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线性代数第一章课件§7

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线性代数课件 第一章

线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组

线性代数课件第一章 行列式

线性代数课件第一章 行列式

an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6

线性代数第一章课件,数学

线性代数第一章课件,数学

n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11

《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第七节 克拉默法则

《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第七节 克拉默法则
定理 2′如果齐次线性方程组(2)有非零
解,则它的系数行列式必为零.
三、 举例
例 16 讨论 为何值时, 线性方程组
x1
x1

x2
x2
x3 x3
1
, ,
x1 x2 x3 2
有唯一解, 并求出其解.
解 方程组的系数行列式
例 17 问 取何值时, 齐次线性方程组
(5 )x 2 y 2z 0,
单击这里求解
本本若若请请本本若若请请本若请节节想想本单单若请节节想想本单单若请节想本单若内内请结结节击 击想本单若内内请结结节击 击想本单若内请结节击想本容 容单若束 束内请返 返结节击想本容容单若束束内请返 返结节击想本容单若束内请返结节已 已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已已击想本本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结 结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结结请返结堂堂节已击想按 按本本 本 本容单若 若 若回束内结请 请 请返结本堂若节已击想按本请本 本容束 束单若 若回束课 课内结请 请返结钮 钮堂节已击想按本容束束单回束课课内结返结钮 钮堂节 节 节已击想想 想按本容束单 单单回束节课想内结返结钮堂单节 节已击想想按本,,容束单单回束课..内结!!返结钮堂已击按本,,容束回束课..内 内 内结!!返结结 结钮堂已击 击击按本内,结容束回束课.击内 内结!返结结钮堂已击击按本,容束回束课.结!返钮堂已按本,容 容 容束回束 束束课.结!返返 返钮堂容束已按本,返容 容束回束束课.结!返返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已 已 已按本 本本,束回回回课.已本结!钮堂回已 已按本本,束回回课.结!钮堂按,束课.结 结 结!钮堂堂堂按按按,结堂束课.按结结!钮堂堂按按,束课.!钮,束束束课课.课!钮钮钮束课,钮束束课课.!钮钮,.!,,,...,!!!.,,!..!!

线性代数7PPT课件

线性代数7PPT课件

向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为 该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向 量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩 阵是对称的，那么这个二次型是 实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是正定的，那么这个二 次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是半正定的，那么这个 二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多 线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如 果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也 是A的特征值；如果x是A的对应于λ的 特征向量，那么kx也是A的对应于λ的 特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和 振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地 研究线性代数，并为其建立了基础。

线性代数第一章行列式课件

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

线性代数第一章ppt

线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。

线性代数课件1-7克拉默法则


克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。

大学课程大一数学线性代数上册7.矩阵的初等变换课件


aMin caMi1
cai 2 M
L
amn am1 am2 L
类似可证 AEi (c) 相当于给 A 的第 i 列乘以非零数 c:
a1n
M
cain M
amn
8
第i列
第i行
1
O
1
k
O
1
O
第j列
a11 a12 L
M
M
ai1 M
ai 2 M
L
a
j1
aj2
L
M M
1 am1 am2 L
第i列 第j列
或看作是将 I 的第 j 列 的 k 倍加到第 i 列.
6
3) 交换单位矩阵 E 的第 i 行与第 j 行(或交换 E 的第 i 列 与第 j 列):
1 Ei, j
1 0 1
1
第i列
1
1
0
1
1
第j列
第i行 第j行
7
➢ 如果矩阵 A 经过一次初等变换变为 B, 那么 A 与 B 之间 究竟有何种关系?
1
Ei, j ()1 Ei, j ().
1
1
第i行
第j行
第j列
1
14
1 Ei, j
a11 a12
a11 a12
例如 a21
a22
r2
a21
a22
,
a31 a32
a31 a32
消法变换：将一行的 倍加到另一行
ri+rj rj
a11 a12
a11 a31 a12 a32
例如
a21
a22
r3 r1
a21
a22

