosA=11c2,得9b2+3(b2+ c2-a2)=11c2,整理得b2=112(3a2+8c2),cosB=a2+c2-b22bc =a2+c2-112(3a2+8c2)2ac=34a2+13c22ac≥234×13ac2ac=12,当且仅当9a2=4c2时取“=”，又因为B∈(0,π),所以B≤π3,故选：C.【训练11】(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°.BC =2，则AB的取值范围是.【解析】方法一：如图所示，延长BA,CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=12x，AE=22x，DE=6+24x,CD=m,∵BC=2,∴(6+24x+m)sin15°=1,∴6+24x+m=6+2,∴0<x<4,而AB=6+24x+m-22x=6+2-22x，∴AB的取值范围是(6-2,6 +2).故答案为：（6-2,6+2）.方法二：如下图，做出底边BC=2的等腰三角形EBC ，B =C =75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB 、EC 与A 、D ，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为6-2;②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为6+2;故答案为：(6-2,6+2).m12x 6+24x 22x。

集合求参数的取值范围技巧在数学和物理等学科中，我们经常遇到需要求解参数的取值范围的问题。

这些问题包括方程的解集、不等式的解集等等。

本文将介绍一些集合求参数取值范围的常见技巧，希望对读者有所帮助。

一、方程的解集在求解方程的解集时，我们常常需要确定参数的取值范围。

以一元二次方程为例，假设方程为 ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c均为已知常数，x为未知数。

我们可以利用二次函数图像的性质来求解方程的解集。

当且仅当二次函数图像与x轴有交点时，方程才有实数解。

首先，我们可以根据二次函数的开口方向和对称轴的位置来判断方程是否有解。

如果a>0，二次函数图像开口向上，对称轴在图像下方，方程有两个实数解。

如果a<0，二次函数图像开口向下，对称轴在图像上方，方程没有实数解。

其次，如果方程有解，则对称轴必定在x轴的上方或下方。

以二次函数的顶点坐标（h，k）为中心，向上画一条与x轴平行的直线。

如果该直线与二次函数图像有交点，说明方程有解；如果该直线与二次函数图像没有交点，说明方程无解。

因此，我们可以通过求解方程f(x) = k来确定参数的取值范围。

二、不等式的解集当求解不等式的解集时，我们也常常需要确定参数的取值范围。

不同类型的不等式有不同的解法，下面我们以一些常见的不等式类型进行讨论。

1. 一元一次不等式对于一元一次不等式，我们可以通过移项变换和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为ax + b > 0。

首先，我们可以通过移项变换将不等式转化为等价的形式，即 ax > -b。

然后，我们根据a的正负来确定解集。

如果a>0，则x > -b/a，解集为(-b/a, +∞)；如果a<0，则x < -b/a，解集为(-∞, -b/a)。

2. 一元二次不等式对于一元二次不等式，我们可以通过求解二次函数的解集和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为 ax^2 + bx + c > 0。

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

高中数学解题方法系列：导数解参数问题的八种策略现探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。

策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x 的范围，求a 的范围：结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.案例1、若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：)0(12)(>+='x xax x f 依题意方程120ax x +=在()0,+∞内有解，即)0,()0(212-∞∈⇒>-=a x xa 案例2、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 分析：由题意可知02)(≤++-='x bx x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-， 案例3、设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-分析：'()3axf x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30axf x ae=+=有正根。

高中数学-求参数范围问题方法及针对性练习一、变换“主元”思想，适用于一次函数型处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题 降次、简化。

例1.对于满足0 P 4的一切实数 p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围.分析：习惯上把x 当作自变量，记函数 y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p 0,4时y>0恒成立，求x的范围•若把x 与p 两个量互换一下角色，即 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在［0,4］内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.1 .71.3答案:］上恒有f(x) 0的充要条件为f( )°。

f( ) 0二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离， 即使变量和参数分别位于不等式的左、 右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

