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⎛ ⎜ ⎜
a12 a22
⎜⎝ a32
⎞
⎟ ⎟⎟⎠
,
β3
=
⎛ ⎜ ⎜
a13 a23
⎜⎝ a33
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
为棱的平行六面体的体积。即
D = ( β1 × β2 )iβ3 = ( β1, β2 , β3 )
混合积
β3 D
β2
β1
例2
11 1
求解方程 2 3 x = 0.
4 9 x2
解 方程左端 D = 3x2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x2 − 12 = x2 − 5x + 6,
,
⎜⎝ a31 ⎟⎠
⎛ a12 ⎞ ⎛ a13 ⎞ ⎛ b1 ⎞
β
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
,
γ
=
⎜ ⎜
a23
⎟ ⎟
,
δ
=
⎜ ⎜
b2
⎟ ⎟
,
⎜⎝ a32 ⎟⎠
⎜⎝ a33 ⎟⎠
⎜⎝ b3 ⎟⎠
方程(1.2) 两边同时与
作内积消去 y, z , 得到
当
时得
类似地可以得到
y,
z
的表达式:
y
=
δ i(γ β i(γ
aij , i为行标；j为列标，2阶行列式包含2行2列4个元素。
二阶行列式的计算 对角线法则 P60
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 = a11a22 − a12a21 .
a22
2阶行列式与2阶矩阵不同，它是一 个数，不是数表；
它的值按式右端的代数式求得。
二阶行列式的几何意义 Δ = a11 a12
D= an1
a1n
a2,n−1
( ) =
−1 τ ⎡⎣n(n−1)
a a 21⎤⎦ 1n 2,n−1
an1
=
(−
)n(n−1)
12
λ1λ2
λn .
4
解 含 x3 的项有两项,即
求 x3 的系数.
x1 1 2
f (x)= 1 x 1 −1
32 x 1 1 1 2x 1
( ) ( ) 对应于 −1 τ (1234) a11a22a33a44 + −1 τ (1243) a11a22a34a43
( ) −1 τ (1234) a11a22a33a44 = x3 ( ) −1 τ (1243) a11a22a34a43 = −2 x3
故 x3 的系数为 − 1.
定理2.2 n阶行列式也可定义为
P65
∑ D =
( −1) a a τ (i1 i2 i n ) i1 1 i2 2
( i1 i2 in )
y
=
α i(δ α i(β
×γ ×γ
) )
,
z
=
α i(β α i(β
×δ ×γ
) )
记
a11 a12 a13
分母是方程组
D = a21 a22 a23 = α i( β × γ ) 的系数行列式
x = D1 D
a31 a32 a33
b1 a12 a13
a11 b1 a13
( ) D1 = b2 a22 a23 = δ i( β × γ ) , D2 = a21 b2 a23 = α i δ ×γ
例1 求解二元线性方程组
⎧ ⎨ ⎩
3 x1 − 2 2 x1 +
x2 x2
= =
12, 1.
解
3 D=
− 2 = 3 − (−4) = 7 ≠ 0,
可用行列式 表示解
21
12 −2 D1 = 1 1 = 14,
3 12
D2 = 2
= −21, 1
∴
x1
=
D1 D
=
14 7
=
2,
x2 =
D2 D
= − 21 = −3. 7
若记
D = a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12a21,
D1=
b1 b2
a12 a22
= b1a22 − a12b2 ,
a11 D2= a21
系数行列式
b1 b2
= a11b2 − b1a21
分子是2阶 行列式D1 ,D2 x = D1 , y = D2 , D ≠ 0. DD
1
2、三阶行列式
P61
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
(6)
a31 a32 a33
− a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31,
0 a22
a2n = a11a22 ann .
例3 计算反对角行列式
D=
λ2
λ1
∑ D=
(−1) a a a τ( j1,j2 jn)
1j1 2 j2
njn
( j1, j2 jn)
00
ann
例2 计算对角行列式
a11 0 0 a22
0 0 = a11a22 ann .
00
ann
λn 解 若记 λi = ai,n−i+1, 则依行列式定义
由 x2 − 5x + 6 = 0 解得 x = 2 或 x = 3.
三元一次方程组的几何意义
⎧⎪a11 x ⎨a21 x
+ +
a12 a22
y y
+ +
a13 z a23z
= b1 = b2
⎪⎩a31 x + a32 y + a33z = b3
可写成
(1.2)
其中
α
=
⎛ ⎜ ⎜
a11 a21
⎞
⎟ ⎟
b3 a32 a33
a31 b3 a33
y = D2 D
z = D3 D
D≠0
a11 a12 b1
D3 = a21 a22 b2 = α i( β × δ ) 分子是3阶 行列式D1 ,D2，D3,
a31 a32 b3
例4 利用行列式，求解三元线性方程组
P61
⎧2x − 3 y + 2z = −3
⎪ ⎨
3排在首位, 逆序数为0; 2的逆序数为1; 5的逆序数为0; 1的逆序数为3; 4的逆序数为1; 于是排列32514的逆序数为
τ (32514) = 0 +1+ 0 + 3 +1 = 5
例4 求自然排列 12345的逆序数.
解 τ (12345) = 0
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
a in n
即在列标为自然序排列时，由行标排列的逆序数决定其
符号。
小结
∑ (1) D =
(−1) a a τ ( j1, j2 jn ) 1 j1 2 j2
a nn
为方阵A的行列式，称为n阶行列式。n阶行列式是一个数， 其值按如下代数式计算：
∑ A =
(−1) a a a τ ( j1, j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
( j1 , j2 jn )
其中和号∑是对12…n的所有n级排列求和(共 n!项 ) .
用定义计算n阶行列式:
n阶行列式 A= (aij )n×n
−3 −3 2
2 −3 2
2 −3 −3
D1 = 0 4 −3 = 22, D2 = 1 0 −3 = 32, D3 = 1 4 0 = 50
1 −1 −1
3 1 −1
3 −1 1
方程组的解可表为
克莱姆法则
定义2.2 在排列 j1 j 2
P63
j n 中，数 j1前面比j1
大的数字的个数，称为 j1 的逆序，数 j2前面比j2
大的数字的个数，称为 j2 的逆序，…，数 jn前 面比 jn大的数字的个数，称为 jn的逆序。 所有这n个数的逆序之和称为该排列的逆序数，
记作 τ ( j1, j2, , jn ) 。
简言之： 算出排列中每个元素的逆序数，再累加起来
即为所求排列的逆序数.
例3 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
×α ) ×α ) ,
z
=
δ i(α × β ) γ i(α × β )
α i(β ×γ ) = β i(γ ×α ) = γ i(α × β )
2
三元线性方程组解的表示
⎧⎪a11 x ⎨a21 x
+ +
a12 y a22 y
+ a13z + a23z
= b1 = b2
⎪⎩a31x + a32 y + a33z = b3
a21 a22
(1.1)
消元: 方程(1.1)两边与
作内积消去y, 得
其中
OAi OB′
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 a21
⎞⎟i⎛⎜ ⎠⎝
a22 −a12
⎞ ⎟ ⎠
=
a11a22
−
a12a21
≠
0,
OC
iOB′
=
⎛ ⎜ ⎝
b1 b2
⎞⎟i⎛⎜ ⎠⎝
a22 −a12
⎞ ⎟ ⎠
=
b1a22
−
a12b2
,
于是
x = b1a22 − a12b2 ， 同理得
