高二理科数学《相似三角形的判定及性质》

三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形，具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。

本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。

它们的边长之比相等，并且对应角度相等。

考虑两个三角形ABC和DEF，若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则称这两个三角形相似。

相似三角形有以下性质：1. 对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边长比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。

3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为：AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。

二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法（SAS法）：如果两个三角形的两条边的比值相等，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形相似。

根据这个方法，可以判定两个三角形是否相似，但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。

2. 角-角-角（AAA）法：如果两个三角形的三个角度分别相等，那么这两个三角形相似。

由于一个三角形的内角和为180度，所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。

但是需要注意，AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性，还需要验证其他条件。

3. 角-边-角（ASA）法：如果两个三角形的一对角度相等，并且夹在两条相等边之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。

4. 边-角-边（SAS）法：如果两个三角形的一对边比值相等，并且两条边之间夹角相等，那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的应用1. 比例定理：相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。

例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。

2. 测量不可达长度：当实际中无法直接测量到物体的长度时，可以利用相似三角形的性质来计算。

通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长，再利用比例关系计算出不可达长度。

相似三角形的基本定义与性质相似三角形是中学数学中一个非常重要的概念。

在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。

本文将介绍相似三角形的基本定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形的知识。

1. 基本定义：相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边线之比相等。

换句话说，如果两个三角形的三个角度分别相等，且三边之比相等，那么它们就是相似三角形。

例如，若三角形ABC和三角形DEF的对应角度分别是∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且边线之比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似三角形。

2. 性质一：相似三角形的对应边线比例相等如果两个三角形相似，那么它们的对应边线之比相等。

也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

这一性质在实际应用中非常有用。

例如，当我们在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用相似三角形的边线比例来计算实际距离。

3. 性质二：相似三角形的对应角度相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。

也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

这一性质使我们能够根据已知的相似三角形，推导出其他角度的大小关系。

例如，如果我们已知两个三角形相似，且其中一个角度的大小，就可以通过对应角度相等的性质，计算出其他角度的值。

4. 性质三：相似三角形的边线比例等于对应边线的平方如果两个三角形相似，那么它们的边线比例等于对应边线的平方。

也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。

这一性质可以应用于解决各种问题。

例如，当我们已知三角形的某一边线比例，可以利用相似三角形的边线比例等于对应边线的平方的性质，计算其他边线的比例。

综上所述，相似三角形的基本定义与性质已经介绍完毕。

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。

相似三角形的性质与定理相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

掌握相似三角形的性质与定理对于解决几何问题具有重要意义。

本文将介绍相似三角形的基本性质、判定方法以及一些重要的相似三角形定理。

一、相似三角形的基本性质1. 成比例边性质：若两个三角形相似，则它们的对应边成比例。

2. 对应角性质：若两个三角形相似，则它们的对应角相等。

3. 对应边比例相等性质：若两个三角形对应角相等，则它们的对应边成比例。

二、相似三角形的判定方法1. AA相似法则：若两个三角形的对应角相等，则它们相似。

证明：设∠A≌∠D，∠B≌∠E，通过辅助线段可以证明∠C≌∠F，进而得出三角形ABC与三角形DEF相似。

2. SSS相似法则：若两个三角形的对应边成比例，则它们相似。

证明：设AB/DE = BC/EF = AC/DF，通过辅助直线可以证明∠A≌∠D，∠B≌∠E，∠C≌∠F，进而得出三角形ABC与三角形DEF相似。

三、相似三角形的重要定理1. 直角三角形的两个直角边与斜边上对应的角相等，即斜边夹角定理。

定理表述：若两个直角三角形的两个直角边成比例，则它们相似。

证明：设ABC和DEF为直角三角形，且∠B和∠E为直角。

由于两个直角边成比例，即AB/DE = BC/EF，而直角三角形中∠A = ∠D = 90°，所以由SSS相似法则可得ABC与DEF相似。

2. 一般三角形的角平分线定理：角平分线将对边分成两段，这两段的比等于除这个角所对的边的两边上相等部分的比。

定理表述：若角ABC的内角∠BAC和∠ABC的平分线交于点D，则AD/CD = AB/CB。

证明：通过角平分线定理的几何证明，可以得出定理成立。

3. 相似三角形的高线定理：相似三角形的高线与底边成比例。

定理表述：若两个相似三角形ABC和DEF，且∠A = ∠D，则高AD与高DE的比等于底边BC和EF的比，即AD/DE = BC/EF。

证明：通过辅助线段可以证明∠C ≌∠F，并通过高线的定义和相似三角形的性质得出AD/DE = BC/EF。

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。