2例1 .若对于任意角 总有sin2 mcos 4m 1 0成立，求 m 的范围.(注意分式求最值得方法)2分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos 4) cos又cos 0，则原不等式等价变形为2m2 2COS , 一 _cos恒成立.即2m 必须小于的最小值，问题化cos 2cos 2归为求2COS cos 22COS cos 22(cos 2) 4(cos 2)4cos 2解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3 ，当 x=1显然不满足题意•由题设知当0 p 4时f(p)>0恒成立,••• f(0)>0,f(4)>0 即 x 2-4x+3>0 且 x 2-1>0，解得x>3或x<-1 . • x 的取值范围为 x>3或x<-1 .例2 .对任意a ［1,1］，不等式 (a 4)x2a 0恒成立，求x 的取值范围。

高三｜函数题中求参数的取值范围有7种类型，你掌握了吗？
高考函数题中求参数的范围往往具有知识点容量大、能力要求高等特点，它能够综合考察数学知识、数学思想与数学方法，对考生灵活运用所学知识解决实际问题的能力以及创新能力的要求较高。

因此解高考能力题没有一种“放之四海而皆准”的统一方法，即使这样，我们可以夯实基础，突破难点，归纳概括总结对其进行研究。

当我们对数学知识、数学思想方法的学习和运用达到了一定水平时，应该把一般的思维升华到策略的境界。

只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题，增强应试的信心。

函数题中求参数范围大概有：
1.单元参数和多元参数恒成立求参数范围；
2.由零点个数求参数范围；
3.分类讨论思想求参数范围；
4.数形结合思想求参数范围；
5.用最值求参数范围；
6.用变换主元法求参数；
7.逻辑联结词不等式恒成立求参数范围.。

利用导数求参数的取值范围一•已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 •参数放在函数表达式上例1. 设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R •⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值.⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上2例3•已知f(x) x3ax2bx c在x 与x 1时都取得极值3(1)求a、b的值及函数f (x)的单调区间.(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) C2恒成立，求c的取值范围.23. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2类型2 .参数放在区间上例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f (x)在x=3处有极值.(1) 求f (x)的解析式•( 2)当x (0,m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围.分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9' 2(2) .f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3)由f (x) 0得X1丄必 3当x (0,1)时f (x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 93 3当x 』,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 03所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]基础训练：4. 若不等式x4 4x3 ________________________________________ 2 a对任意实数x 都成立，则实数a的取值范围是___________________________________________________ .三.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围.例5•已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1, x 1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式.⑵若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y= f (x)的三条切线，求实数m的取值范围略解⑴求得f (x) x3 3x⑵设切点为M(x0,x3 3x0),因为f (x) 3x2 3所以切线方程为y m (3x2 3)(x 1),又切线过点M所以x3 3x0 m (3x2 3)(x01)即2x3 3x(2 m 3 0因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于X。

高一数学解题技巧：几何中求参数取值范围学习是劳动，是充满思想的劳动。

查字典数学网为大家整理了高一数学解题技巧：几何中求参数取值范围，让我们一起学习，一起进步吧！一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若 12 2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S 的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 2 ∴1 tanθ4又∵0≤θ≤π∴π4 p例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a0B a≤2C 0≤a≤2D 0 p分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2) 由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2 p三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)若P在曲线外，则f(x0,y0)可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。

高一数学专题讲解集合问题中求参数的取值范围（一）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心一、第一种题型： 【题型】：已知集合}|{b x a x A ≤≤=（其中a ，b 为实数，在具体题目中a ，b 两个实数的值是已知的），集合)}()(|{m g x m f x B ≤≤=（其中m 为参数，在具体的题目中参数m 是未知的，)(m f 、)(m g 都是关于参数m 的代数式），且满足B A ⊆。