线性代数第一章第7节PPT教学课件


解
11 1 1
12 3 4 D
1 4 9 16
1 8 27 64
(41)(42)(43)(31)(32)(21)12
1 11 1
11 11
5 23 4
D1 25
4
9
12 16
125 8 27 64
,
11 1 1
15 34
D2 1 25
48 9 16
1 125 27 64
11 1 1
12 5 4
, D3 1 4
25
72 16
1 8 125 64
12 3 5
D4 1 4 9
48 25
1 8 27 125
,
x 1 D D 1 1 , x 2 D D 2 4 , x 3 D D 3 6 , x 4 D D 4 4
三、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
“没有非零解”即“只有零解”
定理3 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D0 a11x1a12x2a1nxn0 a 2 1x1 a2 2x2 a2 nx n 0 an1x1an2x2annxn0
有非零解.
例2 问 取何值时，齐次方程组
3x1x2x3 2x2x3
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
PPT教学课件
谢谢观看
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的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
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an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组;
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组。
13
up
down
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
定理5’ 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系 数行列式必为零.
20
up
down
定理5’ 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0 （见第三章证明）
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2 a2n xn
1 1 0
1 1 0 0
(2) M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 1 1
13
21
1 5 2 1
0 5 r4 r3 1 1 0 5 0
13
1 31 3
1 4 1 3
0 1 0 0
9
up
down
§7 克拉默法则
一、克拉默法则 二、几个重要的定理 三、小结 思考题
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
29
up
down
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
nn
15
up
down
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
24
up
down
例2 问λ 取何值时，方程组 有非零解？
1
2
x1 x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
1 2 4 1 3 4
解 D 2 3 1 2
1
1
1
1 1 1
0 1
1 3 3 41 21 3
a21 x1
a22
x2
a2n xn
b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
14
up
down
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
81,
2 8 5 1
1 9 0 6 D2 0 5 1 2
1 0 7 6
108,
23
up
down
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
18
up
down
二、重要定理
定理4 如果线性方程组1的 系数行列式 D 则0, 一定1有 解,且解是唯一的 .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22
x2
a2n xn
b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
定理4’ 如果线性方程组 1无 解或有两个不同的
解：
1111
11
(1)
A11 A12 A13 A14
1
3
0 5 r4 r3 1 3 r3 r1
2 4 1 3
8
up
down
说明：此例利用了余子式与aij的值无关，而只与下标有关。
r4 r3 r3 r1
1 111
1 1 5
1 1 0 5 (1)13 2 2 2 4 .
2 2 0 2
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解. 25
up
down
解法2
1
2
x1 x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
1 2 4
x1 x2 1 x3 0,
c2 c1
D 2 3 1
1
1 1 c3 (1 )c1
?
分析： Ai1 Ai2 Ai3 Ain
ai1,1
1 Ai1 1 Ai2 1 Ai3 1 Ain 1
a1n
ai 1,n 1
同理
b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j bn Anj
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n
ai1,1
an1
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
21
up
down
例1 用克拉默法则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
D1 , D
x2
D2 , D
x3
D3 ,L D
, xn
Dn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
ai 1,n
ann
an1 an, j1 bn an, j1 ann
7
up
down
例：
3 5 2 1
设
1 D
1
0 5 , D的（i , j）元的余子式和代
1 3 1 3 数余子式记为Mij与Aij，求:
2 4 1 3
(1) A11 A12 A13 A14
(2)M11 M21 M31 M41
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
1 1 3 2
27
up
down
3 5 21
3 3 21
43 D1 11 6 1
0 1
4 67 , 13
04 D2 1 11 6
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11
ai1 a j1 A j1 a jn A jn
a j1
an1
a1n
ain ,
a jn
ann
4
up
down
把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
a11 a1n
ai1 ai1 Aj1 ain Ajn
元素除
a
外都为零，那末这行列式等于
ij
aij
与它的
代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
2
up
down
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
证
a11
a12
M
M
i 1,2, ,n
10
up
down
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
11
up
down
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
22
up
down
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 3
27,
7 2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
解，则它的系数行列式必为零.
19
up
down
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x
2
a2
xn n 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理5 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D , 0 则齐次线性方程组(2)没有非零解.
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0