求：参数m 的取值范围。

【解法】：第一步：画出数轴，在数轴上标出集合A 的区间，如下图所示：第二步：解析：B A ⊆：（1）、B A ⊆，表示集合A 中的所有元素都在集合B 中；（2）、B A ⊆，表示在数轴上集合B 的区间包含集合A 的区间，如下图所示：第三步：根据条件：B A ⊆在数轴上画出集合B 的区间，如下图所示：第四步：初步确定关于参数m 的不等式组。

根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式： a m f <)(（1） b m g >)(（2）第五步：确定两个不等式是否可以取等号。

（1）、当a m f =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：a m f =)(成立。

（2）、当b m g =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：b m g =)(成立。

第六步：最终确定关于参数m 的两个不等式。

因为：题目已知)}()(|{m g x m f x B ≤≤=； 所以：得到第三个不等式：)()(m g m f ≤。

根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式： a m f ≤)( （1） b m g ≥)( （2） )()(m g m f ≤（3）第七步：解不等式组，得到参数m 的取值范围。

首先解每一个不等式，然后对三个不等式的解在数轴上求交集。

高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。

常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈−，[],y b b ∈−② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b−=>为例），则(],x a ∈−∞−（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。

若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。

（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。

3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 是其左右焦点，离心率为3，且经过点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1AQ 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；解：（1）3c e a ==::a b c ∴=∴椭圆方程为：222213x y b b +=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A − 设(),Q x y ， 则k =2A Q k =22212A Qy k k x ∴⋅==− Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=−2221123A Qy k k x ∴⋅==−− 213A Q k k∴=−11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴−∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB −<t 的取值范围 解：（1）2c e a ==::a b c ∴= 2EGF 的周长4C a a ==⇒=1b ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =−，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x yOA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩ 联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y =−⎧⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩ ()()()22228412820k k k ∴∆=−+−>，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+−=−=−+++()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=−⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+ 由条件25PA PB −<可得：25AB <123AB x ∴=−<()()22121220149kx x x x ⎡⎤∴++−<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k −+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫−+−⋅<⇒−+>⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴>211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22221618=16,411232k t k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 262,,233t ⎛⎫⎛⎫∴∈−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,EF （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴=由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a =1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBFx S x Sx x ∴==联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=−+>⇒>12122286,01212k x x x x k k+=−=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x k x x k x x x x k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBFS S⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a ==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切O l d b −∴== b ∴= 3a c = 22222b a c c ∴=−=即21c =，解得1c =a ∴=221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =−线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M2PM MF ∴=即12M l d MF −=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。

利用导数求参数的取值范围方法归纳导数在数学中广泛应用，它可以表示函数的变化率。

在求取参数的取值范围时，可以利用导数的性质来推导出函数与参数之间的关系。

下面将介绍利用导数求参数取值范围的一些常见方法。

一、利用导数判断函数的单调性：考虑函数$f(x)$的单调性，可以使用导数来帮助我们判断。

如果函数$f(x)$在其中一区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数恒小于零，那么函数递减。

1.对于一元函数$f(x)$，可以计算其导数$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$，将问题转化为求解函数的极值点。

如果求解出的极值点满足题目给定的参数范围条件，则参数的取值范围就是极值点的区间。

2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。

然后计算$g'(x)$，利用一元函数的方法来判断参数的取值范围。

3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数，从而转化为一元函数的问题。

二、利用导数判断函数的极值：考虑函数$f(x)$的极值情况，可以求取其导数$f'(x)$，然后判断导数的正负性。

1.对于一元函数$f(x)$，如果导数$f'(x)$在特定点$x_0$处为零，并且$x_0$处的导数的左右性质相异，那么函数在$x_0$处取得极值。

2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。

然后计算$g'(x)$，判断导数的正负性来确定参数的取值范围。

3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数。

然后再对求得的一元函数进行求导判断极值。

三、利用导数判断函数的凸凹性：考虑函数$f(x)$的凸凹性质，可以使用导数$f''(x)$来判断。